2023学年陕西延安市高考冲刺模拟数学试题含解析

2023年高考数学模拟试卷

注意事项

1.考生要认真填写考场号和座位序号。

2.试题所有答案必须填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效。第一部分必须用2B铅笔作答；第二部分必须用黑

色字迹的签字笔作答。

3.考试结束后，考生须将试卷和答题卡放在桌面上，待监考员收回。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.已知集合用={x|-2cx<6},N={x\-3<x<log235},则Mp|N=（）

A.{x|-2<x<log235)B.{x|-3<x<log235)

C.{x|-3<x<6)D.{x|log235cx<6}

x2

2.设椭圆E：A万1（。〉人>0）的右顶点为4,右焦点为F,B、C为椭圆上关于原点对称的两点，直线8尸交

直线AC于且M为AC的中点，则椭圆E的离心率是（）

2}_£

3234

|log2x|,x>0

3.已知函数/5）=,方程/。）-。=0有四个不同的根，记最大的根的所有取值为集合。，贝代函

x2+2x+2,x<0

数E（x）=/（x）（xe。）有两个零点，，是“%>!”的（）.

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

4.已知椭圆C的中心为原点。，F（-2布,0）为C的左焦点,尸为C上一点，满足IOPROEI且|尸产|=4,则椭圆

C的方程为（）

2)

工+匕=1B.二+汇=1D.=1

25536164525

5.若样本1+3+w,1+£，…，1+%的平均数是10,方差为2,贝!J对于样本2+2%,2+2々,2+2%,…,2+2x“，下列

结论正确的是（）

A.平均数为20,方差为4B.平均数为11,方差为4

C.平均数为21,方差为8D.平均数为20,方差为8

6.若复数加（加一2）+（加2一3加+2»是纯虚数，则实数的值为（）

A.。或2B.2C.0D.1或2

7.我国数学家陈景润在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界领先的成果.哥德巴赫猜想是“每个大于2的偶数可以表示

为两个素数（即质数）的和“，如16=5+11,30=7+23.在不超过20的素数中，随机选取两个不同的数，其和等

于20的概率是（）

8.某几何体的三视图如图所示，其中正视图是边长为4的正三角形，俯视图是由边长为4的正三角形和一个半圆构成,

则该几何体的体积为（）

△4

正钝,出例视用

俯视如

.o4由兀nO2也%4石）n.8上加

A.8+——B.8+——C.4+——D.4+——

3333

9.函数=+的值域为（）

A.——,1B.0,—C.[0,1]D.——,0

10.一物体作变速直线运动，其丫-/曲线如图所示，则该物体在工s~6s间的运动路程为（），”.

2

y/（m-s-1）

0136vs

ii.已知双曲线［—4=1（a>0,b>o）的左、右顶点分别为4，4，虚轴的两个端点分别为用，B,,若四

ab

边形Aga层的内切圆面积为18%，则双曲线焦距的最小值为（）

A.8B.16C.6x/2D.1272

12.已知集合4={刈卜一1区3,%62},8=卜62|2、64},则集合B=()

A.{-1,0,1}B.{0,1}C.{1,2}D.{0,1,2}

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

2?

13.已知各项均为正数的等比数列{4}的前〃项积为7；,46=4,叫也|=丁">0且［/1),则匕=.

14.已知函数/(x)=?一卜+J*41函数g(x)=/(x)+f(-x),则不等式g(x)<2的解集为一.

(x-1),%>1

27%<0)

15.已知函数/*)={-,则f(—2)=_______；满足/(x)>0的x的取值范围为________.

12-3x(x>0)

16.在四棱锥P-ABCD中，底面A3CO为正方形，PA，面ABCD,PA^AB=4,E,F,H分别是棱PB,BC,PD的

中点，过瓦尸,”的平面交棱CD于点G,则四边形EFG”面积为.

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17.(12分)已知/(x)=21n(x+2)-(x+l)2,g(x)=>(x+l).

(1)求/(x)的单调区间；

(2)当左=2时，求证：对于Vx>—1,/(x)<g(x)恒成立；

(3)若存在%>-1,使得当xe(—l,%)时，恒有/(x)>g(x)成立，试求々的取值范围.

18.(12分)如图，已知三棱柱ABC—AMG中，AABC与AgBC是全等的等边三角形.

(1)求证：BC1AB,；

(2)若cos/48A=；,求二面角8-gc—A的余弦值.

19.(12分)已知三棱锥A-BCD中侧面曲与底面8CQ都是边长为2的等边三角形,且面ABDY^BCD,M.N

分别为线段A。、AB的中点.P为线段BC上的点，且MNtNP.

A

(1)证明：P为线段BC的中点；

(2)求二面角A—NF的余弦值.

X=2H----1

20.(12分)在平面直角坐标系“Oy中，直线/的参数方程为:2(，为参数)，以坐标原点O为极点，”轴

,血，

V=1---t

V2

的正半轴为极轴建立极坐标系，圆C的极坐标方程为夕②-42cos6=3.

(1)求直线/的普通方程和圆C的直角坐标方程；

(2)直线/与圆C交于A,B两点,点尸(2,1),求|以卜|尸5|的直

21.(12分)如图，在斜三棱柱ABC—AgG中，平面ABC_L平面4ACG，CC1=2,^ABC,△ACC-均为

正三角形，E为48的中点.

(I)证明：AC"/平面片。£;

(n)求斜三棱柱ABC-AMG截去三棱锥B「CBE后剩余部分的体积.

22.(10分)如图，直角三角形所在的平面与半圆弧BD所在平面相交于BD,AB=BD=2,E,F分别为AT),BO

的中点，C是8。上异于的点，EC=心

(1)证明:平面CEE工平面BCD;

(2)若点C为半圆弧80上的一个三等分点(靠近点。)求二面角A—CE-3的余弦值.

参考答案

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.A

【解析】

根据对数性质可知5<log235<6,再根据集合的交集运算即可求解.

【详解】

V5<log235<6,

集合M={x[—2<x<6},

/.由交集运算可得Mr>N={x\-2<x<log235}.

故选：A.

【点睛】

本题考查由对数的性质比较大小，集合交集的简单运算，属于基础题.

2.C

【解析】

连接。M,OM为AABC的中位线，从而△OFM〜AAFB,且闾=；,进而£=g,由此能求出椭圆的离心

率.

【详解】

如图，连接OM,

x2

,••椭圆E：—-+=l(a>b>0)的右顶点为A,右焦点为巴

6、C为椭圆上关于原点对称的两点，不妨设3在第二象限,

直线Bf交直线AC于M,且M为AC的中点

OM为AABC的中位线，

kOFM〜tsAFB,且1^1=­,

c1

=—f

a-c2

c1

解得椭圆E的离心率e=—=；.

a3

故选：C

【点睛】

本题考查了椭圆的几何性质，考查了运算求解能力，属于基础题.

3.A

【解析】

作出函数f(x)的图象，得到D=(2,4],把函数F(x)=f(x)-kx(xeD)有零点转化为y=kx与y=f(x)在(2,

4]上有交点，利用导数求出切线斜率，即可求得k的取值范围，再根据充分、必要条件的定义即可判断.

【详解】

作出函数f(x)=[卜：2作：>。的图象如图，

''[X2+2X+2,X<0

由图可知，D=(2,4],

函数F(x)=f(x)-kx(xeD)有2个零点，即f(x)=kx有两个不同的根，

也就是y=kx与y=f(x)在(2,4]上有2个交点，则k的最小值为|；

设过原点的直线与y=log2x的切点为(x0,log2x0),斜率为不而，

则切线方程为yTog2X=—=(X-X。)，

xoln2

把(0,0)代入，可得一log,x0=一」，即x0=e,.•.切线斜率为工，

m2eln2

.•・k的取值范围是生圭｝

...函数F(x)=f(x)—kx(xwD)有两个零点”是“k>l”的充分不必要条件,

本题主要考查了函数零点的判定，考查数学转化思想方法与数形结合的解题思想方法，训练了利用导数研究过曲线上

某点处的切线方程，试题有一定的综合性，属于中档题.

4.B

【解析】

由题意可得c=2逐，设右焦点为F，，由|OP|=|OF|=|OF1知，

NPFF，=NFPO,ZOF,P=ZOPF,,

所以NPFF，+NOFT=NFPO+NOPP,

由NPFF'+NOF，P+NFPO+NOPF'=180。知，

NFPO+NOPFFO。，即PFJ_PF，.

在RtAPFF，中，由勾股定理，得『卜尸/^产二^二小可^^=8，

由椭圆定义，得|PF|+|PF，|=2a=4+8=12,从而a=6,得a?=36,

于是b2=a2-C2=36-(2泥)2=16,

22

所以椭圆的方程为工+匕=1.

3616

故选B.

点睛：椭圆的定义：到两定点距离之和为常数的点的轨迹，当和大于两定点间的距离时，轨迹是椭圆，当和等于两定

点间的距离时，轨迹是线段(两定点间的连线段)，当和小于两定点间的距离时，轨迹不存在.

5.D

【解析】

由两组数据间的关系，可判断二者平均数的关系，方差的关系，进而可得到答案.

【详解】

样本1+冷1+马,1+£,•••」+X”的平均数是10,方差为2,

所以样本2+2%,2+2々,2+2天,…,2+2天的平均数为2x10=20,方差为2?x2=8.

故选:D.

【点睛】

22

样本%%,天，…,X”的平均数是1,方差为$2,则axt+b,ax2+b,ax3+b,---,ax„+b的平均数为ax+b，方差为as.

6.C

【解析】

试题分析：因为复数相。〃—2）+（加2-3，〃+2）/,是纯虚数，所以加（加一2）=0且加2一3m+2H0,因此机=0.注意不

要忽视虚部不为零这一隐含条件.

考点：纯虚数

7.A

【解析】

首先确定不超过20的素数的个数，根据古典概型概率求解方法计算可得结果.

【详解】

不超过20的素数有2,3,5,7,11,13,17,19,共8个，

从这8个素数中任选2个，有第=28种可能；

其中选取的两个数，其和等于20的有（3』7）,（7,13）,共2种情况，

21

故随机选出两个不同的数，其和等于2（）的概率尸=笈=瓦.

故选：A.

【点睛】

本题考查古典概型概率问题的求解，属于基础题.

8.A

【解析】

由题意得到该几何体是一个组合体，前半部分是一个高为2道底面是边长为4的等边三角形的三棱锥，后半部分是一

个底面半径为2的半个圆锥，体积为立X42X2G+LX」%X4X26=8+生旦

34233

故答案为A.

点睛：思考三视图还原空间几何体首先应深刻理解三视图之间的关系，遵循“长对正，高平齐，宽相等”的基本原则，

其内涵为正视图的高是几何体的高，长是几何体的长；俯视图的长是几何体的长，宽是几何体的宽；侧视图的高是几

何体的高，宽是几何体的宽.由三视图画出直观图的步骤和思考方法：1、首先看俯视图，根据俯视图画出几何体地面

的直观图；2、观察正视图和侧视图找到几何体前、后、左、右的高度；3、画出整体，然后再根据三视图进行调整.

9.A

【解析】

由无e计算出2x+g的取值范围，利用正弦函数的基本性质可求得函数y=/(x)的值域.

【详解】

xe0,—,2x+—e—sinf2x+—<1,

_12J3|_36」2I3)

因此，函数/(x)=sin(2x+?)(0的值域为

故选：A.

【点睛】

本题考查正弦型函数在区间上的值域的求解，解答的关键就是求出对象角的取值范围，考查计算能力，属于基础题.

10.C

【解析】

|

由图像用分段函数表示V"),该物体在二s~6s间的运动路程可用定积分S=J|V”)由表示，计算即得解

2J2

【详解】

由题中图像可得,

2r,0</<l

v(r)=j2,l<r<3

—z+1,3<r<6

由变速直线运动的路程公式，可得

6

=j1v(t)dt=j|2tdt+j2dZ+

22

=仆+2不+($2+,=?(m).

149

所以物体在一s~6s间的运动路程是一m.

24

故选：C

【点睛】

本题考查了定积分的实际应用，考查了学生转化划归，数形结合，数学运算的能力，属于中档题.

11.D

【解析】

根据题意画出几何关系，由四边形层的内切圆面积求得半径，结合四边形44人与面积关系求得c与出?等量

关系，再根据基本不等式求得c的取值范围，即可确定双曲线焦距的最小值.

【详解】

根据题意，画出几何关系如下图所示：

设四边形4片4区的内切圆半径为广，双曲线半焦距为c,

贝!|依却=4,|。叫=），

所以|42周=J/+■=c，

四边形A四&鸟的内切圆面积为18%,

则18"=几户9解得|0C|=r=3VL

则S四边形A44当=；.-闺.|4闵=4xg.|4团.|oq,

即L2a.2b=4xLc•35/2

22

a2+b2

故由基本不等式可得相曲"=片，即cz6夜，

-36-30-6正

当且仅当。=匕时等号成立.

故焦距的最小值为12企.

故选：D

【点睛】

本题考查了双曲线的定义及其性质的简单应用，圆锥曲线与基本不等式综合应用，属于中档题.

12.D

【解析】

弄清集合8的含义，它的元素x来自于集合4,且，也是集合4的元素.

【详解】

因|x-l区3,所以一2Wx<4,故4={-2,—1,0,1,2,3,4},又xeZ,2'，则x=0,l,2,

故集合B={0,1,2}.

故选：D.

【点睛】

本题考查集合的定义，涉及到解绝对值不等式，是一道基础题.

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13.2&

【解析】

利用等比数列的性质求得4,进而求得再利用对数运算求得〃的值.

【详解】

2222

由于q,>0,=4,所以4=2,则=2"=11xlogA2=—,logfc2=-,=2&。

故答案为：2拒

【点睛】

本小题主要考查等比数列的性质，考查对数运算，属于基础题.

14.[-2.2J

【解析】

3+x,x<-l3-x,x>1

/(-x)=<1+x,-l<x<1,

(x-1)2>1(x+l)2,x<-l

+3x+4,x<—1

所以g(x)=2,—lKxWl

x2-3x+4,x>1

所以g(x)V2的解集为［-2,2］。

点睛：本题考查绝对值不等式。本题先对绝对值函数进行分段处理，再得到〃-x)的解析式，求得g(x)的分段函

数解析式，再解不等式g(%)<2即可。绝对值函数一般都去绝对值转化为分段函数处理。

1/八

15.—(—00,4)

4

【解析】

首先由分段函数的解析式代入求值即可得到了(-2),分x〉0和xW0两种情况讨论可得;

【详解】

2r(x<0)

解：因为

12-3x(x>0)'

所以不

V/(x)>0,

...当xWO时，0</(x)=2'41满足题意，.,.xWO；

当x>0时，由.f(x)=12-3x>。，

解得x<4.综合可知：满足/(x)>0的x的取值范围为(一*4).

故答案为：—；(―°0,4).

4

【点睛】

本题考查分段函数的性质的应用，分类讨论思想，属于基础题.

16.4^/6

【解析】

设G是CO中点，由于E,E,”分别是棱PB,BC,的中点，所以EFIIPC,EF=-PC,HG//PC,HG^-PC,

22

所以EF//HG,EF=HG,所以四边形EFGH是平行四边形.由于PA，平面ABCD，所以Q4J_8。，而BO_LAC,

PA^AC^A,所以89_L平面PAC,所以BOJ_PC.由于FG//BD,所以BGLPC,也即/G_LEV,所以四

边形AFG”是矩形.

而EF=、PC=2收FG=、BD=2五.

22

从而SFFCH=2石x2-72=4-\/6.

故答案为：4«.

【点睛】

本小题主要考查空间平面图形面积的计算，考查线面垂直的判定，考查空间想象能力和逻辑推理能力，属于中档题.

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17.(1)单调减区间为(-2,-3+石),单调增区间为(-3+、,+8)；(2)详见解析；(3)(-oo,2).

【解析】

试题分析：(1)对函数/(X)求导后，利用导数和单调性的关系，可求得函数/(X)的单调区间.(2)构造函数

〃(x)=/(x)-g(x),利用导数求得函数〃(x)在(-1,4W)上递减，且〃(-1)=0,则〃(x)<0,故原不等式成立.(3)

同(2)构造函数〃(x)=/(x)—g(x),对4分成双2,%=2㈤2三类，讨论函数〃(x)的单调性、极值和最值，由此

求得人的取值范围.

试题解析：

2

⑴尸(行不―2(x+l)

-2(f+3x+1)

(x>一2)，

x+2

当了'(x)v0时，%2+3X+1>0.

解得X—

当/'(x)>0时，解得_2<x<_3+百

所以“X)单调减区间为-2,

\

单调增区间为，+00・

/

<2)设〃(x)=/(x)—g(x)

=21n(x+2)-(x+1)-—A：(x+l)(x>—1)>

当后=2时，由题意，当时,

〃(％)<()恒成立.

—2(%?+3x+

h'(x]=—^--------

v7x+2

-2(x+3)(x+l)

x+2

.,.当x>—l时,〃'(x)<()恒成立，/i(x)单调递减.

又〃(-1)=0,

.,.当xe(-l,+oo)时，〃(x)</z(-1)=0恒成立，即/(X)-g(x)<0.

工对于Vx>-1,/(x)<g(x)恒成立.

-2(+3x+1)

(3)因为=——k

x+2

2x~+(2+6)x+2k+2

x+2

由(2)知，当攵=2时，/(x)<g(x)恒成立,

即对于Vx〉-1,21n(x+2)-(x+l)-<2(x+l),

不存在满足条件的X"

当攵>2时，对于x+l>0,

此时2(x+l)<A(x+l).

**.21n(x+2)-(x+l)~<2(x+l)<A;(x+l),

即/(x)<g(x)恒成立，不存在满足条件的%;

当比<2时，令=—2f—(左+6)x—(2k+2),

可知f(x)与"(X)符号相同，

当xe(x(),+oo)时，?(x)<0,〃'(x)<0,

刈力单调递减.

.,.当xe(—1,4))时，/?(%)>//(-1)=0,

即/(X)-g(X)>()恒成立.

综上，我的取值范围为(-8,2).

点睛：本题主要考查导数和单调区间，导数与不等式的证明，导数与恒成立问题的求解方法.第一问求函数的单调区间，

这是导数问题的基本题型，也是基本功，先求定义域，然后求导，要注意通分和因式分解.二、三两问一个是恒成立问

题，一个是存在性问题，要注意取值是最大值还是最小值.

18.(1)证明见解析；(2)好.

5

【解析】

(1)取BC的中点。，则B0_L8C,由AABC是等边三角形，得从而得到8C平面与A。，由此能

证明BC±ABi

(2)以。4,0B,。与所在直线分别为x,j,z轴建立空间直角坐标系，利用向量法求得二面角的余弦值，得到结

果.

【详解】

(1)取BC的中点。，连接AO,BQ,

由于AABC与是等边三角形，所以有AOLBC,BQ上BC,

且AOnBQ=。,

所以8C_L平面片A。，44匚平面4人。，所以BC_LAB］.

(2)设A8=a,△ABC与△与8C是全等的等边三角形，

所以BB、=AB=BC=AC=BtC=a,

又cosZ5,BA=-,由余弦定理可得AB-=cr+a2-2a-ax—=—a~,

42

在VA用。中，ABf=AO2+B.O2,

所以以Q4,0B,。4所在直线分别为x,j,z轴建立空间直角坐标系，如图所示，

则A今a,0,0,40,小0),4(0,0,与可

［月:1n

f・通=0=-彳血^砂二。

设平面ABg的一个法向量为］=(x,y,z),则

冗.福=0|y/3G八

122

令x=l,则〃=(1,6,1),

又平面BCB］的一个法向量为w=(1,0,0),

•m_lxl+>/3x0+lx0_^

所以二面角B-B,C-A的余弦值为COS®=门

・时y/5xl5'

即二面角B-B,C-A的余弦值为五.

5

【点睛】

该题考查的是有关立体几何的问题，涉及到的知识点有利用线面垂直证明线性垂直，利用向量法求二面角的余弦值,

属于中档题目.

19.(1)见解析；(2)叵

5

【解析】

(1)设。为BO中点，连结。4,OC,先证明可证得假设P不为线段8C的中点，可得

平面ABC,这与ND3C=60°矛盾，即得证；

(2)以。为原点，以OB,OC,04分别为％，Vz轴建立空间直角坐标系，分别求解平面ANP,平面MNP的法

向量的法向量，利用二面角的向量公式，即得解.

【详解】

(1)设。为中点，连结。4,OC.

：.OA±BD,OCLBD,

又。4口"=。

BO_L平面。4C,

ACu平面。4C,

/.BDA.AC.

又M,N分别为AD43中点，

MN//BD,又MNLNP,

BDLNP.

假设P不为线段的中点，

则NP与AC是平面内ABC内的相交直线，

从而或＞_1_平面ABC,

这与NZ汨C=60°矛盾，所以P为线段8C的中点.

(2)以。为原点，由条件面.面BCD,

A0V0C,以OB,OC,分别为％，Vz轴建立空间直角坐标系,

则A(0,0询，M

须=('。,-乎J，

两J。,-也，也

22

设平面ANP的法向量为加=(x,y,z)

1V3

-_Ar八-X-------Z=()

华、1m-AN-O22

所以J—c=><广l

［和PN=O后6八

----V4-——Z=0

12.2

取y=i,则z=l,x=布=/=(Ml,,.

同法可求得平面MNP的法向量为n=(0,1,1)

叵

Acos(mn)

fI同同一小应~T~

由图知二面角A—NP-M为锐二面角,

二面角A-NP-M的余弦值为叵.

【点睛】

本题考查了立体几何与空间向量综合，考查了学生逻辑推理，空间想象，数学运算的能力，属于中档题.

20.(D直线/的普通方程“+'-3=(),圆C的直角坐标方程：x2+y2-4x-3=0.(2)6

【解析】

(1)直接利用转换关系的应用，把参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间进行转换.

(2)将直线的参数方程代入圆的直角坐标方程，利用一元二次方程根和系数关系式即可求解.

【详解】

x=2+2

2

(1)直线/的参数方程为:(，为参数)，转换为直角坐标方程为x+y-3=0.

1五，

V=1-------1

I2

圆C的极坐标方程为p2-4pcos0=3,转换为直角坐标方程为好+产-4x-3=0.

[x=2+g

2

(2)把直线/的参数方程为；(，为参数)，代入圆的直角坐标方程x2+y2_4x-3=0,

I2

得到r-"-6=0，

所以必||尸川=|幻2|=6.

【点睛】

本题考查参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间的转换，一元二次方程根和系数关系式的应用，主要考查学生的运

算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型.

21.(I)见解析；(D)|

2

【解析】

(I)要证明线面平行，需先证明线线平行，所以连接8G，交与。于点仞，连接ME,证明ME//AC”

(H)由题意可知点B1到平面45c的距离等于点g到平面4BC的距离，根据体积公式剩余部分的体积是

匕8cAMG-VB,-BCE•

【详解】

(I)如图，连接BG，交B。于点M,连接ME,则ME//AC-

因为AGO平面MEu平面片。后，所以ACJ/平面&CE.

(D)因为4G平面A8C,所以点B1到平面A8C的距离等于点G到平面A3C的距离.

如图，设。是AC的中点，连接。G，OB.因为△ACC；为正三角形，所以。

又平面ABC_L平面4ACC,平面ABCf]平面AACG=AC,所以。平面ABC

所以点G