安全系统工程3.3

三、事故树的定量分析

我们先来复习一下概率论的一些基本知识三、事故树的定量分析一、概率论基本知识1.相互独立事件一个事件发生与否不受其他事件的发生与否的影响。假定有A、B、C、…、N个事件，其中每一个事件发生与否都不受其他事件发生与否的影响，则称A、B、C、…、N为独立事件。定义：对于任意两个事件，如果满足

P(A·B)＝P(A)·P(B)

则称事件与事件为相互独立事件。在事故树分析中，遇到的基本事件大多数是独立事件。三、事故树的定量分析2.互不相容事件（相互排斥事件）不能同时发生的事件。一个事件发生，其他事件必然不发生。它们之间互相排斥，互不相容。假定有A、B、C、…、N个事件，A发生时，B、C、…、N必然不发生；B发生时，A、C、…、N事件必须不发生，则A、B、C、…、N事件称为互斥事件。三、事故树的定量分析3．和事件概率对于2个相互独立事件：

P(A＋B)＝P(A)＋P(B)－P(AB)

或P(A＋B)＝1－[1－P(A)][1－P(B)]

n个独立事件的概率和，其计算公式是：P(A＋B＋C＋…＋N)＝1－[1－P(A)][1－P(B)][1－P(C)]…[1－P(N)]对于n个互不相容事件的概率和，其计算公式是：P(A＋B＋C＋…＋N)＝P(A)＋P(B)＋P(C)＋…＋P(N)

式中：P为独立事件的概率。三、事故树的定量分析4．积事件概率n个独立事件的概率积，其计算公式是：

P(A·B·C…N)＝P(A)·P(C)…P(N)n个互不相容事件的概率积对于0。三、事故树的定量分析5．对立事件及其概率对于事件A、B，如果有

A∩B＝φ，即A、B不能同时出现；

A∪B＝Ω，即A、B一定有一个要出现。则称A、B为互逆事件或对立事件，即

B＝；若把A看作一个集合时，就是A的补集。对立事件的概率计算：三、事故树的定量分析事故树的定量分析首先是确定基本事件的发生概率，然后求出事故树顶事件的发生概率。求出顶事件的发生概率之后，可与系统安全目标值进行比较和评价，当计算值超过目标值时，就需要采取防范措施，使其降至安全目标值以下。

Thefirststepofquantitativeanalysis

ofFTistocalculatetheoccurrenceprobabilityofbasicevent;thesecondistocalculatetopevent’soccurrenceprobability.Afterthatcomparetopevent’soccurrenceprobabilitywithsystemsafetytargetvalueandmakeevaluation.Whenthevalueisabovethetargetone,safeguardsneedtakingtodecreasethevaluebelowthetargetone.三、事故树的定量分析在进行事故树定量计算时，一般做以下几个假设：（1）基本事件之间相互独立；（2）基本事件和顶事件都只考虑两种状态；（3）假定故障分布为指数函数分布。ThefollowingassumptionsareusuallymadeinthequantitativecalculationsofFT:(1)Basiceventisindependent(2)Onlytwostatesareconsideredinbothbasiceventandtopevent.(3)Failuredistributionisinexponentialfunctiondistribution.三、事故树的定量分析事故树定量分析，是在已知基本事件发生概率的前提条件下，定量地计算出在一定时间内发生事故的可能性大小。如果事故树中不含有重复的或相同的基本事件，各基本事件又都是相互独立的，顶事件发生概率可采用直接分步法求得。

三、事故树的定量分析1．直接分步算法这种算法适用于事故树的规模不大，又没有重复的基本事件，无需布尔代数化简时使用。它是从底部的逻辑门联接的事件算起，逐次向上推移，直至计算出顶上事件T的发生概率。顶上事件的发生概率用符号g表示，即g＝P﹛T﹜。三、事故树的定量分析如果事故树中不含有重复的或相同的基本事件，各基本事件又都是相互独立的，顶事件发生概率可根据事故树的结构,用下列公式求得。

用“与门”连接的顶事件的发生概率为:用“或门”连接的顶事件的发生概率为:三、事故树的定量分析如图所示的事故树。已知各基本事件的发生概率q1=q2=q3=0.1，顶事件的发生概率为:

P(T)=

q1[1-(1-q2)(1-q3)]

=0.1[1-(1-0.1)(1-0.1)]

=0.019T·A1X1·+X2X3

三、事故树的定量分析求如图所示事故树顶上事件发生概率。各基本事件的发生概率如图示。

三、事故树的定量分析（1）求A2的概率：

qA2=1-(1-q5)(1-q6)(1-q7)=1-(1-0.05)(1-0.05)(1-0.01)=0.106525（2）求A1的概率：

qA1=q2qA2q3q4=0.8×0.106525×1×0.5=0.04261（3）求顶上事件的发生概率：

g=qT=1-(1-qA1)(1-q1)=1-(1-0.04261)(1-0.01)=0.05218

三、事故树的定量分析但当事故树中含有重复出现的基本事件时，或基本事件可能在几个最小割集中重复出现时，最小割集之间是相交的，这时，应按以下几种方法计算。2.最小割集法事故树可以用其最小割集的等效树来表示。这时，顶事件等于最小割集的并集。三、事故树的定量分析（1）最小割集间无重复基本事件若各个最小割集间无重复基本事件，就可以按照上述直接分步算法的原则，先计算各个最小割集内各基本事件的概率积，再计算各个最小割集的概率和，从而求得顶上事件的发生概率：

三、事故树的定量分析【例】某事故树有3个最小割集：K1={x1,x3}，K2={x2,x4}，K3={x5,x6}。求顶上事件的发生概率。解：据上述公式三、事故树的定量分析（2）最小割集间有重复基本事件若各个最小割集间有重复基本事件，则上述公式不成立。三、事故树的定量分析（2）最小割集间有重复基本事件式中，qk1,qk2是最小割集K1，K2的交集概率，由于K1∩K2＝x1x3·x2x3＝x1x2x3

所以qk1∩qk2＝q1q2q3

所以，这种情况上按(A)式写出g的计算式是错误的。经过推导，此时应该由下式计算顶上事件的发生概率值。三、事故树的定量分析（2）最小割集间有重复基本事件若各个最小割集间有重复基本事件，则上述公式不成立。应采用如下算法：三、事故树的定量分析式中r、s——最小割集的序数，r<s；

i——基本事件的序号，Xi∈Er；

k——最小割集数；

1≤r<s≤k——k个最小割集中第r、s两个最小割集的组合顺序；

Xi∈Er——属于第r个最小割集的第i个基本事件；

Xi∈Er∪Es——属于第r个或第s个最小割集的第i个基本事件。（2）最小割集间有重复基本事件三、事故树的定量分析3.最小径集法根据最小径集与最小割集的对偶性，利用最小径集同样可求出顶事件的发生概率。设某事故树有k个最小径集：P1、P2、…Pr、…Pk。用Dr（r=1,2,…,k）表示最小径集不发生的事件，用T′表示顶事件不发生。由最小径集的定义可知，只要k个最小径集中有一个不发生，顶事件就不会发生：

三、事故树的定量分析（1）最小径集间无重复基本事件若各个最小径集间无重复基本事件，就可以按照上述直接分步算法的原则，先计算各个最小径集内各基本事件的概率和，再计算各个最小径集的概率积，从而求得顶上事件的发生概率：式中p——事故树最小径集的数目；

Pr——第r个最小径集的数目。三、事故树的定量分析（1）最小径集间无重复基本事件【例】某事故树有3个最小径集：P1={x1,x4}，P2={x2,x3}，P3={x5,x6}。各基本事件的发生概率分别为：q1=0.1，q2=0.2，q3=0.03，q4=0.4，q5=0.05，q6=0.16，求顶上事件的发生概率。三、事故树的定量分析（2）最小径集间有重复基本事件若各个最小径集间有重复基本事件，上式不成立。此时，可以由下式计算顶上事件的发生概率值。三、事故树的定量分析（2）最小径集间有重复基本事件式中Pr——最小径集(r=1，2，…，k)；

r、s——最小径集的序数，r<s；

k——最小径集数；

(1-qi)——第i个基本事件不发生的概率；

Xi∈Pr——属于第r个最小径集的i个基本事件；

Xi∈PrUPs——属于第r个或第s个最小径集的第i个基本事件。三、事故树的定量分析（2）最小径集间有重复基本事件式中Pr——最小径集(r=1，2，…，k)；

r、s——最小径集的序数，r<s；

k——最小径集数；

(1-qi)——第i个基本事件不发生的概率；

Xi∈Pr——属于第r个最小径集的i个基本事件；

Xi∈PrUPs——属于第r个或第s个最小径集的第i个基本事件。三、事故树的定量分析注意：根据最小割集计算顶上事件发生概率的公式，计算精度分别高于由最小径集计算顶上事件发生概率的两个公式。因此，实际应用中，应尽量采用最小割集计算顶上事件的发生概率。三、事故树的定量分析4.顶事件发生概率的近似计算

按式（3-4）和（3-5）计算顶事件发生概率的精确解。当事故树中的最小割集较多时会发生组合爆炸问题，即使用直接不交化算法或不交积之和定理将相交和化为不交和，计算量也是相当大的。此时，可使用近似的计算方法。Expression(3-4)and(3-5)calculatetheaccuratesolutionoftheoccurrenceprobabilityoftopevent.IftherearemanyminimalcutsetinFT,combinationexplosionmayoccur.ThecomputationloadisratherlargeevenifthejointsumistransformedintodisjointsumbydirectmeansofdisjointalgorithmorSumofdisjointproductslaw.Hence,approximatecalculationcanbeemployed.三、事故树的定量分析4.顶事件发生概率的近似计算

（1）最小割集逼近法：在上式中，设：三、事故树的定量分析4.顶事件发生概率的近似计算

（1）最小割集逼近法：则得到用最小割集求顶事件发生概率的逼近公式，即：

P（T）≤F1

P（T）≥F1-F2P（T）≤F1-F2+F3式中的F1，F1-F2，F1-F2+F3，……等，依此给出了顶事件发生概率P(T)的上限和下限，可根据需要求出任意精确度的概率上、下限。实际应用中，以F1（称作首项近似法）或F1-F2作为顶事件发生概率的近似值，就可达到基本精度要求。三、事故树的定量分析4.顶事件发生概率的近似计算

（2）最小径集逼近法。与最小割集法相似，利用最小径集也可以求得顶事件发生概率的上、下限。在式（3-5）中，设：

则：

P(T)≤1-S1;P(T)≤1-S1

+

S2;……;

即：

1-S1≤P(T)≤1-S1

+

S2；1-S1

+

S2≥P(T)≥1-S1

+

S2–S3；……

(3-9)三、事故树的定量分析4.顶事件发生概率的近似计算

（2）最小径集逼近法。式（3-9）中的1-S1，1-S1+S2，1-S1+S2-S3，……等，依次给出了顶事件发生概率的上、下限。从理论上讲，式（3-8）和式（3-9）的上、下限数列都是单调无限收敛于P(T)的，但是在实际应用中，因基本事件的发生概率较小，而应当采用最小割集逼近法，以得到较精确的计算结果。

三、事故树的定量分析4.顶事件发生概率的近似计算

（3）平均近似法为了使近似算法接近精确值，计算时保留式（3-4）中第一、二项，并取第二项的1/2值，即：这种算法，称为平均近似法。三、事故树的定量分析4.顶事件发生概率的近似计算

（4）独立事件近似法

将事故树的最小割集作为相互独立的事件对待。即，尽管各最小割集中由重复基本事件，但仍将它们看作无重复事件，就可以由下式近似计算顶上事件的发生概率值。三、事故树的定量分析4.顶事件发生概率的近似计算

（4）独立事件近似法若最小割集Er(r=1，2，…，k)相互独立，可以证明其对立事件Er´也是独立事件，则有：对于上式，由于Xi=O（不发生）的概率接近于1，故不适用于最小径集的计算，否则误差较大。

三、事故树的定量分析5．化相交集为不交集求顶上事件发生概率

一、化相交集合为不交集合理论化相交集为不交集的依据，是布尔代数的如下运算定律。③对合律

(A’)’

＝A④德.摩根律（A+B）’＝A’·B’（A·B）’＝A’+B’①重叠律A＋B＝A＋A’BA’＋B’＝A’＋AB’②互补律A＋A’＝1A’．B’＝0三、事故树的定量分析5．化相交集为不交集求顶上事件发生概率

某事故树有k个最小割集：El，E2，…，Er，…，Ek，一般情况下它们是相交的，即最小割集之间可能含有相同的基本事件。由文氏图可以看出，ErUEs为相交集合，Er+Er′Es为不相交集合，如图3.11所示。5．化相交集为不交集求顶上事件发生概率

三、事故树的定量分析三、事故树的定量分析5．化相交集为不交集求顶上事件发生概率

亦即

ErUEs=Er+Er′Es(3-6)

式中

U——集合并运算；

+——不交和运算。

所以有：

P(ErUEs)=P(Er)+P(Er´Es)

由式(3-6)可以推广到一般式：

(3-7)三、事故树的定量分析5．化相交集为不交集求顶上事件发生概率当求出一个事故树的最小割集后，可直接运用布尔代数的运算定律及式(3-7)将相交和化为不交和。但当事故树的结构比较复杂时，利用这种直接不交化算法还是相当烦琐。而用以下不交积之和定理可以简化计算，特别是当事故树的最小割集彼此间有重复事件时更具