新教材适用2023-2024学年高中数学第二章导数及其应用习题课导数的概念及运算法则课后训练北师大版选择性必修第二册

习题课——导数的概念及运算法则课后训练巩固提升1.函数f(x)可导,则limΔx→0fA.f'(x) B.f'(2) C.f(x) D.f(2)答案:B2.下列结论中正确的是().A.若y=cos1x,则y'=-1xB.若y=sinx2,则y'=2xcosx2C.若y=cos5x,则y'=-sin5xD.若y=12xsin2x,则y'=xsin2解析:对于A,y=cos1x,则y'=1x2sin1x,对于B,y=sinx2,则y'=2xcosx2,故B正确;对于C,y=cos5x,则y'=-5sin5x,故C错误;对于D,y=12xsin2x,则y'=12sin2x+xcos2x,故D故选B.答案:B3.设直线y=12x+b是曲线y=f(x)=lnx(x>0)的一条切线,则实数b的值为()A.ln2-1 B.ln2-2C.2ln2-1 D.2ln2-2解析:设切点坐标为(x0,lnx0),则f'(x0)=1x0=12,即x0=又切点在直线y=12x+b上∴ln2=1+b,即b=ln2-1.答案:A4.已知函数f(x)=3x+cos2x+sin2x,a=f'π4,f'(x)是f(x)的导函数,则过曲线y=x3上一点P(a,b)的切线方程为()A.3x-y-2=0B.4x-3y+1=0C.3x-y-2=0或3x-4y+1=0D.3x-y-2=0或4x-3y+1=0解析:由f(x)=3x+cos2x+sin2x,得f'(x)=3-2sin2x+2cos2x,则a=f'π4=3-2sinπ2+2cosπ2∵点P(a,b)在曲线y=x3上,且a=1,∴b=1.∴点P的坐标为(1,1).由y=x3,得y'=3x2.当P为切点时,切线的斜率k=3×12=3.此时,切线方程为y-1=3(x-1),即3x-y-2=0.当P不是切点时,设切点坐标为(x0,x03),则切线的斜率k=3∴切线方程为y-x03=3x02(将点P的坐标代入切线方程,得1-x03=3x02∴2x03-3x02+1=0,即2x03-即(x0-1)2(2x0+1)=0,可得切点坐标为-12,-18,此时,切线方程为y+18即3x-4y+1=0.综上,满足题意的切线方程为3x-y-2=0或3x-4y+1=0,故选C.答案:C5.设函数f(x)=cos(3x+φ)(0<φ<π),若f'33π=32,则φ=;若f(x)+f'(x)是奇函数,则φ=.

解析:f'(x)=-3sin(3x+φ).由条件知,f'33π=-3sin(π+φ)=3sinφ=32,有sinφ=12∵0<φ<π,∴φ=π6或φ=5又f(x)+f'(x)=cos(3x+φ)-3sin(3x+φ)=2sin3x+φ+5π6,若f(x)+f'(x)为奇函数,则f(0)+f'(0)=0,即0=2sinφ+5π6,∴φ+5π6=kπ(k∈Z∵φ∈(0,π),∴φ=π6答案:π6.如图,y=f(x)是可导函数,直线l:y=kx+2是曲线y=f(x)在x=3处的切线.令g(x)=xf(x),其中g'(x)是g(x)的导函数,则g'(3)=.

(第6题)解析:由题图可知切点坐标为(3,1),将其代入直线l的方程得k=-13,则f'(3)=-1又因为g(x)=xf(x),所以g'(x)=f(x)+xf'(x),所以g'(3)=f(3)+3f'(3),由题图可知f(3)=1,所以g'(3)=1+3×-13=答案:07.曲线y=f(x)=ax(a>0)与曲线y=g(x)=lnx有公共点,且在公共点处的切线相同,求a的值.解:设公共点的坐标为(m,lnm)(m>0).∵函数f(x)=ax(a>0)的导函数f'(x)=a2x,函数g(x)=12lnx的导函数g'(x)∴f'(m)=a2m,g'(m)=由f'(m)=g'(m),即a2m=得a=1m又lnm=am=1∴m=e,则a=1m8.若存在过点O(0,0)的直线l与曲线y=f(x)=x3-3x2+2x和y=x2+a都相切,求实数a的值.解:易知点O(0,0)在曲线y=f(x)=x3-3x2+2x上.当O(0,0)是切点时,由f'(x)=3x2-6x+2,得f'(0)=2,即直线l的斜率为2,故直线l的方程为y=2x.由y=2x,y=x2依题意Δ=4-4a=0,解得a=1.当O(0,0)不是切点时,设直线l与曲线y=f(x)=x3-3x2+2x相切于点P(x0,y0),则y0=x03-3x02+由f'(x)=3x2-6x+2,得直线l的斜率k=f'(x0)=3