北京市东城区2022-2023学年数学高三第一学期期末考试试题含解析

2022-2023学年高三上数学期末模拟试卷

注意事项：

1.答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，将条形码准确粘贴在考生信息条形码粘贴区。

2.选择题必须使用2B铅笔填涂；非选择题必须使用0.5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚。

3.请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。

4.保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.已知角a的顶点与坐标原点。重合,始边与入轴的非负半轴重合，它的终边过点K-3-4),则

tan/+4

值为()

241717

A.B.———C,D.

731731

2.下图为一个正四面体的侧面展开图,G为BF的中点，则在原正四面体中，直线EG与直线BC所成角的余弦值为

()

FD

B.

c手D.

66

1>()

J“2-Kdx=()

3.若/乂+二II〃GN*的展开式中含有常数项，且〃的最小值为〃，则

81几25兀

A.36KB.C.D.25兀

22

x<l是x+_L<-2的

4.()条件

A.充分不必要B.必要不充分C.充要D.既不充分也不必要

-2j'-2<0

5.若乂、)满足约束条件<%一-7+120,则芸=3工+〃的最大值为()

A.5B.9C.6D.12

6.港珠澳大桥于2018年10月2刻日正式通车，它是中国境内一座连接香港、珠海和澳门的桥隧工程，桥隧全长55

千米.桥面为双向六车道高速公路,大桥通行限速100AW儿现对大桥某路段上1000辆汽车的行驶速度进行抽样调查.画

出频率分布直方图（如图），根据直方图估计在此路段上汽车行驶速度在区间［85,90）的车辆数和行驶速度超过为km/h

的频率分别为（）

A.300,0.25B.300,0.35C.60,0.25D.60,0.35

7.设集合”=｛xlx<3｝，8=｛乂|乂(0或42｝，则4门8=()

A.(-8,0)B,(2,3)C.(-°°，0)。(2,3)D.(-00-3)

1

8.(3X3+X4)(2-_)8展开式中x2的系数为()

X

A.一1280B.4864C.一4864D.1280

9,设函数r(x)是奇函数/(x)(x€R)的导函数，当x>0时，r(x)lnx<:l/(x),则使得(X2—l)/(x)>0成立

X

的X的取值范围是()

A.(-1,0)U(0,1)B.(-oo,-l)U(l,+<»)

C.(-l,0)u(1,4-00)D.(-oo,-l)U(0,l)

复数（a-。（2-。的实部与虚部相等，其中i为虚部单位，则实数a=（）

10.

11

A.3B.一_C.一_D.-1

32

已知a>0且"1,函数+若/（。）=3,则{a）=（）

11.[3x+-l,x<0

228

A.2B.C.-D.-

3391

已知曲线y=a1+l（a>0且"1）过定点（k,b）,若m+n=b且m>0,n>0,则_+_的最小值为（）

12.

mn

95

A._B.9C.5D._

22

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13.已知向量%=（一2,1），^=（4,y），若布_L7J,贝4赤+»=

14.为了了解一批产品的长度（单位：毫米）情况，现抽取容量为400的样本进行检测，如图是检测结果的频率分布

直方图，根据产品标准，单件产品长度在区间125,30）的一等品，在区间[20,25）和130,35）的为二等品，其余均为

三等品，则样本中三等品的件数为.

16.已知函数/（x）=2sin（cox+（p）,对于任意X都有/（：+x）=/（：—X）,则/（2）的值为.

666

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17.（12分）设不等式—2<|x-l|-|x+2卜。的解集为M,a,bGM.

1

（1）证明:1。+〃<

364

（2）比较J-4叫与2p-q的大小，并说明理由.

18.（12分）已知函数/（x）=x2-（a+2）x+alnx（。为实常数）.

（1）讨论函数/G）在L,e]上的单调性；

（2）若存在xe[l,e],使得/（x）40成立，求实数。的取值范围.

19.（12分）如图，在直三棱柱ABC一力BC中，AB=BC=AA=1,AC=7,点DE分别为AC和BC的中点.

111111

（I）棱44上是否存在点P使得平面平面ABE?若存在，写出PA的长并证明你的结论；若不存在，请说

明理由.

(II)求二面角A-BE-D的余弦值.

20.(12分)等差数列｛a｝的前〃项和为S,已知〃+«=18,S=36.

〃n376

(I)求数列｛〃｝的通项公式及前〃项和为S；

nn

(II)设T为数列［'1的前"项的和,求证：T<1.

I〃J

21.(12分)如图，在四棱锥P—43C。中，四边形力BCD是直角梯形，NB，4D,"B//CD,PC」底面/BCD

AB=2AD=2CD=4,PC=2a,E，是PB的中点.

(1).求证:平面EAC±平面PBC-

(2).若二面角P-NC-E的余弦值以6,求直线M与平面E/c所成角的正弦值

3

22.(10分)已知函数/(X)=x+〃(l-e*),aeR.

(1)讨论/(X)的单调性；

(2)当〃21时，证明：/(》)一〃ln〃+“〈l.

参考答案

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1,

B

【解析】

424

根据三角函数定义得到tana=，故tan2a=-,再利用和差公式得到答案.

3-T

【详解】

4

1,角a的终边过点H-3,-4),二tana=_,tan2a=2tana24

31-tan2aT

c兀

tan2a+tan-24+1,…

「a吟4_¥17

/.tanl2+_J_________________________071___=____.

l-tan2a-tan^l+_xl31

47

麒：B.

【点睛】

本题考查了三角函数定义，和差公式，意在考查学生的计算能力.

2、C

【解析】

将正四面体的展开图还原为空间几何体，力,2F三点重合，记作D,取DC中点日，陲EG,EH,GH,ZEGH即

为EG与直线BC所成的角，表示出三角形EGH的三条边长，用余弦定理即可求得cos/EGH.

【详解】

将展开的正四面体折叠，可得原正四面体如下图所示，其中4,R尸三点重合，记作D：

则G为BD中点，取DC中点H,连接EG,EH,GH,设正四面体的棱长均为",

由中位线定理可得GH//BC且GH=，

22

所以NEGH即为EG与直线BC所成的角，

EG2+GH2-EH2

由余弦定理可得cosNEGH=

2EG-GH

22

所以直线EG与直线BC所成角的余弦值为立，

6

故选：C.

【点睛】

本题考查了空间几何体中异面直线的夹角，将展开图折叠成空间几何体，余弦定理解三角形的应用，属于中档题.3、

C

【解析】

3x+(»GN*)展开式的通项为

T1|，因为展开式中含有常数项，所以，；5r=0,即0=2〃为整

f"25

数，故n的最小值为1.

所以fdx———故选C

«52

点睛：求二项展开式有关问题的常见类型及解题策略

⑴求展开式中的特定项.可依据条件写出第r+1项，再由特定项的特点求出，•值即可.

(2)已知展开式的某项，求特定项的系数.可由某项得出参数项，再由通项写出第r+1项，由特定项得出，.值，最后求出

其参数.

4、B

【解析】

利用充分条件、必要条件与集合包含关系之间的等价关系，即可得出。

【详解】

设。:x<l对应的集合是^4=(-00,1),由乂+1<_2解得《<0且》0一1

X

q：X+1<—2对应的集合是B=(-oo,—lb(T,0)，所以

故是XJ<-2的必要不充分条件，故选B。

【点睛】

本题主要考查充分条件、必要条件的判断方法一一集合关系法。

设4=\/乂£2"B=|lxxGqf,

如果AUB,则p是q的充分条件；如果A.B则p是q的充分不必要条件；

如果BeA,则p是q的必要条件；如果则p是q的必要不充分条件。

5,C

【解析】

作出不等式组所表示的可行域，平移直线z=3x+2y,找出直线在V轴上的截距最大时对应的最优解，代入目标函数

计算即可.

【详解】

卜-2y-2K0

作出满足约束条件＜x-y+lNO的可行域如图阴影部分（包括边界）所示.

x+Z,当直线y=-3x+“经过点（2,0）时，该直线在V轴上

222

即z=3x2+2x0=6.

max

故选：C.

【点睛】

本题考查简单的线性规划问题，考查线性目标函数的最值，一般利用平移直线的方法找到最优解，考查数形结合思想的

应用，属于基础题.

6、B

【解析】

由频率分布直方图求出在此路段上汽车行驶速度在区间［85,90）的频率即可得到车辆数，同时利用频率分布直方图能

求行驶速度超过90Am/h的频率.

【详解】

由频率分布直方图得：

在此路段上汽车行驶速度在区间［85,90)的频率为0.06x5=0.3,

在此路段上汽车行驶速度在区间［8590)的车辆数为：0.3x1000=300,

行驶速度超过90km/h的频率为：(0.05+0.02)x5=0.35.

故选：B.

【点睛】

本题考查频数、频率的求法，考查频率分布直方图的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础

题.7、C

【解析】

直接求交集得到答案.

【详解】

集合4={x|x<3},B={x|x(0昵)2},则4CB=(-OO,0)D(2,3).

腿：C.

【点睛】

本题考查了交集运算，属于简单题.

8、A

【解析】

(Xrm「c

根据二项式展开式的公式得到具体为：3x3［GJ27卜一1JJ+X4.［住26［-我4|化简求值即可.

【详解】

1

根据二项式的展开式得到可以第一个括号里出3x3项，第二个括号里两项，或者第一个括号里出X4,第二个括号里

1x

(y「储】「(N

出？，具体为：3X3g27|L£|』+X4•『例「彳)|口

化简得到-128()x2

故得到答案为：A.

【点睛】

求二项展开式有关问题的常见类型及解题策略：

⑴求展开式中的特定项.可依据条件写出第r+1项，再由特定项的特点求出r值即可.

⑵己知展开式的某项，求特定项的系数.可由某项得出参数项，再由通项写出第r+1项，由特定项得出「值，最后求出

其参数.

9、D

【解析】

构造函数，令g(x)=lnx,/G)(x>0),则g，(x)=lnV'G)+-/——G)-，

X

由f'(x)lnx<-_/(x)可得g'(x)<0,

x

则g(X)是区间(0,上的单调递减函数，

且g(l)=lnlx/(1)=0,

当XG(O,1)时依r)>0；阮rvO>Ax)vO,(m-lmx)>0；

当XW(1,+oc)时,g(x)v0,丁/HX>(),.••/(X)<0,(X2-1)fM<0

•・VU)是奇函数，当xe(・1,0)时加)>0,(X2"次r)vo

・••当xe(・oo,・l)时JU)>O,(X2・16X)>0.

综上所述，使得(X2-1加x)>()成立的X的取值范围是(F,T)D(0,1).

本题选择。选项.

点睛：函数的单调性是函数的重要性质之一，它的应用贯穿于整个高中数学的教学之中.某些数学问题从表面上看似

乎与函数的单调性无关，但如果我们能挖掘其内在联系，抓住其本质，那么运用函数的单调性解题，能起到化难为易、

化繁为简的作用.因此对函数的单调性进行全面、准确的认识，并掌握好使用的技巧和方法，这是非常必要的.根据

题目的特点，构造一个适当的函数，利用它的单调性进行解题，是一种常用技巧.许多问题，如果运用这种思想去解

决，往往能获得简洁明快的思路，有着非凡的功效.

10、B

【解析】

利用乘法运算化简复数Q-。(2-/)即可得到答案.

【详解】

由己知，(“一。(2-i)=2。-1一("+2)i,所以2a—1=一。-2,解得a=一1

3

故选：B

【点睛】

本题考查复数的概念及复数的乘法运算，考查学生的基本计算能力，是一道容易题.

11、C

【解析】

根据分段函数的解析式，知当时，/(%)=3•一1,且/(x)<3,由于/(。)=3,则/(a)=loga+a=3,即

可求出a.

【详解】

由题意知:

当x40时，/(x)=3x+i-l,且/(x)<3

由于/(a)=3,则可知：a>0,

贝Uf(a)=loga+a=3,

a

：•Q=2,贝!Q=-2,

贝ij/(-a)=/(—2)=3-i-l=^3.

3

即/(-«)=-£.

3

故选：C.

【点睛】

本题考查分段函数的应用，由分段函数解析式求自变量.

12、A

【解析】

41

根据指数型函数所过的定点，确定k=1力=2,再根据条件m+〃=2,利用基本不等式求一+-的最小值・

mn

【详解】

，•定点为(12),

k=1,6=2,

m+〃=2

mn2mn2nm2

当且仅当巴=色时等号成立，

nm

即加=4#=2时取得最小值二9

332

故选：A

【点睛】

本题考查指数型函数的性质，以及基本不等式求最值，意在考查转化与变形，基本计算能力，属于基础题型.

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13、10

【解析】

根据垂直得到y=8,代入计算得到答案.

【详解】

mA.n,则拓.方=(—2,l>(4,y)=-8+y=0,解得V=8,

故2拓+H=(-4,2)+(4,8)=(0,10),故12丽+［=10.

故答案为：10.

【点睛】

本题考查了根据向量垂直求参数，向量模，意在考查学生的计算能力.

14、100.

【解析】

分析：根据频率分布直方图得到三等品的频率，然后可求得样本中三等品的件

数.详解：由题意得，三等品的长度在区间［10,15),115,,20)和135,4。］内，

根据频率分布直方图可得三等品的频率为(0.0125+0.0250+0.0125)x5=0.25,

.•.样本中三等品的件数为400x0.25=100.

频率一

点睛：频率分布直方图的纵坐标为-----，因此每一个小矩形的面积表示样本个体落在该区间内的频率，把小矩形的

组距

高视为频率时常犯的错

误.15、/2

【解析】

建立平面直角坐标系，设440c=9,可号当'=1,进而可得出盟=2sin9当=2sin；5兀一。卜由此将

,।V6)

3浮+22%转化为以。为自变量的三角函数，利用三角恒等变换思想以及正弦函数的有界性可得出结果.

【详解】

根据题意建立平面直角坐标系如图所示，^a^OA~b^OB,以。4、。8为邻边作平行四边形OACB,旗=£+九

5兀71

设N40C=。，则NBOC=NACO=——。，/04。=/080=_,且|砒|=1,

66

|QR|=2sin6,即「「2sin0,

兀，得。［5兀、

「1A=2sin-9\即

在A04C中，由正弦定理a=2sin

9।sinI—d,o.6I.

smn----7

61

5兀仁-。cos'：=-23sin。

2=Q2，q.人=。•匕cos=2sin0•2sinsin

「inn--丁6

则

口产一。］=12sin2Q兀-。1-43sinO：J5"

3a'+2a-b=3XI2sinII-43sin6sinsin

LI—JJ6

1-cos行-2。］

sin2。'-6sin2。-3sin2。

31、=61-'cos26+

=12x-43,sin9sin。+cos92

22J7

COS

=6-3cos20+33sin20-6x3sin2。=3+23sin20,

rj

当sin2。=1时,

故答案为：3+

【点睛】

本题考查了向量的数量积最值的计算，将问题转化为角的三角函数的最值问题是解答的关键，考查计算能力，属于难题.

16、—2或2

【解析】

由条件得到函数的对称性，从而得到结果

【详解】

Vf(+X、=f，兀_r、1

"716/

，x=堤函数f(x)=2sin®x+(p)的一条对称轴.

6

(叫

・《广

【点睛】

本题考查了正弦型三角函数的对称性，注意对称轴必过最高点或最低点，属于基础题.

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17、(1)证明见解析；(2)|1\>2\a-b\.

【解析】

试题分析：

⑴首先求得集合M,然后结合绝对值不等式的性质即可证得题中的结论；

(2)利用平方做差的方法可证得|l-4ab|>2|a-b|.

试题解析：

(I)证明：记=|x-l|-|x+2|,

[3，x<-2

|1111

则f(x)=〈-2x—1,-2<x<1,所以解得__vxv_,故

-3,3.2222

所以，亡+Lj间

363632624

11

(II)由(I)得0<32,Ogb2V--.

44

|l-4ab|2-4|a-b|2=(l-8ab+16a2b2)-4(a2-2ab+b2)=4(a2-l)(b2-l]>0.

所以，|l-4aft|>2|a-b|.

18、(1)见解析(2)«>-1

【解析】

(1)分类讨论〃的值，利用导数证明单调性即可；

(2)利用导数分别得出2<a<2e,a22e时，/(x)的最小值，即可得出实数”的取值范围.

【详解】

(1)Nx)=2x-(a+2)+"=2旌一(a+2卜+a—(2…)(l)彳』,[

XXX

当即〃V2时，/'Q)»o,此时，/Q)在［1,』上单调递增；

当1<“<e即2<〃<2e时，xJl,“'时，/'(x)<0,/屋)在‘1,“'上单调递减;

2F〔以

Xd时，/'(X)>0,/(X)在，；e上单调递增；

UJ12J

当二Ne即〃N2e时，/'(QwO,此时，/(Q在L,e］上单调递减；

2

(2)当〃<2时，因为/(》)在［1,1上单调递增，所以/(X)的最小值为了(1)=一〃—1,所以

当2<〃<2e时，/Q)44,［上单调递减，在'“，j上单调递增

①12J

dla

所以.-—«+"Inc

A42=

3ae

因为2v«v2e,所以0<ln;<1,_<_+l<_+L

2242

所以2<〃<2e.

l2j=I24,

当2,时，/(Q在L,』上单调递减

所以/(Q的最小值为/(<?)=e2-(a+2)e+a

因为公2e>，2—%，所以/(e)<0,所以2e,综上，a>-1.

e—1

【点睛】

本题主要考查了利用导数证明函数的单调性以及利用导数研究函数的存在性问题，属于中档题.

19、(I)存在点p满足题意，且E=3,证明详见解析；(n)11.

419

【解析】

(I)可考虑采用补形法，取力c的中点为尸，连接EF,AF,DF,可结合等腰三角形性质和线面垂直性质，先证

11

BD_L平面/CC,即尸，若能证明AF1PD,则可得证，可通过R/△四Ds我们反推出点p对

1

3

应位置应在勿=处，进而得证；

4

(II)采用建系法，以。为坐标原点，以DB,DC,DF分别为-J，1轴建立空间直角坐标系，分别求出两平面对应

法向量，再结合向量夹角公式即可求解；

【详解】

3

(I)存在点P满足题意，且PA=

4

证明如下:

取AC的中点为F,连接EF,AF,DF.

11

贝!]EF//AB//AB,所以4Fu平面ABE.

11

因为AB=BC,。是4c的中点，所以BD1AC.

在直三棱柱ABC-4BC中，平面ABC,平面,且交线为AC,

ACC

111

所以平面ACg,所以BD±AF.

在平面ACC内，才=布=七，ZPAD=AADF=90°,

1ADDF2

所以Rt/\PAD^Rt^ADF,从而可得AF1PD.

又因为PDcBD=D,所以平面PBD.

因为AFu平面ABE,所以平面PBD_L平面ABE.

▲2

(II)如图所示，以。为坐标原点，以DB,DC,。尸分别为X，_/，z轴建立空间直角坐标系.

j£

易知力(0,0,0),B仪0,0),彳O,]oj,E任m

所以BE=]-1农。1,48」丁,虫,。[DB=(],0,0p

(44；<22J{2J

设平面ABE的法向量为m=(x,y,z),则有

卜一工五

m-BE=-x+y+z=0,

--J右取y=2,得

m•AB=x+y=0.

22

一(Q

同理可求得平面BDE的法向量为n=0,4,-3.

5H+4+39344

则cosm.n=

19,

11

由图可知二面角力-BE-。为锐角，所以其余弦值为

19

【点睛】

本题考查面面垂直的判定定理、向量法求二面角的余弦值，属于中档题

20、(I)〃=2//-1,S=〃2(n)见解析

〃n

【解析】

(I)根据等差数列公式直接计算得到答案.

11

(II)1=1」_，根据裂项求和法计算得到了=1-得到证明.

S+〃％2+%〃％+1n〃+1

n

【详解】

(I)等差数列｛"｝的公差为，/，由〃+〃=18,5=36得〃=9,a+a=12,

〃376516

即〃[+41=9,2彳+51=12,解得*=1,d=2.

:.a-2//—1fS=1+3+5+…+(2〃-1)=.

nn

(II)S5A1-1-1-1_1

«S+n»2+〃n〃+1，

111"111

,\T=1—+—H--1--=1—<1,即T<1.

“223〃〃+1〃+1"

【点睛】

本题考查了等差数列的基本量的计算，裂项求和，意在考查学生对于数列公式方法的灵活运用.

21、(1)见解析；(2)

3

【解析】试题分析：(1)根据PC，平面力BCD有PC_L/C,利用勾股定理可证明“CLBC,故力平面PBC,

再由面面垂