第2章 对称图形-圆（易错必刷30题7种题型专项训练）（解析版）

第2章对称图形-圆（易错必刷30题7种题型专项训练）一．垂径定理（共1小题）1．（2022秋•潍城区期中）如图，⊙O的直径AB与弦CD交于点E，若B为的中点，则下列说法错误的是（）A． B．OE＝BE C．CE＝DE D．AB⊥CD【分析】根据垂径定理及其推论判断即可．【解答】解：∵点B为的中点，∴＝，故A选项说法正确，不符合题意；∵AB是⊙O的直径，＝，∴CE＝DE，AB⊥CD，故C、D选项说法正确，不符合题意；不能证明OE＝BE，故B选项说法错误，符合题意；故选：B．【点评】本题考查的是垂径定理及其推论，垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧，平分弦所对一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧．二．圆心角、弧、弦的关系（共1小题）2．（2022秋•邳州市期中）如图，AB、CD是⊙O的两条弦，∠AOC＝∠BOD．求证：AB＝CD．【分析】根据等式的性质可得∠AOB＝∠COD，然后根据圆心角、弧、弦的关系，即可解答．【解答】证明：∵∠AOC＝∠BOD，∴∠AOC+∠COB＝∠BOD+∠COB，∴∠AOB＝∠COD，∴AB＝CD．【点评】本题考查了圆心角、弧、弦的关系，熟练掌握圆心角、弧、弦的关系是解题的关键．三．圆周角定理（共19小题）3．（2022秋•邳州市期中）如图，在⊙O中，∠A＝30°，则的度数为（）A．30° B．15° C．60° D．40°【分析】利用圆周角定理可得∠COB＝2∠A＝60°，即可解答．【解答】解：∵∠A＝30°，∴∠COB＝2∠A＝60°，∴的度数为60°，故选：C．【点评】本题考查了圆周角定理，圆心角、弧、弦的关系，熟练掌握圆周角定理是解题的关键．4．（2022秋•海淀区校级期中）如图，点A，B，C均在⊙O上，若∠AOB＝50°，则∠ACB的度数是（）A．25° B．50° C．75° D．100°【分析】利用圆周角定理，进行计算即可解答．【解答】解：∵∠AOB＝50°，∴∠ACB＝∠AOB＝×50°＝25°，故选：A．【点评】本题考查了圆周角定理，熟练掌握圆周角定理是解题的关键．5．（2022秋•拱墅区校级期中）如图，点A在⊙O上，∠OBC＝25°，则∠BAC的度数为（）A．55° B．65° C．75° D．130°【分析】利用等腰三角形的性质可得∠OBC＝∠OCB＝25°，从而利用三角形内角和定理可得∠BOC＝130°，然后利用圆周角定理进行计算即可解答．【解答】解：∵OB＝OC，∴∠OBC＝∠OCB＝25°，∴∠BOC＝180°﹣∠OBC﹣∠OCB＝130°，∴∠BAC＝∠BOC＝65°，故选：B．【点评】本题考查了圆周角定理，熟练掌握圆周角定理是解题的关键．6．（2022秋•郾城区期中）如图，⊙O中，OA⊥弦BC，点E为垂足，点D在优弧上，则下列语句中，错误的是（）A．BE＝CE B． C．∠AOB＝2∠ADC D．∠BCD＝∠CBO【分析】连接OC，利用垂径定理可得BE＝CE，＝，从而可得∠AOB＝∠AOC，再利用圆周角定理可得∠AOC＝2∠ADC，然后利用等量代换可得∠AOB＝2∠ADC，即可判断A，B，C；根据等腰三角形的性质可得∠CBO＝∠OCB，再结合图形可得∠BCD＞∠OCB，即可判断D．【解答】解：连接OC，∵OA⊥弦BC，∴BE＝CE，＝，∴∠AOB＝∠AOC，∵∠AOC＝2∠ADC，∴∠AOB＝2∠ADC，故A，B，C都不符合题意；∵OB＝OC，∴∠CBO＝∠OCB，∵∠BCD＞∠OCB，∴∠BCD＞∠CBO，故D符合题意；故选：D．【点评】本题考查了圆周角定理，垂径定理，圆心角、弧、弦的关系，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．7．（2022秋•巧家县期中）如图，A、B、D为⊙O上的点，∠ADB＝57°，则∠AOB为（）A．100° B．124° C．104° D．114°【分析】利用圆周角定理，进行计算即可解答．【解答】解：∵∠ADB＝57°，∴∠AOB＝2∠ADB＝2×57°＝114°，故选：D．【点评】本题考查了圆周角定理，熟练掌握圆周角定理是解题的关键．8．（2022秋•镇江期中）如图，C、D是⊙O上两点，位于直径AB的两侧，设∠ABC＝24°，则∠BDC＝66°．【分析】根据直径所对的圆周角是直角可得∠ACB＝90°，然后利用直角三角形的两个锐角互余可得∠A＝66°，从而利用同弧所对的圆周角相等即可解答．【解答】解：∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB＝90°，∵∠ABC＝24°，∴∠A＝90°﹣∠ABC＝66°，∴∠BDC＝∠A＝66°，故答案为：66．【点评】本题考查了圆周角定理，熟练掌握圆周角定理是解题的关键．9．（2022秋•邗江区期中）如图，已知点A，B，C依次在⊙O上，∠B﹣∠A＝40°，则∠AOB的度数为80°．【分析】利用三角形内角和定理得到∠O+∠A＝∠C+∠B，所以∠O﹣∠C＝40°，再根据圆周角定理得到∠C＝∠O，所以∠O﹣∠O＝40°，从而得到∠O的度数．【解答】解：∵∠O+∠A＝∠C+∠B，∴∠O﹣∠C＝∠B﹣∠A＝40°，∵∠C＝∠O，∴∠O﹣∠O＝40°，∴∠O＝80°．故答案为：80°．【点评】本题考查了圆周角定理．解题的关键是掌握圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．10．（2022秋•仪征市期中）如图，已知点A，B，C依次在⊙O上，∠B﹣∠A＝30°，则∠AOB的度数为60°．【分析】设AC与OB相交于点D，利用三角形内角和定理以及对顶角相等可得∠O+∠A＝∠C+∠B，从而可得∠O﹣∠C＝∠B﹣∠A＝30°，然后根据圆周角定理可得∠C＝∠O，从而可得∠O﹣∠O＝30°，进行计算即可解答．【解答】解：如图：设AC与OB相交于点D，∵∠O+∠A+∠ODA＝180°，∠B+∠C+∠BDC＝180°，∠ADO＝∠BDC，∴∠O+∠A＝∠C+∠B，∴∠O﹣∠C＝∠B﹣∠A＝30°，∵∠C＝∠O，∴∠O﹣∠O＝30°，∴∠O＝60°，故答案为：60．【点评】本题考查了圆周角定理，熟练掌握圆周角定理是解题的关键．11．（2022秋•梁溪区校级期中）如图，OA、OB是⊙O的半径，C是⊙O上一点，∠AOB＝40°，则∠ACB＝20°．【分析】利用圆周角定理，进行计算即可解答．【解答】解：∵∠AOB＝40°，∴∠ACB＝∠AOB＝20°，故答案为：20．【点评】本题考查了圆周角定理，熟练掌握圆周角定理是解题的关键．12．（2022秋•崇川区期中）如图，圆的两条弦AB，CD相交于点E，且，∠A＝36°，则且∠CEB的度数为72°．【分析】根据等弧所对的圆周角相等可得∠A＝∠C＝36°，然后利用三角形的外角性质进行计算即可解答．【解答】解：∵，∠A＝36°，∴∠A＝∠C＝36°，∵∠CEB是△ACE的一个外角，∴∠CEB＝∠A+∠C＝72°，故答案为：72°．【点评】本题考查了圆周角定理，熟练掌握圆周角定理是解题的关键．13．（2022秋•镇江期中）如图，AB为⊙O直径，CD为弦，AB⊥CD于E，连接CO，AD，∠BAD＝26°，则∠BOC＝52°．【分析】连接AC，根据垂径定理可得＝，再根据等弧所对的圆周角相等可得∠BAC＝∠BAD＝26°，然后利用圆周角定理进行计算即可解答．【解答】解：连接AC，∵AB为⊙O直径，CD为弦，AB⊥CD，∴＝，∴∠BAC＝∠BAD＝26°，∴∠BOC＝2∠BAC＝52°，故答案为：52°．【点评】本题考查了圆周角定理，圆心角、弧、弦的关系，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．14．（2022秋•东台市期中）如图，AB是半圆O的直径，∠ABD＝35°，点C是上的一点，则∠C＝125度．【分析】先根据直径所对的圆周角是直角可得∠ADB＝90°，从而利用直角三角形的两个锐角互余求出∠A＝55°，然后利用圆内接四边形对角互补进行计算即可解答．【解答】解：∵AB是半圆O的直径，∴∠ADB＝90°，∵∠ABD＝35°，∴∠A＝90°﹣∠ABD＝55°，∵四边形ABCD是圆内接四边形，∴∠A+∠C＝180°，∴∠C＝180°﹣∠A＝125°，故答案为：125．【点评】本题考查了圆周角定理，熟练掌握圆周角定理是解题的关键．15．（2022秋•武昌区期中）已知⊙O的两条弦为AB、AC，连接半径OA、OB、OC，若AC＝AB＝OA，则∠BOC的度数为150°或30°．【分析】分两种情况：当弦AB，AC位于OA的异侧时；当弦AB，AC位于OA的同侧时；然后分别进行计算即可解答．【解答】解：分两种情况：当弦AB，AC位于OA的异侧时，如图：延长AO交⊙O于点D，连接CD，∵AD是⊙O的直径，∴∠ACD＝90°，∵AD＝2AO，AC＝OA，∴sinD＝＝＝，∴∠D＝45°，∴∠AOC＝2∠D＝90°，∵AC＝AB＝OA，∴AB＝AO，∵OA＝OB，∴OA＝OB＝AB，∴△AOB是等边三角形，∴∠AOB＝60°，∴∠BOC＝∠AOB+∠AOC＝150°；当弦AB，AC位于OA的同侧时，如图：延长AO交⊙O于点D，连接CD，∵AD是⊙O的直径，∴∠ACD＝90°，∵AD＝2AO，AC＝OA，∴sinD＝＝＝，∴∠D＝45°，∴∠AOC＝2∠D＝90°，∵AC＝AB＝OA，∴AB＝AO，∵OA＝OB，∴OA＝OB＝AB，∴△AOB是等边三角形，∴∠AOB＝60°，∴∠BOC＝∠AOC﹣∠AOB＝30°；综上所述：∠BOC的度数为150°或30°，故答案为：150°或30°．【点评】本题考查了圆周角定理，分两种情况讨论是解题的关键．16．（2022秋•东台市期中）如图，以AB为直径的⊙O经过△ABC的顶点C，AE，BE分别平分∠BAC和∠ABC，AE的延长线交⊙O于点D，连接BD．（1）判断△BDE的形状，并证明你的结论；（2）若AB＝10，BE＝2，求BC的长．【分析】（1）由角平分线的定义可知，∠BAE＝∠CAD＝∠CBD，∠ABE＝∠EBC，所以∠BED＝∠DBE，所以BD＝ED，因为AB为直径，所以∠ADB＝90°，所以△BDE是等腰直角三角形．（2）连接OC、CD、OD，OD交BC于点F．因为∠DBC＝∠CAD＝∠BAD＝∠BCD．所以BD＝DC．因为OB＝OC．所以OD垂直平分BC．由△BDE是等腰直角三角形，BE＝2，可得BD＝2．因为OB＝OD＝5．设OF＝t，则DF＝5﹣t．在Rt△BOF和Rt△BDF中，52﹣t2＝（2）2﹣（5﹣t）2，解出t的值即可．【解答】（1）解：△BDE为等腰直角三角形．证明：∵AE平分∠BAC，BE平分∠ABC，∴∠BAE＝∠CAD＝∠CBD，∠ABE＝∠EBC．∵∠BED＝∠BAE+∠ABE，∠DBE＝∠DBC+∠CBE，∴∠BED＝∠DBE．∴BD＝ED．∵AB为直径，∴∠ADB＝90°，∴△BDE是等腰直角三角形．另解：计算∠AEB＝135°也可以得证．（2）解：连接OC、CD、OD，OD交BC于点F.∵∠DBC＝∠CAD＝∠BAD＝∠BCD．∴BD＝DC．∵OB＝OC．∴OD垂直平分BC．∵△BDE是等腰直角三角形，BE＝2，∴BD＝2．∵AB＝10，∴OB＝OD＝5．设OF＝t，则DF＝5﹣t．在Rt△BOF和Rt△BDF中，52﹣t2＝（2）2﹣（5﹣t）2，解得t＝3，∴BF＝4．∴BC＝8．另解：分别延长AC，BD相交于点G．则△ABG为等腰三角形，先计算AG＝10，BG＝4，AD＝4，再根据面积相等求得BC．【点评】此题是圆的综合题，主要考查了等腰直角三角形的性质，勾股定理等知识，证明△BDE是等腰直角三角形是解题关键．17．（2022秋•大丰区期中）如图，AB是⊙O的直径，弦CD交AB于点E，连接AC、AD．若∠BAC＝35°，（1）求∠D的度数；（2）若∠ACD＝65°，求∠CEB的度数．【分析】（1）连接CB，根据直径所对的圆周角是直角可得∠ACB＝90°，从而利用直角三角形的两个锐角互余可得∠ABC＝55°，然后利用同弧所对的圆周角相等即可解答；（2）利用三角形的外角性质，进行计算即可解答．【解答】解：（1）连接CB，∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB＝90°，∵∠BAC＝35°，∴∠ABC＝90°﹣∠BAC＝55°，∴∠ABC＝∠D＝55°，∴∠D的度数为55°；（2）∵∠CEB是△ACE的一个外角，∴∠CEB＝∠BAC+∠ACD＝100°，∴∠CEB的度数为100°．【点评】本题考查了圆周角定理，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．18．（2022秋•工业园区校级期中）如图，BC是⊙O的直径，点A在⊙O上，AD⊥BC．垂足为点D．AE＝AB，BE分别交AD、AC于点F、G．（1）判断△FAG的形状．并说明理由；（2）延长AD交⊙O于点M，连接ME，求证：ME⊥AC．【分析】（1）根据直径所对的圆周角是直角可得∠BAC＝90°，从而利用直角三角形的两个锐角互余可得∠ABG+∠AGB＝90°，然后再利用垂直定义可得∠ADC＝90°，再利用直角三角形的两个锐角互余可得∠FAG+∠ACD＝90°，最后根据已知易得∠ABG＝∠ACD，从而利用等角的余角相等可得∠AGB＝∠FAG，进而利用等角对等边即可解答；（2）设EM与AC交于点P，利用垂径定理可得＝，从而可得∠C＝∠BEM，再根据已知和对顶角相等可得∠FAG＝∠EGP，从而可得∠EGP+∠BEM＝90°，然后利用三角形内角和定理可得∠EPG＝90°，即可解答．【解答】（1）解：△FAG是等腰三角形，理由：∵BC是⊙O的直径，∴∠BAC＝90°，∴∠ABG+∠AGB＝90°，∵AD⊥BC，∴∠ADC＝90°，∴∠FAG+∠ACD＝90°，∵AB＝AE，∴＝，∴∠ABG＝∠ACD，∴∠AGB＝∠FAG，∴FA＝FG，∴△FAG是等腰三角形；（2）证明：设EM与AC交于点P，∵OD⊥AM，∴＝，∴∠C＝∠BEM，∵∠EGP＝∠AGF，∠FAG＝∠AGF，∴∠FAG＝∠EGP，∵∠FAG+∠C＝90°，∴∠EGP+∠BEM＝90°，∴∠EPG＝180°﹣（∠EGP+∠BEM）＝90°，∴ME⊥AC．【点评】本题考查了圆周角定理，熟练掌握圆周角定理是解题的关键．19．（2022秋•梁溪区校级期中）如图，⊙O的直径AE＝8，∠B＝∠EAC，求AC的长．【分析】连接CE，根据同弧所对的圆周角相等可得∠B＝∠E，从而可得∠E＝∠EAC，进而可得CE＝AC，然后再根据直径所对的圆周角是直角可得∠ACE＝90°，从而利用等腰直角三角形的性质进行计算即可解答．【解答】解：连接CE，∵∠B＝∠E，∠B＝∠EAC，∴∠E＝∠EAC，∴CE＝AC，∵AE是⊙O的直径，∴∠ACE＝90°，∵AE＝8，∴AC＝＝＝4，∴AC的长为4．【点评】本题考查了圆周角定理，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．20．（2022秋•确山县期中）如图所示，⊙O的直径AB为6cm，∠ACB的平分线交⊙O于点D．（1）判断△ADB的形状，并证明；（2）求BD的长．【分析】（1）利用角平分线的定义可得∠ACD＝∠BCD，从而可得＝，进而可得AD＝BD，然后利用直径所对的圆周角是直角可得∠ADB＝90°，即可解答；（2）利用（1）的结论：ADB是等腰直角三角形，然后利用等腰直角三角形的性质，进行计算即可解答．【解答】解：（1）△ADB是等腰直角三角形，证明：∵CD平分∠ACB，∴∠ACD＝∠BCD，∴＝，∴AD＝BD，∵AB是⊙O的直径，∴∠ADB＝90°，∴△ADB是等腰直角三角形；（2）由（1）得：∠ADB＝90°，AD＝BD，∵AB＝6cm，∴BD＝＝＝3（cm），∴BD的长为3．【点评】本题考查了圆周角定理，熟练掌握圆周角定理是解题的关键．21．（2022秋•南浔区期中）如图，已知AC是⊙O的直径，AB，CD是⊙O中的两条弦，且AB∥CD，连结AD，BC．（1）求证：四边形ABCD是矩形；（2）若∠BAC＝30°，⊙O的直径为10，求矩形ABCD的面积．【分析】（1）根据直径所对的圆周角是直角可得∠ABC＝∠ADC＝90°，再利用平行线的性质可得∠BCD＝90°，然后利用矩形的判定即可解答；（2）在Rt△ABC中，利用含30度角的直角三角形的性质可得BC＝5，AB＝5，然后利用矩形的面积公式进行计算即可解答．【解答】（1）证明：∵AC是⊙O的直径，∴∠ABC＝∠ADC＝90°，∵AB∥CD，∴∠BCD＝180°﹣∠B＝90°，∴四边形ABCD是矩形；（2）解：∵∠B＝90°，∠BAC＝30°，AC＝10，∴BC＝AC＝5，AB＝BC＝5，∴矩形ABCD的面积＝AB•BC＝5×5＝25，∴矩形ABCD的面积为25．【点评】本题考查了圆周角定理，矩形的判定与性质，含30度角的直角三角形，熟练掌握圆周角定理，以及矩形的判定与性质是解题的关键．四．点与圆的位置关系（共1小题）22．（2022秋•新吴区期中）如图，点A，B的坐标分别为A（2，0），B（0，2），点C为坐标平面内一点，BC＝1，点M为线段AC的中点，连接OM，则OM的最大值为（）A．+1 B．+ C．2+1 D．2﹣【分析】根据同圆的半径相等可知：点C在半径为1的⊙B上，通过画图可知，C在BD与圆B的交点时，OM最小，在DB的延长线上时，OM最大，根据三角形的中位线定理可得结论．【解答】解：如图，∵点C为坐标平面内一点，BC＝1，∴C在⊙B上，且半径为1，取OD＝OA＝2，连接CD，∵AM＝CM，OD＝OA，∴OM是△ACD的中位线，∴OM＝CD，当OM最大时，即CD最大，而D，B，C三点共线时，当C在DB的延长线上时，OM最大，∵OB＝OD＝2，∠BOD＝90°，∴BD＝2，∴CD＝2+1，∴OM＝CD＝，即OM的最大值为+；故选：B．【点评】本题考查了坐标和图形的性质，三角形的中位线定理等知识，确定OM为最大值时点C的位置是关键，也是难点．五．三角形的外接圆与外心（共2小题）23．（2022秋•溧阳市期中）如图，△ABC是⊙O的内接三角形，直径AB＝4，CD平分∠ACB交⊙O于点D，交AB于点E，连接AD、BD．（1）若∠CAB＝25°，求∠AED的度数；（2）求AD的长．【分析】（1）根据直径所对的圆周角是直角可得∠ACB＝90°，再利用角平分线的定义可得∠ACD＝∠BCD＝45°，然后再利用三角形的外角性质进行计算即可解答；（2）根据直径所对的圆周角是直角可得∠ACB＝90°，再利用（1）的结论可得＝，从而可得AD＝DB，然后利用等腰直角三角形的性质进行计算即可解答．【解答】解：（1）∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB＝90°，∵CD平分∠ACB，∴∠ACD＝∠BCD＝∠ACB＝45°，∵∠CAB＝25°，∴∠AED＝∠ACE+∠CAE＝70°，∴∠AED的度数为70°；（2）∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB＝90°，∵∠ACD＝∠BCD，∴＝，∴AD＝DB，∵AB＝4，∴AD＝BD＝＝2，∴AD的长为2．【点评】本题考查了三角形的外接圆与外心，圆周角定理，熟练掌握圆周角定理是解题的关键．24．（2022秋•江都区期中）如图，四边形ABCD是平行四边形，∠B＝60°，经过点A，C，D的圆与BC相交于点E，连接AE．（1）求证：△ABE是等边三角形．（2）F是上一点，且FA＝FC，连接EF．求证：EF＝BC．【分析】（1）利用平行四边形的性质可得∠B＝∠D＝60°，从而利用圆内接四边形对角互补，可求出∠AEC的度数，进而求出∠AEB的度数，最后利用三角形内角和定理进行计算即可解答；（2）利用（1）的结论可得AB＝AE，再根据同弧所对的圆周角相等可得∠D＝∠AFC＝60°，从而可得△AFC是等边三角形，进而可得∠FCA＝60°，然后利用同弧所对的圆周角相等可得∠AEF＝∠FCA＝60°，等弧所对圆周角相等可得∠AFE＝∠ACB，从而证明△ABC≌△AEF，利用全等三角形的性质即可解答．【解答】证明：（1）∵四边形ABCD是平行四边形，∠B＝60°，∴∠B＝∠D＝60°，∵四边形AECD是圆内接四边形，∴∠D+∠AEC＝180°，∴∠AEC＝180°﹣∠D＝120°，∴∠AEB＝180°﹣∠AEC＝60°，∴∠BAE＝180°﹣∠B﹣∠AEB＝60°，∴∠B＝∠BAE＝∠AEB，∴△ABE是等边三角形；（2）∵△ABE是等边三角形，∴AB＝AE，∵∠D＝∠AFC＝60°，AF＝FC，∴△AFC是等边三角形，∴∠FCA＝60°，∴∠AEF＝∠FCA＝60°，∴∠AEF＝∠B＝60°，∵∠AFE＝∠ACB，∴△ABC≌△AEF（AAS），∴BC＝EF．【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质，等边三角形的判定与性质，三角形的外接圆与外心，平行四边形的性质，圆周角定理，熟练掌握全等三角形的判定与性质，以及等边三角形的判定与性质是解题的关键．六．切线的性质（共5小题）25．（2022秋•丹阳市校级期中）如图，在边长为2的菱形ABCD中，∠BAD＝120°，以点C为圆心画弧，且与AB，AD边相切，则图中阴影部分的面积是（）A． B． C． D．【分析】由菱形的性质得出AD＝AB＝6，∠ADC＝120°，由三角函数求出菱形的高DF，图中阴影部分的面积＝菱形ABCD的面积﹣扇形DEFG的面积，根据面积公式计算即可．【解答】解：以点C为圆心画弧，弧与AB相切的切点为点E，连接CE，如图：∵四边形ABCD是菱形且边长为2，∠BAD＝120°，∴AB＝BC＝2，∠BCD＝∠BAD＝120°，∠ABC＝180°﹣120°＝60°，∵以点C为圆心画弧，弧与AB相切，∴CE⊥AB，∴CE＝BC•sin60°＝2×＝，∴图中阴影部分的面积＝菱形ABCD的面积﹣扇形DEFG的面积＝2×﹣＝2﹣π．故选：D．【点评】本题考查了菱形的性质、三角函数、菱形和扇形面积的计算．由三角函数求出菱形的高是解决问题的关键．26．（2022秋•五华区校级期中）下列说法正确的是（）A．平分弦的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧 B．圆的切线垂直于圆的半径 C．三角形的外心到三角形三边的距离相等 D．同弧或等弧所对的圆周角相等【分析】根据垂径定理、切线的性质、三角形的外心的性质、圆周角定理判断即可．【解答】解：A、平分弦（不是直径的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧，故本选项说法错误，不符合题意；B、圆的切线垂直于圆的过切点的半径，故本选项说法错误，不符合题意；C、三角形的外心到三角形三个顶点的距离相等，故本选项说法错误，不符合题意；D、同弧或等弧所对的圆周角相等，本选项说法正确，符合题意；故选：D．【点评】本题考查的是切线的性质、垂径定理、三角形的外心的性质、圆周角定理，掌握相关的性质、定理是解题的关键．27．（2022秋•兴隆台区校级期中）如图，在平面直角坐标系中，以M（2，3）为圆心，AB为直径的圆与x轴相切，与y轴交于A，C两点，则AC的长为（）A．4 B． C． D．6【分析】设⊙M与x轴相切于点D，连接MD，过点M作ME⊥AC，垂足为E，根据垂径定理可得AC＝2AE，再利用切线的性质可得∠MDO＝90°，然后根据点M的坐标可得ME＝2，MA＝MD＝3，最后在Rt△AEM中，利用勾股定理进行计算即可解答．【解答】解：设⊙M与x轴相切于点D，连接MD，过点M作ME⊥AC，垂足为E，∴AC＝2AE，∵⊙M与x轴相切于点D，∴∠MDO＝90°，∵M（2，3），∴ME＝2，MD＝3，∴MA＝MD＝3，在Rt△AEM中，AE＝＝＝，∴AC＝2AE＝2，故选：B．【点评】本题考查了切线的性质，垂径定理，坐标与图形的性质，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．28．（2022秋•五华区校级期中）PA，PB是⊙O的切线，A，B是切点，点C是⊙O上不与A，B重合的一点，若∠APB＝70°，则∠ACB的度数为55°或125°．【分析】根据切线的性质得到∠OAP＝90°，∠OBP＝90°，再根据四边形内角和得到∠AOB＝110°，然后根据圆周角定理和圆内接四边形的性质求∠ACB的度数．【解答】解：∵PA，PB是⊙O的两条切线，∴OA⊥PA，OB⊥PB，∴∠OAP＝90°，∠OBP＝90°，∵∠APB＝70°，∴∠AOB＝360°﹣90°﹣90°﹣70°＝110°，当点C在劣弧AB上，则∠ACB＝∠AOB＝55°，当点C′在优弧AB上，则∠AC′B＝180°﹣55°＝125°．则∠ACB的度数为55°或125°．故答案为：55°或125°．【点评】本题切线的性质，圆周角定理和圆内接四边形的性质，解决本题的关键是掌握切线的性质．29．（2022秋•矿区期中）如图，△ABC内接于⊙O，