新高考数学一轮复习考点精讲讲练学案 直线交点系方程及其应用（含解析）

试卷第=page11页，共=sectionpages33页第第页参考答案1．D【解析】【分析】把直线都过一个定点转化为求直线和直线的交点，联立方程组即可求解.【详解】直线方程可化为，则此直线过直线和直线的交点．由解得因此所求定点为．故选：D．2．B【解析】把整理成，根据方程特点可得答案.【详解】由得，对于总成立，，所以，即总经过点是.故选：B.3．C【解析】根据题意得直线恒过点，进而得直线的斜率的取值范围为：或，再根据，解不等式即可得答案.【详解】直线方程变形得：.由得，∴直线恒过点，，，由图可知直线的斜率的取值范围为：或，又，∴或，即或，又时直线的方程为，仍与线段相交，∴的取值范围为.故选：C.【点睛】本题解题的关键在于根据直线系方程得直线恒过点.考查数形结合思想，运算求解能力，是中档题.4．B【解析】【分析】根据条件先判断出直线所过的定点，此时到距离的最大值即为的距离.【详解】因为，所以，所以，所以直线过定点，所以到直线的距离的最大值为：，故选：B.【点睛】本题考查直线过定点以及直线外一点到动直线的距离的最大值，解答本题的关键是能通过分析直线的方程确定出所过的定点，难度一般.5．D【解析】由题意可知点为圆上的点，由于两点在直线的同侧，所以求出点关于直线的对称点为，则，然后利用两点间线段最短可得答案【详解】解：由，得，由，得，所以，化简得，所以点为圆上的点，设点关于直线的对称点为，则，解得，即因为，所以当点共线，且过点时，取最小值，所以的最小值为故选：D【点睛】关键点点睛：此题考查直线与圆的应用，考查距离问题，解题的关键是求出点关于直线的对称点为，将的最小值转化为的最小值，属于中档题6．D【解析】【分析】由已知得，，过定点的直线与过定点的直线垂直，位于以为直径的圆上，由此能求出的值即可．【详解】在平面内，过定点的直线与过定点的直线相交于点，，，过定点的直线与过定点的直线垂直，位于以为直径的圆上，，，故选：D．【点睛】本题考查圆的轨迹方程求解，解题时要认真审题，注意两点间距离公式的合理运用．7．B【解析】【分析】找出直线恒过的定点，画出曲线y＝－2＋，数形结合进行判断.【详解】整理化简为：根据交点直线系方程，该直线恒过直线与直线的交点.联立方程组，解得直线恒过定点对曲线y＝－2＋整理化简为：故其为一个以为圆心，半径为3的半圆，在同一直角坐标系下绘制图像如下图所示：由图可知，直线与曲线有两个交点的临界情况如上图的和当直线为的状态时，斜率为0，此时只有一个交点，故不取0；当直线为的状态时，斜率为，此时有两个交点，故可取.综上所述：.故选：B.【点睛】本题考查直线恒过定点，圆方程，以及直线与圆的交点的个数问题，属综合中档题；需要数形结合.8．C【解析】【详解】由，求得，故两直线和的交点，再根据，可得过点且与原点的距离等于的直线有两条，故选C.9．A【解析】【分析】联立直线方程求出交点坐标，利用两直线垂直的条件求出斜率，点斜式写出直线方程.【详解】解得因为所求直线与直线3x＋4y－7＝0垂直所以所求直线方程：4x－3y＋9＝0故选A【点睛】本题考查直线方程，确定直线方程一般有两种途径：1.确定直线上不同的两点，通过直线方程的两点式确定；2.确定直线的斜率和直线上的一点，通过直线方程的点斜式确定.10．C【解析】【分析】设直线方程为，求出其在两坐标轴上的截距，令其相等，解方程即可求出结果.【详解】解：设直线方程为，即令，得，令，得.由，得或.所以直线方程为或.故选：C.【点睛】此题是一道中档题也是一道易错题，要求学生会利用待定系数法求直线的方程，学生做题时往往会把过原点的情况忽视导致答案不完整.11．A【解析】【分析】直线与直线方程相减可得：，把点代入可得：，进而得出线段的中垂线方程．【详解】解：直线与直线方程相减可得：，把点代入可得：，线段的中垂线方程是，化为：．故选．【点睛】本题考查了相互垂直的直线斜率之间的关系，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．12．B【解析】【分析】首先求直线恒过的定点，将点到直线的距离的最大值转化为两点间距离.【详解】直线恒过点，,点到直线距离，即点到直线距离的最大值为.故选：B13．B【解析】【分析】根据两直线和的交点列方程，对比后求得直线的方程.【详解】依题意两直线和的交点为，所以在直线上，所以过两点所在直线方程为，故选：B14．C【解析】【分析】求出直线过的定点，当时，原点到直线距离最大，则可求出原点到直线距离的最大值；【详解】因为可化为，所以直线过直线与直线交点，联立可得所以直线过定点，当时，原点到直线距离最大，最大距离即为，此时最大值为，故选：C.15．C【解析】【详解】根据直线系M：xcosθ+（y﹣2）sinθ=1（0≤θ≤2π）得到所有直线都为圆心为（0，2），半径为1的圆的切线；可取圆心为（0，2），半径分别为2，，1得到①②正确；所有的直线与一个圆相切，没有过定点，③错；存在（0，2）不在M中的任一条直线上，所以④正确；⑤可取圆的外接正三角形其所有边均在M中的直线上且面积相等；故选C.16．D【解析】【详解】试题分析：过两直线交点的直线系方程为，代入原点坐标，求得，故所求直线方程为，即.考点：两直线的位置关系、直线方程两点式．【易错点晴】过直线交点可以联立这两条直线的方程，求出交点的坐标，由于所求直线过原点，故由两点式可以求出直线的方程.由于联立方程组来求结算量较大，我们可以采用直线系方程来做，具体过程是，先设出直线系方程，代入原点坐标，求得，即可得到所求，这样运算量非常小.17．D【解析】【分析】直线，可化为：，令可得直线经过定点,可得点到直线的距离的最大值为.【详解】直线，可化为：，令解得：因为直线经过定点,所以点到直线的距离的最大值为故选：D18．C【解析】【分析】动直线过定点，圆的圆心，半径，，所以弦最短为，从而求得结果.【详解】因为动直线，所以，所以动直线过定点，由可得，所以圆的圆心，半径，，因为直线与圆交于两点，所以弦最短为，故选C.【点睛】该题考查的是有关直线与圆的有关知识，涉及到的知识点有直线过定点问题，点到直线的距离，圆中的特殊三角形，过定点的最短弦，属于中档题目.19．B【解析】【分析】将与代入直线方程，可得方程有唯一的解，即可得答案；【详解】解：与是直线为常数)上两个不同的点，的斜率存在，即，并且，①②得：，即.方程组有唯—解.故选︰B.20．A【解析】先判断圆心，半径，以及直线所过定点，当定点是弦的中点时，弦长最短，根据弦长公式求解.【详解】，圆心，半径，，所以直线过定点，，所以点在圆内，根据弦长公式，当点是弦的中点时，圆心到直线的距离最大，弦长最短，此时，.故选：A【点睛】结论点睛：本题第二问考查与圆的几何性质有关的最值，具体结论如下：（1）设为圆的圆心，半径为，圆外一点到圆上的距离的最小值为，最大值为；（2）过圆内一点的最长弦为圆的直径，最短弦是以该点为中点的弦；（3）记圆的半径为，圆心到直线的距离为，直线与圆相离，则圆上的点到直线的最大距离为，最小值为；21．D【解析】【分析】判断直线的斜率存在，通过点在直线上，推出a1，b1，P2，a2，b2的关系，然后求解方程组的解即可．【详解】解：P1（a1，b1）与P2（a2，b2）是直线y＝kx+1（k为常数）上两个不同的点，直线y＝kx+1的斜率存在，∴k，即a1≠a2，并且b1＝ka1+1，b2＝ka2+1，∴a2b1﹣a1b2＝ka1a2﹣ka1a2+a2﹣a1＝a2﹣a1，，解得：（a1b2﹣a2b1）x＝b2﹣b1，即（a1﹣a2）x＝b2﹣b1．∴方程组有唯一解．故选：D．22．B【解析】【分析】根据直线的方程先确定出直线所过的定点，然后判断出点到直线的距离的最大值为，结合点的坐标求解出结果.【详解】将变形得，所以是经过两直线和的交点的直线系.设两直线的交点为，由得交点，所以直线恒过定点，于是点到直线的距离，即点到直线的距离的最大值为.故选：B.23．A【解析】【分析】求得直线恒过的定点，判断两直线位置关系，找到与的关系，利用均值不等式求最值.【详解】直线可整理为，故恒过定点，即为A的坐标；直线整理为，故恒过定点，即为B坐标；又两条直线垂直，故可得，即整理得解得，当且仅当时取得最大值.故选：A.24．A【解析】【详解】由题意可知直线表示过两直线交点的直线系方程∴解方程组可得∴直线且不同时为0)经过定点为故选A点睛：直线含参求过定点问题一般是将参数全部提出来，让参数的系数为零，其余项也为零，列方程(组)即可求解定点.25．B【解析】【分析】将，转化为，利用，可以确定直线过定点，再利用定点在圆内部即可得出结论.【详解】将直线的方程整理为，由得，所以直线过定点，因为，所以点在圆内部，所以直线和圆恒有个交点，即直线和圆相交.故选：B【点睛】本题考查直线系方程的应用，考查了直线和圆的位置关系，属于中档题.26．C【解析】【详解】直线方程变形为，则直线通过定点，故选C．27．ACD【解析】【分析】利用反例判断A，根据两直线的位置关系的充要条件判断B、C，根据交点直线系方程判断D；【详解】解：对于A：当直线的斜率不存在时，直线方程为（为直线与轴的交点的横坐标）此时直线或的方程无法表示，故A错误；对于B：当且时，两直线重合，此时两直线有无穷多个交点，故B正确；对于C：当且时，故C错误；对于D：记与的交点为，则的坐标满足且满足，则不表示过点的直线，故D错误；故选：ACD28．ABC【解析】【分析】先利用点到直线的距离公式得出直线系：表示的是圆的切线的集合，这样ABC选项能直接判断；D选项需要数形结合判断【详解】点到中的直线的距离设为d，则为定值，故直线系：表示圆的切线的集合.显然选项A正确；一定不在中的任意一条直线上，B选项正确；由于圆的所有外切正多边形的边都是圆的切线，所以对于任意整数，存在正边形，其所有边均在中的直线上，C选项正确；如图所示，中的直线所能围成的三角形有两类，一种是圆的外切三角形，如△ADE，此类三角形面积均相等，另一种是在圆的同一侧，如△ABC，这类三角形面积也相等，但两类三角形面积不等，故D选项不正确.故选：ABC29．BD【解析】【分析】A.直线写成，判断直线所过的定点；B.若两直线平行，则一定有；C.两直线垂直，根据公式有；D.根据直线不经过第三象限，求实数的取值范围.【详解】，当，即，即直线恒过点，故A不正确；若，则有，解得：，故B正确；若，则有，得，故C不正确；若直线不经过第三象限，则当时，，，解得：，当时，直线，也不过第三象限，综上可知：时，不经过第三象限，故D正确.故选：BD30．ACD【解析】利用相交直线系方程和圆系方程可判断AD的正误，根据圆心到直线的距离可判断B的正误，根据两圆外切可判断C的正误.【详解】直线可化为：，由可得，故直线恒过定点，故A正确.当时，直线，圆心到该直线的距离为，因为，故圆上有且仅有四个点到直线的距离都等于1，故B错.因为圆与曲线恰有三条公切线，故两圆外切，故，故，故C正确.当时，直线，设，则以为直径的圆的方程为，而圆，故的直线方程为，整理得到，由可得，故直线经过点，故D正确.故选：ACD.【点睛】方法点睛：对于含参数的直线方程，可通过化简其方程，以便于求出定点坐标，而切点弦，则需要利用圆系来求其方程，过圆外一点及两个切点的圆的方程可由直径式方程得到.31．【解析】【分析】首先求直线所过的定点，再根据导数的几何意义求曲线的切线方程.【详解】由可得，令，解得，所以点的坐标为，显然点在曲线上，因为，所以过点的曲线的切线的斜率，故所求切线的方程为，即．故答案为:．32．.【解析】【分析】先求出定点,的坐标，再判断出两直线互相垂直，从而利用基本不等式求的最大值.【详解】由题意知，直线过定点，直线可化为，所以过定点,因为，所以直线与直线互相垂直，所以，且,所以，即，当且仅当时等号成立,所以，当且仅当时等号成立.故答案为：.33．【解析】【分析】把直线方程变形可得，联立方程组，即可求解.【详解】根据题意，直线，即，变形可得，联立方程组，解得，即直线必过定点.故答案为：.34．【解析】【分析】整理直线的方程得令，解方程组即可求得定点的坐标，原点到直线的距离，，计算可得结果.【详解】直线的方程为，即令，解得：所以直线恒过定点，所以原点到直线的距离，即到直线的距离的最大值为.故答案为：.【点睛】本题主要考查了直线过定点问题，考查定点到动直线距离最值问题，考查转化能力和计算能力，属于中档题.35．【解析】【分析】根据两直线和的交点列方程，对比后求得直线的方程.【详解】依题意两直线和的交点为，所以在直线上，所以过两点所在直线方程为.故答案为：36．x+y+1=0或3x+4y=0【解析】【详解】由题意可设所求直线方程为，即令，得令，得∵所求直线方程在两坐标轴上的截距相等∴，即或∴所求直线方程为或故答案为或37．（1）

（2）或【解析】【分析】（1）设所求直线为，整理为一般方程后利用垂直直线的系数关系可求，即得解（2）设所求直线为，整理为一般方程后利用点到直线距离求解，即得解【详解】（1）由于直线l2：x﹣y+5＝0与直线x﹣4y+4＝0不垂直故设所求直线为，故，因为此直线与直线x﹣4y+4＝0垂直，故，故，故所求直线为.（2）由于原点到直线l2：x﹣y+5＝0的距离故设所求直线为，故，

解得或故直线方程为：或38．(1)(2)(3)①或；②或【解析】【分析】(1)联立两直线方程求出交点P，根据两直线垂直，斜率相乘等于－1得直线斜率，即可根据直线点斜式方程求得直线方程；(2)根据垂径定理求圆的弦长，列出方程解答；(3)①：用截距式方程求解；②：由直线和圆的位置关系和圆的弦长公式求解﹒(1)由，解得：，∴，∵与垂直，∴的斜率，故过点P且与直线垂直的直线l的方程为，即；(2)P(3，5)到直线的距离为∴半径∴圆的方程为(3)①设过点(1，2)且与两坐标轴正半轴围成三角形面积为的直线的斜率为k，k＜0，可得它的方程为，即，它与两个坐标轴的交点分别为(0，2－k)，，由可得，当时，它的方程为；当时，综上所述，直线l的方程为：或②设圆心为，与轴相切则，∴圆心到直线的距离为，∴∴，r＝3∴圆心为∴圆的方程为或﹒39．（1）证明见解析，；（2）.【解析】【分析】（1）将直线化为，利用，求得直线所过的定点坐标；（2）根据圆的几何性质可知，当直线时，弦长最短，根据直线的斜率为，可得直线的斜率为1，从而求得直线的方程.【详解】（1）直线可化为：，可得所以直线过定点.（2）由圆的几何性质可知，当直线时，弦长最短，因为直线的斜率为，所以直线的斜率为1，此时直线的方程为.【点睛】该题考查的是有关直线与圆的问题，涉及到的知识点有直线过定点问题，