2021高中数学人教A版必修五章节练习试题（第三章不等式）含答案解析

2021年09月30日试卷

一、单选题(共10题；共o分)

1(0分)已知实数Q,b,c满足c<b<a且ac<0,那么下列不等式一定成立的是

()

A.ac(a—c)>0B.c(b—a)<0C.cb2<ab2D.ab>ac

2、(0分)若不等式—23的解集为()

X

A.[-1,0)

B.[-1,+8)

C.(-8,-1]

D.(-8,-1]U(0,+8)

x+2y-3W0

3、(0分)已知居y满足％+3y-3N0,z=2x+y的最大值为m,若正数满足a+b=则

y<i

花的最小值为()

B.3

2

C.4

D.5

32

4^(0分)已知函数f(%)=x2+2(1-d)x4-(1-a)2,g(x)=x-1,若/(无)和g(x)图象有三条公切

线，则a的取值范围是()

33

A.a>l+乐B-"1+%

C.0VQ<1+D-1+乐<a<4

5、(0分)若Q>b>0,则()

B.1

A.a2c>b2c(cG/?)

D.G)a<@b

C.lg(a—h)>0

6、(0分)方程x24-ax—2=0在区间[1,5]上有解，则实数a的取值范围是()

A.[-y,l]C.(一或+8)D.(一8,一羊

B.(1,+oo)

7、(0分)已知a=logo6°5，b=\n0.5>窜;=撷腐滤，则()

A.撕对诙触京B-c>a>h

c

-D.<r；>,§?>ss'

8、（0分）如果渤轴题，给出下列不等式：（1）b；（2）(3)/+1>〃+I；

（4）2">2".其中成立的不等式有（）

A.(3)(4)B.(2)(3)C.(2)(4)D.(1)(3)

9、（。分）设,=2；，"=早"，"叱，则（）

A.缶;•<谢百:愚B・

C.:@的:幽所:幻;D・h<a<c

10、（0分）若a>b,c>d,则下列不等式成立的是（）

c

A.Q+d>b+cB.ac>bd-MD.d—a<c—b

二、填空题（共10题；共0分）

%>0

11、（0分）变量X,y满足约束条件｛%-2yW2当目标函数z=2x-y取得最大值时，其

y<0

最优解为12、（0分）不等式x>-的解是_13、（0分）

X

若xeR,则二7与£的大小关系为—

14、（0分）不等式义》2的解集为（）

A-（-2,2]B.[-2,1]C.（-2,2）D.[-3,-2）

x-y>0,

15、（0分）已知实数满足｛X+y-5S0,,贝|jX的最小值为

K,J'\、14Jx--------------------------------

V>一廿+-

7124

16、（0分）直线x-4y+9=0上方平面区域的不等式表示为________.

17、（0分）不等式（x—l）一工一220的解集为_________.

18、（0分）不等式三文>0的解集是_________.

x+1

x—y>0,

19、(0分)已知x,y满足尤+yW2“则z=N：的最大值为.

,y>0,

x—y>—1,

20、(0分)设变量x,y满足约束条件x+yW4,则目标函数z=x+2y的最大值

y>2,

为.

三、解答题(共6题：共。分)

21、(0分)(满分16分)

设数列｛&J的前ri项和为Sn.若对任意的正整数m总存在正整数m,使得=am,

则称5｝是“，数列”.

(1)若数列｛an｝的前几项和为Sn=2"(n6N*),证明：Q｝是“H数列”.

(2)设｛册｝是等差数列，其首项的=1,公差d<0,若｛5｝是““数列”，求d的

值；

(3)证明：对任意的等差数列｛an｝,总存在两个“H数列”｛%｝和｛%｝,使得an=

bn+cn(neN*)成立.

22、(0分)已知数集4=｛%,&2,…,即｝(1=<a2<...<an,n>2)具有性质P:对任意的2(2<

k<n),3i,;(l<i<jWn),使得ak=at+%成立.

(I)分别判断数集｛1,3,4｝与｛1,2,3,6｝是否具有性质P,并说明理由；

(II)求证与42%+。2+…+a"-i(n22);

(III)若an=72,求数集4中所有元素的和的最小值.

23、(0分)设函数f(x)在R上是偶函数，在区间(-8,0)上递增，且f(2a

2+a+l)<f(2a2-2a+3),求a的取值范围.

24、(0分)不等式<0的解集为R,求实数m的取值范围。

7nxz+2(m+l)x+9m+4

25、(0分)设a=K+2&,b=2+V7,则a、b的大小关系为？并证明你的结论.

26、(0分)(I)解关于％的不等式a/一式>O(Q¥0)；

(II)已知不等式(m2—2m—3)x2—(m—3)x—1<0对一切实数％恒成立，求实数m的取值范

围

四、计算题（共4题；共0分）

1%—1|V32

27、（0分）解不等式组：｛2、1.28、（0分）解关于x的不等式ax2-（2a+2）x+4

—>1

x—3

x+3?

>0.29、（0分）解不等式组｛右一”.30、（0分）解关于x的不等式12x2-ax>

x2—6%—8<0

a9~（,a£R、）.

五、作图题（共1题；共。分）

x—y+5N0

31、（0分）画出不等式组｛%+y>0表示的平面区域.

x<3

试卷答案

1.［答案】D

【解析】因为c〈b〈a,且ac<0,所以c<0,a>0,因为b>c,所以ab>ac,故应选D.

【点评】本小题用到了不等式的性质：若a>b,c>0则ac>bc;若a〉b,c〈O,则ac<bc.

2.【答案】A

【解析】【解答】解：竺3=三二一320=统S0=—1Wx<0故选A.

XXX

首先X为分母，故x不等于0,当x#0时，将不等式化简为—X<0，进而求出不等式

解集.

3.【答案】B

面区域如图：(阴影部分)

由z=2%+y得y=—2x+z,平移直线、=—2x+z,

由图象可知当直线y=-2工+z经过点力(3,0)时，直线y=-2%+z的截距最大，此时z最

大.

代入目标函数z=2x+y得z=2x3=6.

即771=6.

则a+b=6,ab-6(-a+-b)(a+b)

=-(1+4+-+^)>-(5+2日岑)=2,当且仅当a=2,6=4取等号，

6ab6ab2

故选：B.

本题主要考查线性规划以及基本不等式的应用，利用目标函数的几何意义，结合数形结合

的数学思想是解决此类问题的基本方法.

4.【答案】A

【解析】设公切线与/(%),g(x)分别相切于点(m,f(7n)),(7i,g(n)),对/(x),g(x),根据题意可得

n~1-{m+l-a)2

g(a)-f(xi)即―一=2(m+1—a)=

g'(xo)=rajXQ-Xtn-m

解得m=-^---(1-a),代入化简得Q=l+2n+匚=l+7^+n+巳一之l+2(7l>0).

244v4

设公切线与f(%),g(%)分别相切于点(九,。(九)),/'(%)=2(%+1-a)

n-1-(7n+l-a)2

“(%)=-%-2,g'(&)=1(%i)=—n-2=2(m4-1—a)=

二二n-m

解得m=———(1—a),代入化简得a=1+2H+=1+71+71H——N1+3^(71>0),

函数MX)=l+2n+?在区间(—8,0)递增，在区间(0,专)递减，在区间喘，+8)递增，

且"°,八⑺T+8,〃—“恤〜也可知a无上界'即。>1+2_时,

V4

方程。=;15),(71M0)有三解，故选A.

本题考查利用导数求公切线的斜率，属难题.

5.【答案】D

【解析】【解答】因为\a>b>0那么利用不等式的可乘性可知当c=0时，选项A错

误，而对于选项B,由于不等式的可乘性，两边同时乘以一个正数，不等号方向不变因此

诙,

因此错误。选项C中，根据对数函数，只有真数大于1时函数值大于零，因此错

误。故选D.

解决的关键是利用函数的单调性来得到不等式关系，熟练的运用指数函数，对数函数的单

调性是关键，属于基础题。

6.【答案】A

【解析】由题意知方程在区间上有且只有一个根，由函数零点的存在定理，方程有且仅有

一个根，得到函数式对应的函数值的符合相反，即乘积小于0,则实数a的取值范围可

得.

【解答】由于方程k2+火一2=0有解，设它的两个解分别为x|,x智，则x!?x

2<0,

故方程卜2+公一2=0在区间［1，5］上有唯一解・

设f(x)=x?+ax,—2，则有f(l)f(5)VO,即(a-1)(5a+23)WO,

23

解得：-M-WaWl,

故选：A.

【点评】本题考查一元二次方程根的分布与系数的关系

7.【答案】C

【解析】试题分析：由指数函数与对数函数的图象与性质，可知衡=螭黔/世军©◎，来唠，

A=In0.5e(-oo,0),c=0.6OJ€(0,l),所以故选C.

考点：指数函数与对数函数的性质.

8.【答案】C

【解析】试题分析：由y=F单调性可知/>/正确；由y=2"的单调性可知皆屈臂成立

考点：不等式性质

9.【答案】B

-1=1

【解析】试题分析：依题意有叱：触□=(如渤加蜜=>卜货9，故国.武说.

考点：比较大小.

10.【答案】D

【解析】利用不等式的性质判断即可.取a=2,b=-1,c=3,d=-100,

则a+d=—98,b+c=2,a+d<b+c,故A错.

又ac=6,bd=100,ac<bd,故B错.

取a=2,b=—100,c=3,d=—1,则g-=100>故C错.

c3ac

当a>b,c>d时，-a<—b,故d+(—a)<c+(—b)即d—a<c—b,故D正确，

故选D.

本题考察不等式的性质，属于基础题.

11.【答案】（2,0）

【解析】【解答】解：画出满足条件的平面区域，如图示:

由z=2x-y得：y=2x-z,

显然直线过A（2,0）时，z最大，

故答案为：（2,0）.

作出不等式对应的平面区域，利用线性规划的知识，通过平移即可求z的最优解.

12.【答案】（-3,0）U（3,+8）

【解析】【解答】解：原不等式等价于—>0等价于（x+3）（x-3）x>0,

X

由穿根法得到不等式的解集为（-3,0）U（3,+8）；

故答案为：（-3,0）U（3,+8）；

首先通分化简分式不等式，最后化简为整式不等式，利用穿根法解答即可.

-^-<1

13.【答案】田2-2

【解析】

将两式做差和。比即可.

X12X-1-X2-Qr-1)2一cX1

----------------=-----------------=---------------<(1---------—

1+X222(1+*2)2。+2)-,/.工+*Y2.

故答案为:

【点睛】

这个题目考查了比较两式的大小关系，常见的方法有：做差和0比或者做商和1比；或者

应用不等式等性质得到大小关系.

14.【答案】A

【解析】本题考查分式不等式.2》2n工-220=%<0=-2<xW

X+2X+2X+22

15.【答案】]

【解析】画出不等式组表示的区域如图，由于丫=匕;，即所求目标函数的几何意义是区域

xx-0

内的点与原点连线的斜率，结合图形可知k=Y是曲线的切线的斜率时最小。设切点

X

则/^=毕=予3+卷，又丫，=4*b3=]3,故由导数的儿何意义可得切线

的斜率k=?3,则专t3+a=33,解之得t=l,故k=7的最小值为（"in号，应填答案号

点睛：本题的设置将函数的图像与导数知识与线性规划有机地整合在一起，综合检查学生

的数形结合能力及综合运用所学的函数、导数等知识分析问题和解决问题的能力。

16.【答案】x-4y+9<0

【解析】【解答】解：作出直线x-4y+9=0,当x=0,y=0时，式子x-4y+9=9>0,

，原点0在直线x-4y+9=0的下方，此时不等式为x-4y+9>0,

直线x-2y+5=0上方的平面区域的不等式表示为x-4y+9<0,

故答案为：x-4y+9<0.

作出直线x-2y+5=0,判断0所在的平面区域，即可得到结论.

17.【答案】{x|x22或x=-1}

【解析】原不等式等价于（x—l）•—%一2>0①

或(x—1)Vx2—x-2=0,②

解①，由,：三一》一翦/蒯得x>2；解②，由x'—x—2=0或x—1=0且7#—久—2有意义，

得x=-1或x=2.

综上可知，原不等式的解集是{x|x22或x=-1}.

18.【答案】（-1,*

【解析】不等式宗>0等价于（1-2x）（x+l）>。,也就是Q->x+l）〈。,所以一l<x《

19.【答案】1

20.【答案】6.5

【解析】分析：由约束条件作出可行域,化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到

最优解，联立方程组求得最优解的坐标，代入目标函数得答案.

详解:由题作出可行域如图，联立裾4）化目标函

数丫=+|由图可知过A时截距最大，故z的最大值为6.5,故答案为6.5

点睛：本题考查简单的线性规划，考查了数形结合的解题思想方法，是中档题.

21.【答案】（1）证明见解析：（2）d=—1；（3）证明见解析.

nn-1n-1

【解析】（1）首先%=51=2,当nN2时，an=Sn-Sn_r=2-2=2,所以=

｛7n-i9-所以对任意的n€N*,S“=2n是数列｛3｝中的n+1项，因此数列｛an｝是““数

列”.

（2）由题意即=l+（n—l）d,Sn=n+^^d,数列｛a“｝是“H数列”，则存在keN*,使

"+"=i+（k_i）d,k=等+专也+1,由于吟父6N*,又keN*,则学6Z对一切正

整数n都成立，所以d=—l.

（3）首先，若dn=bn（6是常数），则数列｛%｝前n项和为无=竺严人是数列｛4｝中的第

与2项，因此｛d“｝是“，数列”，对任意的等差数列｛即｝,即=%+5-1）4（d是公差），

设匕=71%,cn=（d-a1）（n-l）,则而=%+%,而数列｛九｝，｛7｝都是“H数列”，证毕.

【考点】（1）新定义与数列的项，（2）数列的项与整数的整除；（3）构造法.

22.【答案】（1）具有（2）见解析（3）最小值为147

【解析】试题分析：

（1）利用性质P的含义及特例可判断数集｛1,3,4｝不具有性质P,数集｛1,2,3,6｝具有性质

P.（2）数集A具有性质P可得an_]W2ctn_2，an_22an_3,•­-a3<2a2>a2<2ax,

aaa

将上述不等式相加得。2+…+n-l+n-2（%+a?+…+n-l）,化简得W2al+a2+,•1+

即_1，即为所求.（3）由的=1及性质P可得。2=2%=2,从而易知数集4的元素都是整

数，构造A=｛1,2,3,6,7,18,36,72｝或者4=｛1,2,4,5,9,18,36,72｝,此时元素和为147,然后再证明147

是最小的和.

试题解析：

（1）V31+1,

・・・数集｛134｝不具有性质P.

V2=1+1,3=14-2,6=3+3,

・・・数集｛123,6｝具有性质P.

（2）・・•集合4=｛的,。2，・・・，@71｝具有性质2：即对任意的依24上工九），玉，使得

以=Q/+可成立,

又1=Q1V。2…VQn，n>2,

••Qj<CL/^,CLj<CLj^,

ai—ak-l»aj-ak-l»

••cik~~Qj+Qj-2@上一］,

&PQn—i—2a九一？，a九一242a九_3，ci242a2，。2—2。1，

将上述不等式相加得。2+…+an-l+即42（的+。2+…+an-l）9

a

化简得anW2al+@2+…+n-l-

（3）最小值为147.

首先注意到的=1,根据性质P,得到g=2。1=2,

所以易知数集A的元素都是整数，

构造4=｛1,236,7,18,36,72｝或者A=｛1,2,4,5,9,18,36,72｝,这两个集合具有性质P,此时元素和为

147.

下面，证明147是最小的和.

假设数集A=｛的,3…,册｝（。1Vg<…<an，兀N2）,满足S=£匕at<147最小（存在性显然，

因为满足2匕火4147的数集4只有有限个）.

第一步：首先说明集合4=｛的,。2,…,%J（Q1V。2〈…Van»nN2）中至少有8个元素：

由（2）可知，a2<2alfa3<2a2y…，

又％=1,

/.a2<2,a3<4,an<8,a5<16,a6<32,a7<64<72,

:.n>8.

第二步：证明a71T=36,an_2=18,an_3=9,

若36eA,设%=36,

・.・an=72=36+36,为了使S=XLQj最小，

在集合4中一定不含有元素以，使得36<以<72,

从而a九_1=36；

若36C4,根据性质P,对册=72,有四，%,使得an=72=Qj+%,

显然见WQj,

/.an+4-卬=144,

此时集合4中至少有5个不同于an,的元素，

从而S>（an+Qj+a7）+5al=149,矛盾,

/.36E71,进而，at=36,且Qn_i=36.

同理可证：若18WA,则an_2=18.

假设18任4,

Van_i=36,根据性质P,有即dj,使得an_i=36=Q,+%•,

显然QiHq，

CLn+Un-i+Qj+Oy=144,

此时集合A中至少还有4个不同于an,an_i，Qj,%•的元素，

从而S>（Qn+ct[+Qj+Q九一i）+4al=148,矛盾，

18EA,且an_2=18,

同理可证：若9W4则an_3=9.

假设904

Van_2=18,根据性质P,有四，%,使得a吁2=18=Qi+%，

显然火。Qj，

***an+即-1+。八-2+四+%=144,

此时集合4中至少还有3个不同于Qn,Qn_i，an_2，Qj的元素，

从而S>an+cin-i+%-2+%+Qj+3al=147,矛盾，

/.9Gi4,且册_3=9.

至此，我们得到3。九_1=36,an_2=18,an_3=9,a=7,%=2,

根据性质P,有心,Q/,使得9=%+卬，我们需要考虑如下儿种情形:

①为=8,ay=1,此时集合中至少还需要一个大于等于4的元素a。才能得到元素8,则S>

148；

②%=7,aj=2,此时集合中至少还需要一个大于4的元素以，才能得到元素7,则S>

148；

③为=6,%=3,此时集合4={1,2,3,6,9,18,36,72},S最小=147；

④为=5,a,=4,此时集合4={1,2,4,5,9,18,36,72},S=147.

综上所述，若a“=72,则数集A中所有元素的和的最小值是147.

23.【答案】解：由f(x)在R上是偶函数，在区间(-8,0)上递增，可知f(x)

在(0,+8)上递减.

:2a2+a+l=2(a+)2+।>0,2a2-2a+3=2(a->0,且f(2a

2+a+l)<f(2a2-2a+3),

A2a2+a+l>2a2-2a+3,即3a-2>0,解得a>।.

所以实数a的取值范围为：a>.

【解析】利用函数f(x)的奇偶性、单调性可判断函数在(0,+8)上的单调性，根据

2a2+a+l,2aJ2a+3的范围可知其大小关系，解出即可.

24.【答案】m的取值范围是(一8,-》

【解析】试题分析：给出的分式不等式的分子恒大于0,因此不等式恒成立转化为二次不

等式恒成立问题，然后分m=0和mWO讨论，当mWO时只需二次项系数小于0,且判别式

小于0联立不等式组求解.

•・•/_8x+20=(x-4)2+4>0,不等式「一皇华。——<0的解集为R

2

...不等式mx+2(m+l)x+9m+4<0①的解集为R

当m=0时，不等式①可化为2%+4<0,解集不为R,不合题意.

当m*。时，则b⑺+1）产：需97n+4）<0

解得m<-的取值范围是（-oo,-1）.

考点：不等式恒成立问题；考查数学转化思想方法；分类讨论的数学思想方法.

25.【答案】解：a、b的大小关系为：a<b,证明如下：；a=.+20,b=2+

>0,

/.a2=11+4,b2=11+4,

..22

.a<b,

/.a<b

【解析】由已知求得a2,b2的值并比较大小即可得解.

26.【答案】（1）见解析.

（2）^m|—1<m<3j.

【解析】（I）方程ax2-x=0的两根为％=0或x='分（1）当a>0时、（2）当a<0

时两种情况，依据三和0的大小关系，解一元二次不等式求得它的解集；（II）利用不等

a

式恒成立，通过二次项的系数是否为0,分类转化求解即可.（I）Va0,.••方程收一

x=0的两根为刀=0或x=；

.•.当a>0时，5>0,此时不等式的解集为｛x|x<0或4>非

.•.当a<0时，：<0,此时不等式的解集为｛*<x<。｝.

(细则：解集写不等式的扣1分，写区间不扣分)

(II)当巾2—2m—3=0时,m=-1或m=3.

当m=3时，一1<0符合题意；当zn=-l时不合题意，所以m=3.

当巾2_2m_3羊0时，m需满足°/江

(.(m