课时验收评价(六十六) 随机事件的概率、古典概型

PAGE第5页共5页课时验收评价(六十六)随机事件的概率、古典概型一、点全面广强基训练1．某省高考实行新方案．新高考规定：语文、数学、英语是必考科目，考生还需从思想政治、历史、地理、物理、化学、生物6个等级考试科目中选取3个作为选考科目．某考生已经确定物理作为自己的选考科目，然后只需从剩下的5个等级考试科目中再选择2个组成自己的选考方案，则该考生“选择思想政治、化学”和“选择生物、地理”为()A．相互独立事件 B．对立事件C．不是互斥事件 D．互斥事件但不是对立事件解析：选D该考生“选择思想政治、化学”和“选择生物、地理”不能同时发生，但能同时不发生，所以该考生“选择思想政治、化学”和“选择生物、地理”为互斥事件但不是对立事件．故选D.2．如果事件A与B是互斥事件，且事件A∪B发生的概率是0.64，事件B发生的概率是事件A发生的概率的3倍，则事件A发生的概率为()A．0.64 B．0.36C．0.16 D．0.84解析：选C设P(A)＝x，则P(B)＝3x，因为事件A与B是互斥事件，所以P(A∪B)＝P(A)＋P(B)＝x＋3x＝0.64，解得x＝0.16.故选C.3．下列结论正确的是()A．事件A的概率P(A)必满足0<P(A)<1B．事件A的概率P(A)＝0.999，则事件A是必然事件C．用某种药物对患有胃溃疡的500名病人进行治疗，结果有380人有明显的疗效，现有一名胃溃疡病人服用此药，则估计有明显的疗效的可能性为76%D．某奖券中奖率为50%，则某人购买此奖券10张，一定有5张中奖解析：选C由概率的基本性质可知，事件A的概率P(A)满足0≤P(A)≤1，故A错误；必然事件的概率为1，故B错误；某奖券中奖率为50%，则某人购买此奖券10张，不一定有5张中奖，故D错误．故选C.4．《史记》卷六十五《孙子吴起列传第五》中有这样一道题：齐王与田忌赛马，田忌的上等马劣于齐王的上等马，优于齐王的中等马，田忌的中等马劣于齐王的中等马，优于齐王的下等马，田忌的下等马劣于齐王的下等马．现两人进行赛马比赛，比赛规则：每匹马只能用一次，每场比赛双方各出一匹马，共比赛三场．每场比赛中胜者得1分，败者得0分．若每场比赛之前彼此都不知道对方所用之马，则比赛结束时，田忌得2分的概率为()A.eq\f(1,3)B.eq\f(2,3)C.eq\f(1,6)D.eq\f(1,2)解析：选C设齐王的上、中、下三个等次的马分别为a，b，c，田忌的上、中、下三个等次的马分别为A，B，C.比赛的所有可能结果为Aa，Bb，Cc，田忌得0分；Aa，Bc，Cb，田忌得1分；Ba，Ab，Cc，田忌得1分；Ba，Ac，Cb，田忌得1分；Ca，Ab，Bc，田忌得2分；Ca，Ac，Bb，田忌得1分．所以田忌得2分的概率为eq\f(1,6).故选C.5．(2022·岳阳一模)“华东五市游”作为中国一条精品旅游路线，一直受到广大旅游爱好者的欢迎．现有4名高三学生准备2022年高考后到“华东五市”中的上海市、南京市、苏州市、杭州市四个地方旅游，假设每名同学均从这四个地方中任意选取一个去旅游，则恰有一个地方未被选中的概率为()A.eq\f(7,16)B.eq\f(9,16)C.eq\f(27,64)D.eq\f(81,256)解析：选B假设每名同学均从这四个地方中任意选取一个去旅游，样本点总数为44＝256，恰有一个地方未被选中包含的样本点个数为Ceq\o\al(2,4)Aeq\o\al(3,4)＝144，则恰有一个地方未被选中的概率P＝eq\f(144,256)＝eq\f(9,16).故选B.6．中国乒乓球队甲、乙两名队员参加奥运会乒乓球女子单打比赛，甲夺得冠军的概率为eq\f(3,7)，乙夺得冠军的概率为eq\f(1,4)，那么中国队夺得女子乒乓球单打冠军的概率为________．解析：由于事件“中国队夺得女子乒乓球单打冠军”包括事件“甲夺得冠军”和“乙夺得冠军”，但这两个事件不可能同时发生，即彼此互斥，所以由互斥事件概率的加法公式得，中国队夺得女子乒乓球单打冠军的概率为eq\f(3,7)＋eq\f(1,4)＝eq\f(19,28).答案：eq\f(19,28)7．大学生小明与另外3名大学生一起分配到某乡镇甲、乙、丙3个村小学进行支教，若每个村小学至少分配1名大学生，则小明恰好分配到甲村小学的概率为________．解析：依题意，分配方法是1个学校2人，另外2个学校各1人，共有Ceq\o\al(2,4)Aeq\o\al(3,3)＝36种分配方法，若小明恰好分配到甲村小学，有Ceq\o\al(2,3)Aeq\o\al(2,2)＋Ceq\o\al(1,3)Aeq\o\al(2,2)＝12种分配方法，故所求的概率为eq\f(12,36)＝eq\f(1,3).答案：eq\f(1,3)8．将一颗骰子先后投掷两次分别得到点数a，b，则直线ax＋by＝0与圆(x－2)2＋y2＝2有公共点的概率为________．解析：依题意，将一颗骰子先后投掷两次得到的点数所形成的数组(a，b)有Ceq\o\al(1,6)Ceq\o\al(1,6)＝36个，其中满足直线ax＋by＝0与圆(x－2)2＋y2＝2有公共点，即满足eq\f(2a,\r(a2＋b2))≤eq\r(2)⇒a≤b的数组(a，b)有6＋5＋4＋3＋2＋1＝21个，因此所求的概率为eq\f(21,36)＝eq\f(7,12).答案：eq\f(7,12)9．一个盒子里装有三张卡片，分别标记有数字1,2,3，这三张卡片除标记的数字外完全相同．随机有放回地抽取3次，每次抽取一张，将抽取的卡片上的数字依次记为a，b，c.(1)求“抽取的卡片上的数字满足a＋b＝c”的概率；(2)求“抽取的卡片上的数字a，b，c不完全相同”的概率．解：(1)∵有放回地抽取3次，∴总的结果有3×3×3＝27种，设“抽取的卡片上的数字满足a＋b＝c”为事件A，则事件A包括(1,1,2)，(1,2,3)，(2,1,3)，共3种，∴P(A)＝eq\f(3,27)＝eq\f(1,9).(2)设“抽取的卡片上的数字a，b，c不完全相同”为事件B，则其对立事件eq\x\to(B)包括(1,1,1)，(2,2,2)，(3,3,3)，共3种，∴P(B)＝1－P(eq\x\to(B))＝1－eq\f(3,27)＝eq\f(8,9).10．某学校高一年级共有20个班，为了参加全市钢琴比赛，调查了各班中会弹钢琴的人数，并以组距5将数据分组成[0,5)，[5,10)，…，[30,35)，[35,40]，作出频率分布直方图如图所示．(1)由频率分布直方图估计各班中会弹钢琴的人数的平均值；(2)若会弹钢琴的人数为[35,40]的班级作为第一类备选班级，会弹钢琴的人数为[30,35)的班级作为第二类备选班级，现要从这两类备选班级中选出两个班参加市里的钢琴比赛，求这两类备选班级中均有班级被选中的概率．解：(1)设各班中会弹钢琴的人数的平均值为eq\x\to(x)，由频率分布直方图知，eq\x\to(x)＝(2.5×0.01＋7.5×0.01＋12.5×0.04＋17.5×0.02＋22.5×0.04＋27.5×0.03＋32.5×0.03＋37.5×0.02)×5＝22，所以各班中会弹钢琴的人数的平均值为22.(2)由频率分布直方图知，第一类备选班级有2个，第二类备选班级有3个，从这5个备选班级中选出两个班共有Ceq\o\al(2,5)种情况，其中两类备选班级均有班级被选中的情况有Ceq\o\al(1,2)Ceq\o\al(1,3)种，故两类备选班级中均有班级被选中的概率P＝eq\f(C\o\al(1,2)C\o\al(1,3),C\o\al(2,5))＝eq\f(6,10)＝eq\f(3,5).二、重点难点培优训练1．(2022·玉林适应性测试)春天是鲜花的季节，水仙花就是其中最迷人的代表，数学上有个水仙花数，它是这样定义的：“水仙花数”是指一个三位数，它的各位数字的立方和等于其本身．三位的水仙花数共有4个，其中仅有1个在区间(150,160)内，我们姑且称它为“水仙四妹”，则在集合{142,147,152,154,157，“水仙四妹”}，共6个整数中，任意取其中3个整数，则这3个整数中含有“水仙四妹”，且其余两个整数至少有一个比“水仙四妹”小的概率是()A.eq\f(3,20)B.eq\f(1,4)C.eq\f(3,10)D.eq\f(9,20)解析：选D设“水仙四妹”为150＋x且0<x<10，x∈Z，依题意知，13＋53＋x3＝150＋x，即有(x－1)x·(x＋1)＝24，解得x＝3，即“水仙四妹”为153，∴集合为{142,147,152,153,154,157}，故“含有153，但其余两个整数至少有一个比153小”的对立事件A为“含有153，但其余两个整数没有比153小”，∴“含有153”的取法有Ceq\o\al(2,5)种，而事件A只有1种，故所求事件的取法有Ceq\o\al(2,5)－1＝9种，∴所求概率为eq\f(9,C\o\al(3,6))＝eq\f(9,20).2．某研究学习小组为研究学校学生一个月课余使用手机的总时间，收集了500名学生在12月课余使用手机的总时间(单位：小时)的数据．从中随机抽取了50名学生，将数据进行整理，得到如图所示的频率分布直方图．已知这50人中，恰有2名女生的课余使用手机总时间在区间[18,20]内，现在从课余使用手机总时间在[18,20]内的学生中随机抽取2人，则至少抽到1名女生的概率为()A.eq\f(2,5)B.eq\f(7,10)C.eq\f(8,15)D.eq\f(7,15)解析：选B50×0.05×2＝5，则在区间[18,20]内的学生有5人，即2名女生，3名男生，从中抽取2人有Ceq\o\al(2,5)＝10种等可能的结果，至少抽到一名女生有Ceq\o\al(2,2)＋Ceq\o\al(1,2)Ceq\o\al(1,3)＝7种等可能的结果，则所求概率为eq\f(7,10).3．为了迎接北京冬奥会，某学校团委组织了一次“奥运会”知识讲座活动，活动结束后随机抽取120名学生对讲座情况进行调查，其中男生与女生的人数之比为1∶1，抽取的学生中男生有40名对讲座活动满意，女生有30名对讲座活动不满意．(1)完成2×2列联表，并依据小概率值α＝0.10的χ2独立性检验，能否以此推断对讲座活动是否满意与性别有关；满意不满意合计男生女生合计120(2)从被调查的对讲座活动满意的学生中，利用分层抽样的方法抽取7名学生，再在这7名学生中随机抽取3名学生谈谈自己听讲座的心得体会，求其中恰好抽中2名男生与1名女生的概率．附：χ2＝eq\f(nad－bc2,a＋bc＋da＋cb＋d)，其中n＝a＋b＋c＋d.α0.100.050.010.0050.001xα2.7063.8416.6357.87910.828解：(1)2×2列联表如表所示满意不满意合计男生402060女生303060合计7050120零假设为H0：对讲座活动是否满意与性别无关，利用公式可得χ2＝eq\f(120×40×30－20×302,60×60×70×50)＝eq\f(24,7)≈3.429>