初中数学竞赛模拟题50题含答案

初中数学竞赛模拟题50题含答案

一、单选题

1.下列说法正确的是（）

A.正有理数和负有理数统称有理数B.正整数和负整数统称整数

C.整数和分数统称有理数D.一个有理数不是正数就是负数

2.在一年的某月里，周五、周六出现的天数比周日多，周一、周二、周三、周四出现

的天数不超过周日，则该月份一定不是（）

A.三月B.四月C.六月D.十一月

3.当小为自然数时，（4m+5>-9一定能被下列哪个数整除（）

A.5B.6C.7D.8

4.定义运算“*〃=,则10*7=()

/?(/?-l)(£>-2)x...x2xl

A.720B.120C.240D.80

5.已知可,吃,电（巧<W）为关于x的方程丁-3/+（4+2）犬-0=0的三个实数根,

贝lj4X|-X：+*+x；=（）

A.5B.6C.7D.8

6.一个盒子中有红球，〃个、白球10个，黑球”个，每个球除颜色外都相同，从中任

取一个球，取得是白球的概率与不是白球的概率相同，那么见”的关系是（）.

A.m+n=l0B.m+n=5C./?/=«=10D.m=2,n=3

7.已知x,y为整数，且满足[+邛4■+!]=­44—4],则x+y的可能的值

（xy）[x2y2）3。y4J

有（）

A.1个B.2个C.3个D.4个

8.若"=3/_8xy+9y2-4x+6y+13（x,y是实数），则M的值一定是（）.

A.正数B.负数C.零D.整数

八甘3+4+5+6+72015+2016+2017+2018+20199，，、

9.若-----------=----------------------------,则％=（）

5N

A.2015B.2016C.2017D.2018

10.如图，在中，过点C作CD_LAB,垂足为点D,过点。分别作。E工AC,

DFLBC,垂足分别为E,F.连接EF交线段CD于点。，若CO=2&，

CD=3五,则EO/O的值为（）.

A.6石B.4C.576D.6

11.锐角二ABC中，BC边的中垂线和/ABC的角平分线相交于点P.若NA=72。,

?ACP24?,则()

A.24°B.28°C.30°D.36°

12.如果工2一x-l是以3+"+1的一个因式，则力的值是（).

A.-2B.-1C.0D.2

13.满足等式（2-㈤"一止2=1的所有实数机的和为（）

A.3B.4C.5D.6

14.点。、E、厂分别在ABC的三边3C、AB.AC上,且A。、BF、CE相交于

一，"8AC.AM/、

一点M,若一+——=5,则aa——=()

BECFMD

7

A.-B.3cD.2

2-1

15.矩形ABCQ中，4）=5,AB=10,E、尸分别为矩形外的两点，BE=DF=4,

AF=CE=3,则所=()

C.>/221D.100

16.已知实数a,b满足（。一3）（万一3）20,则＞/^二+|2-病可的最小值为（）

A.0B.1C.2D.3

17.某种产品由甲、乙、丙三种元件构成，如图为生产效率最高，在表示工人分配的

扇形图中，生产甲、乙、丙元件的工人数量所对应的扇形圆心角的大小依次是

).

八5050

（图中：口表示1名工人1小时生产某种元件的数量,

□表示组装一件成品需要的元件数量）

甲乙丙

A.120°,180°,60°B.108°,144°,108°C.90°,180°,90°D.72°,216°,720°

18.从正整数里取出4个不同的数，使得这k个数中任意两个数之差的绝对值是质

数，则女的最大值是（）.

19.若直角三角形的一条直角边长为12,另两条边长均为整数，则符合这样条件的直

角三角形共有（）个.

D.无数多

二、填空题

20.把7串葡萄放在6个盘子里，总有一个盘子里至少要放（）串葡萄.

21.如图，已知直角三角形ABC,NA=90,AB=4cm,BC=5cm.将ABCAC

方向平移1.5cm得到，A'3'C',求四边形BCC'B'的面积为cm2.

BB'

AA'C.C

22.若正整数〃有6个正约数（包括I和本身），称其为“好数''，则不超过50的好数

有个.

23.已知A3C的最大边BC上的高线和中线AA7恰好把三等分，

AD=6则AA/=.

24.若。，b,c,d均为素数，且满足2a+b=d,3h-c=2d,则d的最小值是

25.在一张冬景照片上，人们分别戴着帽子、系着围巾和戴着手套.只戴帽子的人数

等于只系围巾和只戴手套的人数之和；只有4人没有戴帽子；戴着帽子和系着围巾，

但没有戴手套的有5人；只戴帽子的人数两倍于只系围巾者；未戴手套有8人，未系

围巾有7人；三样东西都用的人数比只戴帽子的人数多一个.那么：

（1）有人同时用上了帽子、围巾和手套；

（2）有人只戴了手套；

（3）有人只系了围巾；

（4）有人既戴了帽子，又戴了手套，但没有系围巾；

（5）有人戴着手套.

26.若〃为整数，且J〃2+9〃+3o是自然数,则〃=.

・设'=看

27。是X的小数部分，b是一X的小数部分，则°3+匕3+3次,=

28.军训基地购买苹果慰问学员.已知苹果总数用八进位制表示为正，七进位制表

示为而.那么，苹果的总数用十进位制表示为

x14

29.方程彳+―=3有_______组正整数解.

3y

30.已知函数乙+（%+i）y=i（%为正整数）的图象与两坐标轴围成的图形面积为

S/(&=1,2,…,2000),贝ij+S2■!-----HS^QOQ=

31.如图，在AABC中，Zfi4C=90°,AB=AC=5,点。在AC上，且A£>=2,点E

是AB上的动点，连结£>£,点尸，G分别是BC,OE的中点，连接AG,FG,当AG

=FG时，线段DE长为

32.从1到2001连续的2001个自然数按某种顺序排列，然后每连续三项计算和数,

得到1999个和，则这些和数中为奇数的个数最多是.

33.计算：1+2x2+3x22+4x23++100x2"=.（结果可用2的基表示）

34.如图所示，点A、C都在函数），=递（犬>0）的图象上，点AO都在x轴上，且使

X

得iOA5,△BCD都是等边三角形，则点D的坐标是.

35.已知正整数〃大于30,且使得4〃-1整除2002〃，则〃等于.

36.射线A3绕点A逆时针旋转4。，射线54绕点3顺时针旋转匕。，0°<a<90o,

0°<&<90°,旋转后的两条射线交点为C,如果将逆时针方向旋转记为“+”，顺时针方

向旋转记为"一”，则称（。，-方）为点C关于线段AB的“双角坐标”，如图1,已知

A48C,点C关于线段的“双角坐标''为（50,-60）,点C关于线段54的“双角坐标”

为（-60,50）.如图2,直线A8:y=&+石交x轴、》轴于点A、B,若点。关于线

段A8的“双角坐标”为（-S，〃），y轴上一点E关于线段A3的“双角坐标”为（-〃，M,

AE与BD交点、为F,若A4DE与A4D尸相似，则点尸在该平面直角坐标系内的坐标是

37.如图，在四边形ABC。中，ZBCD=9Q0,BC=>/3CD,ZBAC=60°,若AB=5,

AD=2,则线段AC的长为

38.某演艺公司将观赏厅分为上、中、下三大区位，同一区位包含若干个座位数相同

的桌位（不同区位的单个桌位所含座位数不一定相同）.演艺公司对近三天的的上座情

况进行统计发现，三天中每个区位坐有观众的桌位均刚好坐满.第一天上、中、下区

13

的坐有观众的桌位数之比为3:2:1,中区的观众数占入场观众数的工，上座率为1；

45

第二天上、中、下区的坐有观众的桌位数之比为1：1：2,上区的观众数占入场观众数

23

骑，上座率为“第三天上区的观众数与第二天上区的观众数相同，中区的观众数

是第一天的中区的观众数的g,下区的观众数是当天上区和中区观众数的总和.则第

入场观众数

三天的上座率为.（上座率=)

全场总座位数

三、解答题

39.如图，在菱形ABC。中，AB=3,ZDM=60°,E为线段8。延长线的动点，连

接AE、CE,AE交延长线于点尸.

⑴求证：AE=CE；

⑵若。尸=1.

①求点E到。的距离:

②求共的值.

ED

40.设“力是实数且,=b；求的值.

2/+3/20/+io/

41.几何计算中，常利用面积法（等积法）构造方程来求线段的长，请利用这种面积

法（等积法）解决下列两个问题:

图①图②图③

（1）如图①，ABC中，AB=13,AC=5,BC=12,求AB边上的高；

（2）在一张正方形纸张的四个角剪去四个相同的小正方形，得到如图②所示的图形，再

将它分割成三块拼成如图③所示的长方形，已知”八〃满足：

苏-8,〃+〃2_18〃+97=0,求拼成新长方形的长”?、宽"的值及被剪去的小正方形的

边长.

42.求证：若3|(4x-y),则91(4/+7xy-2y?).

43.两位数不能整除十位数字为零的三位数冬，求血.

44.如图，点E在四边形A8CO的边AB上，A8C和-CY出都是等腰直角三角形,

AB^AC,DE=DC.

(1)证明：AD//BC；

DP

(2)设AC与交于点P,如果NACE=30。，求一.

PE

45.从1,2,3,…，50这50个正整数中任取〃个数，在这〃个数中总能找到3个

数，它们两两互质.求"的最小值.

46.已知根，〃都是正整数，若且机〃能被21整除，求满足条件的数对

(m,n)的个数.

47.证明数列49,4489,444889,4448889,…的每一项都是一个完全平方数.

48.在元旦晚会上，学校组织了一次关于语文、数学、外语、奥运及日常生活常识的

知识竞赛，设定每科满分为40分，以下依次为30分、20分、10分和0分，共5个评

分等级，每个小组分别回答这五个方面的问题.现将A、B、C、D、E五个小组的部分

得分列表1如下：

表1

语文数学外语常识奥运总分名次

A组1801

8组2

C组3

。组304

E组40205

表1中，(1)每一竖行的得分均不相同(包括单科和总分);

(2)C组有4个单科得分相同.求8、C、D、E组的总分并填表进行检验.

参考答案:

1.c

【分析】根据有理数的含义和分类方法，逐一判断即可.

【详解】解：A、正有理数、负有理数和0统称有理数，

，选项A不正确，不符合题意；

B、正整数与负整数、0统称为整数，

，选项B不正确，不符合题意；

C、整数和分数统称有理数

，选项C正确，符合题意；

D、一个有理数不是正数，可能是负数或0,

选项D不正确，不符合题意.

故选：C.

【点睛】本题主要考查了有理数的含义和分类方法，解题的关键是要熟练掌握有理数的分

类：①有理数可以分为正有理数，0,负有理数；正有理数可以分为正整数和正分数，负有

理数分为负整数和负分数；②有理数可以分为整数和分数；整数分为正整数，0负整数；

分数分为正分数和负分数；按两种分类一一判断即可.

2.A

【详解】每个月的后28天，周一至周日出现的天数相同，因此在这28天之外只能出现周

五和周六，故这个月有30天

3.D

【分析】多项式利用平方差公式分解因式，变形后即可作出判断.

【详解】解：(4«?+5)、9

=[(4/n+5)-3][(4m+5)+3]

=(4/w+2)(4m+8)

=8(2团+1)("2+2)

无论，"为任何自然数，(4根+5)2-9始终能被8整除，

故选：D.

【点睛】本题考查了平方差公式，熟练掌握平方差公式是解答本题的关键.

4.B

答案第1页，共27页

【解析】略

5.A

【详解】方程即（x-D（d-2x+a）=0,它的一个实数根为1,另外两个实数根之和为2,

其中必有一根小于1,另一根大于1,于是无2=1,%+七=2,故

4X[-xj2+宕+W=（毛+再）（七一x）+4玉+1=2（刍―玉）+4玉+]=2（/+玉）+1=5.

6.A

【详解】盒中共有机+〃+10个球，取得的是白球的概率是0=m+”,-，取得的不是白球

m+n+\Q

的概率为p'=%+〃依题意有一^―=W+所以优+〃=10.故应选A.

/n+n+10/n+zt+10m+〃+10

7.C

【详解】由已知等式得山=显然X,y均不为0,所以x+y=o或

xyxy3xy

3肛=2（x-y）.

若3节=2（x-y）,则（3x+2）（3y-2）=-4.

[x=-1fx=-2,

又x,y为整数，可求得c或,.

[y=2[y=i

所以x+y=l或x+y=-l

因此，x+y的可能的值有3个.

【点睛】本题考查了等式的性质，分式的化简，解决此题的关键是熟练运用X、y是整数这

个条件.

8.A

【详解】因为

M=2（/_4孙+4/）+（Y-4x+4）+（丁+6y+9）=2（x-2y>+（x-2y+（y+3>20,并且

x-2y,x-2,y+3不能同时等于零，所以”>0.故选A.

9.C

【解析】略

10.B

【分析】由题意易得出NDEC=N。fC=90°,即说明点C,E,D,尸四点共圆，得出

答案第2页，共27页

ZDEO^ZFCO,从而易证；ZX>EsFOC,得出）=17.由题意可求出

COrO

DO=CD-CO=近,即可求出EOFO=CODO=4.

【详解】解：：DEIAC,DF1BC,

：.ZDEC=NDFC=90°,

...点C,E,D,尸四点共圆，

/.ZDEF=ZFCD,即NDEO=ZFCO.

又,:ZDOE=ZFOC,

：.DOEs_FOC,

.EODO

"~cd~~Fd'

...EOFO=CODO.

CO=2>/2,CD=3五，

•*-DO=CD-CO=>/2>

,EOFO=CODO=20x叵=4.

故选B.

【点睛】本题考查相似三角形的判定和性质，四点共圆的知识，圆周角定理.确定点C,

E,D,尸四点共圆，从而可得出证明的条件是解题关键.

,直线BP为NABC的角平分线，:.ZABP=NCBP.

,直线PM为8c的中垂线，:.BP=CP,：.ZCBP=ZBCP,，NABP=NCBP=NBCP.

在.ABC中，三内角之和为180。，3NABP+NA+NACP=180。，

即3ZABP+72°+24°=180°,解得NABP=28°.

12.D

【详解】（解法一）依题意可设

答案第3页，共27页

b=-(a+c),

ax'+1=(x2-x-Y){ax+c)=ax'+(c-a)x2-(a+c)x-c,比较系数得＜。一。=0,所以

-c=I,

c=a=-\,h=2.故选D.

(解法二)依题意f_1_]是以3+法+]_融(12_%_i)=以2+s+〃)x+i的因式，

「匚…ab+a1

所以i=F==，

解得“=-1,。=2.故选D.

(解法三)用长除法可得or3+"+1=(炉一x-l)3+a)+(2a+、)x+(a+l),

所以/[2a=+b=。，0,得,"一f回・

2故选D.

13.A

【详解】当2-6=1即机=1时，满足所给等式：

当2-加=-1即机=3时，（2-加严-小2=（_i）4=1,满足所给等式；

当2—加工±1即/nH1且皿*3时，由已知等式可得：加2—,“-2=0且2—，"力0,解得，"=-1.

因此，满足等式（2-加严一时2=1的所有实数机的和为1+3+（-1）=3.

14.B

【详解】设黑AE_%AMC.AF_"△,/?_2&BMD

=t,由题设可得,一

MDEB0q^BMC%sBMC，~FC-°sABMC❶s△BMC

ABACAEAF।2=dADMC

所以而+左二---+12^BMD4-2

DLLCrEBFCS&BMCS&BMC

_+5/8卬))+2=,S4BMC+2=7+2

-

°V4BMCVsfiMC一，

又已知---F——=5,所以，+2=5,所以，=3,即=3.

BECFMD

15.C

【详解】易知NAEO=N5EC=90。，ABEC=ADE4,/.ZDAF=ABCE.

延长E4,EB交于点、G.

■:ZGAB=90°-ZDAF=ZADF,NGBA=90°-ZCBE=/BCE=ZDAF,

/.ABG4/XAFD,且ZAG3=90。，/.AG=8,BG=6,

：.GF=U,GE-10,:.EF=qGE、GF=@i.

答案第4页，共27页

DC

16.B

【详解】因为匕一420,匕一3>0,所以Va-2>1,所以令“=3,8=8,得至!）最小

值为1.

17.B

【详解】解设分配生产甲、乙、丙3种元件的人数分别为x人，>人，z人，于是每小时

生产甲、乙、丙三种元件的个数分别为50x,30y,20z.为了提高效率应使生产出来的元件

全部组成成品而没有剩余.设共可组成A件成品，则忆=票=辞=与，即

44..,

x=k,y=-k,z=k,从而x:y:z=l:§:l=3:4:3.设在扇形图中生产甲、乙、丙三种元件

的圆心角分别为a,4,y,则

Y33

a=--——x360°=------x360°=—X360°=108°

x+y+z3+4+310

y44

B=—<­—x360°=------x360°=—X360°=144°

x+y+z3+4+310

3

7=---X360°=—-—X360°=—x360°=108°

x+y+z3+4+310

故应选艮

18.B

【详解】解法一首先4个数1,3,6,8满足题目要求，故所求大的最大值W4.

若225,记第〃个数为45=1,2,，幻，且马</<<4,则分下列几种情形:

（1）4为奇，”2为奇，于是|勾为偶数.

又何-%|为质数，故4-4=2,即4=4+2.

若与为奇数，又生片外，故%-q为不等于2的偶数，即4-4为不小于4的偶数，即％

为合数，矛盾.故如为偶数，4也只能为偶数.

那么，若应为奇，则%-q>/-422为偶数，即为-q为不小于4的偶数，从而%-q为

答案第5页，共27页

合数，矛盾.

若生为偶数，则火-43>4-“322为偶数，从而%-%为合数，矛盾.

（2）%为奇,“2为偶，于是。2-q为奇数,即里-《23.

若。3为奇数，贝!14-4>“2-％23为偶数，故。为合数，矛盾.

所以的为偶数，且%-%=2.

若氏为奇数，则为不小于4的偶数，即4为合数，矛盾.

若应为偶数，则4-“2-。3>出=2为不小于4的偶数，即g-42为合数，矛盾.

（3）%为偶，/为奇或偶，都类似于（1）.（2）可导致矛盾.

综上得所求％的最大值是4,故选B.

解法二同解法一得424.若氏25,则将全体正整数分为4个不相交的子集,M2,

M,,M,,其中由全体被4除余i的正整数组成0=0,1,2,3）于是任取A25个数，其中

必有2个数.，b（a>b）属于同一个子集于是a-。被4整除，。-6不是质数，矛

盾.故所求&的最大值等于4.

19.C

【详解】选C.理由：设。=12,c为斜边，则有加=/=144.

因为144=2'X32,所以,

(c+Z?)(c-。)=72x2；

(c+fe)(c-Z?)=36x4；

(C4-/?)(C-/?)=18X8；

(c+b)(c-b)=16x9；

(c+Z?)(c-Z?)=48x3；

(c+b)(c-b)=24x6.

又因为c+匕与c-6同奇偶，故符合题意条件的直角三角形有以下四个:

4=12.a=12.a=12,a=12.

6=5.<b=9.<Z?=16,<b=35.

c=13;c=15;c=20;c=37.

20.2

答案第6页，共27页

【分析】把6个盘子看作6个抽屉，7串葡萄看作7个元素，从最不利的情况考虑，每个

抽屉先放一个，共需要6个，余下这一个无论放在哪个抽屉里，总有一个至少有1+1=2

（个），据此解答.

【详解】解：7+6=1（串）1（串），

1+1=2（串），

,总有一个盘子里至少要放2串葡萄.

故答案为：2.

【点睛】本题考查了抽屉原理，解决本题的关键是掌握抽屉原理：如果有〃个抽屉，而每

一个苹果代表一个元素，假如有〃+1个元素放到〃个抽屉中去，其中必定有一个抽屉里至

少有两个元素.

21.6

【分析】根据题意，再结合平移的性质，可得=AA'=BB'=CC=1.5cm,

BB//CC'>=S^A.B,C，,然后再根据等量代换，得出S四成形四边形OCC0，然后再根

据等量代换，得出S四边.CCE=然后再根据长方形的特征，得出四边形

是长方形，然后再根据长方形的面积公式，算出长方形4488的面积，即可得出四边形

8CC8的面积.

【详解】解：如图，

•.二ABC沿AC方向平移1.5ctn得至lj,AffC,

A的对应点为点4,点8的对应点为点B,，点C的对应点为点C,

...由平移的性质，可得：AB=A£=4cm,A4'=BB'=CC=1.5cm,Bff//CC,

又；ABC沿AC方向平移1.5cm得到A'lTC,

••S&ABC=S&ZBC，

又「S&ABC~S四边形AI,OS+^AA,OC>

S/U'S'C'=S四如诊OCC'B'+^A'OC>

5四边，%1*'<»=5四边形OCCE，

S四边形BCC'B'=S四边形0cC'P'+SABOir，

S四边物"B'B=S四边扬+5AgOB.,

答案第7页，共27页

S四边形sec'"=%边形AA'B'B

AB=AB1.AA!=BB',ZA=90.

,根据长方形的特征，可得：四边形A47?B是长方形,

z

S长方形."a=AB-AA'=4x1.5=6cm，

S四边形scc'/r=^VSHIKAA,B,B=6cm2

故答案为：6

【点睛】本题考查了平移的性质，等量代换，根据长方形的特征判定长方形，长方形的面

积公式，解本题的关键在熟练掌握平移的性质.平移的性质：1、形状大小不变：2、对应

点的连线平行（或在同一直线上）且相等；3、对应线段平行（或在同一直线上）且相等,

对应角相等.

22.8.

【详解】Q”有6个正约数

故〃的标准质因数分解式为〃=尸或/（p、q为素数，5国）=1）

若n=P，,由〃450知2，

若颐=p-q?,则〃=2-32,2-52

3-22,5-22,5-32,7.22,H-22

.丁好数''共有8个.

23.2

【详解】依题意得N8A£>=N44M=NM4C,ZADB=ZADC=90。，故NABCV/4cB.

(1)若NA8ONAC8时，如答案图1所示，/\ADM=^ADB,；.BD=DM=gcM,

又AM平分ND4C,...四二也;!，在RfV/MC中，即cosND4C=」，

ACCM22

答案第8页，共27页

Z£MC=60°,从而/a4。=90°,ZACD=30°.

在RtA£>C中，C£>=A£)tanN£>AC=VLtan60°=3,DM=\.

在Rt/\ADM中，AM=ylAD2+DM2=2.

(2)若？ABC?AC8时，如答案图2所示.同理可得AM=2.综上所述，AM=2.

(第1题答案图1)(第1题答案图2)

24.17

【分析】根据题意，求得的最小值，可将等式变形得到4a=b-c,则b-c,是合数，且为4

的倍数，以此为突破，求得a,b,c,d

【详解】2a+b=d①，勃-c=2J②

①x2-②得：4a-b+c=0,

即4a=b—c,

求d的最小值，则“力尽量小

当a=2时，h-c=S,

根据20以内的素数可知，b=H,c=3,或者6=13,c=5

此时〃=%+6=4+11=15,此时d为合数，故不符合题意，

当匕=13,c=5时，

此时4=24+0=4+13=17,

经检验，皆为素数，满足题意，

故答案为：17.

【点睛】本题考查了素数的定义，二元一次方程组的加减消元法，掌握20以内的素数是解

题的关键.

25.311410

【详解】如图，按题目中条件顺序依次可列方程：

(1)A=C+F；(2)C+E+F=4；(3)8=5；(4)A=2C；(5)A+B+C=8：(6)

答案第9页，共27页

A+G+F=7；(7)D=A+\.

可求出A=2,8=5,C=1,D=3,E=2,F=1,G=4.

于是，题目中各空白区应填入的数依次是①3,②1,③1,④4,⑤10.

帽子

26.—14或-7或—2或5

【详解】设卜/+9〃+30=〃（。为非负整数）,

贝IJ/+9十+30=p2n4n2+36〃+120=4〃2n(2n+9)2+39=4/?2

=>39=(2/?+2n+9)(2p-2n-9),

j2p+2〃+9=lJp=10

[2p-2n-9=39=>[n=-{4

2p+2〃+9=39Jp=10

2p-2n—9=1[〃=5

2p+2/?+9=3J〃=4

2/7-2n-9=13=>[/i=-7

2〃+2〃+9=13Jp=4

2p-2n-9=3[n=-2

：.〃=-14或-7或-2或5

27.1

【详解】解VX=-yJ-^=V2+l

而2<血+1<3,

a=x—2=叵—1•

又.—X=—A/2—1，而—3<—>/2—1<—2，

a3+Z?+3ab=(a+b)(a2-ab+b)+3ab

=a2-ah+h2+3ab=(a+h)2=1.

28.220

答案第10页，共27页

【详解】填220.理由：因l<a,b,c<6,ax82+Z?x8+c=cx72+/>x7+a,即

63a+b-48c=Q,即。=3(16c-21a),所以，b=0,3,6.

经检验，6=3符合题意.故。=3,c=4,a=3.(^3x82+3x8+4=220.

29.5

X|

【详解】理由：因为

“，14cXc18

所以一=3一143_工=£,

y333

14x321

则nI建丁优

即”6.

原方程可化为"+42=9y,

则42=(9-x)y.

所以42能被y整除.

所以y可取6,7,14,21,42.相应地得到五组解:

玉=2,J毛=3,]七=6,jx4=7,Jx5=8,

Ji=6,1%=7,卜=14,[乂=21,[%=42.

1000

30.

200?

-k11i

【详解】解原函数关系化为"有x+时.令得产万p令…得即直

线尸言、+£与，轴、》轴的交点分别为4(0,占卜纥1,4所以

1

SA=S的为=_xxOB,2000),于是

k-2k(k+1)

]

Sj+S+

2200?

U]__11000

―2001厂2001

1000

故填

2001

注：本题中用到第一章§3・3中介绍的裂项抵消求和方法.

31.y/]3

【分析】连接。P,EF,过点尸作FNLAC,FM±AB,结合直角三角形斜边中线等于斜

边的一半求得点A、D、F、£四点共圆，ZDFE=90°,然后根据勾股定理及正方形的判定

和性质求得AE的长度，从而求解.

答案第11页，共27页

【详解】解：如图，连接。F,EF,过点F作FN_LAC,FM±AB.

•在一ABC中，NB4C=90。，点G是OE中点，

，AG=DG=EG.

'：AG=FG,

；.A、D、F、E四点共圆，G点为圆心，OE为直径，

?.Z£>F£=90°.

•.,在RtABC中，AB^AC=5,

BC=>/2AB=5-^2.

又,：点尸是BC中点,

：.CF=BF=-BC=^,FN=FM=-AB=-.

2222

二四边形AMFN是正方形，

，AN=AM=FN=FM=-.

2

ZNFD+NDFM=90°,AMFE+NDFM=90°,

ZNFD=ZMFE.

'NDNF=NEMF=90。

...在ZWT)和..MFE中，NF=MF,

ZNFD=ZMFE

：.NFDmMFE(ASA),

：.ME=DN=AN-AD=--2=-,

22

：.AE=AM+MD=-+-=3,

22

.•.在中，DE=y/AD1+AE2=42^=413-

C

故答案为：V13.

【点睛】本题考查直角三角形的性质，圆周角定理，四点共圆，正方形的判定和性质，全

答案第12页，共27页

等三角形的判定和性质以及勾股定理，综合性强，较难.正确的作出辅助线是解答本题的

关键.

32.1998

ABC

【详解】用0表示偶数，1表示奇数，则按如下方法排列时：100100100111,仅有一

500个100501个I

个数为偶数：A+B+C,故所求和数个数的最大值不小于1999-1=1998.其次，我们证明

对任意排列，都至少有一个和为偶数，分4种情形.

情形①：第一项为奇数，第二项为偶数.为了使和不出现偶数，第3项只能是奇数，接下

去只能是1001000…这样出现了500个100后，所有1000个偶数全都排出，余下只有501

个奇数，这时只能是上述排列，其中有一个和：A+B+C为偶数.

情形②：第一项是奇数，第2项也是奇数.为了使和不出现偶数，以后各项只能都是奇

数，排完1001个奇数后，剩下1000个偶数，再排下去必出现偶数：奇+奇+偶=偶.

情形③和④：第一项是偶数，第二项是奇数或偶数，同样必会出现和为偶数的情形.

综上可知，所求和数个数的最大值是1998.

33.99x21°°+l

【详解】解：设5=1+2x2+3x22+4x2'++100x2",则

2s=2+2x22+3x2、+99x2"+100x2l(x,,

于是，由公式⑥得

S=2S-S=-(l+2+22++2")+100x2"x,

91001

=-^—^-+100x2l0<)

2+1

=99x2l00+l.

故答案为：=99x2l00+l.

34.(2x/6,0)

【详解】解如图所示，分别过4C作x轴垂线，垂足分别为E、F.设OE=a,BF=b,

则AE=W,CF=e，所以A、C的坐标分别是A(a,ba),C(2“+"感)，代入刀=3行

得

6a。—3百，/a—上,

<角军彳导<

■J3(2a+h)b=3-\/3,b=y/b—A/3.

因此，。(2.+240)的坐标为(26,0).

答案第13页，共27页

35.36

【详解】解因为对正整数小4〃-1整除2002〃，

所以警I是整数.

4n-l

2002〃25+250）

而-----=---------+500,

4〃一14九一1

又因为4〃-1是奇数，所以空型是整数.

4〃一1

则4（：+2：0）=]+罂]可知1001能被4〃-1整除.

477-14/7-1

因为鹿＞30,1001=7x11x13,所以可得4〃-1只能是143.所以〃=36.

故应填36.

36.（岳1,-1）##（1+73,-1）

【分析】由'=6+相交X轴、y轴于点A、B,得到点8的坐标是（0,6），OB=

6，点A的坐标是（-1，0）,。4=1,NABO=30。，ZOAB=60°,分别求得直线BF的

解析式为5=-犬+石，直线AF的解析式为y=（g-2）x+G-2,联立解方程组即可得到

点尸在该平面直角坐标系内的坐标.

【详解】解：•••直线48：了=后+6交x轴、y轴于点A、B

当x=0时，y=6,

・,•点3的坐标是（0,石），OB=73

当y=0时，0=Gx+6，解得x=-l,

・••点A的坐标是（-1,0）,04=1

•/人冷八AOy/3

・・tan/ABO=---=——

BO3

・・・NA8O=30。，ZOAB=90°~ZABO=60°

答案第14页，共27页

如图所示，由题意得NEA8=NABO,/ABE=NBAD,

：./XABE^ABAD

：.ZAEB=ZADB

・・・A、E、D、8四点共圆，如图所示，

AZADE=ZABE=300fNEAD=/EBD

：.ZFAB=ZFBA

*：/\ADE^/^AFD

：.ZF=ZADE=30°fZFAB=ZFBA=75°

：.ZFAO=ZFAB-ZBAO=]5°,ZFBE=ZFAB-NA8O=45。，

JZOGB=900-ZFBE=45°

・・・/OGB=/OBG

：.OG=OB=43

；・点G的坐标是（6，0）,

设直线3尸的解析式为丁=履+从代入G（V3,0）,B（0,石）得

&+8=0

<

b=下>

解得[k=做—\

直线BF的解析式为y=-x+⑺，

答案第15页，共27页

在线段AO上取点H,使得AH=EH,则NHAE=/HE4=15。,

二ZOHE=ZHAE+ZHEA=30°

设OE=t,

OFr-

则O”=------=V3r,HE=2OE=2f=AH

tan30°

，OA=AH+OH=2t+y/3t=]

1=2-6

2+g

•••点E的坐标为（0,6-2）

设直线AF的解析式为y="c+历，代入A（-1,0）,E（0,6一2）得

_匕+4=0

4=6-2

k,=5/3-2

解得＜

4=痒2

直线AF的解析式为y=（石-2）x+石-2,

联立直线8F和AF的解析式得

y=-x+G

y=(y/3-2)x+y/3-2

X=6+1

解得11

...点F在该平面直角坐标系内的坐标（石+1,-1）

故答案为：（G+1,-1）

【点睛】本题考查了一次函数的图像和性质、解直角三角形、相似三角形的判定与性质、

解二元一次方程组、四点共圆等知识，综合性非常强，难度较大，利用待定系数法求解析

式是关键.

37.2.5+73

【分析】连接B。，过2作B/7_LAC于，点，根据△BCO是直角三角形，可证明

ZBAC=ZBDC,则有4、B、C、O四点共圆，进而有BO是该圆的直径，可得

答案第16页，共27页

/84。=90。，利用勾股定理可得BO=回，则有CD=1BO=X型,BC=^CD=—,

222

根据8HLAC,可得AABH、△BCH是直角三角形,则有NABH=30。，即A"=1A8=2,

22

利用勾股定理可得8”=乎，再在△BCH是直角三角形，可得CH=y/BC2-BH2=6,

问题即可得解.

【详解】连接B。，过B作AC于"点，如图，

...△BCQ是直角三角形，