复变函数04-初等函数

复变函数与积分变换电信系通信工程教研室李广柱电话/p>

手机Q：46860236Email：lgz1979@12/30/20231课前回顾复变函数的导数和微分复变函数的导数复变函数的微分解析函数解析函数的概念复变函数解析的充要条件解析函数和调和函数的关系12/30/20232本次课讲述的内容初等函数指数函数对数函数幂函数三角函数双曲函数反三角函数反双曲函数12/30/20233复指数函数的定义定义复数z=x+iy的指数函数为：

复指数函数具有以下性质：(1).当Im(z)=0时，f(z)=ex，其中x=Re(z)；(2).|ez|=ex，Arg(z)=y+2kπ，k是整数；(3).加法定理：12/30/20234复指数函数的性质

复指数函数具有以下性质：(4).，即ez，的周期为2kπi，该性质是实指数函数所没有的；(5).f(z)=ez在整个复平面上解析，且有；(6).注意：一般不成立。12/30/20235例：设z=x+iy，求：解：12/30/20236对数函数的定义

定义：满足方程ew=z(z≠0)的函数w=f(z)称为对数函数，记为：令、，则可知：12/30/20237对数函数的性质由于Argz是多值函数，因此对数函数w=f(z)也是多值函数，并且相邻两个值相差2πi的整数倍。

如果将Lnz=ln|z|+iArgz中的Argz取主值argz，则Lnz即转变成一个单值函数，记为lnz，并称为Lnz的主值：于是有：

当z=x>0时，Lnz的主值lnz=lnx为实对数函数。12/30/20238例：求Ln2，Ln(-1)。解：在实变函数中，负数无对数，可见，复变数对数函数是实变数对数函数的拓广。12/30/20239例：解方程。解：12/30/202310对数函数的性质

(1).，；(2).，；(3).对数函数在除去负实轴(含原点)外的复平面上处处连续，处处可导，且导函数为：12/30/202311对数函数的性质证明：鉴于除原点与负实轴，在复平面其它点lnz处处连续，z=ew在区域：内的反函数w=lnz是单值的，因此可以采用反函数求导的法则：12/30/202312幂函数的定义

定义：对任意的复数α以及复变量z，定义幂函数w=zα：

即：

注意：由于Lnz是多值的，因而幂函数w=zα也是多值的。

思考：为什么复指数函数ez不是多值的？12/30/202313幂函数当α为整数时：可见，zn具有单一的值，且：12/30/202314幂函数当(p、q互质，且q>0)时：可见，zp/q具有q个值。即取k=0,1,…,q-1时取的值。12/30/202315幂函数

特殊情况，当，n为正整数时，有：此即通常所见的幂函数w=zn。当时，12/30/202316幂函数当是无理数或者虚数时，有：注意到对不同的k取不同的值，此时幂函数具有无穷多个取值。是个无穷多值函数。12/30/202317例：求、的值。解：可见，ii虽然底数和指数都是虚数，但结果却是实数。12/30/202318幂函数的性质

(1)幂函数zn在复平面内是单值解析的，且有：

(2)幂函数z1/n是多值函数，具有n个多支，它的各个分支在除去原点和负实轴的复平面内是解析的，且满足：12/30/202319幂函数的性质

(3)幂函数w=zα(除去α等于n和1/n两种情况之外），当α为无理数或负数时，是无穷多值的。它的各个分支在除去原点和负实轴的复平面内是解析的，且有：12/30/202320三角函数的定义根据Euler公式可知：将两式相加与相减，得到：现在把余弦函数和正弦函数的定义推广到自变数取复值的情况，定义：12/30/202321三角函数的性质

(1).当z为实数x时，定义的三角函数与通常的三角函数定义式一致的。

(2).sinz是奇函数，cosz是偶函数：sin(-z)=-sin(z)，cos(-z)=cos(z)

(3).正弦函数和余弦函数都是以2π为周期的：sin(z+2π)=sin(z)，cos(z+2π)=cos(z)

(4).正弦函数和余弦函数在复平面内都是解析函数，且导函数分别为：12/30/202322三角函数的性质

(5).正弦函数和余弦函数的几组重要的公式：

(6).sinz=0的根是

cosz=0的根是12/30/202323例：解方程sinz=0。解：根据正弦函数的定义，12/30/202324三角函数的性质

(7).在复数域内，以下关系不成立：当z为纯虚数的时候，记z=yi，则根据正弦函数和余弦函数的定义可知：注意到：12/30/202325其它三角函数其它三角函数可以通过正弦函数和余弦函数来定义：正切函数：余切函数：正割函数：余割函数：与sinz和cosz类似，可以讨论它们的周期性、奇偶性和解析性。12/30/202326双曲函数的定义与三角函数类似，可以将双曲函数推广到复数域，定义双曲余弦函数为：

双曲正弦函数为：

双曲正切函数为：12/30/202327双曲函数的性质

(1).当z为实数x时，定义的双曲函数与实数域中双曲函数的定义式一致的。

(2).shz是奇函数，chz是偶函数：sh(-z)=-sh(z)，ch(-z)=ch(z)

(3).正弦函数和余弦函数都是以2πi为周期的：sh(z+2πi)=sh(z)，ch(z+2πi)=ch(z)12/30/202328双曲函数的性质

(4).双曲正弦函数和双曲余弦函数在复平面内都是解析函数，且导函数分别为：

(5).双曲正弦函数和双曲余弦函数满足以下一些公式：12/30/202329反三角函数的定义设z=cosw，则称w为z的反余弦函数，并记为：w=Arccosz。由：可得：解此方程，可知根满足：12/30/202330反三角函数的定义利用与定义反余弦函数相同的方法，可以定义反正弦函数和反正切函数：12/30/202331反双曲函数的定义利用与定义反余弦函数相同的方法，可以定义反双曲函数：反双曲正弦函数：反双曲余弦函数