新高考数学一轮复习考点精讲讲练学案 与复数模相关的轨迹（图形）问题（含解析）

试卷第=page11页，共=sectionpages33页第第页参考答案1．C【解析】【分析】根据复数的几何意义可知复数z对应的点的轨迹是以原点O为圆心，以1为半径的圆，进而利用点与点之间的距离来求解.【详解】法一：在复平面内，复数z对应的点的轨迹是以原点O为圆心，以1为半径的圆，表示复平面内的点与点之间的距离.因为点与原点O的距离，所以的最小值是，最大值是，故的取值范围是.故选:C.法二：因为复数z满足，不妨设，,则.因为，所以，所以的取值范围是.故选:C.2．D【解析】【分析】设，，复数在复平面内对应的点为，，，复数在复平面内对应的点为，依题意可得、的轨迹方程，最后根据复数模的几何意义计算可得；【详解】解：设，，复数在复平面内对应的点为，则，，因为，所以，所以，所以，则，则在轴上运动，设，，复数在复平面内对应的点为，则，所以，所以，则在以为圆心，为半径为圆上运动，所以，所以，则表示圆上的点与轴上的点的距离，因为圆心到轴的距离，所以；故选：D3．C【解析】【分析】根据复数的几何意义可得构成图形为圆环，即可求出面积.【详解】满足的复数在复平面上对应的点构成的图形为以原点为圆心，半径分别为1和3构成的圆环，所以面积为.故选：C.4．A【解析】【分析】利用复数的几何意义可知复数所对应的点的轨迹为圆，根据圆上的点到定点距离的最值问题可得结果.【详解】设，其对应的点为，因为，所以，即对应的点的轨迹是以原点为圆心，2为半径的圆，表示到点的距离，其最小值为，故选：A.5．D【解析】先根据分析出复数对应的点在复平面内的轨迹，然后将的最大值转化为圆外一点到圆上一点的距离最大值问题并完成求解.【详解】因为表示以点为圆心，半径的圆及其内部，又表示复平面内的点到的距离，据此作出如下示意图：所以，故选：D.【点睛】结论点睛：常见的复数与轨迹的结论：（1）：表示以为圆心，半径为的圆；（2）且：表示以为端点的线段；（3）且：表示以为焦点的椭圆；（4）且：表示以为焦点的双曲线.6．D【解析】【分析】设z＝x+yi（x，y∈R），由题意可知动点的轨迹可看作以为圆心，2为半径的圆，|z+1-i|+|z|可看作点P到和的距离之和，然后即可得到P，A，O三点共线时|z+1-i|+|z|取得最大值时,从而可求出答案.【详解】设z＝x+yi(x，y∈R)，由|z+2-2i|＝2知，动点的轨迹可看作以为圆心，2为半径的圆，|z+1-i|+|z|可看作点P到和的距离之和，而|CO|＝，|CA|＝，易知当P，A，O三点共线时，|z+1-i|+|z|取得最大值时，且最大值为|PA|+|PO|＝(|CA|+2)+(|CO|+2)＝，故选：D．7．A【解析】【分析】直接利用复数模的几何意义求出的轨迹．然后利用数形结合求解即可．【详解】解：点到点与到点的距离之和为2．点的轨迹为线段．而表示为点到点的距离．数形结合，得最小距离为1所以|z＋i＋1|min＝1.故选：A8．A【解析】【分析】设出动点Z坐标为，根据题意列出方程，求出结果.【详解】设动点Z坐标为，则，所以，即，化简得：，故动点Z的轨迹为直线.故选：A9．B【解析】【分析】z1+z2=2i，可得z2=2i﹣z1，|z1﹣z2|=|2z1﹣2i|=2|z1﹣i|，然后根据复数的几何意义和复数的差的模的几何意义即可得出.【详解】解：z1+z2=2i，∴z2=2i﹣z1，则|z1﹣z2|=|2z1﹣2i|=2|z1﹣i|，|z1|=2，∴z1在复平面内所对应的点P的轨迹是以原点为圆心，以2为半径的圆，所对应的点坐标为A(0,1),|z1﹣i|表示P,A的距离，∴|z1﹣i|≤3,2|z1﹣i|≤2×3=6,z1=﹣2i时取等号.|z1﹣z2|的最大值为6，故选：B.【点睛】本题考查了复数的运算法则､圆的复数形式的方程，考查了推理能力与计算能力，属于中档题.关键是复数的几何意义的应用.10．B【解析】【分析】根据复数差的模的几何意义可得复数在复平面上对应的点的轨迹，再次利用复数差的模的几何意义得到，从而可得的值.【详解】因为，故复数在复平面上对应的点到对应的点的距离小于或等于2，所以在以为圆心，半径为2的圆面内或圆上，又表示到复数对应的点的距离，故该距离的最大值为，最小值为，故.故选：B.【点睛】本题考查复数中的几何意义，该几何意义为复平面上对应的两点之间的距离，注意也有明确的几何意义（可把化成），本题属于中档题.11．C【解析】【分析】本题可根据得出点的轨迹为以为圆心、以为半径的圆，即可得出结果.【详解】因为，所以复数在复平面内所对应的点到点的距离为，则点的轨迹为以为圆心、以为半径的圆，故的取值范围为，的最大值为，故选：C.12．C【解析】【分析】根据复数的几何意义得，表示以为圆心，1为半径的圆及其内部，表示复数所对应的点到点的距离，然后再利用点于圆的位置关系求解.【详解】由复数的几何意义得，表示以为圆心，1为半径的圆及其内部，表示复数所对应的点到点的距离，点到圆心的距离为，所以的最大值为.故选：C.13．B【解析】【分析】根据已知条件结合复数的几何意义确定所对应点的轨迹方程，然后确定，结合复数几何意义及圆的切割线定理即可求出结果.【详解】设（），则，即所对应点在以为圆心，1为半径的圆上，设该圆与轴交点，因为模为1的纯虚数对应复平面内的点为，即，若，则为的中点，故对应的点不合题意，舍去，因此，由圆的切割线定理可得，设，则，则，则.故选：B.14．C【解析】【分析】根据复数的概念和运算以及几何意义，逐项分析判断即可得解.【详解】设，则，，故A正确；由，得，则，当时，的最大值为2，故B正确；，，与不一定相等，故C错误；满足的的轨迹是以为圆心，以1为半径的圆，如图所示，则，故D正确．故选：C．15．C【解析】【分析】先求，再求轨迹方程.【详解】，由题意知，则复数对应点的轨迹方程为.故选：C．【点睛】利用复数减法的几何意义，可以表示以下曲线：①表示以点Z0为圆心，1为半径的圆；②表示以Z1、Z2为焦点的椭圆；③表示以Z1、Z2为焦点的双曲线.16．D【解析】【分析】设对应的点为，求出，由复数模的几何意义得的轨迹，根据圆的性质可得最值．得范围【详解】因为，所以对应的点在以原点为圆心，2，3为半径的圆环内，如图，记对应的点为，则，，，由图可得：，，所以的取值范围是．故选：D．17．B【解析】【分析】设复数z在复平面内对应的点为Z，由复数的几何意义可知点的轨迹为轴，则问题转化为轴上的动点到定点距离的最小值，从而即可求解.【详解】解：设复数z在复平面内对应的点为Z，因为复数z满足，所以由复数的几何意义可知，点到点和的距离相等，所以在复平面内点的轨迹为轴，又表示点到点的距离，所以问题转化为轴上的动点到定点距离的最小值，所以的最小值为2，故选：B.18．A【解析】【分析】设复数，由，利用其几何意义求解.【详解】解：设复数，因为，所以，即复数z表所对应的点在以（5，5）为圆心，以2为半径的圆上，所以z在复平面内对应的点所在的象限为第一象限.故选：A19．C【解析】【分析】由复数模的运算可得结论．【详解】设，∵，∴，即.故选：C．20．C【解析】【分析】由题意得到，根据复数的几何意义可以得到点的轨迹是以为焦点的椭圆，进而结合椭圆的定义和性质判断①、②、③，然后利用基本不等式判断④.【详解】由，则点的轨迹是以为焦点，为长半轴长，为短半轴长，为半焦距的椭圆.由椭圆定义可知，②正确；表示椭圆上的点到原点的距离的平方，易知椭圆短轴上的端点到原点的距离最小，长轴上的端点到原点的距离最大，分别为1和2，故的取值范围是，①正确；表示椭圆上的点与点连线的斜率，设直线与椭圆相切，联立直线与椭圆方程并化简得：，，根据点与椭圆的位置关系可知，的取值范围是，③正确；根据题意，，当且仅当时取“=”，④错误.故选：C.21．B【解析】【分析】设，代入中，再利用模的运算，即可得答案.【详解】设，代入得：.故选：B22．B【解析】【分析】把点的坐标代入，用复数模的公式化简即得解.【详解】因为，所以，所以.故选：B23．D【解析】【分析】设（），则由题意可得，由此可知在如图所示有阴影上，而表示到点的距离，结合图形求解即可【详解】解：设（），则，因为，所以，所以在如图所示有阴影上，因为表示到点的距离，而到的距离为，大圆的半径为，所以的最大值为，故选：D24．D【解析】【分析】根据复数的几何意义求解即可.【详解】复数满足，其对应的点是以原点为圆心，为半径的圆上的点，复数几何意义是复数对应的点到点的距离，所以的最大值为，故选：D.25．C【解析】【分析】根据的几何意义可知Z的集合为以原点为圆心，1为半径的圆，由此可判断A;由得几何意义是表示以为圆心，1为半径的圆，可判断B;由的几何意义是表示以原点为圆心，分别以1和为半径的两圆所夹的圆环,求出圆环的面积，可判断C；由的几何意义是表示以点，为端点的线段的垂直平分线，可判断D.【详解】若，则点Z的集合为以原点为圆心，1为半径的圆，有无数个圆上的点与复数z对应，故A错误；若，则点Z的集合为以为圆心，1为半径的圆，故B错误；若，则点Z的集合为以原点为圆心，分别以1和为半径的两圆所夹的圆环，所以点Z的集合所构成的图形的面积为，故C正确;若，则点Z的集合是以点，为端点的线段的垂直平分线，集合中有无数个元素，故D错误,故选:C．26．C【解析】【分析】①根据复数是纯虚数，由求解判断；②先利用复数的除法化简复数，再利用复数的几何意义判断；③根据复数模的几何意义判断；【详解】①因为复数是纯虚数，则，解得，故正确；②复数，则复数z在复平面内对应的点在第一象限，故错误；③因为复数z满足，所以z在复平面内所对应点的轨迹以原点为圆心，以1为半径的是圆，故正确；所以正确结论的个数是2个，故选：C27．C【解析】【分析】由复数模的几何意义求解．【详解】记，，，对应的点为，则满足的点在线段的垂直平分线上，易知其方程为，即，表示点到点的距离，由点到直线距离公式得．故选：C．28．C【解析】【分析】本题首先可设，根据得出点的轨迹是以为圆心、为半径的圆，然后设，根据得出点的轨迹是一条直线，最后通过求出直线上的点到圆的最短距离即可得出结果.【详解】设复数，对应的点为，，即，，点的轨迹是以为圆心、为半径的圆，设复数，对应的点为，，即，化简可得，点的轨迹是一条直线，表示点与点的距离，即圆上的一点到直线的距离，圆与直线相离，圆心到直线的距离，故的最小值为，故选：C.【点睛】关键点点睛：本题考查复数的几何意义，能否根据题意得出点的轨迹是以为圆心、为半径的圆以及点的轨迹是一条直线是解决本题的关键，考查直线上的点到圆的距离的最值的求法，考查计算能力，是中档题.29．ACD【解析】根据复数对应的坐标，判断A选项的正确性.根据互为共轭复数的两个复数坐标的对称关系，判断B选项的正确性.设出，利用，结合复数模的运算进行化简，由此判断出点的轨迹，由此判读C选项的正确性.结合C选项的分析，由点到直线的距离公式判断D选项的正确性.【详解】复数在复平面内对应的点为，A正确；复数的共轭复数对应的点与点关于实轴对称，B错误；设，代入，得，即，整理得，；即Z点在直线上，C正确；易知点到直线的垂线段的长度即为、Z之间距离的最小值，结合点到直线的距离公式可知，最小值为，故D正确.故选：ACD【点睛】本小题主要考查复数对应的坐标，考查共轭复数，考查复数模的运算，属于基础题.30．BCD【解析】【分析】由待定系数法先假设，则，根据共轭复数的概念判断A选项，根据模长的公式判断B选项，根据复数的运算法则判断C选项，根据复数的几何意义判断D选项.【详解】设复数，由，所以，因此：，故A选项错误；因为，所以B选项正确；因为，所以，则所以，所以C选项正确；因为，根据复数的几何意义可知，复数所表示的点的轨迹是以为圆心，1为半径的圆，则由对称性可知，复数所表示的点的轨迹是以为圆心，1为半径的圆，由的几何意义表示点与间的距离，由图可知：，故D选项正确；故选：BCD.【点睛】本题主要考查了复数的几何意义以及复数的乘除运算，在求解过程中始终利用对式子进行化简，而复数的几何意义有两个，一个是点对应，一个是向量对应，在解题中要清楚.31．ACD【解析】【分析】根据复数对应的坐标，判断A选项的正确性.根据互为共轭复数的两个复数坐标的对称关系，判断B选项的正确性.设出，利用，结合复数模的运算进行化简，由此判断出点的轨迹，由此判读C选项的正确性.结合C选项的分析，判断D选项的正确性.【详解】复数在复平面内对应的点为，A正确；复数的共轭复数对应的点与点关于实轴对称，B错误；设，代入，得，即，整理得，；即Z点在直线上，C正确；易知点到直线的垂线段的长度即为、Z之间距离的最小值，故D正确.故选：ACD32．AC【解析】【分析】复数i在复平面内对应的点为，故选项A正确；复数在复平面内对应的点是以为圆心，1为半径的圆，故在复平面内对应的点不一定在第一象限，故选项B错误；的最大值为，故选项C正确；的最小值为，故选项D错误．【详解】复数i在复平面内对应的点为，则，所以点在第四象限，故选项A正确；复数满足i|=1，则在复平面内对应的点是以为圆心，1为半径的圆，故在复平面内对应的点不一定在第一象限，故选项B错误；表示点，之间的距离，所以的最大值为，故选项C正确；表示点与点之间的距离，所以的最小值为，故选项D错误．故选：AC33．【解析】【分析】利用复数的几何意义求解，表示复平面内到点距离为1的所有复数对应的点，表示复平面内到点的距离，结合两点间距离公式可求范围.【详解】因为在复平面内，表示复平面内到点距离为1的所有复数对应的点，即复数对应的点都在以为圆心，半径为1的圆上；表示复平面内的点到点的距离，最小值为，最大值为，所以的取值范围是.故答案为：.【点睛】结论点睛：本题考查复数的模，复数的几何意义，复数的几何意义是复平面内两点之间的距离公式，若，则表示复平面内点与点之间的距离，表示以为圆心，以r为半径的圆上的点.34．3【解析】【分析】设，则，根据复数几何意义知，表示在复平面内，到的距离，从而求得最大值.【详解】设，则，根据复数几何意义知，表示在复平面内，到的距离，则最大值为，故答案为：335．【解析】【分析】先设，，根据题意，得到复数对应的点，在以为圆心，以为半径的圆及圆内的部分运动，再根据点与圆位置关系，即可得出结果.【详解】设，，因为，则，即，所以复数对应的点，在以为圆心，以为半径的圆及圆内的部分运动；又，表示复数对应的点到原点的距离，又圆的圆心到直线的距离为，所以的最大值为：.故答案为：.【点睛】本题主要考查求复数模的最值，熟记复数的几何意即可，涉及点与圆位置关系，属于常考题型.36．4【解析】由，所以复数对应的点在单位圆上，由表示复数对应的点与复数对应的点之间的距离，根据圆的性质可得答案.【详解】因为，所以复数对应的点在单位圆上，表示复数对应的点与复数对应的点之间的距离，而．所以的最大值为.故答案为：437．5【解析】【分析】设，，根据题干条件得到，，化简得到，根据求出最大值.【详解】设，，则，变形为，两边平方后得到，两边平方后得到，将代入，即，故，则，当时，取得最大值，最大值为5故答案为：538．【解析】设复数，根据，结合复数模的运算公式，即可求解.【详解】由题意，设复数，因为，可得，整理得，即复数在复平面内对应的点为则满足的关系式为.故答案为：.39．（1）图象见解析；（2）图象见解析.【解析】【分析】（1）设，则由题意可得且，从而可画出图形，（2）设，则由题意可得，从而可画出图形【详解】（1）设，则由题意可得且，则表示的图形如图所示

（2）设，则由题意可得，则表示的图形如图所示40．以点与点为焦点，长轴为4的椭圆.【解析】【分析】先写出椭圆的复数方程，设出B，