4.1数列的概念（四大题型）讲义-高二上学期数学人教A版选择性

题型汇总题型1：题型一数列的定义例1.下列说法正确的是（

）①数列1，3，5，7与数列7，3，5，1是同一数列；②数列0，1，2，3...的一个通项公式为；③数列0，1，0，1…没有通项公式；④数列是递增数列①③ B．②④ C．②③ D．②③④【详解】对于①，数列是按一定次序排成的一列数，而数集的元素无顺序性，①不正确；对于②，由无穷数列的意义知，数列1，1，1，1，…是无穷数列，②正确；对于③，不是每个数列都有通项，如按精确度为得到的不足近似值，依次排成一列得到的数列没有通项公式，③不正确；对于④，前4项为1，1，1，1的数列通项公式可以为，等，即根据一个数列的前若干项，写出的通项公式可以不唯一，④不正确；对于⑤，有些数列是有穷数列，不可以看着是一个定义在正整数集上的函数，⑤不正确，所以说法正确的个数是1.故选：B【变式11】如下图所示，将若干个点摆成三角形图案，每条边（包括两个端点）有个点，相应的图案中点的个数记为，按此规律，则___________．【详解】由题意得，故，故答案为：18【变式12】已知数列：，则是数列中的（

）A．第18项 B．第19项 C．第20项 D．第21项【详解】将数列分为第1组1个，第2组2个，……，第n组n个，即，则这n组中，每一组中数的分子、分母的和为，所以是第6组的第3个数，在数列中的项数为，故选:A.【变式13】在数列中，，，则（）A．数列单调递减 B．数列单调递增C．数列先递减后递增 D．数列先递增后递减【详解】由，，得，，且可知．再由，两边平方得①，则②，②﹣①得：，∴，∵，∴与同号,由，可知，，即，可知数列单调递减．故选：A．题型2：数列的通项公式例2.如果数列的通项公式为，那么120是不是这个数列的项？如果是，是第几项？分析：要判断120是不是数列中的项，就是要回答是否存在正整数n，使得．也就是判断上述关于n的方程是否有正整数解：解：令，解这个关于n的方程，得（舍去），或．所以，120是数列的项，是第10项．【变式21】根据下列数列的前4项，写出数列的一个通项公式：（1）1，，，，…；（2）2，0，2，0，…．解：（1）这个数列的前4项的绝对值都是序号的倒数，并且奇数项为正，偶数项为负，所以它的一个通项公式为．这个数列前4项的奇数项是2，偶数项是0，所以它的一个通项公式为．【变式22】已知数列的首项为，且满足，则此数列的第3项是（

）A．4 B．12 C．24 D．32【详解】由题意，，故选：B【变式23】若数列满足，，则______．【详解】因为，，所以所以所以故答案为：24【变式24】已知数列满足，为正整数，则该数列的最大值是（

）A． B． C． D．【详解】解：由，得，，，，．又，，又因为在上单调递增，在上单调递减，所以的最大值为．故选：B．题型3：数列的递推公式例3.数列满足，，则等于（

）A． B． C．2 D．【详解】因为，，所以，，，，，…，所以数列是周期数列，周期为3，所以，所以.故选：A.【变式31】已知数列的首项为2，满足，则（

）A．2 B． C． D．【详解】因为，所以由已知可得，，，.所以数列是以4为周期的数列，所以.故选：C.【变式32】已知数列满足,,,则______.【详解】解:由题知,∵,,,∴,同理可得,,,,,∴数列为以6为周期的周期数列,.故答案为:0题型4：数列的前n项和公式例4.已知数列的前n项和，则（

）A． B． C． D．【详解】因，则．故选：C【变式41】已知数列满足前项和，则通项公式为___________.【详解】根据已知条件当时,;当时,综上,可得故答案为:【变式42】数列的前项和为，，则通项公式______．【详解】由题知，当