2023年高考数学第53讲 空间实施大平移

第53讲空间实施大平移，精妙玩转线线角

一、知识聚焦

一、异面直线所成角求解的一般方法

1平移法

通过平移直线杷异面问题转化为共面问题来解决.平移法求异面直线所成角的一般步骤

如下.

(1)平移:选择适当的点，平移异面直线中的一条或两条成为相交直线，这里的点通常选择

特殊位置的点，如线段的中点或端点，也可以是异面直线中某一条直线上的特殊点.“平移”

可以是单移，也可以是双移,视需要而定.

(2)证明:证明所作的角是异面直线所成的角.

(3)寻找:在立体图形中，寻找或作出含有此角的三角形，并解之.

⑷取舍:因为异面直线所成角。的取值范围是.所以，所作的角为钝角时，应取它的

补角作为异面直线所成的角.

2向量法

建立适当的空间直角坐标系，求出两异面直线所在向量的坐标，代人向量夹角公式即可求

出.

二、构造异面直线所成的角的技巧

(1)当异面直线依附于某几何体，且直接过异面直线上的点平移直线有困难时，利用该几

何体中的特殊点，将两条异面直线分别平移相交于该点(双移),找出特殊点是关键.

(2)通过构造辅助平面来平移直线，或者把空间图形补成熟悉的或完整的几何体,如正方

体、平行六面体、长方体等，从而发现两条异面直线间的关系，补形法，空间实施大平移,精妙玩

转线线角.

二、精讲与训练

【核心例题1]

⑴异面直线。功所成的角为仇过空间中定点P与。力都成(角的直线有4条，则。的

取值范围是.

⑵如图所示在正四面体ABCD中,E,尸分别是AB,CD的中点，求EF和BC所成的

角.

A

⑶如图所示在正四面体ABCD中，线段MN是棱AC的中点和ABCD中心的连线而

线段DE是ZVLBZ）的高，求MN和DE所成角的余弦值.

【解题策略】

第⑴问，异面直线，指的是不可能找到一个平面能同时包含的两条直线.但它们所成的角

是存在的、如何求出异面直线所成角的大小,通常用平移法.比如本题讨论异面直线。功所成

角氏可通过过空间定点P分别作的平行线，两平行线所成的［（）,£之间的角即为"然

TT

而本题中。的取值范围是变化的，探究过定点尸与。涉都成§角的直线有4条时，。在什么

范围内?若设过点P柞l、〃a,1111b，则4与12确定平面a,在a平面内作角。的角平分线，此

平分线绕点P旋转，同时又过点P作角6的补角乃-。的平分线，同样绕点P旋转，当符合条

件的直线有4条时确定8的范围.第⑵、第⑶问都是求正四面体上两异面直线所成的角，通

常是通过平移化空间为平面，再解三角形求得.一般情况下运用余弦定理，也可用原图形的扩

展,每个四面体都有其外接平行六面体，四面体的棱为平行六面体的面对角线,正四面体的外

接平行六面体是正方体或者说正四面体是正方体的六条面对角线所构成的内接图形.

【解】

7F

⑴作直线4//a,4/，且4c4=尸，则直线4,4所成角为40<“，3，记直线4■12所

在平面为a，在面a内过点P作角。的角平分线，将此直线绕点P旋转,可得到与直线44所

成角都为工角的直线两条;在面a内过点P作角。的补角〃一。的角平分线，当工心〈工，

323

TTTT

即e〉彳，将此线绕点P旋转可得到与直线4,4所成角都为y角的直线两条，从而e的取值

范围是存：.

(2)【解法一】

如图所示，取BO的中点M,连接EM,则EM//‘A。，FM//-BC,

=2=2

:.ZEFM是EF与BC所成的角或其补角.

ABC。是正四面体4)=3。且4。，8。，

于是EA/=FM且

即AEMF是等腰直角三角形,ZEFM=45°.即EE与8c所成角为45°.

【解法二】

如图所示，作正四面体ABCD的外接正方体，则E,E分别为正方体相对两个面的中心,

••EF//BG,于是EF与BC所成角即为NCBG,其大小为45。.

⑶如图所示，连接ON,延长交于点F，可知F为5c中点.连接EE取EF三等分点G,

出EG2

使---=—

GF1

连接GM则GN//。£且GN=』DE,:.NGNM是MN和DE所成的角或其补角.

3

设正四面体棱长为a，在AGMN中,GN=@a,GM="a,而

66

MC=-a,NC=—a,cosZMCN=—

233

MN2=MC-+NC2-2MC-NCcosZMCN=-a2,

42

...ssNGN*也+处-吆=述

2NG-MN18

MN和DE所成角为arccos----.

【变式训练】

如图所示，在正方体ABCD-AgG。中，若E为CC的中点，求鸟。与AE所成角的余弦

值.

【核心例题2]

将边长为1的正方形441ao(及其内部)绕。。1旋例题.转一周形成圆柱，如图所示,AC

°

长为T，Ag长为(，其中与c在平面A4,。。的同侧.

⑴求三棱雉c—。4瓦的体积.

(2)求异面直线4C与AA所成角的大小.

【解题策略】

本题依据求两异面直线所成角的3种基本方法求解.分别为:①立体几何的平移法;②统

向量的方法;③向量坐标法.这3种解法各有特色,正所谓“精妙玩转线线角”.

【解】

小"11V3.G

(1)V=-S〃=-x——xl=——.

33412

(2)解法一(平移法)

如图所示，过点。做直线CG//AV则NCC4为异面直线与。与A4所成的角.在

n

RtAGqq中,B£=1,CC1=1,因此tanZC,CB,=1,/.ZC,CB,=-

TT

•••异面直线BC与AA所成角为w

【解法二】（纯向量法）

如图所示，由

4。=4。+oc,且4A=qo得4c•AA=（4。+ocj-qo=qo-q。+

V2

OCO]O=\B}O^Olo\cosZBlOOi+Q=y/2x]x---=1

2

因此cos(B]C,44])=^=^

TT

•••异面直线8c与A4所成的角为

【解法三】（向量坐标法）

建立如图所示空间直角坐标系,

?总。1

则A(O,1,O),A(0,1,1),cBiI2,A4,=(0,0,1),B,C=(0,-1,-1).

7

因此COS/AA,,B[C)=；=省

\/网&2

,异面直线时与9所成的角为:

【变式训练1】

如图所示，已知空间四边形ABCD中,AB=CD=3,E,F分别是BC,AD上的点，并且

BE:EC=AF:FD=1:2,EF=J7,求A3和8所成角的大小.

【变式训练2】

如图所示，在四棱锥尸一ABC。中,PD±平面ABC。，PA与平面A3。所成的角为6()。,在

四边形A8CD中,NA£>C=ND48=90°,A8=4,CD=l,A£>=2,求异面直线24与

BC所成角的余弦值.

【核心例题3]

(1)如图所示，已知平面四边形ABC。，AB=BC=3,CD=1,AD=&NADC=90°,,沿

直线AC将AAC。翻折成AACD,直线AC与BD所成角的余弦的最大值是,

(2)已知。力为空间中两条互相垂直的直线，等腰RtAABC的直角边AC所在直线与

都垂直，斜边A3以直线AC

①当直线A6与。成60。角时,A8与匕成30。角;

②当直线45与。成60°角时,A3与方成60°角；

③直线AB与。所成角的最小值为45°；

④直线AB与a所成角的最大值为60°.

其中正确的是.（填写所有正确的结论的编号）

【解题策略】

第Q）问，平面图形折叠问题的解题关键是抓住折叠前后角度和长度的“变”与“不

变”关系,可以运用逆向思维、反其道而行之.由三维空间回归二维平面（降维处理法）,这样就

简单多了，由APACMMAC可认猜测:将AACZ）沿直线AC旋转到AA3C位置时，点P刚

好落在8C的一个三等分点F处,此时即可取得最大值.第（2）问，解题的关键是由条件创设

问题变化的情景.抓住旋转这一动态变化构思解题方法，由于创设的情景不同,可以有不同的

解法呈现.

【解】

#+（拘2=娓

（1）如图所示,AC

延长CD到点P，使〃尸=2,连接AP,由已知得NADP=90。,

AP=百+（府=3,故APAC三ABAC.

作D'E//CA，交AP于点E，连接,则必有BD=BE,ABDE为等腰三角形，故ABDE

为锐角，且等于直线AC与BD所成的角.

设NBDE为仇令BD'=BE=x,D'E^-CA=^-,

33

x2+-x2

____V6

在20'£中,85<9=-----------

c2遥3x

2xx-

3

再设ABCD=a，则x=V32+l2-2x3xlxcosa=V10-6cosa.

易知，当以）5。=1时,％=%/取得最小值2,故（COSd）max=¥

6

•••直线AC与所成角的余弦的最大值是逅

6

B

(2)【解法一】由旋转轴，创设圆锥，情景如图所示，设即为直线a,EB为直线》，

ACLa,ACVh,

•••AC，底面于点C,在底面内作BDHa，交圆于点E，连接DE，则DEI!h.在AABD中,

A6=AO=a,当直线45与a成60°角时,/45。=60°,故8。=&,。£=0,

与此同时,BF=DE=41.：.AABF为等边三角形.

ZABF=60°.

即②正确，①错误油最小角定理可知③正确；

显然存在平面ABC1直线a，直线AB与。所成角的最大值为90°.

故④错误.

,正确的是②③.

【解法二】

如图所示，不妨设正方体的棱长为1.则B点运动轨迹为以。为圆心,1为半径的圆.

AB'=(cossin。，-1)，HM=V2，设AB'与直线a的方向向量n=(0,1,0)的夹角为a,

„„n-AB'>/2,.「万