2023河南版数学中考复习题

2023河南版数学中考

§4.3直角三角形

五年中考

考点直角三角形（10年4考）

1.（2016河南,6,3分）如图，在AABC中,NAC3=9（）o,AC=8,45=10.OE垂直平分AC交A3于点E,则

。七的长为（D）

A.6B.5C.4D.3

解析在△ABC中,,.,NAC8=9（TQE垂直平分AC,：.AD=DC,DE//BC,：.E为AB的中点,，

DE=^BC,'：BC=y/AB2-AC2=6,：.。£=川=3.故选D.

2.（2022河南,15,3分）如图，在RtAABC中,/4。8=90。,4。=3。=2a,点D为A3的中点，点P在AC

上，且CP=1,将CP绕点C在平面内旋转，点P的对应点为点。，连接AQ,OQ.当乙4。。=90。时,AQ

的长为一遍或g_.

解析：乙4。8=90。/。=8。=2近，点D为AB的中点且400=90。,Z.DQ是AB的垂直平分线

且经过点C,CD=AD=DB=2,VCQ=CP=1,：.Q在RtA/lBC内部时，记为Qi,00=2-1=1,由

勾股定理得AQ^22+I2=花；当点Q在Rt”BC外部时，记为Q,QQ=2+1=3,由勾股定理得

A。2f/32+22=V13..-./Q的长为遥或VII

3.（2018河南,15,3分）如图,NMAN=90。,点C在边AM上,AC=4,点B为边AN上一动点，连接

BCQA'BC与AABC关于BC所在直线对称.点D,E分别为AC,BC的中点，连接DE并延长交AB

所在直线于点七连接AE当为直角三角形时,A3的长为4或4g.

解析⑴当点A在直线DE下方时，如图1,

,/ZCA'F=9Qo,NEAQNCAF

AArEF为钝角三角形，不符合；

图1

⑵①当点A在直线DE上方且NA户E=90°fl寸,

如图2.,JDE//AB,

，NEDA=90。,

：.A'B//AC.

由对称知四边形ABA'C为正方形，

：.AB=AC=4；

②当点A在直线DE上方且/4£7三90。时，

如图3.A'E//AC,

：.ZA'EC=ZACE=NACE,

：.A'C=A'E.

"：A'E=EC,

.•.△4CE为等边三角形，

，ZACB=ZA'CB=60°,

.,.在RtAACS中,A8=AC•tan60°=4V3；

③当点A在直线DE上方时,NEA户＜NCAB,

...NE4r不可能为90°.

综上所述，当“叱为直角三角形时,A3的长为4或4V3.

图3

方法总结解对称（折叠）型问题，当对称轴过定点时，一般要找出对称中的定长线段，以定点为圆

心，定长为半径作辅助圆来确定对称点的轨迹是较为有效的方法.再根据题目中所要求的条件,

结合全等、相似或勾股定理等计算得出结果.

4.（2017河南,15,3分）如图，在RthABC中,乙4=90。,43=人。乃。=&+1,点MN分别是边BC.AB上

的动点，沿所在的直线折叠使点B的对应点方始终落在边AC上.若△MB'C为直角三角

形，则BM的长为”或1.

解析在Rt^ABC中,/A=90°/B=AG,ZB=ZC=45°.

⑴当NMBC=90°fl寸,/B7WC=NC=45。.设则在RtAMB'C中,由勾股定理得

MC=^2x,：.缶+%=鱼+1,解得E,，BM=1.

⑵如图，当NB7WC=9O用寸，点9与点A重合,

此时BM=B/M^BC=

综上所述的长为”或1.

三年模拟

53基础练

一、选择题（每题3分，共15分）

1.（2021许昌一模，播）如图，在5x5的网格中，每个格点小正方形的边长均为1,母钻。的三个顶点

A,B,C都在网格点的位置上，则△ABC的边AB上的高为C)

解析由勾股定理得ABi环溟=恒设AB边上的高为〃，则-@x2x2,.•./片华.故选C.

2.（2021山东临沂，幽如图，每个小方格的边长均为1,点A,B都在格点上，若8C=宇，则AC的长

为(B)

A.V13B.等C.2V13D.3V13

解析构造如图所示的直角三角形则BD=6,AD=4,

由勾股定理得AB=y/BD2+AD2=<62+42=2713,

：.AC=AB-BC=2\[13一?=空故选B.

3.（2021驻马店一模，播）如图，从笔直的公路/旁一点尸出发，向西走6km到达/；从尸出发向北走

6km也到达/.下列说法错误的是(A)

A.从点P向北偏西45。走3km到达I

B.公路/的走向是南偏西45°

C.公路/的走向是北偏东45。

D.从点P向北走3km后，再向西走3km到达I

解析由题意可得△应/?是腰长为6km的等腰直角三角形，则AB=6&km,如图所示，过P点作

AB的垂线PC交AB于点C,则尸。=3&km,则从点P向北偏西45。走32km到达/,选项A说法

错误;公路/的走向是南偏西45喊北偏东45。,选项B,C说法正确;从点P向北走3km后到达BP

的中点。此时CD为aAB的中位线，故C0=/p=3km,故再向西走3km到达/,选项D说法正确.

故选A.

4.（2022焦作沁阳二模，淄）如图,在等腰R3ABC中,AB=AC=6,NA=90。,矩形EFGH的顶点E,F

分别在AB,AC上，点G,H在BC上设AE=x,矩形EFGH的面积为％则y与x的函数图象的最高

点坐标为(A)

A.(3,9)B.(3,3V2)

C.(3,6)D.(3,6>/2)

解析.••四边形MG"是矩形,

：.EF//BC,EHVBC,

,：等腰Rt^ABC中,AB=AC=6,NA=90。,；.AAEFABEH均为等腰直角三角形,

'：AE=x,

：.EF=\[2AE=y/2x,BE=6-x,

：.EH=^-BE=^-x),

：.y=EF-EH=42x-y(6-A)=-x2+6A-=-(x-3)2+9(0<i<6),

V^-KO,

，当x=3时,y有最大值9,

故y与x的函数图象的最高点坐标为(3,9).故选A.

5.(2022信阳模拟，姨)如图l,RtAABC^,ZACB=90°,CD是中线，点P从点D出发，沿D—C—B

的方向以1cm/s的速度运动到点8图2是点P运动时,△川□「的面积Men?)随时间x(s)变化的

图象，则。的值为D)

A.2B.jC-VD.而

解析由点P的运动可知,C£>=acm,8c=a+2-a=2cm,且当点P运动到点C时,AAOC的面积为

2cm2,过点D作DELAC于点E,

：.^AC-OE=2,即AC•D£=4,

,:CD是中线即点。是AB的中点,；.DE是dBC的中位线，

1

/.DE=-BC=1cm,.\AC=4cm,

在Rt^ABC中，由勾股定理可知,AB=2V^cm,CD=^AB=V5cm.a=遮.故选D.

二、填空题（每题3分，共9分）

6.（2022信阳模拟，幽如图所示，以数轴的单位长线段为边作一个正方形，以数轴上实数1所对的

点为圆心，正方形对角线长为半径画圆弧，交数轴正半轴于点A,则点A表示的数是加+1.

，门V」

012345

解析数轴上正方形的对角线长为口i/=V2,

由题图可知数轴上实数1所对的点和点A之间的距离为企.•・•点a表示的数是1+V2.

7.（2022四川成都，镇）如图，在“BC中，按以下步骤作图:①分别以点B和C为圆心，以大于

的长为半径作弧,两弧相交于点M和N；②作直线MN交边AB于点E.若AC=5,3E=4,NB=45。,

则AB的长为7.

解析连接CE由题意可知MN是线段BC的垂直平分线,二BE=CE=4,:.NEBC=NECB.•:/

EBC=45°,ZBEC=ZCEA=90°.在ACE中，根据勾股定理得AE=y/AC2-CE2=3,，

A8=AE+8E=3+4=7.

8.（2022开封兰考一模，播）一种圆角正方形桌面如图所示.每段圆弧所对的圆心角是90。,用一把

直尺测得轮廓（直边）上两点之间距离的最大值是100cm,平行的两直边之间的距离为80cm,则

该圆角正方形的周长是是40+207r）cm

解析如图,由题意00cm,EF=80cni,

在Rt"OE中,NAEO=9O°,OE=4Ocm,04=5Ocm,

：.AE=y/OA2-OE2=45()2一402=30(cm),.•.四个角上的圆弧的半径为10cm,

该圆角正方形的周长=8x30+2无•10=（240+20兀）cm.

三、解答题（共11分）

9.（2021福建，幽如图，在RtAABC中，乙4cB=90。.线段EF是由线段AB平移得到的，点F在边

BC±AEFD是以EF为斜边的等腰直角三角形，且点。恰好在AC的延长线上.

（1）求证:NADE=N。尸C；

(2)求证:C£>=8斤

证明⑴在等腰直角三角形EDF中,NEDF=9Q°,

：.ZADE+ZADF=9O°.

■:ZACfi=90°,

ZDFC+ZADF=ZACB=90°,

/.ZADE=ZDFC.

⑵连接A£

由平移的性质得AE//BF,AE=BF.

：.ZEAD=ZACB=90°.

又ZDCF=180°-ZACB=90°,

：.NEAD=NDCF.

•••△EOF是等腰直角三角形，

：.DE=DF.

由（1）得NAOE=NQFC,

二△AED^ACDF,

：.AE=CD,：.CD=BF.

53提分练

一、选择题（共3分）

1.（2022安阳林州一模，峭）如图LRtAABC中,NC=90。,点D为AB的中点，动点P从A点出发沿

AC^CB运动到点比设点P的运动路程为x,LAPD的面积为》与x的函数图象如图2所示，则

AB的长为(A)

图1

A.10B.12C.14D.16

解析由题图2可知，当.r=14时,AC+8C=14,，8C=14-AC

△APD的面积最大时，

y=S^ACD-^S△ABC=^ACxBC=12,

，Ucx（14-AC）=12,

4

解得AC=6或AC=8,

由题图1可知ACBC,故AC=8,BC=6,

在RtA/lBC中,由勾股定理得AB=NAC?+BC2=V82+62=10.

故选A.

二、填空题（每题3分，共18分）

2.（2022安阳林州一模，播）如图，在△ABC中,AB=AC=6,NBAC=120。,点E是A8边上不与端点重

合的一个动点，作EDVBC交BC于点。将沿DE折叠，点B的对应点为F,当MCF为直

角三角形时乃E的长为2或3.

解析①当N。尸=90%寸,

,?AB=AC=6,ZBAC=\20°,

：.ZB=ZC=30°=ZBAF,

：.BF=AF=^AC=2>/3,

由翻折可知乃。=。尸=百，

在RSBDE中,/8=30。,8。=8,BE=-^-=2；

COS30

②当/4口。=90用寸，

由翻折可知NE。尸=9()o=NAFCDE//AF,

BE=AE=-AB=3.

2

综上所述乃E的长为2或3.

3.(2022信阳息县模拟,#)如图,在矩形ABCD中/8=10M。=12,点N是AB边上的中点，点M是

BC边上的一动点，连接MN,将△BMN沿MN折叠，点B的对应点为因连接BC,当&BMC为直角

三角形时的长为5或1.

解析当为直角三角形时，分3种情况讨论.

①当/夕CM=90°fl寸，

••次为"的中点必8=10,

:,AN=BN=B'N=±1AB=5,

'：NB'<AD,^5<12,

•••点B的对应点8不能落在CD所在直线上，

NBCM<90。,故该情况不存在；

②如图,

当NCA®=90时NBMB'=90。,

由折叠的性质得ZBMN=ZB'MN=45°,

'：ZB=90°,：.BN//MB',

：.NBNM=NB'MN=45°,

:.BM=BN上AB=5；

③如图，

RM

当NCBW=90。时，

/NB，M=/CBM=90。故N,B',C三点共线，

设贝!JCM=l2-x,

在RSNBC中，

NC=y/NB2+BC2=V52+122=13,

则B'C=NC-B'N=S,

在RQ87WC中，

由勾股定理可得8加2+夕02=加02,即/+82=(]2-力2,

解得x号,即BM号.

综上所述，满足条件的BM的值为5

4.(2022郑州模拟，中既如图，在AABC4],ZC=90O,AC=12,BC=5,D是边45的中点，点E在边AC上,

将△4£)£沿DE翻折,使得点A落在点4处,当直线A'E±AB时/乐3旧或2旧_.

B

解析分两种情况:

①点A在AC下方，延长AE交A3于£如图,

"A'ELAB,：.ZA'FD=90°,

*ZC=90°,AC=12,BC=5,

.AB=y/AC2+BC2=13,

..BC5AC12

.sinA=—=—cosA4=—=­j

AB13AB13

•。是边AB的中点,

13

.AD=BDf,

•将AADE沿DE翻折,使得点A落在点A处,

13

.A'D=AD=^-,ZDA'F=NA,

在RtAA'DF中，。尸=4。•sinZZ)A(F=yxsinA=yx^=|,

1313I?

A，F=A，D

•cosNDA'Q万xcosA=yx-=6,

135

：.BF=BD+DF^+^

在RtZ^l'8'中,A'B=VBF2+/，尸2=>/92+62=3713；

②点A在AC上方,AE与AB交于F,如图,

A'

由题意知ZA'FD=ZA'FB=90°,

•••将”QE沿DE翻折,使得点A落在点A处，

13

Z.A'D=AD=^,ZDA'F=ZA,

在Rt"DF中,DF=AD•sinZ£>AzF=yxsinA=葭义卷=*

131312

AfF=AfD•cosZDAfF=—xcosA=—x—=6

2213'f

135

：.BF=BD-DF=---=4

22I

在RtaA'BF中,A'B=7BF2+A'F2=V42+62=2m.

综上所述M'B的长度为3旧或2V13.

5.（2022河南多校联考,#）如图，点E是Rt^ABC斜边AC上一点,AB=4,BC=2,将沿BE翻

折，得到"BE,再在AC边上取点匕使点C关于BF的对称点C"恰好落在BA上，连接EC,当

△AEC是直角三角形时,AE的长是头或花.

解析根据题意可知，当"EC是直角三角形时，分ZA'EC'=90专口ZEC'A'=90。两种情况.

在RSABC中，

AB=4,BC=2,：.AC=y/AB2+BC2=2病cosA嘿=唱

由翻折可知,AE=A'E,A'B=AB=4,BC'=BC=2,NA'=NA,

：.A'C'=A'B-BC'=2,

①当N4EC=90。时，点。在AC上,如图,

4,

mil,AfEA>E2-75

贝UC0S>A1=^；=V=—

：

.A,E=-5-,'

②当NEC4=90。时,如图,

贝11cosA卫=卫=独，

AfEAfE5'

：.A'E=V5.

综上所述,AE的长是竽或门.

6.（2022信阳模拟，然）如图，在Rt"BC中,/。=90。,/8=30。/。=3,点D是BC的中点，点E是边

AB上一动点，沿DE所在直线把△BDE翻折到ABDE的位置乃7）交AB于点F,若AABF为直角

三角形，则AE的长为3或羡

解析AAB'F为直角三角形分两种情况讨论.①如图，当NAFQ=90时

在RtAAfiC中,N3=3(r,AC=3,

：.AB=2AC=6,BC=3V3,

.,.BD=CD=—,

2，

:.BF/BD=

24

,?ZBFD=9Q°,：.ZBDF=6Q°,

：.NEDB=/EDF=3。。,

：.NB=/EDB=30。,

：.EB=ED设BE=DE=x,

在RtAEDF中,DE=2EF,

"2©一%),“I，

：.AE=6--=

22

②如图，当乙48户=90。时，作EHLAB交AB的延长线于H,连接AD设AE=x.

'：AD=AD,CD=DB',

：.R"OC<RSAO*(HL),

：.AC=AB'=3,

,/ZAB'E=ZAB'F+ZEB尸=90°+30°=120°,

NEB旧=60。,

在RtAEHB中,B'gB，E=^6-x),EH=y/3B'H=1(6-x),

在Rt^AEH^,EH2+AH2=AE2,

（6—+［3+之（6—久）］=『,解得x=£.

综上所述，满足条件的AE的值为［或高

7.（2022湖北武汉，於）如图，在RMABC中,分别以的三边为边向外作

三个正方形ABHL,ACDE,BCFG,连接OE过点C作AB的垂线C/,垂足为J,分别交DF,LH于点

IK若C7=5,C/=4,则四边形AJKL的面积是80.

解析过点D作OM,C1,交CI的延长线于M过点F作FNLC7,垂足为N.

'：四边形ACDE为正方形,AC=C。乙48=90。,

,ZDCI+ZACJ=90°.

又ZAJC=90°,：.ZACJ+ZCAB=90°,：.ZDCI=ZCAB.

又,/ZAJC=ZDMC=90°,AC=CD,

：.AAJC^ACMD,；.C/=QM=4,同理可得FN=CJ=4.

:&CD产SbCDi+SbCFF^p•DM+^CI•FN3x5x4+1x5x4=20.

'：AC=CD,BC=CF,ZACB=ZDCF=90°,

：.△ACB-△OCR,I.SAABC=5ACDF=20.

：.^AB-CJ=20,

•••四边形为正方形

：.AL=AB=\O.

,：ZCAB+ZACJ=90°,ZBCJ+ZACJ=90°l/./CAB=/BCJ,又•:ZAJC=ZCJB=90°,

.•.△A7CS△加吗=沙.铝彘,

：.AJ=S或2,\"AC>BC,：.AJ=8.

AS四邂A/KL=A八AL=8x10=80.

三、解答题（共19分）

8.（2022驻马店二模，小）在RtAABC中,/48。=90。d3=灰；点£在射线CB上运动.连接AE,将线

段AE绕点E顺时针旋转90。得到EF,连接CF.

⑴如图1,点E在点B的左侧运动.

①当BE=l,BC=V3^,ZEAB=

②猜想线段C4,b与CE之间的数量关系为.

⑵如图2,点E在线段C8上运动时，第⑴问中线段。与CE之间的数量关系是否仍然成立?

如果成立,请说明理由;如果不成立，请求出它们之间新的数量关系.

⑶点E在射线CB上运动,BC=目，设BE=x,以A,E,C,F为顶点的四边形面积为y,请直接写出y与

x之间的函数关系式（不用写出x的取值范围）.

RK

图2

备用图

解析(1)030.AB=BC=V3,BE=1,ZABC=90°,

：.AE=2,

：.ZE4B=30°.

@CA+CF=y12CE.

如图1,过点E作ME工EC交CA的延长线于M,

图】

,/ZABC=90°,AB=BC,

：.ZACB=45°,/.NM=45°,

/.ZM=ZECM,：.ME=EC,

•••将线段AE绕点E顺时针旋转90狷到EF,

：.AE=EFIZAEF=9Q°,

：./AEM=NCEF,

：.△尸EC丝AAEM(SAS),

二CF=AM,

/.CA+CF=CA+AM=CM,

•••丛CME为等腰直角三角形，

CM=yf2CE,

:.CA+CF=y[2CE.

⑵不成立.

理由如下:如图2,过点F作FHLBC交BC的延长线于点H.

图2

由题意得ZA£F=90°,AE=EF,

'：ZBAE+ZAEB=ZAEB+ZFEH=90°,

，NFEH=NBAE,

：.△ABEg△EUF(AAS),

:.FH=BE,EH=AB=BC,

：.CH=BE=FH,

.•.△/77C为等腰直角三角形，

CH=BE=—FC.

2

又,：EC=BC-BE*AC--FC,

即CA-CF=^2CE.

⑶①如图L当点E在点B左侧运动时,

y=^x2+V3x+|.

VAFEC^AA£M,

••S^,FEC=S^AEMi

•**S四边形A£/；C=Sz\A£C+S△/芭。=Sz^A后C+SAAEM=SACM£=5C£~,

\*B£=x,BC=V3z

.*.y=|（.r+V3）2=1x2+V3x+1.

②如图2,当点E在线段CB上运动时产苧x+1.

由⑵可知MM为等腰直角三角形,/77=BE=x,

:.S四边形AEC产SAAEF+SAECF=；/E2+^ECxFH=33+/）+：（国㈤*-^=|+4乂:y="%+（.

综上,），与X之间的函数关系式为.y《x2+8％+1或y=f％+|.

9.（2022信阳模拟,耕）提出问题:在综合与实践课上，老师让同学们以“两个大小不等的等腰直角

三角板的直角顶点重合,并让一个三角板固定，另一个绕直角顶点旋转'’为主题开展数学活动.

如图1,三角板ABC和三角板DEF都是等腰直角三角形,NC=N£点M,N分别为DE.AB的中点.

如图2,将点尸、点C重叠合并在一起，记作点C,点D,E分别落在边BC.AC上，连接A。记AD的

中点为点P,试判断线段PM与PN的数量关系和位置关系.

图2

A

CR

图3

探究交流:“感恩”小组发现,PM=PN,PM，PN,并展示了如下的证明方法：

,/点P,N分别是AD.AB的中点，

1

：.PN//BD,PN=-BD.

点P.M分别是AD.DE的中点，

：.PM//AE,PM=^AE.(^1)

"：CA=CB,CE=CD,：.AE=BD,：.PM=PN.

"PN//BD,：.ZDPN=ZADC.

"PM//AE,：.ZDPM=ZDAC.

"ZBC4=90°,

NAA)C+NCAO=90°,(依据2)

二NMPN=NDPM+NDPN=ZCAD+NADC=90°,：.PM±PN.

反思拓展：

⑴①上述证明过程中的“依据1