北京市海淀区2021届高三模拟试题（一）(无答案)

2021年北京市海淀区高三模拟试卷（一）

数学

本试卷满分150分，考试时间120分钟.

第一部分（选择题共40分）

一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分，在每小题给出的四个选

项中，只有一项是符合题目要求的.

1.已知集合A={x|x+凉g},B={x|xa}.若则实数a的值可以为（）

A.2B.lC.OD.-2

2.下列函数中，在区间（0,+e）上不是单调函数的是（）

A.y=xB.y=x2

C.y=x+VxD.y=|x—1|

3.已知等差数列{%}的前〃项和为5“.若§3=%,且%*0,贝（）

33

A.1B.—C.—D.3

33

4.不等式,>1成立的一个充分不必要条件是（）

x

A.0<x<—B.x>1

2

C.0<x<lD.x<0

3

5.如图，角。以。;为始边，它的终边与单位同。相交于点P,且点尸的横坐标为一，则

5

sine+aj的值为（）

6.如图，网格纸上小正方形的边长为1,粗实线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的

体积为（）

A.-7TB.-7TC.2.7TD.21^万

33

3而

7.在四边形ABCD中，48//8,无心=；1而+〃4。(；1,〃€尺).者4+〃=一，则=

2AB

()

11

A.-B.-C.lD.2

32一

8.已知函数/（力=1+/一2N一女.若存在实数%,使得/（-%）=—/（%）成立，则实数

上的取值范围是（）

A.[-1,+8）B.（-oo,-1]

C.[o,+8）D.（-<50,0]

9.一个盒中装有大小相同的2个黑球，2个白球，从中任取一球，若是白球则取出来，若是

黑球则放回盒中，直到把白球全部取出，则在此过程中恰有两次取到黑球的概率为（）

3737

A.---B.—

21672

22

C.-D.—

927

*/八门Je4,给出下列三个结论：

10.设集合A是集合N*的子集，对于ieN,定义？（A）=八.，

7[0,zgA

①存在N*的两个不同子集AB，使得任意i€N”都满足R（AcB）=0且“（Au3）=1；

②任取N*的两个不同子集AB,对任意ieN*都有R（Ac8）=q（A）•例（8）；

③任取N*的两个不同子集A8,对任意ieN*都有9（4。8）=g（A）+例（8）.

其中所有正确结论的序号是（)

A.①②B.②③C.①③D.①②③

第二部分（非选择题共110分）

二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分.把答案填在题中的械线上.

11.已知向量a=（1,2）,B=（3,。,且a//瓦贝V=.

12.函数/（x）=x—&-6的零点个数为.

13.如图，网格纸上小正方形的边长为1,从A,B,C,。四点中任取两个点作为向量B的始

点和终点，则£石的最大值为.

14.已知数列｛a“｝的通项公式为an=In〃.若存在p&R,使得an„pn对任意的〃6N*都成

立，则P的取值范围为.

15.已知函数/（》）="d!1的，8（刀）="：055,其中0＞（）,A,5,C是这两个函数图像

的交点，且不共线.

①当。=1时，口48。面积的最小值为.

②若存在口43。是等腰直角三角形，则co的最小值为.

三、解答题：本大题共6小题，共85分，解答应写出必要的文字说明、证明过程

或演算步骤.

16.（本小题满分14分）

在①q=3,4=邑，②%=仇，%=4-4，③4=4一2,生=5一3这三个条件中任选

一个，补充在下面问题中，若问题中的；I存在，求2的最小值；若几不存在，说明理由.

设数列为等差数列，S,是数列｛〃｝的前〃项和，且,

1

b3=8,bn=22T(几.2,"eN")•记%T„为数列｛%｝的前〃项和，是否存在

《Jogzd

实数4,使得对任意的〃eN*都有《<4？

注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.

17.(本小题满分14分)

如图，在四棱锥P-ABC。中，底面ABCD为菱形，ZABC=60°,PB=PC,E为线段

8c的中点，F为线段24上的一点.

(1)证明：平面R4EL平面3CP；

(2)若必=/=^3，二面角A—B。一R的余弦值为，求尸。与平面3OF所成角

的正弦值.

18.(本小题满分14分)

根据某水文观测点的历史统计数据，得到某河流水位X(单位：米)的频率分布直方图如下.

将河流水位在[20,22),[22,24),[24,26),[26,28),[28,30),[30,32),[32,34]段内的频率作为

相应段的概率，并假设每年河流水位变化互不影响.

（1）求未来4年中，至少有2年河流水位Xe[26,30）的概率（结果用分数表示）：

（2）已知该河流对沿河A工厂的影响如下：当X520,26）时，不会造成影响；当xe[26,30）

时，损失50000元；当Xe[30,34]时，损失300000元，为减少损失，现有三种应对方案：

方案一：不采取措施；

方案二：防御不超过30米的水位，需要工程费用8000元；

方案三：防御34米的最高水位，需要工程费用20000元.

试问哪种方案更好，请说明理由.

19.（本小题满分14分）

已知椭圆C的中心在原点，E（l,0）是它的一个焦点，直线4过点厂与椭圆C交于A3两

—,—.1

点，当直线4,x轴时，OAOB=~.

2

（1）求椭圆C的标准方程；

（2）设椭圆的左顶点为P,的延长线分别交直线4：x=2于两点，证明：

以MN为直径的圆过定点.

20.（本小题满分15分）

InY

己知函数/（x）=丁.

（1）判断函数/（X）在区间（0,1）上的单调性，并说明理由；

（2）求证：/（x）＜1.

21.（本小题满分14分）

已知集合MqN*,且M中的元素个数〃大于等于5.若集合M中存在四个不同的元素

a,b,c,d,使得a+b=c+d,则称集合M是“关联的”，并称集合｛a,b,c,d｝是集合M的“关

联子集“；若集合M不存在“关联子集”，则称集合M是“独立的

（1）分别判断集合｛2,4,6,8,10｝与｛1,2,3,5,8｝是“关联的”还是“独立的”？若是“关

联的“，写出其所有的“关联子集”；

（2）已知集合知=｛《,。2,6,%，%｝是“关联的且任取集合｛《吗七加，总存在M的

“关联子集”A，使得｛44｝=A.若"<々</<。4<。5,求证：4，。2，。3，。4，。5是等差数

列；

（3）若集合M是“独立的“，求证：存在xwM,使得X〉心七9.

12345678910

DDCABBBAAA

LD【解析】本题考查集合的并集运算.由题意得，集合A=｛x|%,-1｝,若ADB=R，则

”，—1,结合各选项知。的值可以为-2,故选D.

【方法点拨】无限数集的运算可借助数轴直观求解.

2.D【解析】本题考查函数的单调性.函数^=乂丁=/»=》+«在（0,+8）上都是增函数,

故选项A,B,C错误；函数y=|x-l|在（0,1）上单调递减，（L+"）上单调递增，故选D.

【规律总结】判断函数的单调性可利用图象，或根据定义作出结论

3.C【解析】本题考查等差数列.设等差数列｛4｝的公差为4,

,,/、例+6J-Sa,8

H

vS3=a3,.-.3tz,+3d=a1+2d,即d=-24（40）,则寸~=不，故

选c.

利用等差数列的通项公式及求和公式得出数列｛为｝的首项与公差的关系式是解题的关键.

4.A【解析】本题考查不等式的解法、充分条件与必要条件的判断，不等式,>1O0<x<1

X

则0<x<，是!〉1成立的一个充分不必要条件，故选A.

2x

【举一反三】小范围可以推出大范围，大范围不能推出小范围，小范围是大范围的充分不必

要条件.

3

5.B【解析】本题考在三角函数的定义、诱导公式.由题意可得cos。='，

sin|—+।=cosa=-,故选B.

（2J5

【方法点拨】诱导公式的记忆口诀是“奇变偶不变，符号看象限

6.B【解析】本题考查三视图、空间几何体的体积.该几何体由两个圆锥拼接而成，圆锥的底

面半径为1,高为2,所以该几何体的体积为V=2xgx（乃xf）x2=♦.故选B.

【方法总结】对于简单几何体的组合体，在画其三视图时首先应清它是由哪些简单几何体组

成的，然后再画其三视图.由三视图还原几何体的直观图时，要遵循以下三步：（1）看视图，

明关系；（2）分部分，想整体；（3）综合起来，定整体.

7.B【解析】本题考查平面向量的线性运算.如图，过点，过点C作CE//AD，交AB于点E,

•.•A8//C£>,CE//AZ）,边形AEC。是平行四边形，则定=屈+而，又

_._,_,—►—►31—►1—►

AC=2AB+JLIAD,:l,AE-2+—即AE=—AB,则

\CD\\AE\1痂，毋R

___=___=—,故选B.

|AB||AB|2

灵活运用向量加法的平行四边形法则是解题的关键.

8.A【解析】本题考查函数与方程.由题意可得一片+芯—2koi一女=一（片+君一2闻一女），

整理得各片-2闻=3则原题化为函数>=_?一2|乂与函数y=Z的图象有交点，作出函

数y=f-2|x|的图象如图所示,则左...一1,故选A.

【核心素养】本题要求考生抓住函数与方程问题的本质，建立数与形之间的联系，体现了直

观想象、逻辑推理、数学运算的核心素养.

9.A【解析】本题考查独立事件概率的求法、分类计数原理的应用要满足题意，共有三种取法：

22212

（白黑黑白），（黑白黑白），（黑黑白白），其中（白黑黑白）的取法概率为=力，（黑

2221122211

黑白白）的取法概率为一X-X-X-=—,（黑白黑白）的取法概率为一x-x-x-=—,综

444324443318

上概率2为1三1=±37±故选A.

272418216

【方法技巧］涉及独立事件的概率求解问题，有效地对问题进行合理分类来处理是解决问题

的关键.

10.A【解析】•.•对于ieN*,定义尔A）=<

•••对于①，例如集合人={正奇数},A={正偶数},...An8=0,AUB=N*,

.•.0,.（AnB）=O；g（AUB）=l,故①正确；对于②，若0（4。3）=0,则i£（An8）,

则ieA且z，仁8,或ieB且i定A,或ieA且i任8；「书（A）夕.（8）=0；若

^.（AAB）=1,则i«Ar|B）,则ieA且ieB；，外（A）•%（5）=1；.•.任取N*的两

个不同子集AB,对任意MN*都有例（An6）=0（A）@（8）；正确，故②正确；对于③，

若4={1,2,3}乃={2,3,4}408={1,2,3,4},当i=2时，例（A|JB）=1；

0（A）=1,0（B）=1；.,.0（AU6）w/（A）+0（g）；故③错误；故选：A.

11.6【解析】本题考查向量共线的充要条件.由题意可得f=2x3=6

【易错提示】本题容易将向量共线的坐标表示与向量垂直的坐标表示混淆，若

。=（玉，>］）,0=（%2，）2），则。//力<=>%%=x2yx,a±Z?ox1x2+=0

12.1【解析】本题考查函数的零点.令f（x）=0,则x—«—6=0,令/=0），则

/t一6=0,解得：f=3(舍负)，即J7=3,:.X=9,即函数/(x)的零点个数为1.

【方法点拨】确定函数零点个数的常用方法有方程和数形结合.

13.3【解析】本题考查平面向量的数量积.由题知。为=|a|・|"|cos〈a,力=|Z?|cos〈a,»,由

图易知，当匕=而时，•8),.=|=1*|<os〈a,才C〉==3

V10

14.野，+8)【解析】本题考查不等式、利用导数研究函数的单调性.由题意可得

Inn

P..|,令/（x）=2,x>0,则r（x）=上萼，令r（x）>0得0<x<e,所

n

maxXX

以函数/(X)在(o,e)上单调递增，令/'(x)<0得尤>e,所以函数/(x)在(e,+e)上单调

递减，所以当x=e时函数f(x)有最大值，又〃eN*，且/(2)="</(3)=?,所

In3

以p...---

3

1T

15.2乃；3【解析】本题考在三角函数的图象与性质.

2

①当0>=1时，/(x)=0sin;r,g(x)=y/2cosx,令/(x)=g(x)，

得J^sinx=&cosx,则tanx=1,r.x=至+ki,攵eZ,取

4

■此时［ABC的面积最小，

所以(SA8c)mi_=gx2»x2=2»；②若存在△ABC是等腰直角三角形，当4,B,C为

相邻三个交点时，口取得最小值，利用直角三角形斜边的中线等于斜边长的一半得

②=2x［&x也+&X也］=4解得啰=2

【核心素养】本题以函数图象为载体，要求考生抓住三角函数图象与性质的联系，建立数与

形之间的联系，体现了数学运算的核心素养.

16.【名师指导】本题考查等比数列、等差数列的通项公式及裂项相消法求数列的前〃项和.

由题中条件求得数列｛。｝的通项公式，再结合选择的条件，利用等差数列的通项公式及裂

项相消法求解即可.

由b.=2b小，I可知数列｛〃｝.是等比数列，且公比q=2,

又4=8,则bn=8-2"-3=2",所以4=2,

可得S=2(J2")=2"+I_2,

“1-2

2+|

若选①q=3,«4=S2=2-2=6

因为数列｛4｝为等差数列，

设等差数列｛%｝的公差为“

所以3d=4一4=3,即d=1,

所以q=3+(n-l)=n+2,

1_1_Ip__1_

故〃^wlog2Z?/J〃(〃+2)2\n〃+2

42[〃+1〃+2)

时-，--1--+---1---->0

n+1/14-2

33

所以此时几的最小值为

若②,则％=伪=4,4=&-/7]=8-2=6,

因为数列｛%｝为等差数列，

设等差数列｛为｝的公差为d

所以2d=/一。3=2,即d=l,

所以aa=4+(〃-3)=〃+1

111I

故&=~；一(,1\=----------

anlog2ba+n〃+1

1111

=1--+1—

223，n〃+1〃+1

芙"f时,

H+1

所以7；<1此时几的最小值为L

若选③，则q=么一2=2,%=§2-3=3,

因为数列｛4｝为等差数列，

设等差数列｛%｝的公差为d

所以d=%-%=1

所以%=2+(〃-l)xl=〃+l

_1_1_]___1_

故anlog2/?„“(〃+l)nn+\

而/=1,--1-1--1---11-…-I--1---1--,=1-1----,

"223nn+1n+1

彗nf+x时,->0,1--->1,

n+\n+\

所以(<1此时2的最小值为1.

17.【名师指导】本题考查线而垂直的判定和性质、面而垂直的判定、二面角、线面所成角.

(1)证明：连接AC,因为尸B=PC,E为线段的中点，

所以PE_L3C.

又AB=BC,ZABC=60°,

所以AA3C为等边三角形，

所以BCJ.AE.

因为AEcPE=E,所以3C，平面Q4E，

又BCu平面BCP,所以平面PAE_L平面BCP.

(2)解：设A8=PA=a,则P3=0a=PC，

因为92+.2=依2，

所以E4_LA6，

同理可证Q4_LAC,

所以QA_L平面ABC。.

如图，设40^80=0,以。为坐标原点，砺的方向为x轴正方向，建立空间直角坐标

系。一盯z.

34

易知NFOA为二面角4一8£）-尸的平面角，所以cosNFOA=—,从而tan/FOAu—.

53

AF4c

----=—2

由a3，得AF1——a.

23

又由尸(0,_*朗,B冬,0,0,

得丽J-尊,号闸,"=(。,号,等.

(223J123J

设平面BDF的法向量为n=(x,y,z),

+aa2a八

-----x——y+——z=0

22-3

由冗J_而，n±OF>得'

a2a八

—y+——z=0

23

不妨设z=3,则可得平面BDF的一个法向量得打=（0,4,3）.

,D一当a,0,0,所以P£)=

[2JI22J

设PO与平面Bo/7所成角为e,

所以尸。与平面所成角的正弦值为立

10

18.【名师指导】本题考查频率分布直方图、二项分布、对立事件的概率以及数学期望，考查

考生的应用数学知识解决实际问题的能力以及等价转化思想.

（I）利用频率分布直方图和对立事件、二项分布的概率公式求解；

（2）建立概率分布表，分别求出数学期望，再比较大小即可.

解：（1）由频率分布直方图可知河流水位Xe[26,30）的概率

为（0.075+0.025）x2='

记”在未来4年中，至少有2年河流水位xe[26,30）”为事件A,

则P（A）=1-P（X）

113

625

（2）记A工厂的工程费与损失费之和为y（单位：元）.

①若采用方案一，则y的分布列为

Y050000300000

P0.780.20.02

"=Ox0.78+50000X0.2+300000X0.02=16000(元)

②若采用方案二，则Y的分布列为

Y8000308000

P0.980.02

EY=8(XX)x0.98+3080()0x0.02=14(XX)(元)

③若采用方案三：£丫=20000(元)

因为14000<16000<20000,

所以A工厂应用方案二

19.【名师指导】本题考在椭圆的方程和性质、椭圆的离心率和方程的运用、联立直线方程、运

用韦达定理、向量垂直的条件，考查运算求解能力、化归与转化思想、函数与方程思想.

（1）设椭圆C的方程为部十瓦=1（“〉人>0）,则一〃=1，当/］垂直于X轴时，A,B

（b2）（b2}______1

两点的坐标分别是1,一和1,一一，由0403=—知/=2/，由此能求出椭圆C的

Ika）2

方程；

（2）由对称性，若定点存在，则定点在x轴上，设直线AB的方程为：x=my+\,与椭圆

方程联立，运用韦达定理，通过直线力和直线PB的方程表示出M,N的坐标，得出

户访.成=0，可知尸在以MN为直径的圆上，结论得证.

22

（1）由题意，设椭圆C的方程为W+?=13>8>0）,c=必二层，贝Ijc=l

,（b2]（b2、

当/1_Lx轴时，不妨设A1,—,B1,---

a）aJ

/7412

0A-OB—1—=—=片=2（/—1）=>fz2=2»

a22v7

「c=l,:.a>c=\

a=2=/=1

2

.・•椭圆。的方程为三+丁=1

2-

（2）设AB的方程为％=阳+1,3（乙,%）

9

厂,2

2+，=>（历+2）y2+2y-1=0

由Vm

x-iny+1

.二大+工2=〃2（乂+%）+2，+〃2（X+%）+1

直线PA的方程为y=1为（"+"）

直线PB的方程为>=；匕卜+吟

%

令x=2,得为

%+A/24T

_______（2+⑷2yM,（2+码

FMFN=l+—1--------=1+--------T_E--------------------1=

x,x2+v2（x,+x2）+2"X%+研1+J2）（）1+%）+3+2j2

（2+匈2M%

//y%+"?（1+应）（M+必）+3+2企

6+4加

=0

2（3+2人）

:.~FMVFN

.■尸在以MN为直径的圆上，

..•以MN为直径的圆过定点.

20.【名师指导】本题考查导数与函数、不等式的综合.

（1）利用导数研究函数的单调性求解；

（2）证明：等价于证“/（X）max<g"，求出函数/（X）最大值即可.

函数/（X）在区间（0,1）上是单调递增函数.

理由如下：

,1,

由tr〃{\上彳，得.尸（土--三--Inx

因为X£（0,l）,

所以l>l,ln元<0.

x

因此—Inx>0.

x

又因为，>0,

所以r(x)>o恒成立.

所以/(x)在区间(0,1)上是单调递增函数.

⑵证明"/(x)<g”等价于证明“小)2

由题意可得，xe(0,+oo).

因为r(x)=与

令g(x)=』一/nx,则g，(x)=--y--<0.

所以g(x)在(0,+。)上单调递减

因为g(l)=l>0,g(e)=；_l<0,

所以存在唯一实数题,使得8(毛)=0,其中无。6。").

(40，"°)

X(。，跖)玉)

+0—

“X)□极大值□

x,/'(x),/(x)的变化如表所示:

所以〃xo)为函数“X)的极大值.

因为函数/(x)在(0,+8)有唯一的极大值.

所以小L=〃％)=警

1,

因为一=lnx0,

%

所以〃4^="%)=黑=/

因为/e(l,e)

所以7（4政

所以〃x）＜；

21.【名师指导】本题考查新定义、等差数列的性质、不等式以及推理与证明的综合.

（1）利用新定义直接求解；（2）利用新定义，结合等差数列的性质求解；（3）利用新定

义，结合反证法求解.

解：⑴｛2,4,6,8,10）是“关联的“关联子集有｛2,4,6,8｝,｛4,6,8,10｝,｛2,4,8,10｝；

｛1,2,3,5,8）是“独立的”

（2）记集合M的含有四个元素的集合分别为：

A=｛4,%,%，％｝，A2=[a],a3,a4,a5],

A,乂％%%，4｝，A=｛《,。2,生，4｝，

A=｛q,出,生,包｝.

所以，M至多有5个“关联子集

若4=｛q,a3M4，/｝为“关联子集”，

则A=｛4,%,%，%｝不是“关联子集"，否则6=。2

同理可得若&=｛q,03M4，4｝为“关联子集”，则4,不是“关联子集”.

所以集合M没有同时含有元素%，生的“关联子集”，与已知矛盾.

所以4=｛q,%,%，4｝一定不是“关联子集”

同理A=｛《,％,小，4｝一定不是“关联子集”.

所以集合M的“关联子集”至多为A，A3,A.

若4不是“关联子集”，则此时集合M一定不含有元素为，%的“关联子集”，与已知矛盾；

若A,不是“关联子集”，则此时集合M一定不含有元素4，%的“关联子