新高考数学一轮复习考点精讲讲练学案 两条直线的相交、距离问题（含解析）

试卷第=page11页，共=sectionpages33页试卷第=page11页，共=sectionpages33页微专题：两条直线的相交、距离问题【考点梳理】1.两条直线的交点坐标一般地，将两条直线的方程联立，得方程组eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(A1x＋B1y＋C1＝0，,A2x＋B2y＋C2＝0.))若方程组有唯一解，则两条直线相交，此解就是交点的坐标；若方程组无解，则两条直线无公共点，此时两条直线平行.2.距离公式(1)两点间的距离公式：点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)两点间的距离为|P1P2|＝eq\r(（x2－x1）2＋（y2－y1）2).特别地，原点O(0，0)与任一点P(x，y)间的距离为|OP|＝eq\r(x2＋y2).(2)点到直线的距离公式：点P0(x0，y0)到直线l：Ax＋By＋C＝0的距离d＝eq\f(|Ax0＋By0＋C|,\r(A2＋B2)).(3)两条平行直线间的距离：两条平行直线l1：Ax＋By＋C1＝0与l2：Ax＋By＋C2＝0(C1≠C2)间的距离d＝eq\f(|C1－C2|,\r(A2＋B2)).【题型归纳】题型一：相交直线的交点坐标1．直线与直线互相垂直，且两直线交点位于第三象限，则实数a的值为（

）A．1 B．3 C．－1 D．－32．过两条直线与的交点，倾斜角为的直线方程为(

)A． B．C． D．3．经过两直线与的交点，且平行于直线的直线方程是（

）A． B．C． D．题型二：两点间的距离公式4．已知点在直线上的运动，则的最小值是（

）A． B． C． D．5．以，，为顶点的三角形的面积等于（

）A．1 B． C． D．26．F为抛物线的焦点，点在C上，直线MF交C的准线于点N，则（

）A． B． C．5 D．12题型三：点到直线的距离公式7．已知圆C经过点，且与直线相切，则其圆心到直线距离的最小值为（

）A．3 B．2 C． D．8．已知点，向量，过点P作以向量为方向向量的直线为l，则点到直线l的距离为（

）A． B． C． D．9．曲线上的点到直线的最短距离是（

）A．2 B． C． D．题型四：两平行线间的距离公式10．已知直线和互相平行，则它们之间的距离是（

）A．4 B． C． D．11．直线：与：之间的距离为（

）A． B． C． D．12．两条平行直线与之间的距离为（

）A． B． C． D．【双基达标】13．已知点，，动点P在直线上，则的最小值是（

）A．3 B．4 C．5 D．614．点到直线的距离为（

）A． B． C． D．15．唐代诗人李颀的诗《古从军行》开头两句说：“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河”，诗中隐含着一个有趣的数学问题——“将军饮马”问题，即将军在观望烽火之后从山脚下某处出发，先到河边饮马后再回到军营，怎样走才能使总路程最短？在平面直角坐标系中，设军营所在的位置为，若将军从山脚下的点处出发，河岸线所在直线l的方程为，则“将军饮马”的最短总路程是（

）A． B． C． D．16．直线2y－x＋1＝0关于y－x＝0对称的直线方程是（

）A．y－2x－1＝0 B．y＋2x－1＝0 C．.y＋2x＋1＝0 D．2y＋x＋1＝017．唐代诗人李颀的诗《古从军行》开头两句说：“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河.”诗中隐含着一个有趣的数学问题——“将军饮马”问题，即将军在观望烽火之后从山脚下某处出发，先到河边饮马后再回到军营，怎样走才能使总路程最短?在平面直角坐标系中，设军营所在位置为，若将军从点处出发，河岸线所在直线方程为.则“将军饮马“的最短总路程为（

）A． B． C． D．18．点(2，1)到直线l：x－2y＋2＝0的距离为（

）A． B．C． D．019．已知直线l：，则下列结论正确的是（

）A．直线l的倾斜角是B．若直线m：，则C．点到直线l的距离是1D．过与直线l平行的直线方程是20．设集合，，若，则实数a的值为（

）A．4 B． C．4或 D．或221．l1，l2是分别经过A(1，1)，B(0，－1)两点的两条平行直线，当l1，l2间的距离最大时，直线l1的方程为（

）A．x＋2y－3＝0 B．x－2y－3＝0C．2x－y－1＝0 D．2x－y－3＝022．已知三角形的三个顶点，，，则边上中线的长为（

）A． B． C． D．23．直线，为直线上动点，则的最小值为（

）A． B． C． D．24．到，的距离相等的动点P满足的方程是（

）A． B．C． D．25．在平面直角坐标系中，以，，为顶点构造平行四边形，下列各项中不能作为平行四边形第四个顶点坐标的是（

）A． B． C． D．26．直线y＝4x﹣5关于点P（2，1）对称的直线方程是（

）A．y＝4x+5 B．y＝4x﹣5 C．y＝4x﹣9 D．y＝4x+927．已知线段AB两端点的坐标分别为和，若直线与线段AB有交点，则实数m的取值范围是（

）A． B．C． D．28．已知点O（0，0），A（–2，0），B（2，0）．设点P满足|PA|–|PB|=2，且P为函数y=图像上的点，则|OP|=（

）A． B． C． D．29．若直线与直线的交点位于第二象限，则直线的倾斜角的取值范围是（

）A． B．C． D．30．已知直线与直线和的距离相等，则的方程是（

）A． B．C． D．【高分突破】一、单选题31．设直线，为直线上动点，则的最小值为（

）A． B． C． D．32．已知点，，点在轴上，则的最小值为（

）A．6 B． C． D．33．已知圆和圆的公共弦所在的直线恒过定点，且点在直线上，则的最小值为（

）A． B． C． D．34．已知点与关于直线对称，则的值分别为（

）A．1，3 B．， C．-2，0 D．，35．点关于直线的对称点是（

）A． B． C． D．36．已知直线：，点，，若直线与线段相交，则的取值范围为（

）A． B． C． D．37．在平面直角坐标系中，若双曲线(，)的右焦点到一条渐近线的距离为，则其离心率的值为A． B． C． D．二、多选题38．若点A(a，1)到直线3x－4y＝1的距离为1，则a的值为（

）A．0 B．C．5 D．－39．已知直线，，，以下结论正确的是（

）A．不论为何值时，与都互相垂直；B．当变化时，与分别经过定点和C．不论为何值时，与都关于直线对称D．如果与交于点M，则的最大值是40．已知平面上一点，若直线上存在点使，则称该直线为“切割型直线”，下列直线中是“切割型直线”的是（

）A． B． C． D．41．在平面直角坐标系xOy中，已知，，点P满足，设点P的轨迹为C，下列结论正确的是（

）A．C的方程为B．在x轴上存在异于A，B的两个定点D，E，使得C．当A，B，P三点不共线时，D．若点，则在C上存在点M，使得三、填空题42．已知直线l被两条直线和截得的线段的中点为，则直线l的一般式方程为______．43．已知直线l1与l2：x＋y－1＝0平行，且l1与l2的距离为，则l1的方程为________．44．已知实数a，b，c，d满足，则的最小值为____________45．方程组有无穷多组解，则实数___________46．已知直线l1：ax－2y＝2a－4，l2：2x＋a2y＝2a2＋4，当0＜a＜2时，直线l1，l2与两坐标轴围成一个四边形，当四边形的面积最小时，实数a＝________.47．已知直线经过两条直线和的交点，且垂直于直线，则直线方程为___________.四、解答题48．已知的两条高所在的直线方程为，若点A坐标为（1）求垂心H的坐标；（2）若关于直线的对称点为N，求点N到直线BC的距离．49．已知点到直线的距离为1，求C的值．50．已知直线过点，且其倾斜角是直线的倾斜角的（1）求直线的方程；（2）若直线与直线平行，且点到直线的距离是，求直线的方程．51．已知直线l：，（）.（1）若直线l不经过第四象限，求k的取值范围；（2）若直线l交x轴的负半轴于点A，交y轴的正半轴于点B，O为坐标原点，设的面积为S，求S的最小值及此时直线l的方程.52．已知的顶点A（3，1），边AB上的高CE所在直线的方程为x+3y-5=0，AC边上中线BD所在的直线方程为x+y-4=0（1）求直线AB的方程；（2）求点C的坐标．第第页参考答案1．C【解析】【分析】根据两直线垂直，列出关于a的方程，求得其值，结合两直线交点在第三象限，即可确定答案.【详解】由直线与直线互相垂直，可得，解得或3，当时，联立，解得交点坐标为，不合题意；当时，联立，解得交点坐标为，合乎题意，故实数a的值为，故选:C2．A【解析】【分析】联立两条直线的方程求出交点坐标，再根据直线方程的点斜式即可求解．【详解】由解得，故两直线交点为(－1，2)，故直线方程是：，即．故选：A．3．D【解析】【分析】首先求两直线的交点坐标，再设直线方程为，将交点坐标代入方程，即可求出参数的值，即可得解；【详解】解：由，解得，所以直线与的交点为，设与直线平行的直线为，所以解得，所以直线方程为；故选：D4．A【解析】【分析】表示点与距离的平方，求出到直线的距离，即可得到答案.【详解】表示点与距离的平方，因为点到直线的距离，所以的最小值为．故选：A5．A【解析】【分析】先求出及直线的方程，再利用距离公式求出到直线的距离，按照三角形的面积公式即可求解.【详解】由题意知：，直线的方程为，即，则到直线的距离为，故三角形的面积为.故选：A.6．B【解析】【分析】依据两点间距离公式去求【详解】点在抛物线上，则，解之得，则又抛物线的焦点F，准线则直线MF的方程为，则N则故选：B7．D【解析】【分析】利用已知可推出圆心C的轨迹为抛物线，利用抛物线的几何性质求解即可.【详解】解：依题意，设圆C的圆心，动点C到点P的距离等于到直线的距离，根据抛物线的定义可得圆心C的轨迹方程为，设圆心C到直线距离为d，，当时，，故选：D．8．B【解析】【分析】先求得直线l的方程，再利用点到直线距离公式去求点到直线l的距离即可.【详解】以向量为方向向量的直线l的斜率则过点P的直线l的方程为，即则点到直线l的距离故选：B9．D【解析】【分析】求出令，得，利用点到直线的距离公式可得答案.【详解】，令，得，则点到直线的距离就是所求的最短距离，即.故选：D.10．D【解析】【分析】先由平行求出，再由平行线间距离公式求解即可.【详解】由直线平行可得，解得，则直线方程为，即，则距离是.故选：D.11．B【解析】【分析】先判断与平行，再由平行线间的距离公式求解即可.【详解】由可得，即与平行，故与之间的距离为.故选：B.12．C【解析】【分析】根据两直线平行求出，再利用两平行直线之间的距离公式可求出结果.【详解】因为直线与直线平行,所以,解得,将化为,所以两平行直线与之间的距离为.故选：C13．C【解析】【分析】求得关于直线的对称点，利用两点间的距离公式求得的最小值.【详解】关于直线的对称点的坐标为，则，则的最小值是.故选：C14．B【解析】【分析】直接代入点到直线距离公式，即可得解.【详解】根据距离公式可得：点到直线的距离，故选：B.15．D【解析】【分析】先求点关于直线对称的点，再根据两点之间线段最短，即可得解.【详解】如图，设关于直线对称的点为，则有，可得，可得，依题意可得“将军饮马”的最短总路程为，此时，故选：D.16．A【解析】在直线2y－x＋1＝0上任取一点，设关于y－x＝0的对称点为，再利用垂直平分求解.【详解】在直线2y－x＋1＝0上任取一点，设关于y－x＝0的对称点为，则，解得，代入直线2y－x＋1＝0，得y－2x－1＝0，故选：A17．C【解析】作出图形，求出点关于直线的对称点的坐标，在直线上取点，利用、、三点共线时取得最小值即可得解.【详解】如下图所示，设点关于直线的对称点为，由题意可得，解得，即点，在直线上取点，由对称性可得，所以，，当且仅当、、三点共线时，等号成立，因此，“将军饮马“的最短总路程为.故选：C.【点睛】思路点睛：本题考查“将军饮马”最短路径问题，求解此类问题的基本思路就是求得动点关于所在直线的对称点后，利用三角形两边之和大于第三边的特点，利用三点共线时求得最值来求解.18．B【解析】【分析】直接运用点到直线距离公式进行求解即可.【详解】点(2，1)到直线l：x－2y＋2＝0的距离为，故选：B19．D【解析】根据直线的倾斜角、斜率、点到直线的距离公式、两直线平行的条件逐一判断各个选项即可．【详解】∵：，即，∴直线的斜率，∴，则A错；又，则B错；点到直线的距离是，则C错；过与直线平行的直线方程是，即，则D对；故选：D．【点睛】本题主要考查直线的方程，属于基础题．20．C【解析】【分析】本题先化简集合A、集合B，再结合，确定直线与平行或直线过点，最后求实数a的值.【详解】解：集合A表示直线，即上的点，但除去点，集合B表示直线上的点，当时，直线与平行或直线过点，所以或，解得或．故选：C.【点睛】本题考查集合的运算、利用两条直线平行求参数、利用两条直线的交点求参数，是基础题.21．A【解析】【分析】根据题意，当两条平行直线与AB垂直时，两条平行直线的距离最大，求得直线l1的斜率，结合点斜式，即可求解.【详解】当两条平行直线与AB垂直时，两条平行直线的距离最大，因为，所以所以l1的方程为，即.故选：A.22．B【解析】【分析】根据中点坐标公式求解出中点的坐标，结合两点间距离公式求解出边上中线的长.【详解】设边的中点为.因为，，所以，，即，所以，故选：B.23．C【解析】【分析】根据题意，所求最值即为到直线距离的平方，即可求解.【详解】解：由题意得：表示到的距离的平方,而为直线上动点,所以的最小值，即为到直线距离的平方，即，故选：C24．B【解析】【分析】设点，利用，整理化简后可的点P满足的方程.【详解】设，因为点P到，的距离相等，则即，化简整理得：．故选：B【点睛】本题主要考查了求点的轨迹方程，涉及两点间距离公式，属于基础题.25．A【解析】【分析】依次代入四个选项的坐标，求出每种情况下四边的长度，结合对边是否平行即可选出正确答案.【详解】设第四个顶点为．当点的坐标为时，，，，．∵，，∴四边形不是平行四边形．A不正确；当点坐标为时，因为，即且，故是平行四边形，B正确；当点坐标为时，因为，即且，故是平行四边形，C正确；当点坐标为时，因为，即且，故是平行四边形，D正确；故选：A．【点睛】本题考查了两点间的距离公式，考查了判断两直线是否平行，属于基础题.26．C【解析】【分析】设直线上的点关于点的对称点的坐标为，求出，，再代入直线中即可得到对称直线的方程.【详解】设直线上的点关于点的对称点的坐标为，所以，，所以，，将其代入直线中，得到，化简得，故选：C．【点睛】本题主要考查的知识要点：直线的方程和中点坐标公式，属于基础题.27．C【解析】【分析】判断出直线所过定点，结合图象求得的取值范围【详解】直线恒过的定点，.当时，直线方程为，与线段有交点，符合题意.当时，直线的斜率为，则，解得或，综上，.故选：C28．D【解析】【分析】根据题意可知，点既在双曲线的一支上，又在函数的图象上，即可求出点的坐标，得到的值．【详解】因为，所以点在以为焦点，实轴长为，焦距为的双曲线的右支上，由可得，，即双曲线的右支方程为，而点还在函数的图象上，所以，由，解得，即．故选：D.【点睛】本题主要考查双曲线的定义的应用，以及二次曲线的位置关系的应用，意在考查学生的数学运算能力，属于基础题．29．D【解析】【分析】联立方程组求得两直线的交点坐标，根据交点位于第二象限，列出不等式，求得，结合倾斜角和斜率的关系，即可求解.【详解】联立方程组，解得，因为两直线的交点位于第二象限，可得且，解得，设直线的倾斜角为，其中，即，解得，即直线的倾斜角的取值范围是.故选：D.30．D【解析】【分析】设所求直线方程为：，根据该直线与和的距离相等，建立方程求解可得选项.【详解】设所求直线l方程为：，因为直线l与；距离相等，所以，解得，所以所求直线方程为：，故选：D.31．A【解析】【分析】利用的几何意义，通过数形结合即可得解.【详解】表示点到点距离的平方，该距离的最小值为点到直线的距离，即，则的最小值为.故选：A.【点睛】关键点点睛：本题考查点到线的距离公式，利用两点之间距离的几何意义，通过数形结合是解题的关键，属于基础题.32．B【解析】【分析】利用对称性，结合两点间线段最短进行求解即可.【详解】点，，点在轴上，点关系轴的对称点为，.故选：B.33．C【解析】先根据两圆方程得公共弦方程，再求得点，再根据的几何意义即可求解.【详解】由圆和圆，可得圆和的公共弦所在的直线方程为，联立，解得，即点又因为点在直线上，即，又由原点到直线的距离为，即的最小值为.故选：C.【点睛】本题考查圆的公共弦问题，直线过定点问题，点到直线的距离问题，考查数学运算能力与化归转化思想，是中档题.34．B【解析】点关于直线对称，则利用垂直关系，以及线段的中点在直线上，列式求解.【详解】，若点与关于直线对称，则直线与直线垂直，直线的斜率是，所以，得.线段的中点在直线上，则，得故选:B35．B【解析】【分析】设出对称点，根据对称关系列出式子即可求解.【详解】解：设点关于直线的对称点是，则有，解得，，故点关于直线的对称点是.故选：B.【点睛】方法点睛：关于轴对称问题：（1）点关于直线的对称点，则有；（2）直线关于直线的对称可转化为点关于直线的对称问题来解决.36．C【解析】根据题意得直线恒过点，进而得直线的斜率的取值范围为：或，再根据，解不等式即可得答案.【详解】直线方程变形得：.由得，∴直线恒过点，，，由图可知直线的斜率的取值范围为：或，又，∴或，即或，又时直线的方程为，仍与线段相交，∴的取值范围为.故选：C.【点睛】本题解题的关键在于根据直线系方程得直线恒过点.考查数形结合思想，运算求解能力，是中档题.37．B【解析】利用双曲线的简单性质，以及点到直线的距离列出方程，转化求解即可.【详解】双曲线(，)的右焦点到一条渐近线的距离为可得：可得，即所以双曲线的离心率为：.故选:B.【点睛】本题考查双曲线的简单性质，焦点坐标，渐近线方程，还运用双曲线中焦点到渐近线的距离为以及点到直线的距离公式：.38．AB【解析】【分析】利用点到直线距离公式求解即可.【详解】点A(a，1)到直线3x－4y＝1的距离为故，解得或故选：AB39．ABD【解析】【分析】由两直线垂直的判定方法判断A；根据直线过定点的求解方法判断B；设上一点，其关于对称的点是否在上，判断C；联立两直线方程可求得，利用两点间距离公式表示出，根据函数最值的求法可求得的最大值，判断D.【详解】对于A，恒成立，恒成立，A正确；对于B，对于直线，当时，恒成立，则过定点；对于直线，当时，恒成立，则恒过定点，B正确；对于C，在上任取点，关于直线对称的点的坐标为，代入方程知：不在上，C错误；对于D，联立，解得：，即，，即的最大值是，D正确.故选：ABD.40．BC【解析】【分析】所给直线上的点到定点距离能否取，可通过求各直线上的点到点的最小距离，即点到直线的距离来分析，分别求出定点到各选项的直线的距离，判断是否小于或等于4，即可得出答案.【详解】所给直线上的点到定点距离能否取，可通过求各直线上的点到点的最小距离，即点到直线的距离来分析．A．因为，故直线上不存在点到距离等于，不是“切割型直线”；B．因为，所以在直线上可以找到两个不同的点，使之到点距离等于，是“切割型直线”；C．因为，直线上存在一点，使之到点距离等于，是“切割型直线”；D．因为，故直线上不存在点到距离等于，不是“切割型直线”．故选：BC.41．BCD【解析】【分析】结合两点的距离公式计算即可判断A；利用对称的特点即可判断B；利用坐标表示向量的线性运算即可判断C；结合点到直线的距离即可判断D.【详解】选项A：设，由条件，，即，所以C的方程为，故A错误；选项B：由对称性可知，存在D，E满足条件，故B正确；选项C：，，所以，故，故C正确；选项D：由知，M的轨迹是线段B的垂直平分线，其方程为，圆C的圆心到l的距离，所以直线1与圆C相交，故在C上存在点M，使得，故D正确.故选：BCD42．【解析】【分析】通过解方程组求出直线l与两直线交点的坐标，再利用中点坐标公式进行求解即可.【详解】设直线l的斜率为，因为直线l过，所以直线方程为，由，由，由题意可知：是截得的线段的中点，所以，即，故答案为：43．x＋y＋1＝0或x＋y－3＝0【解析】【分析】根据两直线平行时，直线方程的特点，结合平行线距离公式进行求解即可.【详解】设l1的方程为x＋y＋C＝0(C≠－1)，由题意得＝，得C＝1或C＝－3，故所求的直线方程为x＋y＋1＝0或x＋y－3＝0.故答案为：x＋y＋1＝0或x＋y－3＝044．【解析】【分析】由题知所求式子为与两点间距离的平方，根据已知等式可知直线上的点到直线上点的距离的平方，利用点到直线的距离公式即求.【详解】∵实数a，b，c，d满足，∴，，∴点在直线上，点在直线上，∴的几何意义就是直线上的点到直线上点的距离的平方，故所求最小值为.故答案为：.45．【解析】【分析】由已知关于的方程组有无穷多组解，则直线与直线重合，根据两条直线重合对应系数成比例，构造关于的方程，解方程即可得到答案．【详解】解：若关于的方程组有无穷多组解，则直线与直线重合，即，解得，故答案为．【点睛】本题考查的知识点是直线的一般式方程与直线的平行关系，其中根据已知分析出两条直线重合是解答本题的关键，是基础题．46．【解析】先确定两直线恒过定点P(2，2)，再结合图像四边形的面积S＝，整理判断二次函数何时取最小值即可.【详解】由题意知，直线l1，l2恒过定点P(2，2)，如图所示，直线l1与y轴的交点为，直线l2与x轴的交点为，所以四边形的面积S