2002年普通高等学校招生全国统一考试(全国卷)

2002年普通高等学校招生全国统一考试（全国卷）数学（理工农医类）第Ⅰ卷（选择题共60分）试卷类型：A参考公式：三角函数的积化和差公式正棱台、圆台的侧面积公式S台侧S台侧=其中、c分别表示上、下底面周长，l表示斜高或母线长球的体积公式其中R表示球的半径一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．圆的圆心到直线的距离是 A． B． C．1 D．2．复数的值是 A．－i B．i C．－1 D．13．不等式的解集是 A． B． C．{} D．4．在（）内，使成立的x取值范围为 A． B． C． D．5．设集合M=，则 A．M=N B． C． D．ø6．点P（1，0）到曲线（其中参数t∈R）上的点的最短距离为 A．0 B．1 C． D．27．一个圆锥和一个半球有公共底面，如果圆锥的体积恰好与半球的体积相等，那么，这个圆锥轴截面顶角的余弦值是 A． B． C． D．8．正六棱柱ABCDEF－A1B1C1D1E1F1的底面边长为1，侧棱长为，则这个棱柱的侧面对角线E1D与BC1所成的角是 A．90° B．60° C．45° D．30°9．函数是单调函数的充要条件是 A．b≥0 B．b≤0 C．b>0 D．b<010．函数的图象是 A B C D11．从正方体的6个面中选取3个面，其中有2个面不相邻的选法共有 A．8种 B．12种 C．16种 D．20种12．据2002年3月5日九届人大五次会议《政府工作报告》：“2001年国内生产总值达到95933亿元，比上年增长7.3%.”如果“十·五”期间（2001年—2005年）每年的国内生产总值都按此年增长率增长，那么到“十·五”末我国国内年生产总值约为 A．115000亿元 B．120000亿元 C．127000亿元 D．135000亿元第Ⅱ卷（非选择题共90分）二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分.把答案填在题中横线上.13．函数在[0，1]的最大值与最小值的和为3，则a=.14．椭圆的一个焦点是（0，2），那么k=.15．的展开式中x3项的系数是.16．已知函数那么.三、解答题：本大题共6小题，共74分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17．（本小题满分12分）（ii）数学试题（理工农医类）参考解答及评分标准说明： 一、本解答指出了每题要考查的主要知识和能力，并给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分标准制订相应的评分细则. 二、对计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答末改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定后继部分的给分，但不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分. 三、解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数. 四、只给整数分数.选择题和填空题不给中间分.A卷选择题答案：一、选择题：本题考查基本知识和基本运算.每小题5分，满分60分.1．A2．C3．D4．C5．B6．B7．C8．B9．A10．B11．B12．C二、填空题：本题考查基本知识和基本运算.每小题4分，满分16分.13．2 14．115．100816．三、解答题17．本小题主要考查同角三角函数的基本关系式、二倍角公式以及三角函数式的恒等变形等基础知识和基本运算技能.满分12分. 解：由倍角公式， ………………2分 由原式得 ………………8分， ……………12分18．本小题主要考查线面关系、二面角和函数极值等基础知识，考查空间想象能力和推理论证能力.满分12分. 解：（Ⅰ）作MP∥AB交BC于点P，NQ∥AB交BE于点Q，连结PQ，依题意可得MP∥NQ，且MP=NQ，即MNQP是平行四边形，∴MN=PQ. ……………3分由已知，CM=BN=a，CB=AB=BE=1，∴AC=BF=，即. ………………6分 （Ⅱ）由（Ⅰ），所以，当 即M、N分别移动到AC、BF的中点时，MN的长最小，最小值为……9分 （Ⅲ）取MN的中点G，连结AG、BG，∵AM=AN，BM=BN，G为MN的中点 ∴AG⊥MN，BG⊥MN，∠AGB即为二面角α的平面角，又AG=BG=，所以，由余弦定理有 故所求二面角. ……………12分19．本小题主要考查直线、双曲线等基础知识，考查基本运算、逻辑推理能力.满分12分. 解法一：设点P的坐标为（x,y），依题设得=2， 即 ①………2分 因此，点P（x,y）、M（－1，0）、N（1，0）三点不共线，得 因此，点P在以M、N为焦点，实轴长为2|m|的双曲线上，故 ②…………6分 将①式代入②，并解得 ， ……………8分 解得.即m的取值范围为 ……………12分 解法二：设点P的坐标为（x,y），依题设得，即. ①…………2分 由|PM|－|PN|=2m，得 ②…………4分 由②式可得所以，. ……………6分 由②式移项，两边平方整理得将①式代入，整理得. ③…………8分③式右端大于0，.综上，得m满足即m的取值范围为 ……………12分20．本小题主要考查为数列、数列的极限等基础知识，考查建立数学模型、运用所学知识解决实际问题的能力.满分12分. 解：设2001年末汽车保有量为b1万辆，以后各年末汽车保有量依次为b2万辆，b3万辆，…，每年新增汽车x万辆，则 ………………2分 对于n>1，有 ………………6分 当 ………………8分 当 并且数列{bn}逐项增加，可以任意靠近. ……………10分 因此，如果要求汽车保有量不超过60万辆，即. 则（万辆）.综上，每年新增汽车不应超过3.6万辆.………12分21．本小题主要考查函数的概念、函数的奇偶性和最小值等基础知识，考查分类讨论的思想和逻辑思维能力.满分12分. 解：（Ⅰ）当为偶函数. ………………2分 当 . 此时函数既不是奇函数，也不是偶函数. ………………4分 （Ⅱ）（i）当若上单调递减，从而，函数上的最小值为 若，则函数上的最小值为………7分 （ii）当时，函数 若 若 ……………10分 综上，当 当 当 ……………12分22．本小题主要考查数列和不等式等知识，考查猜