专题14.3 因式分解的应用（压轴题专项讲练）（人教版）（解析版）

专题14.3因式分解的应用【典例1】已知a，b，c三个数两两不等，且有a2+b【思路点拨】a2+b2+mab=b2+c2+mbc=c2+a2+mca，得a2+b2+mab=b2【解题过程】解：∵a2∴a2即a2∴a2∴a+ca-c∴a-ca+c+mb∵a，b，c三个数两两不等，∴a-c≠0，∴a+c+mb=0①，同理可得a+b+mc=0②，b+c+ma=0③，当a+b+c≠0时，①＋②＋③得，2a+b+c∴2a+b+c∴a+b+c2+m∴2+m=0，解得m=-2，当a+b+c=0时，∵a，b，c三个数两两不等，∴a，b，c三个数中至少一个不是0，设b≠0，∴a+c=-b≠0,∵a+c+mb=0，∴-b+mb=0，∴bm-1∴m-1=0，解得m=1，综上可知，m的值为-2或1．1．（2022秋·福建泉州·八年级校考期中）已知m，n均为正整数且满足mn-2m-3n-20=0，则m+n的最小值是（）A．20 B．30 C．32 D．37【思路点拨】利用因式分解把等式变形为(m-3)(n-2)=26，再讨论各种可能情况，求出m、n的值，判断出最小值．【解题过程】解：mn-2m-3n-20=0，m(n-2)-3n+6-6-20=0，m(n-2)-3(n-2)-26=0，(m-3)(n-2)=26，∵m，n均为正整数，∴26=1×26，或26=2×13，∴m-3=1n-2=26，m-3=26n-2=1，m-3=2n-2=13∴m+n=32，m+n=32，m+n=20，m+n=20，∴m+n的最小值为20．故选：A．2．（2022春·广东揭阳·八年级统考期末）已知x2+x=1，那么x4A．2020 B．2021 C．2022 D．2023【思路点拨】利用因式分解将原式进行分解，再整体代入即可求解．【解题过程】解：∵x2∴x=x=x=x=x=x-=-=﹣1+2023=2022，故选：C．3．（2022春·湖南株洲·七年级株洲二中校考期中）已知a>b>c，M=a2b+b2c+c2a，N=ab2+bc2+ca2，则M与N的大小关系是（

）A．M>N B．M＜N C．M=N D．不能确定【思路点拨】多项式比较大小，采用“作差法”，将多项式因式分解，再根据已知条件判断M-N的符号，即可求解．【解题过程】解：M-N=a=a=a==a=b-c=b-c==b-c∵a>b>c，∴b-c>0,a-c>0,a-b>0，∴b-ca-ca-b>0∴M>N．故选：A.4．（2023·全国·九年级专题练习）已知当x=2m+n+2和x=m+2n时，多项式x2+4x+6的值相等，且m-n+2≠0，则当x=m+n+1时，多项式A．439 B．1399 C．3 D【思路点拨】根据x=2m+n+2和x=m+2n时，多项式x2+4x+6的值相等，得到m-n+2=0或m+n+2=0，由m-n+2≠0，得到m+n+2=0，推出【解题过程】解：∵x=2m+n+2和x=m+2n时，多项式x2∴2m+n+22+4∴2m+n+42∴2m+n+4∴2m+n+4+m+2n+22m+n+4-m-2n-2即：3m+n+2∴m-n+2=0或m+n+2=0，∵m-n+2≠0，∴m+n+2=0，当x=m+n+1时，x=∴x2故选C．5．（2022春·重庆·九年级校联考期中）已知多项式A=x2+2y+m和B=y2-2x+n（①当x=2且m+n=1时，无论y取何值，都有A+B≥0；②当m=n=0时，A×B所得的结果中不含一次项；③当x=y时，一定有A≥B；④若m+n=2且A+B=0，则x=y；⑤若m=n，A-B=-1且x，y为整数，则x+y=1A．①②④ B．①②⑤ C．①④⑤ D．③④⑤【思路点拨】主要是运用整式的运算法则及因式分解等知识对各项进行一一判断即可．【解题过程】解：①当x=2且m+n=1时，A+B=4+2y+m+y∵无论y取何值，总有y+12∴无论y取何值，都有A+B≥0，故①正确；②当m=n=0时，A×B=x∴A×B所得的结果中不含一次项；故②正确；③当x=y时，A-B=x其结果与0无法比较大小，故③错误；④若m+n=2且A+B=0，则A+B=x变形得：x-12∴x=1，y=-1，∴x=-y，故④错误；⑤若m=n，A-B=-1且x，y为整数，则A-B=x变形得：x+12因式分解得：x+yx-y+2∵x，y为整数，则必有x+y=1故⑤正确；故选：B6．（2022秋·七年级单元测试）正数a,b,c满足ab+2a+2b=bc+2b+2c=ac+2a+2c=12，那么a+2b+2c+2【思路点拨】将式子ab+2a+2b=bc+2b+2c因式分解为(a-c)(b+2)=0，求得a=c,同理可得a=b=c,再ab+2a+2b=12可化为a2+4a-12=0，求出a的值，再求a+2b+2【解题过程】解：∵ab+2a+2b=bc+2b+2c，∴ab-bc+2(a-c)=0,即(a-c)(b+2)=0,∵b﹥0,∴b+2≠0,∴a-c=0,∴a=c,同理可得a=b,b=c,∴a=b=c,∴ab+2a+2b=12可化为a2+4a-12=0∴(a+6)(a-2)=0,∵a为正数，∴a+6≠0,∴a-2=0,∴a=2,即a=b=c=2,∴a+2b+2故答案为64．7．（2022秋·山东泰安·八年级校联考期中）已知a=2021x+2000，b=2021x+2001，c=2021x+2002，则多项式a2+b【思路点拨】根据题意可得a-b=-1，b-c=-1，a-c=-2，再利用提公因式法原式可变形为122a【解题过程】解：∵a=2021x+2000，b=2021x+2001，c=2021x+2002，∴a-b=2021x+2000-2021x-2001=-1，b-c=2021x+2001-2021x-2002=-1，a-c=2021x+2000-2021x-2002=-2，∴a======3故答案为：38．（2023秋·福建宁德·八年级校考阶段练习）已知a2=a+1，b2=b+1，且a≠b，则【思路点拨】首先求出ab的值，再根据a4+b【解题过程】解：a2=a+1①，b①-②，得a2(a+b)(a-b)-(a-b)=0，(a-b)(a+b-1)=0，因为a≠b，所以a+b-1=0，即a+b=1③，①+②，得a2a2+③平方，得a2+⑤-④，得2ab=-2，ab=-1，a===9-2=7．9．（2023·江苏南通·八年级南通田家炳中学校考阶段练习）若x≠y，且x2-4x+y=0，y2-4y+x=0【思路点拨】根据x2-4x+y=0①，y2-4y+x=0②，可得x2=4x-y，y2=4y-x，由①－②可得【解题过程】解：∵x2-4x+y=0y2-4y+x=0①－②，得：x2即x2∴x+yx-y∴x-y∵x≠y，∴x-y≠0，∴x+y-5=0，即x+y=5，∵x2-4x+y=0，∴x2=4x-y，∴x=x·=x=4=4=4=4=12=12×5=60．故答案为：60．10．（2023春·浙江·九年级专题练习）已知m2=2n+1，4n2=m+1m≠2n，那么【思路点拨】由条件可以变形为m2-4n2=2n+1-m-1=2n-m，因式分解从而可以求出其值；4n2【解题过程】解：∵m2=2n+1，∴m∴m2∴m+2nm-2n∴m+2n∴m+2n+1∵m≠2n，∴m+2n+1=0∴m＋2n＝−1；∵4n∴4n∴4n∵4n∴n2∴2n∴4n故答案是：−1；0．11．（2023秋·湖北武汉·八年级湖北省水果湖第二中学校考期末）对于二次三项式x2+mx+n（m、①若n=36，且x2+mx+n=x+a②若m2<4n，则无论x为何值时，③若x2+mx+n=x+3④若n=36，且x2+mx+n=x+ax+b，其中a、b为整数，则其中正确的有______．（请填写序号）【思路点拨】根据完全平方公式可以得a2=36，从而得出a=±6，于是易判断结论①；根据m2<4n得出4n-m2＞0，通过配方将多项式x2+mx+n变形为x+m【解题过程】解：①∵若n=36，且x2+mx+n=x+a2，则有x2+mx+36=x2+2ax+a2∴a2=36，解得：a=±6，故①说法错误；②∵m2<4n，∴4n-m2∴=故无论x为何值时，x2故②说法正确；③∵x2+mx+n=x+3x+a∴x2+mx+n=x2+(a+3)x+3a，∴m=a+3，n=3a，∴3m-n=3(a+3)-3a=3a+9-3a=9故③说法正确；④∵n=36，且x2+mx+n=x+ax+b∴x2+mx+36=x2+∴m=a+b，n=36，∵a、b为整数，∴相应的数对为：-1和-36，1和36，-2和-18，2和18，-3和-12，3和12，-4和-9，4和9，-6和-6，6和6共10对，因此m的值可能有10个，故④说法正确．综上所述，正确的说法有：②③④．故答案为：②③④．12．（2023春·江苏·七年级专题练习）求证：若4x-y是7的倍数，其中x、y都是整数，则8x2+10xy-3【思路点拨】由4x-y是7的倍数，设4x-y=7m（m为整数），得y=4x-7m，把8x2+10xy-3y2【解题过程】证明：∵4x-y是7的倍数，设4x-y=7m（m为整数），则y=4x-7m，∴8=(2x+3y)(4x-y)=(2x+12x-21m)(4x-4x+7m)=7m(14x-21m)=49(2x-3m)，∵x、m是整数，∴m(2x-3m)也是整数，∴8x2+10xy-313．（2022秋·上海青浦·七年级校考期中）证明：a【思路点拨】根据完全平方公式进行计算得出a2+b【解题过程】解：∵ay-bxaz-cx2bz-cy2∴ay-bx2即a2整理得a2∵a===ay-bx∴a214．（2022春·四川成都·七年级校联考期中）阅读材料：把形如ax2+bx+c的二次三项式(或其一部分)例如：(x-1)2+3、(x-2)2+2x、(12x-2)2+34请根据阅读材料解决下列问题：（1）比照上面的例子，写出x2（2）已知z-x+2y=4，zx+2xy+y2-6y+13=0（3）当x，y何值时，代数式5x【思路点拨】（1）根据材料中的三种不同形式的配方，“余项”分别是常数项、一次项、二次项，可解答；（2）将x2+y2+4x-6y+13（3）首先把已知等式变为4x【解题过程】（1）解：第一种：x2第二种：x2第三种：x2（2）∵z-x+2y=4，zx+2xy+y∴zx+2xy+y=xz+2y=xx+4=x=0，x2(x+2)2x=-2，y=3，∴(-y)（3）5x=4x=(2x-y)∵(2x-y)∴2x-y=0解得x=-3y=-6∴当x=-3，y=-6时，代数式5x2-4xy+15．（2022秋·重庆北碚·八年级西南大学附中校考阶段练习）若一个正整数a可以表示为a=(b+1)(b-2)，其中b为大于2的正整数，则称a为“十字数”，b为a的“十字点”．例如28=(6+1)×(6-2)=7×4．（1）“十字点”为7的“十字数”为；130的“十字点”为；（2）若b是a的“十字点”，且a能被(b-1)整除，其中b为大于2的正整数，求a的值；（3）m的“十字点”为p，n的“十字点”为q，当m-n=18时，求p+q的值．【思路点拨】（1）根据十字点的定义a=(b+1)(b-2)计算即可；（2）先根据a=(b+1)(b-2)得出a=(b-1+2)(b-1-1)=b-12+b-1-2，再根据（3）根据已知得出m=(p+1)(p-2)（p＞2且为正整数），n=(q+1)(q-2)（q＞2且为正整数），再根据m-n=18得出(【解题过程】解：（1）“十字点”为7的“十字数”a=(7+1)(7-2)=8×5∵130=(12+1)(12-2)=13×10，∴130的“十字点”为（2）∵b是a的“十字点”，∴a=(b+1)(b-2)（b＞2且为正整数），∴a=(b-1+2)(b-1-1)=∵a能被(b-1)整除，∴(b-1)能整除2，∴b-1=1或b-1=2，∵b＞2，∴b=3，∴a=(3+1)(3-2)=4（3）∵m的“十字点”为p，∴m=(p+1)(p-2)∵n的“十字点”为q，∴n=(q+1)(q-2)∵m-n=18，∴(p∴p2∴(p∴(p∵m-n=18＞0，p＞2，q＞2且p、∴p＞q，p+q＞4；∴p+q-1＞3；∵18=3×6=2×9，∴p+q-1=6p-q=3或p+q-1=9解得：p=5q=2（不合题意舍去），p=6∴p+q=16．（2023春·江苏·七年级专题练习）阅读下列材料：在因式分解中，把多项式中某些部分看作一个整体，用一个新的字母代替（即换元），不仅可以简化要分解的多项式的结构，而且能使式子的特点更加明显，便于观察如何进行因式分解，这种方法就是换元法．对于x2解法一：设x2+5x=y=y+6解法二：设x2+2=m，5x=n=m+n+4请按照上面介绍的方法解决下列问题：（1）因式分解：x2（2）因式分解：x+y-2xyx+y-2（3）求证：多项式x+1x+2【思路点拨】（1）仿照题意方法一、二求解即可；（2）仿照题意方法二求解即可；（3）先把多项式化成x2+7x+6x【解题过程】（1）解：解法一：设x2则原式=y+1====x-2方法二：设x2则原式======x-2（2）解：设x+y=m，则原式=======x-1（3）解：x+1=x设x2则原式====x∵x2∴x+1x+2∴多项式x+1x+217．（2023秋·吉林长春·八年级统考期末）我们知道，对于一个图形，通过两种不同的方法计算它的面积，可以得到一个数学等式．例如图①可以得到a+2ba+b（1）写出图②中所表示的数学等式______；（2）猜测a+b+c+d2=（3）利用（1）中得到的结论，解决下面的问题：已知a+b+c=12，ab+bc+ca=48，求a2（4）在（3）的条件下，若a、b、c分别是一个三角形的三边长，请判断该三角形的形状，并说明理由．【思路点拨】（1）根据大长方形面积等于其内部三个小正方形面积加上6个小长方形的面积进行求解即可；（2）仿照题意画出图形求解即可；（3）先求出a+b+c2=144，2ab+2bc+2ca=96，再把这2个等式代入（（4）由（3）可得a2+b2+【解题过程】（1）解：由题意得，a+b+c2故答案为：a+b+c（2）解：由下图可得：a+b+c+d2故答案为：a2（3）解：∵a+b+c=12，ab+bc+ca=48，∴a+b+c2=12∵a+b+c2∴a2（4）解：该三角形为等边三角形，理由如下：∵ab+bc+ca=48，a2∴a2∴2a∴2a∴a2∴a-b2∵a-b2∴a-b2∴a-b=0，∴a=b=c，∴该三角形是等边三角形．18．（2022秋·全国·八年级期末）在数的学习中，我们总会对其中一些具有某种特性的数进行研究，若一个正整数m是两个相差为3的数的乘积，即m=nn+3，其中n为正整数，则称m为“如意数”，n为m的“如意起点”．例如：18=3×6，则18是“如意数”，3为18的“如意起点”（1）若k是88的“如意起点”，则k=______；若a的“如意起点”为1，则a=______．（2）把“如意数”x与“如意数”y的差记作Ex,y，其中x>y，Ex,y>0，例如：40=5×8，10=2×5，则E40,10=40-10=30．若“如意数”x的“如意起点”为s，“如意数”y的“如意起点”为t，当【思路点拨】（1）根据“如意数”的特征列方程求解即可；（2）根据“如意数”的定义得到x-y=48，整理得到s-ts+t+3=48，由s、t都是正整数，推出s-t和s+t+3都是正整数，且s+t+3>s-t，把48分解成【解题过程】解：（1）若k是88的“如意起点”，根据题意得kk+3=88，整理得：因式分解得k-8k+11∵k为正整数，∴k=8；若a的“如意起点”为1，根据题意得a=1×1+3故答案为：8；4；（2）∵E(x，y)=48，∴x-y=48，又x=s(s+3)，y=t(t+3)，∴x-y=ss+3-tt+3∴s-ts+t+3∵s、t都是正整数，∴s-t和s+t+3都是正整数，且s+t+3>s-t，∵48=1×48=2×24=3×16=4×12=6×8，∴s-t=1s+t+3=48或s-t=2s+t+3=24或s-t=3s+t+3=16或s-t=4解得：s=23t=22或s=232t=192(舍去)或s=8t=5或s=132∴st=23故st的最大值为819．（2023秋·重庆大足·八年级统考期末）已知一个各个数位上的数字均不为0的四位正整数M=abcda>c，以它的百位数字作为十位，个位数字作为个位，组成一个新的两位数s，若s等于M的千位数字与十位数字的平方差，则称这个数M为“平方差数”，将它的百位数字和千位数字组成两位数ba，个位数字和十位数字组成两位数dc，并记例如：6237是“平方差数”，因为62-32=27，所以6237此时T6237又如：5135不是“平方差数”，因为52-32=16≠15，所以5135（1）判断7425是否是“平方差数”？并说明理由；（2）若M=abcd是“平方差数”，且TM比M的个位数字的9倍大30，求所有满足条件的“平方差数”【思路点拨】（1）根据“平方差数”的定义计算即可；（2）由M=abcd是“平方差数”，得a2-c2=10b+d，由TM比M的个位数字的9【解题过程】（1）解：7254是“平方差数”．理由如下：∵72∴7254是“平方差数”．（2）∵M=abcd是“平方差数”∴a2∵T（M）比M的个位数字的9∴10b+a+10d+c=9d+30，即a+c+10b+d=30，∴a+c+a即a+ca-c+1∵a+c＞0，∴将30分解为2×15或3×10或5×6．①a+ca-c+1