重庆市乌江新高考协作体2024届高三上学期期中数学试题（解析版）

PAGEPAGE1重庆市乌江新高考协作体2024届高三上学期期中数学试题一、选择题1.设集合，．则（）A. B. C. D.【答案】A【解析】.故选：A.2.设全集，，，则（）A. B. C. D.【答案】C【解析】因为，，，所以，，A错，，，，B错，，，C对，，D错，故选：C.3.已知等差数列中，，则（）A.7 B.11 C.9 D.18【答案】C【解析】设等差数列的性质可知：，所以.故选：C.4.如图是一个棱长为2的正方体被过棱、的中点、，顶点和过点顶点、的两个截面截去两个角后所得的几何体，则该几何体的体积为（）A.5 B.6 C.7 D.8【答案】C【解析】如图将正方体还原可得如下图形：则，，，所以该几何体的体积.故选：C5.已知平面直角坐标系中的3点，则中最大角的余弦值等于（）A. B. C. D.【答案】C【解析】，根据夹角公式，；，根据夹角公式，；，根据夹角公式，.由，，，于是是钝角，是锐角，最大角是，余弦值为.故选：C6.已知，为锐角，且，，则（）A. B. C. D.【答案】D【解析】因为，所以，又，为锐角，所以，，且．因为，为锐角，，所以，又，所以，故．故选：D.7.已知函数在定义域上的值不全为零，若函数的图象关于对称，函数的图象关于直线对称，则下列式子中错误的是（）A. B.C. D.【答案】D【解析】∵函数的图象关于对称，∴函数的图象关于对称，令，∴，即，∴…⑴令，∵其图象关于直线对称，∴，即，∴…⑵由⑴⑵得，，∴…⑶∴，由⑵得,∴；∴A对；由⑶，得，即，∴B对；由⑴得，，又，∴，∴C对；若，则，∴，由⑶得，又，∴，即，与题意矛盾，∴D错.故选：D.8.如图，在棱长为2的正方体中，是的中点，点是侧面上的动点，且截面，则线段长度的取值范围是（）.A. B. C. D.【答案】B【解析】取CD的中点为N,的中点为R,的中点为H,作图如下:由图可知,,所以四边形为平行四边形,所以,因为,所以,因为,故平面MNRH//平面,因截面,所以平面,线段MP扫过的图形为,由知,,在中,,即,所以，所以,即为直角,故线段长度的取值范围为,即,故选:B.二、多项选择题9.已知复数在复平面内对应的点为P，则（）A.P在第二象限 B.P在第四象限C. D.z的虚部为【答案】AC【解析】由题意，复数，所以其对应的点位于第二象限，所以A正确，B错误；由复数的虚部为，所以D错误；又由共轭复数的概念，可得，所以C正确.故选：AC10.已知圆：，则下列说法正确的是（）A.点在圆内 B.圆的半径为1C.圆关于对称 D.直线与圆相切【答案】BCD【解析】已知圆：，则其标准方程为，∴，B选项正确；圆心，将点到圆心的距离，所以，点在圆外，A选项错误；将圆心代入直线，得成立，所以直线过圆心，则圆关于直线对称，C选项正确；因为圆心到直线的距离，所以直线与圆相切，D选项正确.故选：BCD11.记等比数列{an}的前n项和为Sn，若a1＝2，S3＝6，则S4＝（）A.－10 B.－8 C.8 D.10【答案】AC【解析】设等比数列的公比为，由于，，则，或，所以或，故选：AC.12.如图，已知三个两两互相垂直的半平面，，交于点，矩形的边在半平面内，顶点，分别在半平面，内，，，与平面所成角为，二面角的余弦值为，则同时与半平面，，和平面都相切的球的半径为（）A. B. C. D.【答案】AC【解析】如图所示，将矩形ABCD所在的平面，补形为一个长方体，然后以点O为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系O–xyz，由，与平面所成角为，得，作底面于点P，则平面APB，从而，所以即为二面角的平面角，即的余弦值为，则，故，，，，所以，，设平面ABCD的法向量，则，令，得，从而，设平面ABCD与轴的交点分别为：，则，所以，，所以，，所以原问题进一步等价于求三棱锥O-P1P2P3的内切球半径，由于，故是等腰三角形，其面积为，三棱锥的表面积为，其体积为，设外接球半径为R，利用等体积法有，即，同理，当球在三棱锥外面与四个面都相切时，球的半径为，故选：AC．三、填空题13.函数的图象在处的切线方程是________．【答案】（或）【解析】由题意可得，则，，故所求切线方程为，即（或）．故答案为：14.若等差数列的前10项和为30，前20项和为100，则前30项和为_________【答案】【解析】设等差数列的前项和为，则，，成等差数列，即成等差数列，所以，，故答案为：.15.若方程在上有两个不同的实数根，则实数a的取值范围为______．【答案】【解析】作出，与的大致图象，如图所示．由图象，可知，即，故实数a的取值范围为．故答案为：.16.已知数列满足，.给出下列四个结论：①数列每一项都满足；②数列的前项和；③数列每一项都满足成立；④数列每一项都满足.其中，所有正确结论的序号是_________________.【答案】①③④【解析】由，，得，，，，②错误；，又因为，所以，所以，①正确；由可得，即，又，两边同时除以，可得：，，…，，累加可得，又因，所以，即有，当时，，所以，③正确；由，得，则当时，，则，当时，，所以，故④正确.故答案为：①③④.四、解答题17.已知，则求：（1）集合A的子集的个数，并判断与集合A的关系（2）请写出集合A的所有非空真子集解：（1）的子集有，，，，，，，共8个，其中.（2）集合A的所有非空真子集有，，，，，.18.已知命题p:x2+2x-15≤0，命题q:︱x-1︱≤m(m>0)，若¬p是¬q的必要不充分条件，求实数m的取值范围解：x2+2x﹣15≤0的解集为[﹣5，3]，故命题p成立有x∈[﹣5，3]，由︱x-1︱≤m(m>0)，，得x∈[1﹣m，m+1]，若¬p是¬q的必要不充分条件，即p是q的充分不必要条件，因此有[﹣5，3]为[1﹣m，m+1]真子集，即，（两个等号不能同时取到），解得：.19.如图，在平面四边形中，点与点分别在的两侧，对角线与交于点，.（1）若中三个内角、、分别对应的边长为、、，的面积，，求和；（2）若，且，设，求对角线的最大值和此时的值.（1）解：因为的面积，即，整理可得，所以，，又因为，则，设，则，在中，由正弦定理得，在中，由正弦定理得，因为，则，所以，，因为，则，所以，，因为，则，所以，，解得，即.（2）解：因为，则，其中，则，由余弦定理可得，则，在中，，，由余弦定理可得，所以，，故，故为等腰直角三角形，则，所以，，易知，则，故当时，即当时，取最大值，且最大值为.20.如图，在三棱台中，，平面,，，且D为中点.求证：平面；证明：由题意，以点坐标原点，，,分别为，，轴，建立空间直角坐标系，

则，则，故，，即，又平面，故平面.21.过点的直线分别与轴、轴的正半轴交于A，B两点，求（O为坐标原点）面积取得最小值时的直线方程．解：由题意知直线的斜率存在且不为零，设直线的方程为，即，在直线的方程中，令，可得；令，可得.所以点，由已知条件可得，