专题17 圆锥曲线的综合应用（原卷版）

专题17圆锥曲线的综合应用一、知识速览二、考点速览知识点1直线与椭圆的位置关系1、直线与椭圆的位置判断设直线方程为，椭圆方程为联立消去y得一个关于x的一元二次方程①直线和椭圆相交直线和椭圆有两个交点(或两个公共点）；②直线和椭圆相切直线和椭圆有一个切点(或一个公共点)；③直线和椭圆相离直线和椭圆无公共点．2、直线与椭圆相交的弦长公式（1）定义：连接椭圆上两个点的线段称为椭圆的弦．（2）求弦长的方法=1\*GB3①交点法：将直线的方程与椭圆的方程联立，求出两交点的坐标，然后运用两点间的距离公式来求．=2\*GB3②根与系数的关系法：如果直线的斜率为k，被椭圆截得弦AB两端点坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)，则弦长公式为：知识点2直线与双曲线的位置关系1、直线与双曲线的位置关系判断将双曲线方程与直线方程联立消去得到关于的一元二次方程，（1）当，即，直线与双曲线的渐近线平行，直线与双曲线只有一个交点；（2）当，即，设该一元二次方程的判别式为，若，直线与双曲线相交，有两个公共点；若，直线与双曲线相切，有一个公共点；若，直线与双曲线相离，没有公共点；注意：直线与双曲线有一个公共点时，可能相交或相切.2、直线与双曲线弦长求法若直线与双曲线（，）交于，两点，则或（）．（具体同椭圆相同）知识点3直线与抛物线的位置关系1、直线与抛物线的位置关系有三种情况相交（有两个公共点或一个公共点）；相切（有一个公共点）；相离（没有公共点）.2、以抛物线与直线的位置关系为例：（1）直线的斜率不存在，设直线方程为，若，直线与抛物线有两个交点；若，直线与抛物线有一个交点，且交点既是原点又是切点；若，直线与抛物线没有交点.（2）直线的斜率存在.设直线，抛物线，直线与抛物线的交点的个数等于方程组，的解的个数，即二次方程（或）解的个数.①若，则当时，直线与抛物线相交，有两个公共点；当时，直线与抛物线相切，有个公共点；当时，直线与抛物线相离，无公共点.②若，则直线与抛物线相交，有一个公共点.3、直线与抛物线相交弦长问题（1）一般弦长设为抛物线的弦，，，弦AB的中点为.=1\*GB3①弦长公式：（为直线的斜率，且）.=2\*GB3②,推导：由题意，知，①②由①②，得，故，即.=3\*GB3③直线的方程为.（2）焦点弦长如图，是抛物线过焦点的一条弦，设，，的中点，过点，，分别向抛物线的准线作垂线，垂足分别为点，，，根据抛物线的定义有，，故.又因为是梯形的中位线，所以，从而有下列结论；=1\*GB3①以为直径的圆必与准线相切.=2\*GB3②(焦点弦长与中点关系)=3\*GB3③.=4\*GB3④若直线的倾斜角为，则.=5\*GB3⑤，两点的横坐标之积，纵坐标之积均为定值，即，.=6\*GB3⑥为定值.一、直线与圆锥曲线位置关系1、直线与圆锥曲线有两个不同的公共点的判定：通常的方法是直线与圆锥曲线方程联立方程消元后得到一元二次方程，其中；另一方面就是数形结合，如直线与双曲线有两个不同的公共点，可通过判定直线的斜率与双曲线渐近线的斜率的大小得到．2、直线与圆锥曲线只有一个公共点则直线与双曲线的一条渐近线平行，或直线与抛物线的对称轴平行，或直线与圆锥曲线相切．【典例1】（2023·全国·高三专题练习）直线l：与椭圆C：的位置关系是（）A．相交B．相切C．相离D．不能确定【典例2】（2023·高三课时练习）直线与抛物线的位置关系为（）A．相交B．相切C．相离D．不能确定【典例3】（2023·四川成都·高三模拟预测）已知命题p：，命题q：直线与抛物线有两个公共点，则p是q的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【典例4】（2023上·江西南昌·高三校考阶段练习）已知直线与双曲线，若直线与双曲线左支交于两点，求实数的取值范围.二、直线与圆锥曲线的弦长问题设，根据两点距离公式．（1）若在直线上，代入化简，得；（2）若所在直线方程为，代入化简，得（3）构造直角三角形求解弦长，．其中为直线斜率，为直线倾斜角．【典例1】（2023·全国·高三对口高考）已知椭圆，过左焦点作倾斜角为的直线交椭圆于、两点，则弦的长为．【典例2】（2023·四川乐山·高三统考二模）已知直线与抛物线交于点、，以线段为直径的圆经过定点，则（）A．B．C．D．【典例3】（2023·新疆喀什·高三校考模拟预测）已知双曲线C两条准线之间的距离为1，离心率为2，直线l经过C的右焦点，且与C相交于A、B两点.（1）求C的标准方程；（2）若直线l与该双曲线的渐近线垂直，求AB的长度.三、求解圆锥曲线中的定点问题的两种方法1、特殊推理法：先从特殊情况入手，求出定点，再证明定点与变量无关．2、直接推理法：①选择一个参数建立直线系方程，一般将题目中给出的曲线方程(包含直线方程)中的常量当成变量，将变量x，y当成常量，将原方程转化为kf(x，y)＋g(x，y)＝0的形式(k是原方程中的常量)；②根据直线过定点时与参数没有关系(即直线系方程对任意参数都成立)，得到方程组eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(fx，y＝0，,gx，y＝0；))③以②中方程组的解为坐标的点就是直线所过的定点，若定点具备一定的限制条件，可以特殊解决．【典例1】（2022·江苏泰州·高三统考模拟预测）已知，是过点的两条互相垂直的直线，且与椭圆相交于A，B两点，与椭圆相交于C，D两点．（1）求直线的斜率k的取值范围；（2）若线段，的中点分别为M，N，证明直线经过一个定点，并求出此定点的坐标．【典例2】（2023·吉林·通化一中高三校联考模拟预测）已知曲线E上任意一点Q到定点的距离与Q到定直线的距离之比为．（1）求曲线E的轨迹方程；（2）斜率为的直线l交曲线E于B，C两点，线段BC的中点为M，点M在x轴下方，直线OM交曲线E于点N，交直线于点D，且满足（O为原点）．求证：直线l过定点．【典例3】（2022上·江苏苏州·苏州中学高三校联考阶段练习）在平面直角坐标系中，已知点在抛物线上，圆（1）若，为圆上的动点，求线段长度的最小值；（2）若点的纵坐标为4，过的直线与圆相切，分别交抛物线于（异于点），求证：直线过定点．四、圆锥曲线中的定值问题的常见类型及解题策略1、求代数式为定值：依题意设条件，得出与代数式参数有关的等式，代入代数式，化简即可得出定值；2、求点到直线的距离为定值：利用点到直线的距离公式得出距离的解析式，再利用题设条件化简变形求得；3、求某线段长度为定值：利用长度公式求得解析式，再依据条件对解析式进行化简变形即可求得．【典例1】（2023上·四川·南江中学高三校联考阶段练习）以坐标原点为对称中心，坐标轴为对称轴的椭圆过点．（1）求椭圆的方程．（2）设是椭圆上一点（异于），直线与轴分别交于两点．证明在轴上存在两点，使得是定值，并求此定值．【典例2】（2023上·广东深圳·高三统考期末）点是平面直角坐标系上一动点，两直线，，已知于点，位于第一象限；于点，位于第四象限.若四边形的面积为2.（1）若动点的轨迹为，求的方程.（2）设，过点分别作直线，交于点，.若与的倾斜角互补，证明直线的斜率为一定值，并求出这个定值.【典例3】（2023·河北衡水·高三模拟预测）已知点在抛物线上，过点的直线与相交于两点，直线分别与轴相交于点.（1）当弦的中点横坐标为3时，求的一般方程;（2）设为原点，若，求证:为定值.五、圆锥曲线中的范围、最值问题的解题方法（1）利用圆锥曲线的几何性质或判别式构造不等关系，从而确定参数的取值范围；（2）利用已知参数的范围，求新的参数的范围，解这类问题的核心是建立两个参数之间的等量关系；（3）利用隐含的不等关系建立不等式，从而求出参数的取值范围；（4）利用已知的不等关系建立不等式，从而求出参数的取值范围；（5）利用求函数值域的方法将待求量表示为其他变量的函数，求其值域，从而确定参数的取值范围.【典例1】（2022上·江苏宿迁·如东中学高三校考期中）已知为椭圆的左､右焦点，点为其上一点，且.（1）求椭圆的标准方程；（2）已知直线与椭圆相交于两点，与轴交于点，若存在，使得，求的取值范围.【典例2】（2023·河北秦皇岛·高三校联考二模）已知双曲线实轴的一个端点是，虚轴的一个端点是，直线与双曲线的一条渐近线的交点为.（1）求双曲线的方程；（2）若直线与曲线有两个不同的交点是坐标原点，求的面积最小值.【典例3】（2023·全国·高三模拟预测）已知是抛物线的焦点，过点的直线交抛物线于、两点，且．（1）求抛物线的方程；（2）若为坐标原点，过点作轴的垂线交直线于点，过点作直线的垂线与抛物线的另一交点为，的中点为，求的取值范围．六、圆锥曲线中的证明问题1、圆锥曲线中的证明问题，常见的有位置关系方面的，如证明相切、垂直、过定点等；数量关系方面的，如存在定值、恒成立、值相等、角相等、三点共线等．在熟悉圆锥曲线的定义和性质的前提下，要多采用直接法证明，但有时也会用到反证法．【典例1】（2023·全国·高三专题练习）已知椭圆过和两点.（1）求椭圆C的方程；（2）如图所示，记椭圆的左、右顶点分别为A，B，当动点M在定直线上运动时，直线，分别交椭圆于两点P和Q（不同于B，A）.证明：点B在以为直径的圆内.【典例2】（2023上·福建泉州·高三校考阶段练习）点是抛物线：（）的焦点，为坐标原点，过点作垂直于轴的直线，与抛物线相交于，两点，，抛物线的准线与轴交于点．（1）求抛物线的方程；（2）设、是抛物线上异于、两点的两个不同的点，直线、相交于点，直线、相交于点，证明：、、三点共线．七、圆锥曲线中的探索性问题“肯定顺推法”解决探索性问题，即先假设结论成立，用待定系数法列出相应参数的方程，倘若相应方程有解，则探索的元素存在(或命题成立)，否则不存在(或不成立)．【典例1】（2023下·河南开封·通许一中高三校考阶段练习）已知椭圆过点和．（1）求C的方程；（2）不过原点的直线与交于不同的两点，且直线的斜率成等比数列．在上是否存在一点，使得四边形为平行四边形？若存在，求出直线的方程；若不存在，请说明理由．【典例2】（2023上·重庆·高三统考阶段练习）已知抛物线经过点，直线与交于，两点（异于坐标原点）．（1）若，证明：直线过定点．（2）已知，直线在直线的右侧，，与之间的距离，交于，两点，试问是否存在，使得？若存在，求的值；若不存在，说明理由．【典例3】（2023上·重庆·南开中学高三校考阶段练习）已知双曲线的左、右顶点分别为A、B，渐近线方程为，焦点到渐近线距离为1，直线与C左右两支分别交于P，Q，且点在双曲线C上.记和面积分别为，，，的斜率分别为，（1）求双曲线C的方程；（2）若，试问是否存在实数，使得，，.成等比数列，若存在，求出的值，不存在说明理由.易错点2忽视直线与双曲线相交的特殊性点拨：直线与双曲线的位置关系分为：相交、相离、相切三种。其判定方法有两种一是将直线方程与双曲线的方程联立消去一个未知数，得到一个一元二次方程，（1）若，直线与双曲线相交，有两个交点；若，直线与渐进线平行，有一个交点（2）若，直线与双曲线相切，有且只有一个公共点；（3）若，直线与双曲线相离，没有公共点；二是可以利用数形结合的思想【典例1】（2023·重庆·统考高三二模）已知点和双曲线，过点且与双曲线只有一个公共点的直线有（）A．2条B．3条C．4条D．无数条【典例2】（2022·吉林·东北师大附中高三校考模拟预测）过点且与双曲线有且只有一个公共点的直线有（）条．A．0B．2C．3D．4易错点2忽视特殊性误判直线与抛物线的位置关系点拨：在直线与抛物线的位置关系中存在特殊情况，即直线与抛物线对称轴平行时只有一个交点。在解题时要注意，不要忘记其特殊性．【典例1】（2023·全国·高三校联考期末）过点作直线，使它与抛物线仅有一个公共点，这样的直线有（）A．1条B．2条C．3条D．4条【典例2】（2023·全国·高三专题练习）已知直线与曲线恰有一个公共点，则实数a的值为.易错点3解决直线与圆锥曲线位置关系时忽视对直线斜率不存在的讨论点拨：解决直线与圆锥曲线位置关系时，常规的方法是设出直线方程，然后与