函数的极值与导数

函数的极值与导数跳水运动中,运动员相对于水面的高度h(单位：米)与起跳后的时间t(单位：秒)存在函数关系h(t)=-4.9t2+6.5t+10其图象如右.单调递增单调递减对于d点函数y=f(x)在点x=d的函数值f(d)比在其附近其他点的函数值都小，=0

。在点x=d附近的左侧<0在点x=d附近的右侧>0我们把点d叫做函数y=f(x)的极小值点，f(d)叫做函数y=f(x)的极小值。在点x=e附近的左侧>0在点x=e附近的右侧<0对于e点函数y=f(x)在点x=e的函数值f(e)比在其附近其他点的函数值都大，=0。我们把点e叫做函数y=f(x)的极大值点，f(e)叫做函数y=f(x)的极大值。极小值点、极大值点统称为极值点极小值、极大值统称为极值极大值一定大于极小值吗？(1)极值是一个局部概念,反映了函数在某一点附近的大小情况;(2)极值点是自变量的值，极值指的是函数值;(3)函数的极大(小)值可能不止一个,而且函数的极大值未必大于极小值;【关于极值概念的几点说明】(4)函数的极值点一定在区间的内部，区间的端点不能成为极值点。例1、求函数f(x)=x3-12x+12的极值。解：=3x2-12=3(x-2)(x+2)令=0得x=2,或x=-2下面分两种情况讨论：(1)当>0即x>2,或x<-2时;(2)当<0即-2<x<2时;

x

(-∞,-2)-2

(-2,2)2

(2,+∞)+0

-0+f(x)单调递增↗28单调递减↘-4单调递增↗当x变化时，,f(x)的变化情况如下表；因此，当x=-2时，f(x)有极大值，并且极大值为f(-2)=28当x=2时，f(x)有极小值，并且极小值为f(2)=-4图象如右

（1）如图是函数的图象,试找出函数的极值点,并指出哪些是极大值点,哪些是极小值点？（2）如果把函数图象改为导函数的图象?随堂练习答：1、x1,x3,x5,x6是函数y=f(x)的极值点，其中x1,x5是函数y=f(x)的极大值点，x3,x6函数y=f(x)的极小值点。2、x2,x4是函数y=f(x)的极值点,其中x2是函数y=f(x)的极大值点，x4是函数y=f(x)的极小值点。2已知汽车在笔直的公路上行驶：（1）如果函数y=f(x)表示时刻t时汽车与起点的距离，请标出汽车速度等于0的点（2）如果函数y=f(x)表示时刻t时汽车的速度，那么（1）中标出点的意义是什么？y=f(t)练习3、求函数f(x)=6+12x-x3的极值=12-3x2=3(4-x2)=3(2-x)(2+x)x(-∞,-2)-2(-2,2)2(2,+∞)-0+0

-f(x)↘-10↗22↘一般地,求函数的极值的方法是:解方程=0.当=0时.①如果在x0附近的左侧右侧那么,f(x0)是极大值;②如果在x0附近的左侧右侧那么,f(x0)是极小值.即“峰顶”即“谷底”例2、已知函数f(x)=ax3+bx2-2x在x=-2,x=1

处取得极值：(1)求函数的解析式；(2)求函数f(x)的单调区间。解：(1)=3ax2+2bx-2因为f(x)在x=-2,x=1处取得极值，所以解得

=3ax2+2bx-2即f(x)=ax3+bx2-2x=x2+x-2由>0,得x<-2或x>1,所以f(x)的单调增区间为(-∞,-2)∪(1,+∞)由<0,得-2<x<1,所以f(x)的单调减区间为(-2,1)4若函数在x=-1和x=3时有极值