专题1.4 数轴与动点经典题型（四大题型）（解析版）

专题1.4数轴与动点经典题型（四大题型）重难点题型归纳【题型1最值问题】【题型2线段的和倍差问题】【题型3数轴与行程相遇综合问题】【题型4数轴上新定义问题】满分必练【题型1最值问题】【典例1】（2023•五华县校级开学）已知b是最小的正整数，且（c﹣5）2与|a+b|互为相反数．（1）填空：a＝﹣1，b＝1，c＝5；（2）若P为一动点，其对应的数为x，点P在0和2表示的点之间运动，即0≤x≤2时，化简：|x+1|﹣|x﹣1|+2|x+5|（请写出化简过程）；（3）如图，a，b，c在数轴上所对应的点分别为A，B，C，在（1）的条件下，若点A以1个单位长度/s的速度向左运动，同时，点B和点C分别以2个单位长度/s和5个单位长度/s的速度向右运动．ts后，若点B与点C之间的距离表示为BC，点A与点B之间的距离表示为AB．请问：BC﹣AB的值是否随着时间t的变化而改变？若变化，请说明理由；若不变，请求其值．【答案】（1）﹣1，1，5；（2）4x+10或2x+12；（3）2．【解答】解：（1）依题意得，b＝1，c﹣5＝0，a+b＝0，解得a＝﹣1，c＝5．故答案为：﹣1，1，5；（2）点P在0和2表示的点之间运动，即0≤x≤2时，当0≤x≤1时，x+1＞0，x﹣1≤0，x+5＞0，原式＝x+1+x﹣1+2x+10＝4x+10；当1＜x≤2时，x+1＞0，x﹣1＞0，x+5＞0，原式＝x+1﹣x+1+2x+10＝2x+12．综上可知，|x+1|﹣|x﹣1|+2|x+5|＝4x+10或2x+12；（3）不变，理由：t秒后A点表示的数是﹣1﹣t，B点表示的数是1+2t，C的表示的数是5+5t，∵AB＝1+2t﹣（﹣1﹣t）＝3t+2，BC＝5+5t﹣（1+2t）＝3t+4，∴BC﹣AB＝2，∴BC﹣AB的值不变，是2．【变式1-1】（2022秋•广阳区校级期末）结合数轴与绝对值的知识回答下列问题：（1）探究：①数轴上表示5和3的两点之间的距离是2．②数轴上表示﹣1和﹣4的两点之间的距离是3．③数轴上表示﹣3和5的两点之间的距离是8．（2）归纳：一般的，数轴上表示数a和数b的两点之间的距离等于|a﹣b|．（3）应用：①若数轴上表示数a的点位于﹣4与3之间，则|a+4|+|a﹣3|的值＝7．②若a表示数轴上的一个有理数，且|a﹣1|＝|a+3|，则a＝﹣1．③若a表示数轴上的一个有理数，|a﹣1|+|a+2|的最小值是3．④若a表示数轴上的一个有理数，且|a+3|+|a﹣5|＞8，则有理数a的取值范围是a＞5或a＜﹣3．（4）拓展：已知，如图2，A、B分别为数轴上的两点，A点对应的数为﹣20，B点对应的数为100．若当电子蚂蚁P从A点出发，以4个单位/秒的速度向右运动，同时另一只电子蚂蚁Q恰好从B点出发，以3单位/秒的速度向左运动，求经过多长时间两只电子蚂蚁在数轴上相距20个单位长度，并写出此时点P所表示的数．【答案】（1）①2，②3，③8；（2）|a﹣b|；（3）①7，②﹣1，③，3④a＞5或＜﹣3；（4）或60．【解答】解：（1）①5﹣3＝2，故答案为：2；②（﹣1）﹣（﹣4）＝3，故答案为：3；③5﹣（﹣3）＝8，故答案为：8；（2）根据数轴上两点间的距离得|a﹣b|，故答案为：|a﹣b|；（3）①∵表示数a的点位于﹣4与3之间，∴|a+4|+|a﹣3|＝a+4+3﹣a＝7，故答案为：7；②∵|a﹣1|＝|a+3|∴表示数a的点在1和﹣3之间，∴|a﹣1|＝|a+3|，1﹣a＝a+3，a＝﹣1，故答案为：﹣1；③∵|a﹣1|+|a+2|有最小值，∴表示a的点在﹣2与1之间，∴|a﹣1|+|a+2|＝1﹣a+a+2＝3，故答案为：3；④|a+3|+|a﹣5|＞8，当﹣3＜a＜5时，|a+3|+|a﹣5|＝a+3+5﹣a＝8，不合题意舍去；当a＜﹣3时，|a+3|+|a﹣5|＝﹣（a+3）+5﹣a＞8，a＜﹣3；当a＞5时，|a+3|+|a﹣5|＞8，a+3+a﹣5＞8，a＞5，故答案为：a＜﹣3或a＞5；（4）设电子蚂蚁运动x秒时，P、Q相距20个单位长度，①4x+3x+20＝20+100，x＝，点P表示的是4×﹣20＝②4x+3x﹣20＝20+100，x＝20，点P表示的是4×20﹣20＝60，【变式1-2】（2022秋•玉屏县期中）我国著名数学家华罗庚说过“数缺形时少直观，形少数时难入微”，数形结合是解决数学问题的重要思想方法．例如，代数式|x﹣3|的几何意义是数轴上x所对应的点与3所对应的点的之间距离．因为|x+2|＝|x﹣（﹣2）|，所以|x+2|的几何意义是数轴上x所对应的点与﹣2所对应的点的之间距离．（1）发现问题：|x+2|+|x﹣3|的最小值是多少？（2）探究问题：如图，点A，B，P分别表示数﹣2，3，x，AB＝5．∵|x+2|+|x﹣3|的几何意义是线段PA与PB的长度之和，∴当点P在线段AB上时，PA+PB＝5，当点P在点A的左侧或点B的右侧时，PA+PB＞5，∴|x+2|+|x﹣3|的最小值是5．（3）解决问题：①|x﹣1|+|x+3|的最小值是4；②利用上述思想方法解不等式：|x+3|+|x﹣4|＞7；③当m为何值时，代数式|x+m|+|x﹣7|的最小值是6．【答案】①4；②x＜﹣3或x＞4；③m＝﹣1或m＝﹣13．【解答】解：①如图，点A，B，P分别表示数﹣3，1，x，AB＝4，∵|x﹣1|+|x+3|的几何意义是线段PA与PB的长度之和，∴当点P在线段AB上时，PA+PB＝4，当点P在点A的左侧或点B的右侧时，PA+PB＞4，∴|x﹣1|+|x+3|的最小值是4；故答案为：4；②如图，点A，B，P分别表示数﹣3，4，x，AB＝7．∵|x+3|+|x﹣4|的几何意义是线段PA与PB的长度之和，∴当点P在线段AB上时，PA+PB＝7，当点P在点A的左侧或点B的右侧时，PA+PB＞7，∴|x+3|+|x﹣4|的解集是x＜﹣3或x＞4．③点A，B，P分别表示数﹣m，7，x，AB＝|7﹣（﹣m）|＝|7+m|．∵|x+m|+|x﹣7|的几何意义是线段PA与PB的长度之和，∴当点P在线段AB上时，PA+PB的最小值为AB＝|7+m|＝6，∴m＝﹣1或m＝﹣13．【变式1-3】（2022春•南谯区期中）阅读下面材料：点A、B在数轴上分别表示有理数a、b，在数轴上A、B两点之间的距离AB＝|a﹣b|．回答下列问题：（1）数轴上表示﹣3和2两点之间的距离是5，数轴上表示x和﹣4的两点之间的距离是|x+4|；（2）数轴上表示x和1的两点之间的距离为5，则x表示的数为6或﹣4；（3）若x表示一个有理数，则|x+1|+|x﹣7|有最小值吗？若有，请求出最小值；若没有，请说明理由．【答案】（1）5，|x+4|；（2）6或﹣4；（3）|x+1|+|x﹣7|的最小值为8．【解答】解：（1）数轴上表示﹣3和2两点之间的距离是|﹣3﹣2|＝5，数轴上表示x和﹣4的两点之间的距离是|x﹣（﹣4）|＝|x+4|，故答案为：5，|x+4|；（2）根据题意得|x﹣1|＝5，∴x﹣1＝5或x﹣1＝﹣5，解得x＝6或x＝﹣4，故答案为：6或﹣4；（3）|x+1|+|x﹣7|有最小值，理由如下：当x＜﹣1时，|x+1|+|x﹣7|＝﹣x﹣1+（﹣x+7）＝﹣2x+6，∵x＜﹣1，∴﹣2x+6＞8，即此时|x+1|+|x﹣7|大于8；当﹣1≤x≤7时，|x+1|+|x﹣7|＝x﹣1+（﹣x+7）＝8；当x＞7时，|x+1|+|x﹣7|＝x+1+x﹣7＝2x﹣6，∵x＞7，∴2x﹣6＞8，即此时|x+1|+|x﹣7|大于8；综上所述，|x+1|+|x﹣7|的最小值为8．【变式1-4】（2022春•南岗区校级期中）我们知道数形结合是解决数学问题的重要思想方法，例如|3﹣1|可表示为数轴上3和1这两点的距离，而|3+1|即|3﹣（﹣1）|则表示3和﹣1这两点的距离．式子|x﹣1|的几何意义是数轴上x所对应的点与1所对应的点之间的距离，而|x+2|＝|x﹣（﹣2）|，所以|x+2|的几何意义就是数轴上x所对应的点与﹣2所对应的点之间的距离．根据以上发现，试探索：（1）直接写则|8﹣（﹣2）|＝10；（2）结合数轴，找出所有符合条件的整数x，|x﹣2|+|x+3|＝5的所有整数的和．（3）由以上探索猜想，对于任何有理数x，|x+4|+|x﹣6|是否有最小值？如果有，请写出最小值并说明理由；如果没有，请说明理由．【答案】（1）10；（2）﹣3；（3）10；理由见解析．【解答】解：（1）|8﹣（﹣2）|＝|8+2|＝|10|＝10；故答案为：10；（2）∵|x﹣2|+|x+3|＝5，∴到2和﹣3的距离的和等于5的x的范围是﹣3≤x≤2，∴整数x＝﹣3，﹣2，﹣1，0，1，2∴它们的和是﹣3+（﹣2）+（﹣1）+0+1+2＝﹣3．故答案为：﹣3；（3）对于任意x，有最小值是10，此时﹣4≤x≤6．因为，|x+4|+|x﹣6|表示的是一个数到﹣4和6的距离的和，而﹣4和6间的距离为10，所以最小距离就是10．故答案为：10．【变式1-5】（2022秋•江岸区校级月考）（1）阅读材料：从代数角度上看，数轴上两点间的距离等于这两点所对应的数的差的绝对值；从几何角度上看，数轴上两点间的距离等于以这两点为端点组成的线段的长度．例如：点A、B在数轴上分别对应的数为a、b，则A、B两点间的距离可表示为|a﹣b|＝AB．（完成下面填空）Ⅰ．数轴上有三点A、B、P，分别对应的数为﹣3、2、x．如图①，当x≤﹣3时，|x+3|+|x﹣2|＝PA+PB＝PA+PA+AB＝2PA+AB＝2PA+5；如图②，当﹣3≤x≤2时，|x+3|+|x﹣2|＝PA+PB＝AB＝5；如图③，当x≥2时，|x+3|+|x﹣2|＝PA+PB＝PB+AB+PB＝2PB+AB＝2PB+5．Ⅱ．由Ⅰ可得：∵PA≥0，PB≥0，∴2PA+5≥5，2PB+5≥5，∴|x+3|+|x﹣2|在﹣3≤x≤2时有最小值为5．（2）直接应用：求|x﹣4|+|x+5|的最小值．（3）应用拓展：若S＝|x﹣1|+|x+2|+|x﹣6|，当﹣2≤x≤6时，直接写出S的取值范围8≤S≤13．【答案】（1）ⅠAB，2PB；Ⅱ5；（2）9；（3）8≤S≤13．【解答】解：（1）Ⅰ如图②，当﹣3≤x≤2时，|x+3|+|x﹣2|＝PA+PB＝AB＝5，故答案为：AB；如图③，当x≥2时，|x+3|+|x﹣2|＝PA+PB＝PB+AB+PB＝2PB+AB＝2PB+5，故答案为：2PB；Ⅱ由Ⅰ可得：∵PA≥0，PB≥0，∴2PA+5≥5，2PB+5≥5，∴|x+3|+|x﹣2|在﹣3≤x≤2时有最小值为5，故答案为：5；（2）|x﹣4|+|x+5|所表示的意义为：数轴表示数x点到表示数4，数﹣5点的距离之和，当﹣5≤x≤4时，|x﹣4|+|x+5|的最小值为|﹣4﹣5|＝9，答：|x﹣4|+|x+5|的最小值为9；（3）S＝|x﹣1|+|x+2|+|x﹣6|，当﹣2≤x≤6时，S＝|x﹣1|+8，当x＝1时，S的值最小为8，当x＝6时，S的值最大为13，所以S的值的取值范围为8≤S≤13，故答案为：8≤S≤13．【变式1-6】（2023春•南岗区校级月考）【问题提出】|a﹣1|+|a﹣2|+|a﹣3|+…+|a﹣2021|的最小值是多少？【阅读理解】为了解决这个问题，我们先从最简单的情况入手．|a|的几何意义是a这个数在数轴上对应的点到原点的距离，那么|a﹣1|可以看作a这个数在数轴上对应的点到1的距离；|a﹣1|+|a﹣2|就可以看作a这个数在数轴上对应的点到1和2两个点的距离之和．下面我们结合数轴研究|a﹣1|+|a﹣2|的最小值．我们先看a表示的点可能的3种情况，如图所示：（1）如图①，a在1的左边，从图中很明显可以看出a到1和2的距离之和大于1．（2）如图②，a在1和2之间（包括在1，2上），可以看出a到1和2的距离之和等于1．（3）如图③，a在2的右边，从图中很明显可以看出a到1和2的距离之和大于1．所以a到1和2的距离之和最小值是1．【问题解决】（1）|a﹣3|+|a﹣6|的几何意义是a这个数在数轴上对应的点到表示3和6两个数的点的距离之和；请你结合数轴探究：|a﹣3|+|a﹣6|的最小值是3；（2）请你结合图④探究：|a﹣1|+|a﹣2|+|a﹣3|的最小值是2，此时a为2；（3）|a﹣1|+|a﹣2|+|a﹣3|+|a﹣4|+|a﹣5|+|a﹣6|的最小值为9；（4）|a﹣1|+|a﹣2|+|a﹣3|+…|a﹣101|的最小值为1021110．【拓展应用】如图⑤，已知a到﹣1，2的距离之和小于4，请写出a的范围为﹣1.5＜a＜2.5．【答案】【问题解决】（1）a这个数在数轴上对应的点到表示3和6两个数的点的距离之和；3；（2）2；2；（3）9；（4）1021110；【拓展应用】﹣1.5＜a＜2.5．【解答】解（1）根据题目提供的方法，可知：a这个数在数轴上对应的点到表示3和6两个数的点的距离之和；此时最小值为3；故答案为：a这个数在数轴上对应的点到表示3和6两个数的点的距离之和；3；（2）根据题目提供的方法，可知：|a﹣1|+|a﹣2|+|a﹣3|当a处于1和3的中点2，即a＝2时最小，最小值为：|2﹣1|+|2﹣2|+|2﹣3|＝2；故答案为：2；2；（3）根据题目提供的方法，可知：当a在1和6之间，且处于中段，即a处于3和4之间时，所求式子|a﹣1|+|a﹣2|+|a﹣3|+|a﹣4|+|a﹣5|+|a﹣6|最小；不妨取a＝3，最小值为：|3﹣1|+|3﹣2|+|3﹣3|+|3﹣4|+|3﹣5|+|3﹣6|＝9；故答案为：9；（4）1，2，3，4，5……2021的中间数为：1011∴|a﹣1|+|a﹣2|+|a﹣3|+⋅⋅⋅+|a﹣2021|＝1011﹣1+1011﹣2+1011﹣3﹣⋅⋅⋅+2021﹣1011＝1010+1009+1008+⋅⋅⋅+1+0+1+2+3+⋅⋅⋅+1010＝1010×（1010+1）＝1000×1011+10×1011＝1011000+10110＝1021110；故答案为：1021110；【拓展应用】∵a使它到﹣1，2的距离之和小于4，∴|a﹣（﹣1）|+|a﹣2|＜4，∴①当a＞2时，则有a﹣（﹣1）+a﹣2＜4，解得：a＜2.5．∴2≤a＜2.5；②当﹣1＜a＜2时，则有a﹣（﹣1）+2﹣a＝3＜4，∴﹣1＜a＜2；③当a≤﹣1时，则有﹣1﹣a+2﹣a＜4，解得：a＞﹣1.5，∴﹣1.5＜a≤1；由①②③不得式得出：﹣1.5＜a＜2.5．故答案为：﹣1.5＜a＜2.5．【题型2线段的和倍差问题】【方法技巧】两点之间的距离：大的数减去小的数注：（1）已知两点的距离和较大数，较小数=较大数－距离；（2）已知两点的距离和较小数，较大数=较小数+距离.2、两点的中点公式：.3、解题方法：（1）遇动点问题注意动点的起始位置以及方向和速度；（2）当无法比较两数大小的时候，求两者之间的距离时需要添加绝对值；（3）若遇相遇或追击问题，通常抓路程作为列等量关系的依据.【典例2】（2022秋•泉港区期末）如图，已知点O为数轴的原点，点A、B、C、D在数轴上，其中A、B两点对应的数分别为﹣1、3．（1）填空：线段AB的长度AB＝4；（2）若点A是BC的中点，点D在点A的右侧，且OD＝AC，点P在线段CD上运动．问：该数轴上是否存在一条线段，当P点在这条线段上运动时，PA+PB的值随着点P的运动而没有发生变化？（3）若点P以1个单位/秒的速度从点O向右运动，同时点E从点A以5个单位/秒的速度向左运动、点F从点B以20个单位/秒的速度向右运动，M、N分点别是PE、OF的中点．点P、E、F的运动过程中，的值是否发生变化？请说明理由．【答案】（1）4；（2）数轴上存在一条线段，当P点在这条线段上运动时，PA+PB的值随着点P的运动而没有发生变化，理由见解析；（3）在运动过程中，的值不发生变化，理由见解析．【解答】解：（1）∵A、B两点对应的数分别为﹣1、3，∴OA＝1，OB＝3，∴AB＝OA+OB＝4．故答案为：4；（2）数轴上存在一条线段，当P点在这条线段上运动时，PA+PB的值随着点P的运动而没有发生变化．理由：A、B两点对应的数分别为﹣1、3，∴OA＝1，OB＝3，∵点A是BC的中点，∴AC＝AB＝4．∴OC＝AC+OA＝5，∴C点对应的数为﹣5．又∵OD＝AC，点D在点A的右侧，∴D点对应的数为4．设P点对应的数为x，①P点在射线CA上时，PA＝﹣1﹣x，PB＝3﹣x，∴PA+PB＝﹣1﹣x+（3﹣x）＝2﹣2x，∴PA+PB的值随着点P的运动而发生变化；②P点在线段AB上时，PA＝x﹣（﹣1）＝x+1，PB＝3﹣x，∴PA+PB＝x+1+（3﹣x）＝4，∴PA+PB的值随着点P的运动没有发生变化；③P点在射线BD上时，PA＝x﹣（﹣1）＝x+1，PB＝x﹣3，∴PA+PB＝x+1+（x﹣3）＝2x﹣2，∴PA+PB的值随着点P的运动而发生变化．综上，P点在线段AB上时，PA+PB的值没有发生变化，∴数轴上存在一条线段，当P点在这条线段上运动时，PA+PB的值随着点P的运动而没有发生变化；（3）在运动过程中，的值不发生变化．理由：设运动时间为t分钟，则OP＝t，OE＝5t+1，OF＝20t+3，∴EF＝OE+OF＝25t+4，∵M、N分别是PE、OF的中点，∴EM＝PM＝PE＝（OP+OE）＝3t+，ON＝OF＝10t+，∴OM＝OE﹣EM＝5t+1﹣（3t+）＝2t+，∴MN＝OM+ON＝12t+2，∴．∴在运动过程中，的值不发生变化．【变式2-1】（2022秋•越秀区校级期末）如图，已知数轴上A，B两点表示的数分别为﹣1，3，点P为数轴上一动点，其表示的数为x．（1）若点P为AB的中点，则x的值为1；（2）若点P在原点的右侧，且到点A，B的距离之和为8，则x的值为5；（3）某时刻点A，B分别以每秒2个单位长度和每秒0.5个单位长度的速度同时沿数轴向右运动，同时点P以每秒6个单位长度的速度从表示数1的点向左运动．求当点A，B之间的距离为3个单位长度时，点P表示的数．【答案】（1）1；（2）5；（3）﹣3或﹣27．【解答】解：（1）∵数轴上A，B两点表示的数分别为﹣1，3，点P为AB的中点，其表示的数为x，∴x＝＝1；故答案为：1；（2）∵数轴上A，B两点表示的数分别为﹣1，3，∴AB＝3﹣（﹣1）＝4，∵点P在原点的右侧，且到点A，B的距离之和为8，∴x﹣3+x+1＝8，∴x＝5，故答案为：5；（3）设运动时间为t秒，则运动后点A表示：﹣1+2t，点B表示3+0.5t，点P表示：x＝1﹣6t，∵点A，B之间的距离为3个单位长度，∴（3+0.5t）﹣（﹣1+2t）＝±3，解得：t＝或，∴x＝1﹣6×＝﹣3或x＝1﹣6×＝﹣27；答：点P表示的数是﹣3或﹣27．【变式2-2】（2023•紫金县校级开学）如图：在数轴上A点表示数﹣3，B点示数1，C点表示数9．（1）若将数轴折叠，使得A点与C点重合，则点B与数表示的点重合；（2）若点A、点B和点C分别以每秒2个单位、1个单位长度和4个单位长度的速度在数轴上同时向左运动．①若t秒钟过后，A，B，C三点中恰有一点为另外两点的中点，求t值；②当点C在B点右侧时，是否存在常数m，使mBC﹣2AB的值为定值，若存在，求m的值，若不存在，请说明理由．【答案】（1）5；（2）①1或4或16；②存在，m＝﹣．【解答】解：（1）AB＝9﹣（﹣3）＝12，12÷2＝6，AB的中点表示的数为：9﹣6＝3，3﹣1＝2，3+2＝5，则点B与5表示的点重合；（2）①由题意可知，t秒时，A点所在的数为：﹣3﹣2t，B点所在的数为：1﹣t，C点所在的数为：9﹣4t，（i）若B为AC中点，则．∴t＝1；（ii）若C为AB中点，则，∴t＝4；（iii）若A为BC中点，则，∴t＝16，∴综上，当t＝1或4或16时，A，B，C三点中恰有一点为另外两点的中点；②假设存在．∵C在B右侧，B在A右侧，∴BC＝9﹣4t﹣（1﹣t）＝8﹣3t，AB＝1﹣t﹣（﹣3﹣2t）＝4+t，mBC﹣2AB＝m（8﹣3t）﹣2（4+t）＝8m﹣3mt﹣8﹣2t＝8m﹣8﹣（3mt+2t）＝8m﹣8﹣（3m+2）t，当3m+2＝0即m＝时，mBC﹣2AB＝8×（﹣）﹣8＝﹣为定值，∴存在常数m＝﹣，使mBC﹣2AB的值为定值．【变式2-3】（2022秋•阳新县校级期末）已知在数轴上A，B两点对应数分别为﹣4，20．（1）若P点为线段AB的中点，求P点对应的数．（2）若点A、点B同时分别以2个单位长度/秒的速度相向运动，点M（M点在原点）同时以4个单位长度/秒的速度向右运动．①几秒后点M到点A、点B的距离相等？求此时M对应的数．②是否存在M点，使3MA＝2MB？若存在，求出点M对应的数；若不存在，请说明理由．【答案】见试题解答内容【解答】解：（1）P点表示的数是＝8；（2）①如图，设t秒后点M到点A、点B的距离相等，AM＝4t﹣（﹣4+2t）＝2t+4，BM＝20﹣2t﹣4t＝20﹣6t，则2t+4＝20﹣6t，解得t＝2，M表示2×4＝8．A、B重合时，MA＝BM，此时t＝6，此时M表示24．②如图①，AM＝4t﹣（﹣4+2t）＝2t+4，BM＝20﹣2t﹣4t＝20﹣6t，∵3MA＝2MB，∴3（2t+4）＝2（20﹣6t），∴t＝，∴点M表示×4＝；如图②，AM＝4t﹣（﹣4+2t）＝2t+4，BM＝2t+4t﹣20＝6t﹣20，∵3MA＝2MB，∴3（2t+4）＝2（6t﹣20），∴t＝，∴点M表示×4＝．【变式2-4】（2022•东阳市校级开学）如图，半径为1个单位的圆片上有一点Q与数轴上的原点重合（提示：圆的周长C＝2πr，本题中π的取值为3.14．（1）把圆片沿数轴向右滚动2周，点Q到达数轴上点A的位置，点A表示的数是12.56；（2）圆片在数轴上向右滚动的周数记为正数，圆片在数轴上向左滚动的周数记为负数，依次运动情况记录如下：+2，﹣1，+4，﹣5，+2，﹣3①哪两次滚动后Q点到原点的距离相等？②当圆片第7次滚动结束时Q点恰好回到原点，第7次圆片向什么方向滚动了多少周？此时点Q运动的路程共有多少？【答案】（1）12.56；（2）①第1次和第5次或第2次和第6次滚动后Q点距离原点相等；②Q点第7次向右滚动了一周，点Q运动的路程共有113.04．【解答】解：（1）2×3.14×1×2＝12.56；故答案为：12.56；（2）①第1次和第5次或第2次和第6次滚动后Q点距离原点相等：2，2﹣1＝1，1+4＝5，5﹣5＝0，0+2＝2，2﹣3＝﹣1，|2|＝|﹣2|，|1|＝|﹣1|；②由于﹣1+1＝0，所以Q点第7次向右滚动了一周；Q点运动的路程共有：|2|+|﹣1|+|+4|+|﹣5|+|+2|+|﹣3|+|1|＝18，18×2π＝113.04．【变式2-5】（2022秋•宛城区校级期末）如图，在数轴上A点表示数a，B点表示数b，C点表示数c，b是最小的正整数，且a、c满足|a+2|+（c﹣7）2＝0．（1）a＝﹣2，b＝1，c＝7；（2）若将数轴折叠，使得A点与C点重合，则点B与数4对应的点重合；（3）若点A、B、C是数轴上的动点，点A以每秒1个单位长度的速度向左运动，同时，点B和点C分别以每秒2个单位长度和4个单位长度的速度向右运动，点A与点B之间的距离表示为AB，点B与点C之间的距离表示为BC，那么3BC﹣2AB的值是否随着运动时间t（秒）的变化而改变？若变化，请说明理由；若不变，请求出其值．【答案】（1）﹣2，1，7；（2）4；（3）不变，理由见解答．【解答】解：（1）∵|a+2|+（c﹣7）2＝0，∴a+2＝0，c﹣7＝0，解得a＝﹣2，c＝7，∵b是最小的正整数，∴b＝1，故答案为：﹣2，1，7；（2）∵（7+2）÷2＝4.5，∴对称点为7﹣4.5＝2.5，2.5+（2.5﹣1）＝4，故答案为：4；（3）不变，理由如下：∵点A以每秒1个单位长度的速度向左运动，点B和点C分别以每秒2个单位长度和4个单位长度的速度向右运动，∴t秒钟过后，点A表示的数为﹣2﹣t，点B表示的数为1+2t，点C表示的数为7+4t，∴AB＝1+2t﹣（﹣2﹣t）＝1+2t+2+t＝3t+3，BC＝7+4t﹣（1+2t）＝7+4t﹣1﹣2t＝2t+6，∴3BC﹣2AB＝3（2t+6）﹣2（3t+3）＝6t+18﹣6t﹣6＝12，∴3BC﹣2AB的值不随着时间t的变化而改变．【变式2-6】（2022秋•黄埔区校级期末）数轴上两点A、B，A在B左边，原点O是线段AB上的一点，已知AB＝4，且OB＝3OA．点A、B对应的数分别是a、b，点P为数轴上的一动点，其对应的数为x．（1）a＝﹣1，b＝3，并在数轴上面标出A、B两点；（2）若PA＝2PB，求x的值；（3）若点P以每秒2个单位长度的速度从原点O向右运动，同时点A以每秒1个单位长度的速度向左运动，点B以每秒3个单位长度的速度向右运动，设运动时间为t秒．请问在运动过程中，3PB﹣PA的值是否随着时间t的变化而改变？若变化，请说明理由；若不变，请求其值．【答案】（1）﹣1，3；图形见解答；（2）或7；（3）3PB﹣PA的值为定值8，不随时间变化而变化．【解答】解：（1）因为AB＝4，且OB＝3OA．A，B对应的数分别是a、b，所以a＝﹣1，b＝3．故答案为：﹣1，3．（2）①当P点在A点左侧时，PA＜PB，不合题意，舍去．②当P点位于A、B两点之间时，因为PA＝2PB，所以x+1＝2（3﹣x），所以x＝．②当P点位于B点右侧时，因为PA＝2PB，所以x+1＝2（x﹣3），所以x＝7．故x的值为或7．（3）t秒后，A点的值为（﹣1﹣t），P点的值为2t，B点的值为（3+3t），所以3PB﹣PA＝3（3+3t﹣2t）﹣[2t﹣（﹣1﹣t）]＝9+3t﹣（2t+1+t）＝9+3t﹣3t﹣1＝8．所以3PB﹣PA的值为定值，不随时间变化而变化．【变式2-7】（2022秋•承德期中）如图所示，在数轴上点A，B，C表示的数分别为﹣2，0，6．点A与点B之间的距离表示为AB，点B与点C之间的距离表示为BC，点A与点C之间的距离表示为AC．（1）AB＝2，BC＝6，AC＝8；（2）点A，B，C开始在数轴上运动，若点A以每秒1个单位长度的速度向左运动，同时点B和点C分别以每秒2个单位长度和5个单位长度的速度向右运动．①设运动时间为t，请用含有t的算式分别表示出AB，BC，AC；②在①的条件下，请问：BC﹣AB的值是否随着运动时间t的变化而变化？若变化，请说明理由；若不变，请求其值．【答案】见试题解答内容【解答】解：（1）AB＝|﹣2﹣0|＝2，BC＝|0﹣6|＝6，AC＝|﹣2﹣6|＝8，故答案为：2，6，8．（2）①移动t秒后，点A所表示的数为（﹣2﹣t），点B所表示的数为2t，点C所表示的数为（6+5t），因此，AB＝2t﹣（﹣2﹣t）＝3t+2，BC＝（6+5t）﹣2t＝3t+6，AC＝6+5t﹣（﹣2﹣t）＝6t+8，②BC﹣AB＝3t+6﹣（3t+2）＝4，答：BC﹣AB的值不会随着运动时间t的变化而变化，其值为4．【变式2-8】（2022秋•和平区校级期末）已知数轴上三点M，O，N对应的数分别为﹣1，0，3，点P为数轴上任意一点，其对应的数为x．（1）MN的长为4；（2）如果点P到点M、点N的距离相等，那么x的值是1；（3）数轴上是否存在点P，使点P到点M、点N的距离之和是8？若存在，直接写出x的值；若不存在，请说明理由．（4）如果点P以每分钟1个单位长度的速度从点O向左运动，同时点M和点N分别以每分钟2个单位长度和每分钟3个单位长度的速度也向左运动．设t分钟时点P到点M、点N的距离相等，求t的值．【答案】见试题解答内容【解答】解：（1）MN的长为3﹣（﹣1）＝4；（2）根据题意得：x﹣（﹣1）＝3﹣x，解得：x＝1；（3）①当点P在点M的左侧时．根据题意得：﹣1﹣x+3﹣x＝8．解得：x＝﹣3．②P在点M和点N之间时，则x﹣（﹣1）+3﹣x＝8，方程无解，即点P不可能在点M和点N之间．③点P在点N的右侧时，x﹣（﹣1）+x﹣3＝8．解得：x＝5．∴x的值是﹣3或5；（4）设运动t分钟时，点P到点M，点N的距离相等，即PM＝PN．点P对应的数是﹣t，点M对应的数是﹣1﹣2t，点N对应的数是3﹣3t．①当点M和点N在点P同侧时，点M和点N重合，所以﹣1﹣2t＝3﹣3t，解得t＝4，符合题意．②当点M和点N在点P异侧时，点M位于点P的左侧，点N位于点P的右侧（因为三个点都向左运动，出发时点M在点P左侧，且点M运动的速度大于点P的速度，所以点M永远位于点P的左侧），故PM＝﹣t﹣（﹣1﹣2t）＝t+1．PN＝（3﹣3t）﹣（﹣t）＝3﹣2t．所以t+1＝3﹣2t，解得t＝，符合题意．综上所述，t的值为或4．【变式2-9】（2022秋•鼓楼区校级期中）在数轴上点A表示数a，点B表示数b，点C表示数c，其中数b是最小的正整数．数a，c满足|a+4|+（c﹣9）2＝0．若点A与点B之间的距离表示为AB，点A与点C之间的距离表示为AC，点B与点C之间的距离表示为BC．（1）由题意可得：a＝﹣4，b＝1，c＝9；（2）若点A沿数轴向左运动，点B和点C沿数轴向右运动，3个点均保持运动速度不变，其中点A和点B的速度分别为每秒1个单位长度和每秒2个单位长度．设点A，B，C同时运动，运动时间为t秒．①当t＝15时，若AB是BC的5倍，求点C的速度；②在点A，B，C同时运动的过程中，若3AC﹣5AB的值始终不变，求出3AC﹣5AB的值及点C的速度．【答案】（1）﹣4，1，9；（2）①或；②4，﹣14．【解答】解：（1）根据非负数的和为0，非负数都为0，|a+4|+（c﹣9）2＝0得：a＝﹣4，c＝9，∵b是最小的正整数，∴b＝1，故答案为：﹣4，1，9；（2）①当t＝15时，AB＝15+5+15×2＝50，∵AB是BC的5倍，∴BC＝50÷5＝10，设点C的速度为每秒x个单位长度，如点B在点C的左边，（15x+8）﹣15×2＝10，解得x＝；如点B在点C的右边，15×2﹣（15x+8）＝10，解得x＝；答：点C的速度为每秒或个单位长度；②设C的运动速度为每秒y个单位长度，AC＝t+13+ty，AB＝t+2t+5，3AC﹣5AB＝3（t+13+ty）﹣5（t+2t+5）＝3t+39+3ty﹣5t﹣10t﹣25＝﹣12t+3ty﹣14＝3t（﹣4+y）﹣14，当y＝4时，3AC﹣5AB＝﹣14，答：点C的速度为每秒4个单位长度时，3AC﹣5AB＝﹣14．【变式2-10】（2022秋•徐闻县期中）已知：b是最小的正整数，且a、b、c满足（c﹣5）2+|a+b|＝0，请回答问题：（1）请直接写出a、b、c的值，a＝﹣1，b＝1，c＝5．（2）a、b、c所对应的点分别为A、B、C，点P为一动点，其对应的数为x，点P在0到2之间运动时（即0≤x≤2时），请化简式子：|x+1|﹣|x﹣1|+2|x+5|（请写出化简过程）．（3）在（1）（2）的条件下，点A、B、C开始在数轴上运动，若点A以每秒1个单位长度的速度向左运动，同时，点B和点C分别以每秒1个单位长度和3个单位长度的速度向右运动，假设t秒钟过后，若点B与点C之间的距离表示为BC，点A与点B之间的距离表示为AB．请问：BC﹣AB的值是否随着时间t的变化而改变？若变化，请说明理由；若不变，请求其值．【答案】（1）﹣1，1，5；（2）当0≤x≤1时，|x+1|﹣|x﹣1|+2|x+5|＝4x+10；当1＜x≤2时，|x+1|﹣|x﹣1|+2|x+5|＝2x+12；（3）BC﹣AB的值是不随着时间t的变化而改变，其值为2．【解答】解：（1）∵b是最小的正整数，∴b＝1，∵（c﹣5）2+|a+b|＝0，∴c﹣5＝0，a+b＝0，∴c＝5，a＝﹣1，∴a的值为﹣1，b的值为1，c的值为5，故答案为：﹣1，1，5；（2）∵点P在0到2之间运动时，且点P所对应的数为x，∴0≤x≤2，当0≤x≤1时，x+1＞0，x﹣1≤0，x+5＞0，∴|x+1|﹣|x﹣1|+2|x+5|＝x+1﹣（1﹣x）+2（x+5）＝x+1﹣1+x+2x+10＝4x+10；当1＜x≤2时，x+1＞0，x﹣1＞0，x+5＞0，∴|x+1|﹣|x﹣1|+2|x+5|＝x+1﹣（x﹣1）+2（x+5）＝x+1﹣x+1+2x+10＝2x+12；（3）不变，由题意，得t秒钟过后A点表示的数为：﹣1﹣t，B点表示的数为：1+t，C点表示的数为：5+3t，∴BC＝5+3t﹣（1+t）＝4+2t，AB＝1+t﹣（﹣1﹣t）＝2+2t，∴BC﹣AB＝4+2t﹣（2+2t）＝2．∴BC﹣AB的值是不随着时间t的变化而改变，其值为2．【变式2-11】（2022秋•南城县期中）如图：在数轴上A点表示数a，B点示数b，C点表示数c，b是最小的正整数，且a，c满足|a+2|+（c﹣7）2＝0．（1）a＝﹣2，b＝1，c＝7．（2）①若将数轴折叠，使得A点与C点重合，则点B与数4表示的点重合．②点A，B，C开始在数轴上运动，若点A以每秒1个单位长度的速度向左运动，同时，点B和点C分别以每秒2个单位长度和4个单位长度的速度向右运动，假设t秒钟过后，则AC＝5t+9．（用含t的代数式表示）（3）在（2）②的条件下，请问：3BC﹣2AB的值是否随着时间t的变化而改变？若变化，请说明理由；若不变，请求其值．【答案】见试题解答内容【解答】解：（1）∵|a+2|+（c﹣7）2＝0，∴a+2＝0，c﹣7＝0，解得a＝﹣2，c＝7，∵b是最小的正整数，∴b＝1；故答案为：﹣2，1，7．（2）①（7+2）÷2＝4.5，对称点为7﹣4.5＝2.5，2.5+（2.5﹣1）＝4；故答案为：4．②AC＝t+4t+9＝5t+9；故答案为：5t+9；（4）不变．3BC﹣2AB＝3（2t+6）﹣2（3t+3）＝12．【题型3数轴与行程相遇综合问题】【典例3】（2022秋•鄄城县期末）如图，已知数轴上点A表示的数为6，B是数轴上在A左侧的一点，且A，B两点间的距离为10．动点P从点A出发，以每秒6个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，设运动时间为t（t＞0）秒．（1）数轴上点B表示的数是﹣4，点P表示的数是6﹣6t（用含t的代数式表示）；（2）动点Q从点B出发，以每秒4个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，若点P、Q同时出发．求：①当点P运动多少秒时，点P与点Q相遇？②当点P运动多少秒时，点P与点Q间的距离为8个单位长度？【答案】见试题解答内容【解答】解：（1）∵数轴上点A表示的数为6，∴OA＝6，则OB＝AB﹣OA＝4，点B在原点左边，∴数轴上点B所表示的数为﹣4；点P运动t秒的长度为6t，∵动点P从点A出发，以每秒6个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，∴P所表示的数为：6﹣6t；（2）①点P运动t秒时追上点Q，根据题意得6t＝10+4t，解得t＝5，答：当点P运动5秒时，点P与点Q相遇；②设当点P运动a秒时，点P与点Q间的距离为8个单位长度，当P不超过Q，则10+4a﹣6a＝8，解得a＝1；当P超过Q，则10+4a+8＝6a，解得a＝9；答：当点P运动1或9秒时，点P与点Q间的距离为8个单位长度．【变式3-1】（2022秋•沙坪坝区校级期中）数轴上给定两点A、B，点A表示的数为﹣1，点B表示的数为3，若数轴上有两点M、N，线段MN的中点在线段AB上（线段MN的中点可以与A或B点重合），则称M点与N点关于线段AB对称，请回答下列问题：（1）数轴上，点O为原点，点C、D、E表示的数分别为﹣3、6、7，则点D与点O关于线段AB对称；（2）数轴上，点F表示的数为x，G为线段AB上一点，若点F与点G关于线段AB对称，则x的最小值为﹣5，最大值为7；（3）动点P从﹣9开始以每秒4个单位长度，向数轴正方向移动时，同时，线段AB以每秒1个单位长度，向数轴正方向移动，动点Q从5开始以每秒1个单位长度，向数轴负方向移动；当P、Q相遇时，分别以原速立即返回起点，回到起点后运动结束，设移动的时间为t，则t满足2≤t≤2.96（t≠2.8）时，P与Q始终关于线段AB对称．【答案】（1）D；（2）﹣5；7；（3）2≤t≤2.96（t≠2.8）．【解答】解：（1）∵OD的中点表示的数是3在线段AB上，∴点D与点O关于线段AB对称，∵OC，OE的中点表示的数都不在线段AB上，∴点C或点E与点O不关于线段对称，故答案为：D；（2）根据题意得，当G点与B点重合，GF的中点与点A重合时，F点表示的数x最小，此时，解得x＝﹣5，当G点与A重合，GF的中点与点B重合时，F点表示的数x最大，此时，解得x＝7，故答案为：﹣5；7；（3）相遇时间为：（5+9）÷（4+1）＝2.8，当0≤t＜2.8时，有﹣1+t≤≤3+t，解得2≤t≤10，∴2≤t＜2.8；当t＝2.8时，F、G重合，线段FG不存在，当2.8＜t≤5.6时，有﹣1+t≤≤3+t，解得1.36≤t≤2.96，∴2.8＜t≤2.96，综上，2≤t≤2.96（t≠2.8）．故答案为：2≤t≤2.96（t≠2.8）．【变式3-2】（2022春•普陀区校级期中）如图，点A、B在数轴上表示的数分别为﹣12和8，两只蚂蚁M、N分别从A、B两点同时出发，相向而行．M的速度为2个单位长度/秒，N的速度为3个单位长度/秒．（1）运动4秒钟时，两只蚂蚁相遇在点P；点P在数轴上表示的数是﹣4；（2）若运动t秒钟时，两只蚂蚁的距离为10，求出t的值（写出解题过程）．【答案】见试题解答内容【解答】解：（1）设运动x秒时，两只蚂蚁相遇在点P，根据题意可得：2x+3x＝8﹣（﹣12），解得：x＝4，﹣12+2×4＝﹣4．答：运动4秒钟时，两只蚂蚁相遇在点P；点P在数轴上表示的数为：﹣4；（2）运动t秒钟，蚂蚁M向右移动了2t，蚂蚁N向左移动了3t，若在相遇之前距离为10，则有2t+3t+10＝20，解得：t＝2．若在相遇之后距离为10，则有2t+3t﹣10＝20，解得：t＝6．综上所述：t的值为2或6．故答案为：4；﹣4．【变式3-3】（2022秋•新泰市期中）如图．A、B、C三点在数轴上，A表示的数为﹣10，B表示的数为14，点C在点A与点B之间，且AC＝BC．（1）求A、B两点间的距离；（2）求C点对应的数；（3）甲、乙分别从A、B两点同时相向运动，甲的速度是1个单位长度/s，乙的速度是2个单位长度/s，求相遇点D对应的数．【答案】见试题解答内容【解答】解：（1）14﹣（﹣10），＝14+10，＝24；（2）设点C对应的数是x，则x﹣（﹣10）＝14﹣x，解得x＝2；（3）设相遇的时间是t秒，则t+2t＝24，解得t＝8，所以，点D表示的数是﹣10+8＝﹣2．【变式3-4】（2022秋•永安市月考）已知，如图A、B分别为数轴上的两点，A点对应的数为﹣10，B点对应的数为90．（1）与A、B两点距离相等的M点对应的数是40；（2）现在有一只电子蚂蚁P从B点出发时，以5个单位/秒的速度向左运动，同时另一只电子蚂蚁Q恰好从A点出发，以3个单位/秒的速度向右运动，设两只电子蚂蚁在数轴上的C点相遇，则C点对应的数是27.5；（3）若当电子蚂蚁P从B点出发时，以5个单位/秒的速度向左运动，同时另一只电子蚂蚁Q恰好从A点出发，以3个单位/秒的速度向右运动，经过多长的时间两只电子蚂蚁在数轴上相距24个单位长度？【答案】（1）40；（2）27.5；（3）经过9.5秒或15.5秒，2只电子蚂蚁在数轴上相距24个单位长度．【解答】解：（1）M点对应的数是：（﹣10+90）÷2＝40；故答案是：40；（2）∵A、B分别为数轴上的两点，A点对应的数为﹣10，B点对应的数为90，∴AB＝90+10＝100，设t秒后P、Q相遇，∴5t+3t＝100，解得t＝12.5，∴此时点P走过的路程＝5×12.5＝62.5，∴此时C点表示的数为：90﹣62.5＝27.5．即：C点对应的数是27.5．故答案是：27.5；（3）相遇前：（100﹣24）÷（5+3）＝9.5（秒），相遇后：（24+100）÷（5+3）＝15.5（秒）．则经过9.5秒或15.5秒，2只电子蚂蚁在数轴上相距24个单位长度．【变式3-5】（2021•新华区校级三模）已知A，B是数轴上两点，点A在原点左侧且距原点20个单位，点B在原点右侧且距原点100个单位．（1）点A表示的数是：﹣20；点B表示的数是：100．（2）A，B两点间的距离是120个单位，线段AB中点表示的数是40．（3）现有一只电子蚂蚁P从点B出发以6个单位/秒的速度向左运动，同时另一只电子蚂蚁Q恰好从点A出发以4个单位/秒的速度向右运动．设两只电子蚂蚁在数轴上的点C处相遇，求点C表示的数．【答案】（1）﹣20；100．（2）120；40．（3）28．【解答】解：（1）∵点A在原点左侧且距原点20个单位，∴点A表示的数是﹣20，∵点B在原点右侧且距原点100个单位，∴点B表示的数是100，故答案为：﹣20；100．（2）∵点A表示的数是﹣20，点B表示的数是100，∴A、B两点间的距离为100﹣（﹣20）＝120，线段AB中点表示的数是100﹣120÷2＝40，故答案为：120；40．（3）设两只蚂蚁经过x秒相遇，4x+6x＝120，解得：x＝12，﹣20+4x＝28，∴点C表示的数是28．【变式3-6】（2021秋•方城县期中）如图，A、B分别为数轴上的两点，A点对应的数为﹣20，B点对应的数为100．（1）请写出与A、B两点距离相等的点M所对应的数；（2）现有一只电子蚂蚁P从B点出发，以6个单位/秒的速度向左运动，同时另一只电子蚂蚁Q恰好从A点出发，以4个单位/秒的速度向右运动，设两只电子蚂蚁在数轴上的C点相遇，你知道C点对应的数是多少吗？（3）若当电子蚂蚁P从B点出发时，以6个单位/秒的速度向左运动，同时另一只电子蚂蚁Q恰好从A点出发，以4个单位/秒的速度也向左运动，请问：当它们运动多少时间时，两只蚂蚁间的距离为20个单位长度？【答案】见试题解答内容【解答】解：（1）M点对应的数是（﹣20+100）÷2＝40；（2）A，B之间的距离为120，它们的相遇时间是120÷（6+4）＝12（秒），即相同时间Q点运动路程为：12×4＝48（个单位），即从数﹣20向右运动48个单位到数28；（3）相遇前：（100+20﹣20）÷（6﹣4）＝50（秒），相遇后：（100+20+20）÷（6﹣4）＝70（秒）．故当它们运动50秒或70秒时间时，两只蚂蚁间的距离为20个单位长度．【变式3-7】（2022秋•太湖县期末）已知，如图A，B分别为数轴上的两点，点A对应的数是﹣20，点B对应的数为80．（1）请直接写出AB的中点M对应的数．（2）现在有一只电子蚂蚁P从B点出发，以2个单位/秒的速度向左运动，同时另一只电子蚂蚁Q恰好从A点出发，以3个单位/秒的速度向右运动，设两只电子蚂蚁在数轴上的C点相遇．请解答下面问题：①试求出点C在数轴上所对应的数；②何时两只电子蚂蚁在数轴上相距15个单位长度？【答案】（1）30；（2）①40，②17秒或23秒．【解答】解：（1）AB的中点M所对应的数为＝30（2）①如图1，设点C所表示的数为x，则AC＝x+20，BC＝80﹣x，由题意得，＝，解得，x＝40，答：点C在数轴上所表示的数为40；②分两种情况进行解答，设运动的时间为t秒Ⅰ）如图2，相遇前相距15个单位长度，则3t+2t＝80﹣（﹣20）﹣15，解得，t＝17（秒），Ⅱ）如图3，相遇后相距15个单位长度则3t+2t＝80﹣（﹣20）+15，解得，t＝23（秒）答：当两只蚂蚁运动17秒或23秒时，两只电子蚂蚁在数轴上相距15个单位长度．【变式3-8】（2022秋•阳新县期末）如图，在数轴上每相邻两点间的距离为一个单位长度．点A、B、C、D对应的数分别是a、b、c、d，且d﹣3a＝20．（1）a＝﹣6，b＝﹣8，c＝﹣3．（2）点A以2个单位/秒的速度沿着数轴的正方向运动，1秒后点B以4个单位/秒的速度也沿着数轴的正方向运动．当点B到达D点处立刻返回，返回时，点A与点B在数轴的某点处相遇，求这个点对应的数．（3）如果A、C两点分别以2个单位/秒和3个单位/秒的速度同时向数轴的负方向运动，同时，点B从图上的位置出发向数轴的正方向以1个单位/秒的速度运动，当满足AB+AC＝AD时，点A对应的数是多少？【答案】见试题解答内容【解答】解：（1）由数轴可知，d＝a+8，∵d﹣3a＝20，∴a+8﹣3a＝20，∴a＝﹣6，∴b＝﹣8，c＝﹣3，故答案为﹣6，﹣8，﹣3；（2）∵a＝﹣6，∴d＝2，∴BD＝10，B点运动到D点需要时间为2.5秒，此时A点运动到﹣6+2×3.5＝1，∴AB距离为1，∴AB相遇时间为＝秒，此时A点位置为1+＝，∴A、B相遇时的点为．（3）设运动时间为t秒，A点运动t秒后对应的数为﹣6﹣2t，C点运动t秒后对应的数为﹣3﹣3t，B点运动t秒后对应的数为﹣8+t，∴AB＝|﹣6﹣2t+8﹣t|＝|2﹣3t|，AC＝|﹣6﹣2t+3+3t|＝|t﹣3|，AD＝|2+6+2t|＝|8+2t|，∵AB+AC＝AD，∴|2﹣3t|+|t﹣3|＝|4+t|，当0≤t≤时，2﹣3t+3﹣t＝4+t，∴t＝，当＜t≤3时，3t﹣2+3﹣t＝4+t，∴t＝3，当t＞3时，3t﹣2+t﹣3＝4+t，∴t＝3，∴t＝或t＝3，∴A点表示的数是﹣或﹣12．【变式3-9】（2022秋•工业园区期末）如图，在数轴上，点A表示﹣10，点B表示11，点C表示18．动点P从点A出发，沿数轴正方向以每秒2个单位的速度匀速运动；同时，动点Q从点C出发，沿数轴负方向以每秒1个单位的速度匀速运动．设运动时间为t秒．（1）当t为何值时，P、Q两点相遇？相遇点M所对应的数是多少？（2）在点Q出发后到达点B之前，求t为何值时，点P到点O的距离与点Q到点B的距离相等；（3）在点P向右运动的过程中，N是AP的中点，在点P到达点C之前，求2CN﹣PC的值．【答案】见试题解答内容【解答】解：（1）根据题意得2t+t＝28，解得t＝，∴AM＝＞10，∴M在O的右侧，且OM＝﹣10＝，∴当t＝时，P、Q两点相遇，相遇点M所对应的数是；（2）由题意得，t的值大于0且小于7．若点P在点O的左边，则10﹣2t＝7﹣t，解得t＝3．若点P在点O的右边，则2t﹣10＝7﹣t，解得t＝．综上所述，t的值为3或时，点P到点O的距离与点Q到点B的距离相等；（3）∵N是AP的中点，∴AN＝PN＝AP＝t，∴CN＝AC﹣AN＝28﹣t，PC＝28﹣AP＝28﹣2t，2CN﹣PC＝2（28﹣t）﹣（28﹣2t）＝28．【变式3-10】（2022秋•柯城区校级期末）如图，点O为数轴的原点，A，B在数轴上按顺序从左到右依次排列，点B表示的数为7，AB＝12．（1）直接写出数轴上点A表示的数．（2）动点P、Q分别从A、B同时出发，点P以每秒3个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，点Q以每秒个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动．①经过多少秒，点P是线段OQ的中点？②在P、Q两点相遇之前，点M为PO的中点，点N在线段OQ上，且QN＝OQ．问：经过多少秒，在P、M、N三个点中其中一个点为以另外两个点为端点的线段的三等分点？（把一条线段分成1：2的两条线段的点叫做这条线段的三等分点）【答案】（1）﹣5；（2）①秒；②或或或秒或秒．【解答】解：（1）设点A表示的数为a，点B表示的数为7，AB＝12．∴7﹣a＝12，解得，a＝﹣5，即数轴上点A表示的数为﹣5；（2）①设经过t秒，点P是线段OQ的中点，则点P表示的数为：﹣5+3t，点Q表示的数为：7+t，有7+t＝2（3t﹣5），解得，t＝，答：经过秒，点P是线段OQ的中点；②1）点P未追上N，；当2PN＝PM1时，2×[+﹣（﹣5+3t）]＝﹣5+3t﹣（﹣），解得；当2PM2＝M2N时，2×[﹣﹣（﹣5+3t）]＝+t﹣（﹣），解得t＝；当2M2N＝PM3时，2×[+﹣（﹣5+3t）]＝﹣+﹣（﹣5+3t），解得t＝（舍去）；当2PN＝M4N时，2×[+﹣（﹣5+3t）]＝﹣+﹣（）解得t＝（舍去）；2）点P未追上N，，当2PN＝M5N时，2×[﹣5+3t﹣（）]＝﹣（﹣），解得t＝；当2M6N＝PM6时，2×[﹣﹣（）]＝﹣5+3t﹣（﹣），解得t＝；当2PM7＝M7N时，2×[﹣5+3t﹣（﹣）＝﹣﹣（），解得t＝（舍去）；当2PN＝M8P时，2×[﹣5+3t﹣（）＝﹣﹣（﹣5+3t），解得t＝（舍去）．如图，则3t﹣5＝，解得t＝．综上所述，经过或或或秒或秒，在P、M、N三个点中其中一个点为以另外两个点为端点的线段的三等分点．【题型4数轴上新定义问题】【典例4】（2022秋•海门市期末）对于数轴上的线段AB与不在线段AB上的点P，给出如下定义：若点P与线段AB上的一点的距离等于a（a＞0），则称点P为线段AB的“a距点”．已知：数轴上点A，B两点表示的数分别是m，m+1．（1）当m＝1时，在﹣2，﹣1，2.5三个数中，﹣1是线段AB的“2距点”所表示的数；（2）若数轴上的点P为线段AB的“a距点”，则a的最大值与最小值的差为1；（3）若数轴上﹣2所对应的点是线段AB的“a距点”，且a的最大值与最小值的比为2：1，求m的值．【答案】（1）﹣1；（2）1；（3）﹣1或﹣4．【解答】解：（1）当m＝1时，﹣2到AB的最短距离是3，故不是；2.5到AB的最大距离是1.5，故不是，﹣1到点A的距离是2，故﹣1是，故答案为：﹣1；（2）当点P在AB的左边时，BP﹣AP＝AB＝1，当点P在AB的右边时，AP﹣BP＝AB＝1，故答案为：1；（3）当点P在AB的左边时，PB：PA＝2：1，即（m+3）：（m+2）＝2：1，解得m＝﹣1；当点P在AB的右边时，PA：PB＝2：1，（﹣2﹣m）：[（﹣2﹣（m+1）]＝2：1，解得m＝﹣4，综上所述m＝﹣1或m＝﹣4．【变式4-1】（2022秋•黄陂区期末）对于数轴上的A，B，C三点，给出如下定义：若其中一个点与其它两个点的距离恰好满足2倍的数量关系，则称该点是其它两个点的“联盟点”．例如：数轴上点A，B，C所表示的数分别为1，3，4，此时点B是点A，C的“联盟点”．（1）若点A表示数﹣1，点B表示的数2，下列各数：，0，1，4，5所对应的点分别为C1，C2，C3，C4，C5，其中是点A，B的“联盟点”的是C2，C3，C5；（2）点A表示的数是﹣1，点B表示的数是3，P是数轴上的一个动点：①若点P在线段AB上，且点P是点A，B的“联盟点”，求此时点P表示的数；②若点P在点A的左侧，点P、A、B中有一个点恰好是其它两个点的“联盟点”，求出此时点P表示的数．【答案】（1）C2，C3，C5，（2）①，．②﹣9，﹣3，﹣5．【解答】解：（1）∵AC1═﹣﹣（﹣1）═，BC1═2﹣（﹣）═，∴2AC1≠BC1，∴C1不是A，B的“联盟点”．∵AC2═0﹣（﹣1）═1，BC2＝2﹣0＝2，∴2AC2═BC2，∴C2是A，B的“联盟点”．∵AC3═1﹣（﹣1）＝2，BC3═2﹣1＝1，∴AC3═2BC3，∴C3是A，B的“联盟点”．∵AC4═4﹣（﹣1）＝5，BC4═4﹣2＝2，∴AC4≠BC4，∴C4不是A，B的“联盟点”．∵AC5═5﹣（﹣1）＝6，BC5═5﹣2＝3，∴AC5═2BC5，∴C5是A，B的“联盟点”．综合上述，是点A，B的“联盟点”的是C2，C3，C5．（2）解；设点P表示的数为x，①∵P在线段AB上，∴AP＝x+1，BP＝3﹣x，当AP＝2BP时，有x+1＝2（3﹣x），解得x＝，当BP＝2AP时，有3﹣x＝2（x+1），解得x＝，综上所述，点P表示的数为，．②由题意得，AB＝4，∵P在A的左侧，∴AP＝﹣1﹣x，BP＝3﹣x，当点A为B，P的“联盟点”时，若AB＝2AP，则有4＝2（﹣1﹣x），解得x＝﹣3，若AP＝2AB，则有﹣1﹣x＝2×4，解得x＝﹣9，当点B为A，P的“联盟点”时，2AB＝BP，则有2×4＝3﹣x，解得x＝﹣5，当点P为A，B的“联盟点”时，BP＝2PA，则有3﹣x＝2（﹣1﹣x），解得x＝﹣5，综上所述，P表示的数为﹣9，﹣3，﹣5．【变式4-2】（2022秋•青浦区校级期末）定义：对于数轴上的三点，若其中一个点与其他两个点的距离恰好满足2倍的数量关系．如下图，数轴上点A，B，C所表示的数分别为1，3，4，此时点B就是点A，C的一个“关联点”．（1）写出点A，C的其他三个“关联点”所表示的数：﹣2、2、7．（2）若点M表示数﹣2，点N表示数4，数﹣8，﹣6，0，2，10所对应的点分别是C1，C2，C3，C4，C5，其中不是点M，N的“关联点”是点C2．（3）若点M表示的数是﹣3，点N表示的数是10，点P为数轴上的一个动点．①若点P在点N左侧，且点P是点M，N的“关联点”，求此时点P表示的数．②若点P在点N右侧，且点P，M，N中，有一个点恰好是另外两个点的“关联点”，求此时点P表示的数．【答案】（1）﹣2、2、7；（2）C2；（3）①，﹣16，；②36，，23．【解答】解：（1）2﹣1＝1，4﹣2＝2，2是A，C的一个“关联点”，设x是A，C的一个“关联点”，x﹣1＝2（x﹣4）解得x＝7，设y是A，C的一个“关联点”，2（1﹣y）＝4﹣y解得y＝﹣2，A，C的其他三个“关联点”所表示的数为：﹣2、2、7，故答案为：﹣2、2、7，（2）∵﹣2﹣（﹣8）＝6，4﹣（﹣8）＝12，∴C1是关联点，∵﹣2﹣（﹣6）＝4，4﹣（﹣6）＝10，∴C2不是关联点，∵0﹣（﹣2）＝2，4﹣0＝4，∴C3是关联点，∵2﹣（﹣2）＝4，4﹣2＝2，∴C4是关联点，∵10﹣（﹣2）＝12，10﹣4＝6，∴C5是关联点，故答案为：C2．（3）①若点P在点N左侧且在M的右侧，设点P表示的数为x，当2（x+3）＝10﹣x解得，当x+3＝2（10﹣x）解得，若点P在M点左侧，设点P表示的数为x，∴2（﹣3﹣x）＝10﹣x解得x＝﹣16，综上所述：P表示的数为：；②若点P在点N右侧，设点P表示的数为x，当PN＝2MN时，则2×13＝x﹣10解得x＝36，当MN＝2PN时，则13＝2×（x﹣10）解得，当MP＝2MN时，则x+3＝2×13解得x＝23，当MP＝2PN时，则x+3＝2×（x﹣10）解得x＝23，综上所述：P表示的数为：，23.36．【变式4-2】（2022秋•临汾期末）阅读材料：定义：数轴上的三点，如果其中一个点与近点距离是它与远点距离的，则称该点是其他两个点的“倍分点”．例如数轴上点A，B，C所表示的数分别为﹣1，0，2，且满足AB＝BC，则点B是点A，C的“倍分点”．已知点A，B，C，M，N在数轴上所表示的数如图所示．基础巩固：（1）在A，B，C三点中，点B是点M，N的“倍分点”．尝试应用：（2）若数轴上点M是点A，D的“倍分点”，则点D在数轴上对应的数有4个．灵活运用：（3）若数轴上点N是点P，M的“倍分点”，且点P在点N的右侧，求此时点P在数轴上表示的数．【答案】（1）B；（2）4；（3）或24．【解答】解：（1）∵BM＝0﹣（﹣3）＝3，BN＝6﹣0＝6，∴BM＝BN，∴点B是点M，N的“倍分点”，故答案为：B；（2）AM＝﹣1﹣（﹣3）＝2，设D点坐标为x，①当DM＝AM时，DM＝1，∴|x﹣（﹣3）|＝1，解得：x＝﹣2或﹣4，②当AM＝DM时，DM＝2AM＝4，∴|x﹣（﹣3）|＝4，解得：x＝1或﹣7，综上所述，则点D对应的数有4个，分别是﹣2，﹣4，1，﹣7，故答案为：4；（3）MN＝6﹣（﹣3）＝9，当PN＝MN时，PN＝×9＝，∵点P在点N的右侧，∴此时点P表示的数为，当MN＝PN时，PN＝2MN＝2×9＝18，∵点P在点N的右侧，∴此时点P表示的数为24，综上所述，点P表示的数为或24．【变式4-3】（2022秋•丰台区期末）在数轴上，点O表示的数为0，点M表示的数为m（m≠0）．给出如下定义：对于该数轴上的一点P与线段OM上一点Q，如果线段PQ的长度有最大值，那么称这个最大值为点P与线段OM的“闭距离”．如图1，若m＝﹣1，点P表示的数为3，当点Q与点M重合时，线段PQ的长最大，值是4，则点P与线段OM的“闭距离”为4．（1）如图2，在该数轴上，点A表示的数为﹣1，点B表示的数为2．①当m＝1时，点A与线段OM的“闭距离”为2；②若点B与线段OM的“闭距离”为3，求m的值；（2）在该数轴上，点C表示的数为﹣m，点D表示的数为﹣m+2，若线段CD上存在点G，使得点G与线段OM的“闭距离”为4，直接写出m的最大值与最小值．【答案】（1）①2；②﹣1或5；（2）m的最大值为3，最小值为﹣2．【解答】解：（1）①根据题意可知，m＝1时，A到OM的最大值为AM的长，，∵AM＝|﹣1|+1＝2，∴点A与线段OM的“闭距离”为2，故答案为：2；②∵B点到OM的“闭距离”为3，∴当m＜0时，m＝2﹣3＝﹣1，当m＞0时，m﹣2＝3，m＝5，∴m的值为﹣1或5；（2）∵点C表示的数为﹣m，点D表示的数为﹣m+2，在线段CD上存在点G，使得点G与线段OM的“闭距离”为4，∴当m＜0时，可得不等式组，解得：﹣2≤m≤﹣1，当m＞0时，可得不等式组，解得：2≤m≤3，综上所述，﹣2≤m≤﹣1或2≤m≤3，∴m的最大值为3，最小值为﹣2．【变式4-4】（2022秋•如皋市期中）定义：在数轴上，若M，N两点到原点的距离之和等于点P到原点的距离，则称点P为M，N两点的“和距点”．例如，数轴上，表示5的点是表示2，3的点的“和距点”；表示的点是表示，的点的“和距点”．已知数轴上A，B，C三点表示的数分别是a，b，﹣6，点C为A，B两点的“和距点”．（1）如果a＝﹣3，点B在x轴的正半轴，则b＝3；（2）若点A也是B，C两点的“和距点”，请确定b的值，并说明理由；（3）若a＝﹣2b+1，请直接写出b的值．【答案】（1）3；（2）0；（3）﹣或b＝．【解答】解：（1）由题意得：6＝|﹣3|+|b|，解得：b＝±3，∵a＝﹣3，∴b＝3，故答案为：3；（2）由题意得：|a|+|b|＝6，且|b|+6＝|a|，解得：b＝0；（3）由题意得：|﹣2b+1|+|b|＝6，当b＜0时，﹣2b+1﹣b＝6，解得：b＝﹣，当0≤b时，1﹣2b+b＝6，解得：b＝﹣5（舍去），当b时，2b﹣1+b＝6，解得：b＝．【变式4-5】（2022秋•东城区校级期中）阅读下列材料：我们给出如下定义：数轴上给定不重合的两点A，B以及一条线段PQ，（1）若数轴上存在一点M，使得点M到点A的距离等于点M到点B的距离，则称点M为点A与点B的“中位点”；（2）若点A与点B的“中位点”M在线段PQ上（点M可以与点P或Q重合），则称点A与点B关于线段PQ“中位对称”．如图1，点A表示的数为﹣3，点B表示的数为1，点M表示的数为﹣1，点M到点A的距离等于2，点M到点B的距离也等于2，那么点M为点A与点B的“中位点”；点P表示的数为﹣2，点Q表示的数为2，点A与点B的“中位点”M在线段PQ上，那么点A与点B关于线段PQ“中位对称”．根据以上定义完成下列问题：已知：如图2，点O为数轴的原点，点A表示的数为﹣2，点R表示的数为3．（1）①若点B表示的数为﹣5，点M为点A与点B的“中位点”，则点M表示的数为﹣3.5；②若点A与点B的“中位点”M表示的数为1，则点B表示的数为4；（2）①点B，C．D分别表示的数为1，，6，在B，C，D三点中，点A与C，D关于线段OR“中位对称”；②点N表示的数为x，若点A与点N关于线段OR“中位对称”，则x的取值范围是2≤x≤8；③点E表示的数为m，点F表示的数为m+2，若线段EF上至少存在一点与点A关于线段EF“中位对称”，直接写出m的取值范围．【答案】（1）①﹣3.5；②4；（2）①C，D；②2≤x≤8；③﹣6≤m≤0．【解答】解：（1）①×（﹣5﹣2）＝﹣3.5，故答案为：﹣3.5；②设B表示的数为a，则：×（﹣2+a）＝1，解得：a＝4，故答案为：4；（2）①×（﹣2+6）＝2，而2代表的点在OR上，×（﹣2+3.5）＝0.75再OR上，故答案为：D和C；②当O是点A与点B的“中位点”时，x＝2，当R点A与点B的“中位点”时，x＝8，故答案为：2≤x≤8；③根据题意得：当EF在A的左侧，F与A关于线段EF“中位对称”时，m＝﹣6，当EF在A的右侧，E与A关于A线段EF“中位对称”时，m＝0，∴m的取值范围为：﹣6≤m≤0．【变式4-6】（2022秋•雨花区校级月考）在数轴上，把原点记作点O，表示数1的点记作点A．对于数轴上任意一点P（不与点O，点A重合），将线段PO与线段PA的长度之比定义为点P的特征值，记作，即，例如：当点P是线段OA的中点时，因为PO＝PA，所以．（1）若点N为数轴上的一个点，点N表示的数是﹣1，则＝2；（2）数轴上的点M满足OM＝2OA，求；（3）数轴上的点P表示有理数p，已知2≤|P|≤100且p为整数，则所有满足条件的的和．【答案】（1）2；（2）或；（3）198．【解答】解：（1）∵点N为数轴上的一个点，点N表示的数是﹣1，∴＝，故答案为：2；（2）∵OM＝2OA，∴OM＝2×1＝2，当点M在O点左边时，MA＝2+1＝3，则＝，当点M在A点的右边时，MA＝2﹣1＝1，则＝，∴＝或；（3）∵2≤|P|≤100，且p为整数，∴﹣100≤p≤﹣2或2≤p≤100，且p为整数，当p＝﹣2时，＝，当p＝﹣3时，＝，当p＝﹣4时，＝，……由此规律，当p＝﹣100时，＝，同理，当p＝2时，＝，当p＝3时，＝，当p＝4时，＝，……由此规律，当p＝100时，＝，∴所有满足条件的的和为：＝2+2+2+2+……+2＝2×99＝198．【变式4-7】（2022秋•商河县期中）阅读下列材料：我们给出如下定义：数轴上给定不重合两点A，B，若数轴上存在一点M，使得点M到点A的距离等于点M到点B的距离，则称点M为点A与点B的“平衡点”．解答下列问题：经验反馈：（1）若点A表示的数为﹣3，点B表示的数为1，点M为点A与点B的“平衡点”，则点M表示的数为﹣1；（2）若点A表示的数为﹣3，点A与点B的“平衡点M”表示的数为1，则点B表示的数为5；操作探究：如图，已知在纸面上有一条数轴．操作一：折叠数轴，使表示1的点与表示﹣1的点重合，则表示﹣5的点与表示5的点重合．操作二：折叠数轴，使表示1的点与表示3的点重合，在这个操作下回答下列问题：①表示﹣2的点与表示6的点重合；②若数轴上A，B两点的距离为7（A在B的左侧），且折叠后A，B两点重合，则点A表示的数为﹣1.5，【答案】见试题解答内容．【解答】解：经验反馈：（1）点M表示的数＝＝﹣1；故答案为：﹣1；（2）点B表示的数＝1×2﹣（﹣3）＝5；故答案为：5；操作一：表示1的点与表示﹣1的点重合，即对折点所表示的数为＝0，设这个数为a，则有0﹣（﹣5）＝a﹣0，解得，a＝5，故答案为：5；操作二：表示1的点与表示3的点重合，即对折点所表示的数为＝2，①设b与﹣2表示的点重合，则有＝2，解得，b＝6，故答案为：6；②设A点、B点所表示的数为x、y，则有：，解得，x＝﹣1.5，y＝5.5，故答案为：﹣1.5．【变式4-8】（20