新高考数学一轮复习题型归纳讲义专题11 立体几何 11.2外接球和内切球（解析版）

专题十一《立体几何》讲义11.2外接球与内切球题型一.长方体模型1．已知球O面上的四点A、B、C、D，DA⊥平面ABC，AB⊥BC，DA＝AB＝BC=3，则球OA．43π B．162π3 【解答】解：AB⊥BC，△ABC的外接圆的直径为AC，AC=6由DA⊥面ABC得DA⊥AC，DA⊥BC，△CDB是直角三角形，△ACD是直角三角形，∴CD为球的直径，CD=DA∴球的半径R=3∴V球=43πR3故选：D．2．四面体A﹣BCD中，AB＝CD＝10，AC＝BD＝234，AD＝BC＝241，则四面体A﹣BCD外接球的表面积为200π．【解答】解：四面体A﹣BCD中，AB＝CD＝10，AC＝BD＝234，AD＝BC＝241，补形成为长方体，不难发现，对棱的长度分别为长方体面对角线的长．设长方体的长宽高分别为a，b，c．则a2那么：2（a2+b2+c2）＝400．a2+b2+c2＝200．长方体的对角线：200，外接球的半径2R=200∴R＝52．四面体A﹣BCD外接球的表面积S＝4πR2＝200π．故答案为：200π．3．（2012•辽宁）已知正三棱锥P﹣ABC，点P，A，B，C都在半径为3的球面上，若PA，PB，PC两两垂直，则球心到截面ABC的距离为33【解答】解：∵正三棱锥P﹣ABC，PA，PB，PC两两垂直，∴此正三棱锥的外接球即以PA，PB，PC为三边的正方体的外接球O，∵球O的半径为3，∴正方体的棱长为2，即PA＝PB＝PC＝2球心到截面ABC的距离即正方体中心到截面ABC的距离设P到截面ABC的距离为h，则正三棱锥P﹣ABC的体积V=13S△ABC×h=13S△PAB×PC=13△ABC为边长为22的正三角形，S△ABC=34×∴h=∴正方体中心O到截面ABC的距离为3故答案为3题型二.柱体模型1．（2017•新课标Ⅲ）已知圆柱的高为1，它的两个底面的圆周在直径为2的同一个球的球面上，则该圆柱的体积为（）A．π B．3π4 C．π2 【解答】解：∵圆柱的高为1，它的两个底面的圆周在直径为2的同一个球的球面上，∴该圆柱底面圆周半径r=1∴该圆柱的体积：V＝Sh=π×(3故选：B．2．已知直三棱柱ABC﹣A1B1C1的各顶点都在同一球面上，若AB＝AC＝1，AA1＝2，∠BAC＝120°，则此球的表面积等于8π．【解答】解：设直三棱柱ABC﹣A1B1C1的上下底面的三角形的外接圆的圆心分别是点P，M，设△ABC的外接圆半径为r，直三棱柱ABC﹣A1B1C1的外接球的半径为R，如图所示：，∴直三棱柱ABC﹣A1B1C1的外接球的球心O为线段PM的中点，在△ABC中，AB＝AC＝1，∠BAC＝120°，∴由余弦定理得：cos1200=A∴由正弦定理得：2r=BCsin1200∴在Rt△OMC中，OC＝R，OM=12AA1∴R2＝12+12＝2，∴直三棱柱ABC﹣A1B1C1的外接球的表面积为：4πR2＝8π，故答案为：8π．3．若三棱锥P﹣ABC中，已知PA⊥底面ABC，∠BAC＝120°，PA＝AB＝AC＝2，若该三棱锥的顶点都在同一个球面上，则该球的表面积为（）A．103π B．18π C．20π D．93π【解答】解：三棱锥P﹣ABC中，已知PA⊥底面ABC，∠BAC＝120°，PA＝AB＝AC＝2，故该三棱锥为图中正六棱柱内的三棱锥P﹣ABC，所以该三棱锥的外接球即为该六棱柱的外接球，所以外接球的直径2R=4则R=5所以该球的表面积为S=4πR2=4π⋅(故选：C．题型三.正棱锥模型1．正四棱锥的顶点都在同一球面上，若该棱锥的高为4，底面边长为2，则该球的表面积为（）A．81π4 B．16π C．9π D．【解答】解：设球的半径为R，则∵棱锥的高为4，底面边长为2，∴R2＝（4﹣R）2+（2）2，∴R=9∴球的表面积为4π•（94）2=故选：A．2．一个正三棱锥的四个顶点都在半径为1的球面上，其中底面的三个顶点在该球的一个以球心为圆心的圆上，则该正三棱锥的体积是（）A．334 B．33 C．3【解答】解：正三棱锥的四个顶点都在半径为1的球面上，其中底面的三个顶点在该球的一个大圆上，所以球心是底面三角形的中心，设球的半径为1，所以底面三角形的边长为a，23×32该正三棱锥的体积：13故选：C．3．如图ABCD﹣A1B1C1D1是边长为1的正方体，S﹣ABCD是高为1的正四棱锥，若点S，A1，B1，C1，D1在同一个球面上，则该球的表面积为（）A．916π B．2516π C．【解答】解：设球的半径为R，则∵底面正方形的外接圆的半径为22∴由勾股定理可得R2＝（22）2+（2﹣R）2∴R=9∴球的表面积为4πR2=8116故选：D．题型四.一般锥的外接球1．已知三棱锥D﹣ABC四个顶点均在半径为R的球面上，且AB=BC=2，AC＝2，若该三棱锥体积的最大值为43，则这个球的表面积为289π【解答】解：因为AB=BC=2，AC则AB⊥BC，且△ABC外接圆的半径为1，因为该三棱锥体积的最大值为43则V=1则h＝4，即点D到平面ABC的距离最大为4，设球的半径为R，则R2＝1+（4﹣R）2，解之得R=17则表面积为289π16故答案为：289π162．四面体PABC的四个顶点都在球O的球面上，PA＝8，BC＝4，PB＝PC＝AB＝AC，且平面PBC⊥平面ABC，则球O的表面积为（）A．64π B．65π C．66π D．128π【解答】解：由于PB＝PC，取BC的中点为O'，则PO'⊥BC，由于平面ABC⊥平面PBC，即有PO'⊥平面ABC，∵PA＝8，BC＝4，PB＝PC＝AB＝AC，∴PB＝6，PO'＝42，△ABC中，AB＝AC＝6，BC＝4，∴sin∠ABC=4∴2r=6设球的半径为R，球心到平面ABC的距离为h，则（922）2+h2＝（42−h）2+（42−92解得R=65球O的表面积为4πR2＝65π，故选：B．3．在菱形ABCD中，A＝60°，AB=3，将△ABD沿BD折起到△PBD的位置，若二面角P﹣BD﹣C的大小为2π3，则三棱锥P﹣A．43π B．32π C．776π【解答】解：取BD中点E，连接AE，CE，则∠PEC=2π3，PE＝设△BCD的外接圆的圆心与球心的距离为h，三棱锥P﹣BCD的外接球的半径为R，则R2∴R=72，h∴三棱锥P﹣BCD的外接球体积为43故选：C．4．已知三棱锥S﹣ABC的所有顶点都在球O的球面上，△ABC是边长为2的正三角形，SC为球O的直径，且SC＝4，则此棱锥的体积为（）A．423 B．433 C．【解答】解：因为△ABC是边长为2的正三角形，所以△ABC外接圆的半径r=2所以点O到平面ABC的距离d=RSC为球O的直径，点S到平面ABC的距离为2d=4此棱锥的体积为V=1故选：A．题型五.内切球1．将半径为3，圆心角为2π3A．2π3 B．3π3 C．【解答】解：设圆锥的底面半径为r，高为h，则2πr=2π∴r＝1，h=32−1设内切球的半径为R，则R2∴R=22，V=43πR3=43π（故选：A．2．正三棱锥P﹣ABC的三条棱两两互相垂直，则该正三棱锥的内切球与外接球的半径之比为（）A．1：3 B．1：(3+3) C．(【解答】解：三棱锥扩展为长方体，它的对角线的长度，就是球的直径，设侧棱长为a，则它的对角线的长度为：3a球的半径为：3a再设正三棱锥内切球的半径为r，根据三棱锥的体积的两种求法，得13×12×a3=∴r=3−∴该正三棱锥的内切球与外接球的半径之比为3−3故选：D．3．如图是棱长为2的正八面体（八个面都是全等的等边三角形），球O是该正八面体的内切球，则球O的表面积为（）A．8π3 B．4π3 C．86【解答】解：由题意，该八面体的棱长为2，设球O的半径为r，13S表所以球O的表面积为：4π×(2故选：A．课后作业.外接球与内切球1．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为菱形，PB⊥底面ABCD，O为对角线AC与BD的交点，若PB＝1，∠APB＝∠BAD=π3，则三棱锥P﹣AOB的外接球的体积是43π【解答】解：如图，∵底面ABCD为菱形，∴OA⊥OB，∴AB中点N为△AOB的外心，取PA中点M，则MN∥PB，∵PB⊥底面ABCD，∴MN⊥底面ABCD，∴M为三棱锥P﹣AOB的外接球球心，∵PB＝1，∠APB=π∴AP＝2，∴外接球半径为1，体积为43π故答案为：4π32．已知正△ABC三个顶点都在半径为2的球面上，球心O到平面ABC的距离为1，点E是线段AB的中点，过点E作球O的截面，则截面面积的最小值是（）A．74π B．2π C．94π 【解答】解：设正△ABC的中心为O1，连结O1A∵O1是正△ABC的中心，A、B、C三点都在球面上，∴O1O⊥平面ABC，∵球的半径R＝2，球心O到平面ABC的距离为1，得O1O＝1，∴Rt△O1OA中，O1A=O又∵E为AB的中点，△ABC是等边三角形，∴AE＝AO1cos30°=3∵过E作球O的截面，当截面与OE垂直时，截面圆的半径最小，∴当截面与OE垂直时，截面圆的面积有最小值．此时截面圆的半径r=3可得截面面积为S＝πr2=9π故选：C．3．（2018·全国3）设A，B，C，D是同一个半径为4的球的球面上四点，△ABC为等边三角形且面积为93，则三棱锥D﹣ABC体积的最大值为（）A．123 B．183 C．243 D．543【解答】解：△ABC为等边三角形且面积为93，可得34×AB球心为O，三角形ABC的外心为O′，显然D在O′O的延长线与球的交点如图：O′C=23×32则三棱锥D﹣ABC高的最大值为：6，则三棱锥D﹣ABC体积的最大值为：13×3故选：B．4．已知在四面体ABCD中，AB＝AD＝BC＝CD＝BD＝2，平面ABD⊥平面BDC，则四面体ABCD的外接球的表面积为（）A．20π3 B．6π C．22π3 【解答】解：如图取BD中点H，AC中点M，连接MH因为AB＝AD＝BC＝CD＝BD＝2，平面ABD⊥平面BDC所以BD⊥CH，BD⊥AH，则BD⊥面ACH，三角形ACH是等腰直角三角形．所以MH⊥AC，所以∠AHM＝45°，AH=3所以球心必落在直线MH上，设为点O，连接OA、OD，则OA＝OD＝OC＝OB．设OH＝x，在三角形OHD中，HD＝1，所以OD2＝x2+1在三角形AOH中，OA2＝x2+32﹣23xcos45所以x2+1＝x2+32﹣23xcos45°，解得x=6故外接球的表面积S＝4π故选：A．5．（2011·辽宁）已知球的直径SC＝4，A，B是该球球面上的两点，AB=3，∠ASC＝∠BSC＝30°，则棱锥S﹣ABCA．33 B．23 C．3 D．1【解答】解：设球心为点O，作AB中点D，连接OD，CD．因为线段SC是球的直径，所以它也是大圆的直径，则易得：∠SAC＝∠SBC＝90°所以在Rt△SAC中，SC＝4，∠ASC＝30°得：AC＝2，SA＝23又在Rt△SBC中，SC＝4，∠BSC＝30°得：BC＝2，SB＝23则：SA＝SB，AC＝BC因为点D是AB的中点所以在等腰三角形ASB中，SD⊥AB且SD=在等腰三角形CAB中，CD⊥AB且CD=又SD交CD于点D所以：AB⊥平面SCD即：棱锥S﹣ABC的体积：V=13AB•S△因为：SD=352，CD=132，SC＝4所以由余弦定理得：cos∠SDC＝（SD2+CD2﹣SC2）则：sin∠SDC=由三角形面积公式得△SCD的面积S=12SD•CD•sin∠SDC所以：棱锥S﹣ABC的体积：V=13AB•S△故选：C．6．在三棱锥P﹣ABC中，PA⊥平面ABC，∠BAC=2π3，AP＝3，AB＝23，Q是边BC上的一动点，且直线PQ与平面ABC所成角的最大值为π3，则三棱锥P﹣ABC的外接球的表面积为57π；则三棱锥P﹣ABC的内切球的半径为【解答】解：如图，Q是边BC上的一动点，PA⊥平面ABC，直线PQ与平面ABC