2022年高考数学一轮复习专题9.2 直线与圆的位置关系

专题9.2直线与圆的位置关系

【考纲解读与核心素养】

L掌握圆的标准方程与一般方程.

2.会解决直线与圆的位置关系的问题，会判断圆与圆的位置关系.

3.理解数形结合、用代数方法处理儿何问题的思想.

4.培养学生的直观想象、数学运算、数学建模、逻辑推理、数学抽象、数据分析等

核心数学素养.

5.高考预测：

（1）考查圆的标准方程、普通方程的互化..

（2）待定系数法求圆的方程.

（3）考查圆的弦长问题.

（4）考查圆的切线问题.

（5）圆的综合问题.

（6）圆与圆锥曲线的综合问题.

（7）高考对圆的方程的考查，一般是以小题的形式出现，也有与向量、圆锥曲线

等相结合的问题.纵观近几年的高考试题，主要考查以下几个方面：一是考查圆的

方程，要求利用待定系数法求出圆的方程，并结合圆的几何性质解决相关问题；二

是考查直线与圆的位置关系，高考要求能熟练地解决圆的切线问题，弦长问题是高

考热点，其中利用由圆心距、半径与半弦长构成的直角三角形，是求弦长问题的关

键.三是判断圆与圆的位置关系，确定公共弦所在的直线方程.近几年多与圆锥曲线

问题综合考查.

（8）主要考查一是直线与圆的位置关系，高考要求能熟练地解决圆的切线问题，

弦长问题是高考热点，其中利用由圆心距、半径与半弦长构成的直角三角形，是求

弦长问题的关键.二是判断圆与圆的位置关系，确定公共弦所在的直线方程.近几年

多与圆锥曲线问题综合考查.

6.备考重点：

⑴掌握两种形式圆的方程；

⑵掌握待定系数法.

（3）掌握讨论位置关系的两种方法一代数法、几何法，特别关注圆的“特征三角

形”；

(4)利用数形结合思想，灵活处理综合问题.

【知识清单】

知识点1.圆的方程

1.圆的定义：在平面内，到定点的距离等于定长的点的轨迹叫做圆.

2.圆的标准方程

(1)若圆的圆心为C(。，b),半径为，，则该圆的标准方程为：(x—)2+(y-b)2=汽

⑵方程(x-")?+(>-与2=，表示圆心为C(a，b),半径为r的圆.

3.圆的一般方程

(1)任意一个圆的方程都可化为：/+尸+6+或+尸=0.这个方程就叫做圆的一般

方程.

⑵对方程：x2+y2+Dx+Ey+F=O.

①若。2+后2一4/>o,则方程表示以(_?,—J)为圆心，+由_4/为半径

的圆；

②若。？+£2一4/=0,则方程只表示一个点(_|，-1);

③若。2+£2一4/<0,则方程不表示任何图形・

4.点A(X0,为)与。c的位置关系

(l)|AC|<r=点\在圆内〜(而一。)2+(为一切2<产;

(2)|AC|=r=点A在圆上=(玉)-ap+Uo—b)2=r-

(3)|AC|>ro点A在圆外=(%—4)2+(%—价2>

知识点2.圆的方程综合应用

1.圆的标准方程为：(X-4+(>-力2=)

2.圆的一般方程.：x2+y2+Dx+Ey+F=()(D2+E2-4F>0).

3.点《(小,%)到直线l：Ax+By+C^0的距离：d=&严)'。+°.

VA2+B2

知识点3.直线与圆相切

1.直线与圆相切：直线与圆有且只有一个公共点；

2.几何法：圆心到直线的距离等于半径，即4/=尸；

3.代数法：A=0,方程组有一组不同的解.

知识点4.直线与圆相交及弦长

1.直线与圆相交：直线与圆有两个公共点；

2.几何法：圆心到直线的距离小于半径，即d<r；

3.代数法：A>0,方程组有两组不同的解.

知识点5.圆与圆的位置关系

设两圆的圆心分别为G、C2,圆心距为。=|GG|，半径分别为R、r（/?>r）.

（1）两圆相离：无公共点；d>R+r,方程组无解.

⑵两圆外切：有一个公共点；d=R+r,方程组有一组不同的解.

（3）两圆相交：有两个公共点；R-r<d<R+r,方程组有两组不同的解.

（4）两圆内切：有一公共点；d=R—r,方程组有一组不同的解.

（5）两圆内含：无公共点；4Wd<R—r,方程组无解.特别地，4=0时，为两个同

心圆.

【典例剖析】

高频考点一：求圆的方程

（2019・陕西高考模拟（理））

1.已知圆。的圆心在y轴上，且过点4（4,4）,fi（-4,0）,则圆。的标准方程是

【答案】x2+（y-2）2=20

【解析】

【分析】注意到AB中点坐标为（0,2）为圆心坐标，结合圆过点A（4,4）求得/即可

确定圆的标准方程.

【详解】A（4,4）,3（T,0）的中点为（0,2）,圆C的圆心在>轴上，.•.<?（（）,2）,

2222

设圆C的标准方程为：x+（y-2）=r,将A（4,4）代入得：r=20,

故圆。的标准方程为：/+0—2)2=20.

【点睛】求圆的方程，主要有两种方法：

⑴几何法：具体过程中要用到初中有关圆的一些常用性质和定理.如：①圆心在

过切点且与切线垂直的直线上；②圆心在任意弦的中垂线上；③两圆相切时，切点

与两圆心三点共线.

⑵待定系数法：根据条件设出圆的方程，再由题目给出的条件，列出等式，求出

相关量.一般地，与圆心和半径有关，选择标准式，否则，选择一般式.不论是哪

种形式，都要确定三个独立参数，所以应该有三个独立等式.

(2016高考天津文)

2.已知圆C的圆心在x轴的正半轴上，点M(0,石)在圆C上，且圆心到直线

2x-y=0的距离为述，则圆C的方程为

5

【答案】(X-2)2+/=9.

【解析】

【详解】试题分析：设C(a,0)3>0),则2,r=也2+(后=3,

故圆C的方程为(x-2)2+y2=9.

【考点】直线与圆位置关系

【名师点睛】求圆的方程有两种方法：

(1)代数法：即用“待定系数法”求圆的方程.①若已知条件与圆的圆心和半径有

关，则设圆的标准方程，列出关于a,b,r的方程组求解.②若已知条件没有明确

给出圆的圆心或半径，则选择圆的一般方程，列出关于D,E,F的方程组求解.

(2)几何法：通过研究圆的性质、直线和圆的位置关系等求出圆心、半径，进而

写出圆的标准方程.

'『视频门

【规律方法】

求圆的方程，主要有两种方法:

⑴几何法：具体过程中要用到初中有关圆的一些常用性质和定理.如：①圆心在过

切点且与切线垂直的直线上；②圆心在任意弦的中垂线上；③两圆相切时，切点与

两圆心三点共线.

(2)待定系数法：根据条件设出圆的方程，再由题目给出的条件，列出等式，求出

相关量.一般地，与圆心和半径有关，选择标准式，否则，选择一般式.不论是哪种

形式，都要确定三个独立参数，所以应该有三个独立等式.

【变式探究】

(2019•云南高三月考(文))

3.古希腊数学家阿波罗尼奥斯(约公元前262〜公元前190年)的著作《圆锥曲线

论》是古代世界光辉的科学成果，他证明过这样一个命题：平面内与两定点距离的

比为常数女(女＞0,原1)的点的轨迹是圆，后人将这个圆称为阿波罗尼斯圆.在

平面直角坐标系中，设A(-3,0),B(3,0),动点M满足上能=2，则动点

IMBI

M的轨迹方程为

A.(x-5)2+/=16B.f+(y-5)2=9

C.(x+5)2+y=16D.x2+(y+5)2=9

【答案】A

【解析】

【分析】首先设"(x,y)，代入两点间的距离求和|MB|,最后整理方程.

/、IM(x+3))+y2

【详解】解析：设/,由焉=2,得^一—r=4,

\MB\(x-3)+/

可得：(x+3)2+y=4(x-3)2+4^)

即x2-10x+y2+9=0

整理得(x—5)2+9=16,故动点M的轨迹方程为(x-5)2+丁=16.选A.

【点睛】本题考查了轨迹方程的求解方法，其中属于直接法，一般轨迹方程的求解

有1.直接法，2.代入法，3.定义法，4.参数法.

(2013•江西高考真题(文))

4.若圆C经过坐标原点和点(4,0),且与直线y=l相切，则圆C的方程是

【答案】（X—2）2+（y+；3）2=2q5

24

【解析】

【详解】设圆的圆心坐标（〃,。），半径为广，因为圆。经过坐标原点和点（4,0）,且

a2+b2=r24=2

3

与直线y=i相切，所以＜（"4）2+〃=产，解得，匕=-彳，所求圆的方程为

=r

5

r=—

2

（X-2）2+"|J'，故答案为（x-2）2+p|J弓.

而视频「

【总结提升】

1.确定圆的方程常用待定系数法，其步骤为：一根据题意选择标准方程或一般方

程；二是根据题设条件列出方程组；三是由方程组求出待定的系数，代入所设的圆

的方程；

2.在求圆的方程时，常用到圆的以下几个性质：一是圆心在过切点且与切线垂直的

直线上；二是圆心在任一弦的中垂线上；

3.解方程组时，把所求的值代入检验一下是否正确.

高频考点二：圆的方程综合应用

（2019•云南高三月考（文））

5.若A、8为圆。:/+3一2）2=3上任意两点，P为x轴上的一个动点，则

Z4P8的最大值是

A.30°B.60°C.90°D.120°

【答案】D

【解析】

【分析】由题意首先由几何关系将原问题转化为求解NAPC最大值的问题，然后结

合三角函数的定义确定点P的位置，最后结合特殊角的三角函数值即可求得ZAPB

的最大值.

【详解】当必和总与圆。相切时，NAPB最大，

当点P在x轴上运动时，由几何关系易知NAPB=2NAPC,

且sin/APC=*,当点P位于坐标原点时，PC有最小值，贝UsinZAPC有最大

值.

此时sinNAPC=—=—,ZAPC=60,

PC2

据此可得ZAPB的最大值是120°.

故选D.

【点睛】本题主要考查直线与圆的位置关系，数形结合的数学思想，利用三角函数

确定最值的方法等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.

6.

已知圆满足：

①截y轴所得弦长为2；

②被X轴分成两段圆弧，其弧长的比为3：1；

③圆心到直线1：x-2y=0的距离为4S,求该圆的方程.

5

【答案】(X-1)2+(y-1)2=|或(X+1)2+(j+l)2=1

【解析】

【详解】(法一)设圆P的圆心为P(a,b),半径为r,

则点P到x轴，y轴的距离分别为|b|,|a|.

由题意可知圆P截x轴所得劣弧对的圆心角为90°

圆P截x轴所得的弦长为折，21bl=扬，得/=2b2,

圆P被y轴所截得的弦长为2,由勾股定理得F=a2+1,

得2b2-a2=1.

又因P(a,b)到直线x-2y=0的距离为在，得(1="3=大，即有。-2/>=±1

5M5

K二解得K于-2

综前述得二'

a-2b

所求圆的方程是（K+1）?+（卜+1），=2,或+（y-l）2=2

（法二）设圆的方程为（X-"尸+（『-〃）？=/,

令x=0,得/-2"+〃+/-/二0,

所以M-力1=J(V+%7-4/y[=2,得/=/+1

再令y=0,可得-2ar+/-/二0，

222

所以|X]-x?|=^(x,+x2)-4xtx2«4r-b，得24户-b'=4ir，

即/=2从，从而有2b2-22=1.

又因为P(a,b)到直线x-2y=0的距离为g,

得(1=空L在，即有吁2g±1

M5

综前述得[乃:"F,2二。』解得[：：]：=：,于是d=2b2=2

[a-26=l(a-26=-l[*=-l(b=\

所求圆的方程是（X+1）、（），+1），=2,或（X-1尸+（y-l）I=2

【总结提升】

1.求圆的方程，采用待定系数法：

①若已知条件与圆的圆心和半径有关，可设圆的标准方程.

②若己知条件没有明确给出圆的圆心和半径，可选择圆的一般方程.

2.在求圆的方程时，常用到圆的以下几何性质：

①圆心在过切点且与切线垂直的直线上；

②圆心在任一弦的垂直平分线上.

【变式探究】

（2019・广东高三开学考试（理））

7.已知点M（—1,0）,N（l,0）.若直线/:x+y=加上存在点P使得PM_LPN,则实数

m的取值范围是

A.[-1[]B.（T1）C.[―D.

【答案】C

【解析】

【分析】先求出产的轨迹，它是圆，再根据P在直线/上得到直线与圆有公共点，利

用圆心到直线的距离小于或等于半径可得实数加的取值范围.

【详解】设P(x,y),则府=(x+l,y),丽=(x—l,y),

因为PA/_LPN,所以丽■.丽=0即f+y2=],

\m\l广

因为「在直线/上，所以圆心。(0,0)到直线/的距离d^<1即一夜<m<y/2>

故选C.

【点睛】此类问题为“隐形圆问题”，常规的处理办法是找出动点所在的轨迹(通

常为圆)，常见的“隐形圆”有：

(1)如果AB为定点，且动点“满足=则动点M的轨迹

为圆；

(2)如果AABC中，为定长，A为定值，则动点A的轨迹为一段圆弧.特

TT

别地，如果4=一，那么动点A在以BC为直径的圆上.

2

(2019•天津南开中学高考模拟)

8.已知直线依+力—6=0(a＞0力＞0)被圆r+y2—2x—4y=0截得的弦长为

2石，则的最大值为.

【答案】；9

【解析】

【分析】由圆的方程得到圆的半径为右，再由弦长为2右得到直线过圆心,可得到

。与b满足的关系式,再利用基本不等式即可得到结论.

【详解】圆/+/一2》—4y=0可化为(x—l)2+(y—2)2=5,

则圆心为(1,2),半径为尸=逐，

又因为直线ax+by-6=0(。＞0,方＞0)

被圆f+J一2x-4y=0截得的弦长为2百=2r,

所以直线以+办-6=0(a＞0,人＞0)过圆心，即»-6=0,

化为。+20=6M>0,。>0,

:.6=a+2b>，当且仅当a=»时取等号，

时W9"的最大值为|9■，故答案为W9.

【点睛】本题主要考查圆的方程与性质以及基本不等式的应用，考查了转化思想的

应用属于中档题.转化是数学解题的灵魂，合理的转化不仅使问题得到了解决，还

可以使解决问题的难度大大降低，本题将弦长问题转化为直线过圆心是解题的关

键.

高频考点三：直线与圆相切

（2020・五华•云南师大附中月考（文））

9.己知P是直线/:x+2y+6=0上一动点，过点尸作圆。:/+/+2彳-3=0的两

条切线，切点分别为小B.则四边形附CB面积的最小值为.

【答案】2

【解析】

【分析】由圆的方程为求得圆心。（-1,0）、半径r为2,由“若四边形面积最小，则

圆心与点尸的距离最小时，即距离为圆心到直线的距离时，切线长Q4,依最小”,

最后将四边形转化为两个直角三角形面积求解.

【详解】由题意得：圆的方程为：（x+l>+y2=4

圆心为（一1，0）,半径广为2,

又,/四边形物CB的面积S=PA.AC=ylpc2-AC2.AC=2ylpc「4，所以当PC最

小时，四边形附CB面积最小.将（-1，0）代入点到直线的距离公式,

.-.IPA|=fPB\=7752-22=1,SPACB=2'I'；'=2

故四边形PACB面积的最小值为2.

故答案为：2

【点睛】本题主要考查直线与圆的位置关系，主要涉及了构造四边形及其面积的求

法，同时，还考查了转化思想.此题属中档题.

(2015•江苏高考真题)

10.在平面直角坐标系X。)，中，以点(1,0)为圆心且与直线

巾-丁-2m-l=0(meR)相切的所有圆中，半径最大的圆的标准方程为.

【答案】(x—l『+y2=2

【解析】

【详解】试题分析：因为直线〃状一丁一2m-1=0恒过定点(2,-1),所以圆心(1,0)到

直线小一。一2加一1=0的最大距离为d=J(2—[)2+(0+1)2=母,所以半径最大时

的半径、序，所以半径最大的圆的标准方程为(x-1y+V=2.

考点：1、圆的方程；2、直线与圆的位置关系.

【方法点睛】解决直线与圆的问题时;一方面，注意运用解析几何的基本思想方法

(即几何问题代数化)，把它转化为代数问题，通过代数的计算，使问题得到解

决；另一方面，由于直线与圆和平面几何联系得非常紧密，因此准确地作出图形，

并充分挖掘几何图形中所隐含的条件，利用几何知识使问题较为简捷地得到解决，

即注意圆的几何性质的运用.

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【规律方法】

判断直线与圆的位置关系常见的方法

(D几何法:利用d与r的关系.

(2)代数法：联立方程组，消元得一元二次方程之后利用/判断.

(3)点与圆的位置关系法：若直线恒过定点且定点在圆内，可判断直线与圆相交.

提醒：上述方法中最常用的是儿何法.

【变式探究】

(2015•山东高考真题(理))

11.一条光线从点(-2,-3)射出，经y轴反射后与圆(x+3『+(y—2)2=l相切，则

反射光线所在直线的斜率为()

53325443

A.—或一-B.—或—C.—或—D.—或—

35234534

【答案】D

【解析】

【分析】

根据光的反射原理知，反射光线的反向延长线必过点(-2,-3)关于y轴的对称点

(2,-3),设反射光线所在直线方程为y+3=2),利用直线与圆相切的性质即可

求得斜率h

【详解】根据光的反射原理知，反射光线的反向延长线必过点(-2,-3)关于>轴的对

称点(2,-3),

设反射光线所在直线的斜率为2,

则反射光线所在直线方程为y+3=Z(x—2),即依一y—2左一3=0,

又由反射光线与圆(x+3)2+(y—2)2=1相切，可得卜3：：：："'I'

43

整理得12^+25)1+12=0,解得攵=-7或%=—二.

34

故选：D.

【点睛】过一定点，求圆的切线时，首先判断点与圆的位置关系.若点在圆外，有

两个结果，若只求出一个，应该考虑切线斜率不存在的情况.

(2019•全国高三月考(文))

12.将直线3x+y+a=0沿x轴向右平移1个单位，所得直线与圆

》2+>2+2%一6丁=0相切，则实数。的值为()

A.-7或13B.7或-13C.1或-19D.-1或19

【答案】A

【解析】

【分析】根据直线平移的规律，由直线3x+y+a=0沿x轴向右平移1个单位得到

平移后直线的方程，然后因为此直线与圆相切得到圆心到直线的距离等于半径，利

用点到直线的距离公式列出关于a的方程，求出方程的解即可得到a的值.

【详解】解：把圆的方程化为标准式方程得。+1)2+3-3)2=10,圆心坐标为(-1,3),

半径为丽，直线3x+y+a=0沿x轴向右平移1个单位后所得的直线方程为

3(x-l)+y+a=0,

即3x+y+a-3=0因为该直线与圆相切，

则圆心(-1,3)到直线的距离d=与U=/-=710,

V9+1

化简得1。-3|=10,即。一3=10或。一3=—10,

解得。=13或。=-7

故选A.

【点睛】本题考查圆的方程，考查直线与圆的位置关系，考查学生的计算能力，比

较基础.

【总结提升】

圆的切线方程的两种求法

⑴代数法：设切线方程为y—加=Mx-X0),与圆的方程组成方程组，消元后得到一

个一元二次方程，然后令判别式/=0进而求得

(2)几何法：设切线方程为y—yo=Z(x—xo),利用点到直线的距离公式表示出圆心到

切线的距离其然后令"=r,进而求出k.

高频考点四：直线与圆相交及弦长

(2020・云南师大附中月考(理))

13.已知圆M的方程为x2+y2-6x-8y=0,过点P(0,4)的直线/与圆加相交的

所有弦中，弦长最短的弦为AC,弦长最长的弦为BO,则四边形ABC。的面积为

()

A.30B.40C.60D.80

【答案】B

【解析】

【分析】由题可知点P(o,4)在圆内，则最短的弦是以P(o,4)为中点的弦，过P(0,4)

最长的弦BO为直径，求出后即可求出四边形面积.

【详解】圆例的标准方程为(x-3)2+(y-4)2=25,即圆是以M(3,4)为圆心，5为

半径的圆，

且由(()一3)2+(4-4『=9<25,即点P(0,4)在圆内，

则最短的弦是以尸(0,4)为中点的弦，

所以25=(苧)+9,所以|41=8,

过P(0,4)最长的弦BO为直径，所以忸。=10,

且故而S4B8=g|AC|♦忸。=40.

故选：B.

【点睛】本题考查直线与圆的位置关系，考查弦长的计算，属于基础题.

(2020•全国高考真题(文))

14.已知圆d+V—6x=0,过点(1,2)的直线被该圆所截得的弦的长度的最小值

为()

A.1B.2

C.3D.4

【答案】B

【解析】

【分析】当直线和圆心与点(1,2)的连线垂直时，所求的弦长最短，即可得出结论.

【详解】圆V+V-6x=0化为(x-3)2+V=9,所以圆心。坐标为C(3,0),半径为3,

设尸(1,2),当过点尸的直线和直线CP垂直时，圆心到过点尸的直线的距离最大，

所求的弦长最短，此时|CP卜J(3-1?+㈠y=20

根据弦长公式得最小值为2回函7=279^8=2.

故选：B.

【点睛】本题考查圆的简单几何性质，以及几何法求弦长，属于基础题.

【总结提升】

1.弦长的两种求法

⑴代数方法：将直线和圆的方程联立方程组，消元后得到一个一元二次方程.在判

别式/>0的前提下，利用根与系数的关系，根据弦长公式求弦长.

⑵几何方法：若弦心距为d,圆的半径长为r,则弦长/=2/二7.

【变式探究】

（2016•全国高考真题（理））

15.已知直线/：如c+y+3机-G=0与圆=12交于A8两点，过AB分

别作/的垂线与y轴交于c,。两点，若|A8|=2g,则|cq=.

【答案】4G

【解析】

【分析】

由弦长可求出圆心到直线距离为3,再结合点到直线距离公式求出加=-3，由此

3

可得C,。恰为圆与y轴的两个交点，即为直径.

【详解】因为|A8|=2g,且圆的半径为厂=2石,

所以圆心（（），（））到直线3+了+3/”-百=0的距离为=3,

代入直线/的方程，得y

如图，可得直线I与圆的一个交点恰为圆与>轴的一个交点，

所以可得过AB分别作/的垂线与y轴交于c,。两点，恰为圆与y轴的两个交

点，

则co即为圆的直径，故|CD|=4G.

故答案为：4G.

【点睛】关键点睛：本题考查直线与圆的关系，解题的关键是求出直线方程，判断

出C,。恰为圆与y轴的两个交点，根据直径即可得出.

(2019•浙江师范大学附属中学高三月考)

16.直线g+y-2=0(meR)与圆。：尤2+/一2丁一1=0相交于4,8两点,弦长

IABI的最小值为，若AABC的面积为正，则勿的值为.

2

【答案】⑴.2(2).±1

【解析】

【分析】(1)求弦的最小值，先确定直线过定点加(0,2),然后由垂径定理即可找到

最小值.

(2)利用三角形的面积公式求出ZAC8,再有直线的位置确定直线的斜率.

【详解】直线如+y-2=0(/nwR)恒过圆C：K+Q-1>=2内的定点M的,2),

r—5/2>

圆心C到直线的距离d<|CM|=1,所以|4却=2〃-/>2,

即弦长|的最小值为2；由\ABC=$2sin/ACB=与,

即=g或?.若NAC8=g,则圆心到弦AB的距离

乎>1=|CM|,故不符合题意；当N4CB专时，圆心到直线的距离为

当<1=|。闸,设弦AB的中点为N,又=故NNCM吟,

TT3冗

即直线小+丁-2=0(meR)的倾斜角为:或也，则m的值为±1.

44

故答案为2,±1

【点睛】本题考查直线、圆的方程、直线与圆的位置关系，属于中档题.

高频考点五：圆与圆的位置关系

（2019•天津耀华中学高三月考）

17.已知圆f+j?=12与圆x2+y2+x-6y-6=0交于A,B两点，过A,B分别

作直线AB的垂线，与X轴分别交于C,D两点，则|8|=.

【答案】4

【解析】

【分析】两圆联立求得点A、B的坐标，由垂直关系利用点斜式求解直线方程，从而

得解.

【详解】联立方程组卜',7一/：一6=。,解得|二°或，蓝，

即40,2百）,B（—3,6）,原B=#

可得过A仅,2若）且垂直于/的直线方程为：y=-Qr+2百，所以y=0,解得

x=2,

过8（-3,逐）且垂直于/的直线方程为：y=_#>x-26,所以y=0,解得

x——29

所以|田=2+2=4.

故答案为4.

【点睛】求两圆公共弦所在直线的方程，一种求法，可将两圆的方程相减即可；另

一种方法，可联立两圆的方程，求得两圆的交点坐标，进而再求直线方程，也可根

据所求直线与圆心连线垂直，求直线斜率也可.

（2019•浙江高三月考）

18.在平面直角坐标系xQy中，已知圆A/：（x-a）2+（y+a-3）2=4（aeR）.过原点

的动直线/与圆M交于A,8两点若以线段AB为直径的圆与以M为圆心M。为半

径的始终无公共点，则实数”的取值范围是.

［答案］-00,土黄）U（史

【解析】

【分析】先求得圆M的圆心和半径.根据两个圆内含的条件列不等式，解不等式求得

。的取值范围.

【详解】圆"的圆心为"(a,3-。)，半径h=2.设以线段A8为直径的圆的圆心为

C,要使“以线段为直径的圆与以M为圆心为半径的始终无公共点”，则

两圆内含.即\MC\<\OM\-\CA\,即|MC|+历闲7<|0M|恒成立，即

2<\OM\,由基本不等式有

(|MC|+A/4-|MC|)

\/max

'幽旁近］<㈣土产=2,故阿中国司《2&,所以

\7

2^2<\OM\,即2必荷+(3-前,也即2a2-6a+i>0,解得

【点睛】本小题主要考查直线和圆的位置关系，考查圆和圆的位置关系，考查数形

结合的数学思想方法，考查化归与转化的数学思想方法，考查恒成立问题的求解策

略，属于中档题.

【规律方法】

1.判断两圆位置关系的方法

常用几何法，即用两圆圆心距与两圆半径和与差的绝对值的关系，一般不用代数

法.

2.两圆公共弦长的求法

两圆公共弦长，先求出公共弦所在直线的方程，转化为直线与圆相交的弦长问题.

【变式探究】

(2020•浙江丽水・月考)

19.已知圆£:/+卜一。2)2="的圆心到直线x—y—2=o的距离为2加，则圆G

与圆-2x-4y+4=0的位置关系是()

A.相交B.内切C.外切D.相离

【答案】B

【解析】

【分析】根据圆G的方程求得圆心为(片,0),半径为利用点到直线的距离公式

得到4=2,

求得圆心距，根据圆与圆的位置关系进行判定.

【详解】圆&：/+3一/)2=.4的圆心为(o,a2),半径为

|0-a2-2|-

圆心到直线X—y—2=0的距离为"=LI=2垃,解得/=2.

.•.圆£:犬+(k2)2=4的圆心为A(0,2),半径为4=2,

圆。2：丁+产_2x_4y+4=0的标准方程为:(x-l)2+(y-2)2=l,

圆心坐标为8(1,2),半径弓=1,

圆心距d=^(0-1)'+(2-2)'=1=(-弓，

.♦•两圆相内切,

故选：B.

【点睛】本题考查圆与圆的位置关系的判定，涉及点到直线的距离公式，圆的一般

方程和标准方程，属中档题.

(2019•四川双流中学高三月考(文))

20.与圆G：/+y2—6x+4y+12=0,C?+V-1以一2丁+14=0都相切的直线

有

A.1条B.2条C.3条D.4条

【答案】A

【解析】

【分析】先求出两圆的圆心和半径，判断两个圆的位置关系，从而确定与它们都相

切的直线条数.

【详解】由于圆G：d+V-6x+4y+12=0可化为£:(%-3)2+(尸2)2=1,则圆6

的圆心为(3,-2),半径为4=1

圆:Y+V-14尤—2〉+14=0可化为C2：(x—7)2+(y-=36,则圆C2的圆心

为(7,1),半径为4=6

所以圆G,。2的圆心距CCzl="(7-3)2+(1+2>=5=弓—弓

则两个圆内切，

所以它们只有1条公切线，

故选A

【点睛】本题考查圆与圆的位置关系：利用两圆心距与半径之间的关系进行判断，

直线与圆的位置关系的判断，属于基础题

【总结提升】

1.比较两圆半径的和、差与两圆圆心距的大小可得两圆的位置关系；

2.两圆方程相减即得公共弦方程；

3.公共弦长要通过解直角三角形获得.

高频考点六：直线、圆的位置关系的综合应用

(2017•江苏高考真题)

21.在平面直角坐标系xOy中，A(-12,0),B(0,6),点P在圆0：x2+y2=50±,

若丽•丽420,则点P的横坐标的取值范围是一

【答案】［-5&,1］

【解析】

______（2%-y+5=O

【详解】设尸（x,y）,由PA.P3W20，易得2x—y+5<0,由<,2,可得

x+y=50

x=—5fx=l

A：〈u或8：r，由2x—y+5w。得P点在圆左边弧A8上，结合限制条件

y=-5［y=7

-572<x<5y/2,可得点尸横坐标的取值范围为［-5后,1］.

点睛:对于线性规划问题，首先明确可行域对应的是封闭区域还是开放区域、

分界线是实线还是虚线，其次确定目标函数的几何意义，是求横坐标或纵坐

标、直线的截距、两点间距离的平方、直线的斜率、还是点到直线的距离等，

最后结合图形确定目标函数的最值或取值范围.

（2019•江苏高三开学考试（文））

22.在平面直角坐标系xOy中，已知圆C:x2+y2+2x_4y+P=0,且圆。被直线

x-y+3+后=0截得的弦长为2.

（1）求圆C的标准方程；

（2）若圆。的切线/在4轴和>轴上的截距相等，求切线/的方程；

（3）若圆£>:（x-a）2+（），-1）2=2上存在点P,由点P向圆。引一条切线，切点为

M，且满足PM=42PO，求实数。的取值范围.

［答案］⑴（x+iy+d）。；（2）y=（2+#）x或y=（2-码x或x+y-3=0

或x+y+l=0；（3）-2<a<4

【解析】

【分析】（1）将圆方程整理为标准方程形式，可知尸<5,得到圆心坐标和半径；由

垂径定理可利用弦长构造出关于b的方程，解方程求得E,从而得到标准方程；（2）

分为直线/过原点和不过原点两种情况，分别假设直线方程，利用圆心到直线距离等

于半径可构造方程求得结果；（3）设P（x,y）,mPM2=2PO2^.PM2=PC2-r2

可整理出P点轨迹方程为：(x—iy+(y+2)2=8；根据P在圆(x—a『+(y—1)2=2

上，则两圆有公共点，根据圆与圆位置关系的判定可构造不等式，解不等式求得结

果.

【详解】⑴圆。方程可整理为：(x+iy+(y—2)2=5-夕:.F<5

二圆C的圆心坐标为。(-1,2),半径/•二不二万

一，l-I-1-2+3+V2I

二圆心C到直线x-y+3+后=0的距离：d=-------=-----=1

72

，截得的弦长为：2〃2_屋=2,5-尸_1=2,解得：F=3

二圆C的标准方程为：(x+l)2+(y-2)2=2

(2)①若直线/过原点，可假设直线/方程为：y=kx,即依-y=0

•・・直线/与圆相切.••圆心到直线距离4=匕三=「=正，解得：k=2土瓜

收+i

二切线/方程为：y=(2±j6)x

②若直线/不过原点，可假设直线/方程为:—+—=1,即x+y-a=0

aa

圆心到直线距离d解得:。=-1或3

，切线/方程为x+y+i=o或x+y-3=o

综上所述，切线/方程为y=(2±#卜或x+y+l=0或x+y-3=0

(3)假设P(x,y)

,;PM=6PO,BPPM2=2PO2

又直线PM与圆。相切，切点为MPM2=PC2-r2=PC2-2=2PO2

即：2(X2+/)=(X+1)2+(3；-2)2-2,整理得：(x-l)2+(y+2)2=8

・「P又在圆(x—a)2+(y—I)?=2上•••两圆有公共点

V2<^(l-a)2+(-2-l)2<3>/2,解得：-2<«<4

即a的取值范围为：卜2,4]

【点睛】本题考查直线与圆的位置关系、圆与圆的位置关系的应用问题；关键是明

确直线与圆的位置关系通过圆心到直线的距离与半径之间的大小关系来确定；圆与

圆的位置关系通过圆心距与两圆半径之和、半径之差的关系来确定.

【总结提升】

直线与圆的位置关系常用处理方法：

（1）直线与圆相切处理时要利用圆心与切点连线垂直，构建直角三角形，进而利

用勾股定理可以建立等量关系；

（2）直线与圆相交，利用垂径定理也可以构建直角三角形；

（3）直线与圆相离时，当过圆心作直线垂线时长度最小.

【变式探究】

（201