第一章 空间向量与立体几何（选拔卷）-【单元测试】2021-2022学年高二数学尖子生选拔卷（人教A版2019选择性必修第一册）（解析版）

第一章空间向量与立体几何

选拔卷

（考试时间：120分钟试卷满分：150分）

注意事项：

1.答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息2.请将答案正确填写在答题卡上

第I卷（选择题）

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合

题目要求的.

1.已知空间四边形OABC,其对角线为OB,AC,M,N分别是对边OB,AC的中点，点G在

线段MN上，MG=2GN,现用基向量,OB,OC,表示向量。6,设

OG=xOA+yOB+zOC,贝Ux,y,z的值分别是

x=-fz=—B.x=—,y=—，z=—

3尸3,3336

1i1111

x=一，y=­fz=—D.x=—,y=一，z=—

363633

【答案】C

【解析】N分别是对边08、AC的中点，

OM=-OB,ON=-(OA+OC),

22

__________9___.__,2__._.i____9__,

OG=OM+MG=OM+-MN=OM+-(ON-OM)=--dM+-ON

3333

11―.21—►―-

=-x—O8+—x—(OA+OC)

3232

1—1—1—

=-OA+—Q8+-OC,

363

*/OG=xOA+yOB+zOC,

故选C.

ot

A

2.如图，在平行六面体ABCO-AMG。中，羽=",AB=b,而=3.点尸在4。上，且

AiP:PC=2:3,则AA=

/夕----

23rn3_2厂2一

A.4+与+：B,船+生+^C.-4+—br+—cD.—a——b——c

555555555555

【答案】B

【解析】因为点P在AC上，且42:PC=2:3,

7___O__.

所以4尸=14。，所以平=14。，

所以入户=A<+A户=

=羽+|(/-丽j

___2—.—.2—•

=AAi+-(AB+AD)--AAi

32--2—•

=-A4+-AB+-AD

5-55

32-2

=-a+-b+-c.

555

故选B.

3.已知石、尸分别为正方体ABCD-A4GQ的棱BC,CG的中点，设a为二面角。一AE-。

的平面角，求sina

D.还

C

-T3

【答案】B

【解析】建立如图所示的空间坐标系，

令正方体4BCD-ASG.的棱长为2,

则荏=(2,1,0),珂=(0,2,2),

设平面4EFR的法向量为比=(无，y,z),

m•AE=02x+y=0

则由•_,得zrl

m•AD、=02y+2z=0

令x=1,则y=-2,z=2,

故rn=(l,一2,2),

又由羽=(0,0,2)为平面AECD的一个法向量,

*为O-AE—D的平面角,

42

cosa=

3^23

故sina=—^，

3

故选B.

4.如图，四棱锥S—ABC。的底面为正方形，SD_L底面ABCD,则下列结论中错误的是

A.ACYSB

B.平面SCD_L平面SW

C.SA和SC与平面S8D所成的角相等

D.异面直线45与SC所成的角和异面直线CD与&4所成的角相等

【答案】D

【解析】四棱锥S-ABC。的底面为正方形，SD_L底面ABCD，

对于A,由题意得AC_L8D,AC.LSD,

vBDp\SD=D,BD、S£>u平面S8£>,r.AC_L平面S8£>，

•rSBu平面SB。，••.AC_LSB，故A正确：

对于8，由题意知4)_LCD,SDA.CD,

AD^\SD=D,AD,SDu平面AS。，..8J•平面ATO,

•••CDu平面SC。，平面SC£>_L平面SAD，故8正确；

对于C,以。为原点，D4为x轴，QC为y轴，£>S为z轴，建立空间直角坐标系,

设AB=1,DS=t,则S(0,0,t),4(1,0,0),

C(0,1,0),B(1,1,0),0(0,0,0),

DB=(1,1,0),DS=(0,0,0,SA=(1,0,-t),SC=(0,1,V),

设平面S3。的法向量无=(x,y,z),

n-=x+y=0/口八.八

则,取x=l,得万=(1,—1,0),

ii-DS=tz=0

设SA和SC与平面S3。所成的角分别为a,。，

则sina=

\n\-\SA\V2.V1772

|/iSC|

sinp-

\n\-\SC\~^2-y/l+t2

必和SC与平面SBD所成的角相等，故C正确；

对于£>，由C得A2=(0,1,0),SC=(0,1,T),

CD=(0,-1,0),SA=(1,0,-t),

ABSC1

COS<AB,SC>=

\AB\-\SC\~^?

CDSA

cos<CD,SA>=

|CD||5X|

.•.异面直线他与SC所成的角和异面直线CD与SA所成的角不相等，故。错误.

故选D.

5.将边长为1的正方形AA。。（及其内部）绕。。旋转一周形成圆柱，如图，AC长为一，A4

6

7F

长为—，其中四与c在平面AAO1。的同侧，则直线gc与平面AOC所成的角的正弦值为

【答案】B

【解析】以O为坐标原点，3为x轴，OQ为z轴建立空间直角坐标系,

则用百日，）。-等；。，'

则B[C=jg+§2+哼-；）2+F=8'

乂点用到平面AOC的距离为1,

故直线BC与平面AOC所成的角的正弦值为

t忑=丁

6.（2021春•衢州期末）长方体ABC。—为旦,AB=BC=\,BB[=2,点P在长方体的侧

面3CC4上运动，AP_L8〃，则二面角P-A£>—B的平面角正切值的取值范围是

A.畤B.[0,JC.1]D.1]

【答案】B

【解析】以点。为坐标原点建立空间直角坐标系如图所示，

设点P(x,1,z),B(l,I,0),D,(0.0,2),A(1,0,0),

所以〃月=(1,1,一2),AP=(x-l,l,-z),

因为。/_L4户,

则"豆•衣=x-l+l-2z=x+2z=0,

故点P在平面BBQ。上的轨迹为由点C到8瓦的四等分点（靠近5点）的一条线段，

点P在点C到B旦的四等分点（靠近8点）移动的过程中，：面角P-AD-8逐渐增大,

所以当点P与点C重合时，二面角尸-4）-8最小，此时正切值为0,

当点P在的四等分点（靠近5点）时，二面角P-AT>—B最大，

因为AZ>_L平面ABB]A，又APu平面ABB,A,,

所以A£>J_AP,又AOJLAB,

所以NE4B即为二面角P-AD-3的平面角,

ApTBB\I

则tanNQ4B=—=4——=-

ABAB2

综上可得，：面角尸-A。-3的平面角正切值的取值范围是

故选B.

7.（2021•浙江模拟）如图，已知圆柱。0/A在圆。上，AO=1,00、=O,P,。在圆上,

且满足尸。=孚

则直线A0x与平面OPQ所成角的正弦值的取值范围是

c.[^^,1]

D.[0,1]

6

【答案】A

【解析】取尸。中点M,连OM,过01作qNJLMO,QN_LffiiOPQ,因为「。=手，

O.Q=OA=\,所以QM=手，tanNMOq=g,所以NMOO|=30。,

。2%泮L

建立如图所示的空间直角坐标系，N(-迈，0,《■),设A(cos0,sin6,-72),其中。为。4

4

与了轴正向所成角，

于是平面OP。的法向量为沅=«N=(-逅，0,直线A。的方向向量为”=aX=(cos。，

sing,-72),

1-|—-cos0lI布-3cos6|e[02

所以直线AO|与平面OPQ所成角的正弦值为上5-=2/•.

\fn\-\n\V2JT66

V

故选A.

y

8.(2021春•杭州期中)在棱长为2的正方体ABC。—A4GA中，点E在棱AA上，AE=3AiE,

—■—1

点G是棱CD的中点，点/满足BF=A5B1(0<A<-),当平面EFG与平面ABCD所成(锐二

面角的余弦值为逅时，经过E,F,G三点的截面的面积为

3

A.2瓜B.—C.x/17D.—

46

【答案】B

【解析】如图，以。为坐标原点，分别以八4、DC、所在直线为x、y、z轴建立空间宜角

坐标系，

G(0,1,0),£(2,0,-),F(2,2,2/1),

2

则面=(2,-1=),GF=(2,1,22),

2

设平面EFG的一个法向量为为=(x,y,z),

,—.3

n-GE=2x-y+—z=0『3；3

由42，取z=l,可得万=(-----,—4H—,1)»

—824

ii-GF=2x+y+22z=0

平面ABCD的一个法向量比=(0,0,1),

由题意，|而"|=1=显，解得2,或(舍),

|w|-|«l+(一心+13420

尸为四等分点(靠近B),

延长£F,AB,设后尸「|”=/，连接8，交BC于K,延长/G,交4）的延长线于A,

连接包，交。。于H，则五边形瓦KG4为截面图形，

由题意求得EF=W，FK=J12+（1）2=­.GK=s[2,HG=当，EH=45.FH=26,

摘出五边形EFKGH如图，

求解三角形可得等腰三角形£777底边FH上的高为6,等腰梯形HGKF的高为且,

2

则截面面积为S=、2&X&+L（应+2点）乂且=友.

2224

故选B.

二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要

求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.

9.（2021春•金华期末）已知棱长为1的正方体ABCO-ABCIR，E,尸分别是棱AD,CD±

的动点，满足AE=OF，则

A.四棱锥耳-BEE不的体积为定值

B.四面体RDEF表面积为定值

C.异面直线耳E和诙所成角为90。

D.二面角R-EF-耳始终小于60°

【答案】ABC

【解析】对于A,因为四边形3£Z*的面积为

S^ABCD~^MBE~^t^CF-i—--FC=1-—(AE+BF)=l~—=—(定值).

四棱锥4-BEDF的体积为定值，故正确；

对于3,过。作。”_L£F,连接〃“，则Q”J_EF,T^AE=DF=X,则DH="二)_,

7%2+(1-%)2

：.D,H=4DH2+\,

S◎EF=；EF.D、H=g^x2+(l-x)2+x2(l-x)2=17[l-x(l-x)]2=l[l-x(l-x)],

四面体ROEF表面积为S=1xxl+』(1一x)xl+[[l-x(l-x)]+1x(l-x)=l,；.四面体RDEF

2222

表面积为定值，故正确.

对于C,如图建立空间直角坐标系，设?1E=x,则E(l—x,0,0),F(0,x,0),片(1,1,1),

A(1,0,0),

则与E=(一》,一1,-1),AF=(-l,x,0),

二.42•4月=x-x+0=0,.,.异面宜线81E和AE所成角为90。，故正确；

对于力，由B可得二面角〃-防-£＞就是NOH%,

则cos匕DHD、=2L=义型=小7)=--1---

D、HS"F1-Xl-x)Ji

x(l-x)

八、/X+l—Q1

*/X(1-X)„(---)-=-，

24

cosZD//DP,-,故错.

故选ABC.

10.在正三棱柱ABC-4gG中，AB=\,AA=2,BQ与8c交于点尸，点E是线段

的动点，则下列结论正确的是

―.1—.1—.1―.

A.AF=-AB+-AC+-AA

222,

B.存在点£,使得石

C.三棱锥3-A£F的体积为正

12

D.直线A尸与平面BCC由所成角的余弦值为浮

【答案】AC

【解析】由题意可得，画出正三棱柱A8C-44G，

如图所示，向量砺=,豆+丽=丽+3(反^8瓦)

=福+；(前一通)+；羽=；而+；/；祠，故A正确；

假设存在点E，设A£=/IA瓦，喷丸1，

所以屉=屈一4后=福+荤一4豆=可+2福•一AB=A4'+(A-1)AB,

因为AFJ_破，

所以入户.8后月+g恁+3丽).［钮・+(/1-1)•月］

=—(A-1)A月-H—AAjH—(A—1)4C,AB4—AAAi-AB

=—(A—1)H—x2-H—(A—1)x1x］x-=0,

2222

解得4=-9，故5错误；

3

因为正三棱柱A8C-ABC，所以AB/M.4,

加以=匕-：棱锥4-ABF=V凝锥F-A8B,=/匕三棱WiC-ABB,

l,zJ1一百)16

=2V^««.-ASC=2X2XXXVX2><3=77)

B,故。正确;

所以咚棱ffliB-AEF=匕:棱=

12

设8C中点为O,所以AO_L3C，

又三棱柱ABC-A4G是正三棱柱，

所以AO_L平面

所以NAFO即AF与平面BBC。所成的角,

cosZAFO=-=-^=^-,故。错误.

AF币1

2

11.（2021春•湖南期末）如图，在正方体ABC。-A4G。中，点尸在线段耳。运动，则

A.三棱锥尸-AGQ的体积为定值

B.异面直线A尸与A。所成的角的取值范围为【45。，90°1

c.直线GP与平面AG。所成角的正弦值的最大值为日

D.过P作直线〃/4R,贝l"_LZ)P

【答案】ACD

【解析】在A中，•；AD/IB©,AOU平面AG。，平面AC。，

:.B、cu平面AC。，

点P在线段8。上运动，,P到平面AC。的距离为定值，

乂△AG。的面积是定值，.•・三棱锥尸-AG。的体积为定值，故A正确；

在5中，异面直线"与AQ所成角的取值范围是[60。，90°],故3错误；

在C中，以。为原点，/M为X轴，AC为y轴，0A为z轴，建立空间宜角坐标系，

设正方体AB8—A4CQ中棱长为1,尸(a,1,a),则。(0,0,0),玲(1,0,1),0(0,1,

1),£>4=(1,0,1),DC\=(0,1,1),C,P=(a,0,a-1),

*n-1,r•-J,I1i,I—•fl,DA.=X+z=°

设平面AG。的法向量"=(x,y,z),__.,

n-DC}=y+z=0

取x=l,得元=(1,1,-1),..直线G2与平面AG。所成角的正弦值为：

\qP-fi\______1______1

IQPH«I-业+9了.百一出'

.•.当时，直线GP与平面AG。所成角的正弦值的最大值为半，故C正确.

在。中，过尸作直线///AR,则〃/8G，-.-DPIBC,,..IlDP,故正确.

故选ACD.

12.如图，以等腰直角三角形斜边BC上的高AD为折痕，把AABZ)和AACD折成互相垂直的两个

平面后，某学生得出如下四个结论，其中正确的是

B.AB±IX：

C.BDYAC

D.平面4X■的法向量和平面ABC的法向量互相垂直

【答案】BC

【解析】以D为坐标原点，DB,DC,以所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标

系，

设折叠前的等腰直角三角形ABC的斜边3c=2，

则。(0,0,0),3(1,0,0),C(0,1,0),A(0,0,1),

则耳豆=(1,0,-1),AC=(0,l,-l),DC=(0,1,0),丽=(-1,0,0),

从而有A月•AC:=0+0+l=l,故A错误；

ABDC=0,故8正确；

BDAC=0,故C正确；

易知平面4X7的一个法向量为跳5=(-1,0,0),

设平面ABC的一个法向量为为=(x,y,z)，则［竺方=°

AC•万=0

x-z=0

即y-z=。'令尸1’

则x=l,z=l,故元=(1,1,1),BDn=-l,故。错误.

故选BC.

第H卷（非选择题）

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.

13.（2021春•嘉兴期末）在长方体ABC£>-ABC〃中，AB=AD=i,AA,=2,点尸为底面A3CD

上一点，则丽的最小值为.

【答案】」

2

【解析】在长方体ABCD-ABC〃中，AB=AD=],A4,=2,点P为底面ABC。匕一点，

则区•前;=序•（无+反5=耳•及可||无|cos<丽,元〉，

当PA,PC反向时，cos<PA,PC>的值最小值为-1,

此时网画吟㈣』争斗

当且仅当I可1=三时取等号，

所以百•七的最小值为-g.

故答案为：-•!•・

2

14.（2021♦浙江模拟）如图，在棱长为4的正方体ABC。-AAGA中，〃是棱AA上的动点，N是

棱8c的中点.当平面与底面A8CD所成的锐二面角最小时，.

【解析】以。为坐标原点建立空间直角坐标系如图所示，

设M4=Z,则2(0,0,4),C(0,4,0),N(2,3,0),M(4,0,k),

所以RA/=(4,0,Z-4),£>N=(2,4,-4),

设平面RMN的法向量为万=(x,y,z),

为山幽=04x+(k-4)z=0

则有〈_L.，即已”.八，

n-D,N^0[2x+4y-2z=0

令z=8,则x=8—2左,y=4+k,故疗=(8—2A:,4+匕8),

平面ABCD的一个法向量为四=(0,0,1),

设平面QMN与底面ABCD所成的锐：面角为a,

\n\\m\J(8-2Z)2+(4+l)2+64y/5k2-24k+144

锐二面角a越小，则cosa越大，

所以求5k2-24k+144的最小值，

令y(Q=5公-24^+144=5伏一£>+竿，

所以当&=上17时，。有最小值，此时AM=4—Z=4—IO上=Q2.

5,55

故答案为：

5

15.(2021•河南模拟)如图，在矩形ABCD中，2A8=8C=2,AE=CF=\.将A,C分别沿BE,

£)「向上翻折至A,C,则WC取最小值时，二面角A-EF-。的正切值是,

【解析】取应;中点O,DF中点、N,连接。¥、OF,连接NE、NC,过4作AM_LO下于M,

过C作C7/_LNE于H,

建立如图所示的空间直角坐标系，设N/VOF=aNC'NE=。，｛a,QW(0,T)),

与

&也

cosa,0,qsina),尸_4*

，2

22si也n

立g

22

cos产

cos°-gcosa)+z匹

+(2S

IA'C『=2-O\inin

12,1

=-((1-cosp-cosd)+1+(sinp-sina))..于

'pll-cos/7-cosa=0,且sin夕一sina=0时|A，C'|最小，于是当a=£=。时，|A，C'|最小,

设平面ERV和平面£FC的法向量分别为所=(x,y,z),n=(u,v,w),

刍

与

裙

用-+=o

-22

令

力z

-(

的=

2>/3\V3

一+O

--X/一6=

44

rEn=----u4-——v=0

,22，令〃=6,n=(>/3,5/3,—1)，

司-6上垃上戈八

FCn=----u+——v+——w=0

424

设二面角A-EF-C的大小为。，

由图知9为锐角，所以856=阴包=1~产=*,tanO=2匹.

lw|-|n|5』75

16.（2021•丰台区一模）如图，从长、宽、高分别为a,h,c的长方体AEBF-GCWD中截去部分

几何体后，所得几何体为三棱锥A-38.下列四个结论中，所有正确结论的序号是—.

①三棱锥A-BCD的体积为‘mc；

3

②三棱锥A-88的每个面都是锐角三角形；

③三棱锥A-8C£>中，二面角A-8-8不会是直二面角;

④三棱锥A-88中，三条侧棱与底面所成的角分别记为a,4，y,则sin%+sin/+sir?%,2.

【答案】①②④

【解析】对于①，长方体的体积为而c,

三棱锥A-BCD的体积为abc-4x-x-abc=-abc,故①正确；

323

对于②，三棱锥A-BCD的每一个面的三边长都可以用过一个顶点的三条侧棱表示,

不妨以AAC£>为例，AD2=a2+c2,AC2=b2+c2,CD2=（r+tr,

AD2+AC2>CD2,AD2+CD2>AC2,AC2+CD2>AD2,

:.AACD一定是锐角三角形，同理可得A48C,AAfiD,MC£＞为锐角三角形,

则三棱锥A-B8的每个面都是锐角•:角形，故②正确；

对于③，如图，以尸为坐标原点，分别以E4、FB、阳所在直线为x、y、z轴建立空间直角坐

标系，

则A(a,0,0),E(a,b,0),3(0,b,0),F(0,0,0),G(a,0,c),

C(a,b,c),0(0,0,c),

AC=(0,瓦c),CD=(一4,一。,0),BC=(a,0,c),

设平面ACD的一个法向量为沅=(x,y,z),

由｛_,取y=l,则/=(一上,1,一与，

m-CD--ax-hy=0ac

同理可得平面BCD的一个法向量为n=(1,--,--),

bc

沅・万=一2_色+半，取。=〃=,c=l时，沅•力=0,可得“仰角A—CD—6是直二面角，故③

abc

错误；

对于④，不妨设45与底面所成角为a,AC与底面所成角为乃，4)与底面所成角为

由③可知，平面88的一个法向量为”=(一秘,。。,必)，AC=(0,/?,(?),

,八2abc

sin0=/~/，

\]b2+C1-^c1+a2h2+trc2

.2,________4a%2c之_______________________________8〃％膏___________________

Sm(b2+c2)-(a2c2+a2b2+b2c2)(b2+c2)[(a2c2+a2b2)+(a1b1+b2c2)+(a2c2+b2c2)]

________8/比2________2b

“2ac(2a2bc+2ab2c+2abc2)a+〃+c

同壬里可得，—————，sin，,,—————，

a+b+ca+b+c

则sin2a+sin2/?+sin2%，2"+2"+--=2,故④正确.

a+b+c

故答案为：①②④.

i£----------------/

y

X

四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

17.（2021春•广安期末）在四棱锥尸-A88中，平面R4D_L平面ABC。，A/XO是等腰直角三角

形，PA=PD,AD//BC,AB=BC=CD=2,NABC=120。，G是依的中点，”为AC的中

点.

（1）求证：G4//平面HLD；

（2）求二面角D—AG—C的余弦值.

【解析】（1）证明：取AD的中点为O，连接OP、OB、OC，

因为A£>〃8C,AB=BC=CD=2,ZABC=120°.

所以A8=8C=CO=，A£>；

2

又因为四边形ABCO与四边形05s都是菱形，且H为AC的中点,

所以“为03的中点，GH//OP-.

乂因为GH<t平面皿）,OPu平面皿）,

所以G/7//平面R4£）；

（2）解：因为F4=PD，O为AD的中点，所以POLAZ）：

又因为平面皿），平面ABCD,所以PO，平面ABCD；

取BC的中点为E,因为ABC。为等腰梯形，所以OE_LA£>：

以O为坐标原点，分别以。至、OD.。户的方向为x轴、y轴、z轴的正方向，建立空间直角坐

标系，如图所示:

则尸(0,0,2),A(0,-2,0),8(6,-1,0),C(V3,1,0),0(0,2,

1)；

所以AD=(0,4,0),AG=(—,--1),配=(G3,0)；

22

4y=0

n-AD=0

设平面DAG的一个法向量为n=(x,y,z),由，，得63,求得”=(2,

n-AG=0——x+—y+z=0

,22

\f3a+3/?=0

m-AC=0

设平面CAG的一个法向量为m=(a,b,c),由，，得,后3,,求得虎=(x/3,

tn-AG=0——a+—b+c=0

I22

-1,0)；

n-m2G向

计算cos<方，m>=

\ri\x\m\2xy/l7

所以：何角。一AG—C的余弦值为卫■.

7

18.如图，四棱锥P-ABCD的底面是边长为2n的菱形，N/)A8=60。，PA==PD,顶点P在

底面上的投影为O,侧棱与底面A38所成角的正切值为点.

(1)证明：BC_L平面PO3；

(2)若点£为PC的中点，求二面角A—£>£—8的大小.

【答案】（1）证明见解析：（2）

4

【解析】（I）证明：因为四棱锥P-A8CD的底面是边长为2#的菱形，且卬由=60。，

所以AAB0是边长为2指的等边三角形；

因为抬=P3=P£）,所以三棱锥尸-ABD是正三棱锥，

所以顶点P在底面上的投影为O为正的中心；

又ADUBC，所以BC_LO8；

因为8C_LPO,PO[\BO=O,所以BC_L平面PO8:

（2）解：由（1）知，NP8O是是侧棱A5与底面ABC/）所成的角，

所以tanNP3O=0,所以OP=4；

以O为原点，O后,苏的方向为x轴、y轴的正方向，建立空间直角坐标系O-乎，

如图所示:

则A(卡，-V2,0),D(-底,-41,0),E(-R,&,2),8(0,20,0),

所以通=(-2«,0,0),DE=(0.20,2),EB=(通,叵,-2),

设平面ADE的法向量为比=(x,y,z),

则［吧/=-24=0，令y"得加=(o,L一处；

DE-m=2\l2y+2z=0

设平面3。石的法向量为万=3，力，c）,

EBn=痴a+\[lb-2c=0人zn1-r-

则—广，令6=1，WM=(-V3,1,-V2)；

DE-ri=2y/2b+2c=0

tnn372

cos<mn>=

?\m\^\fi\73x^62'

因为二面角A-Z）E-8是锐角，所以二面角A-0E-8的大小为生.

4

19.（2021春•潍坊期末）如图，四棱柱的底面ABCD为矩形，AD=2AB,M为BC

中点，平面A4,J_4。且A4=A。.

（1）证明：ZB,,4,0=90°.

（2）若此四棱柱的体积为2,求二面角A-的正弦值.

【解析】（1）证明：因为平面ARD4J.平面A8C£）,

平面平面=，A8u平面A3CD,ABYAD,

所以AB_L平面AAD4，

因为AB//A4，所以4与J■平面A〃D4，

又因为AOu平面

所以即/44。=90°・

（2）取4）中点O,连接AQ,因为AA=A。，所以AOLAO,

乂因为平面\D.DAL平面ABCD,

平面A£)QAC平面ABCD=AD,

所以AO_L平面ABCD,

所以A0为四棱柱ABC。-ABCA的高,

设=则AD=2a,OAt=a,

所以四棱柱的体积V=S平行四边形Me0x=ax2axa=la1=2,

解得<7=1,

以O为坐标原点，0M,0D,可为x,y,z轴的正方向建立空间直角坐标系，

则A(0,-1,0),B(1,-1,0),C(l,I,0),D(0,1,0),4(0,0,1),M(1,0,0),

A,£)=(0,1,-1),=(0,1,0),4府=(1,0,-1),

因为4?_L平面A4QQ,所以AB_LA。，乂AO_LA4,=

所以AE>_L平面,所以平面AA,B的一个法向量〃;=AQ=(0,1,-1),

设平面ABM的一个法向量为/?；=(x,y,z),

令x=l,则石=(1,0,1).

设二面角A-A8-M的平面角为。，

则ICOS01=

|，H后1―0〉0一5'

所以sin，=Vl-cos26=）

2

即二面角A-AB-M的正弦值为更

20.（2021•甲卷）已知直三棱柱ABC-AAG中，侧面A4,用8为正方形，AB=BC=2,E,F分

别为AC和CG的中点，。为棱4片上的点，BF"B1.

（1）证明：BF1.DE；

（2）当4。为何值时，面与面NE所成的二面角的正弦值最小？

C

【答案】（1）证明见解析；（2）B，D=L

【解析】（1）证明：连接AF,

■■E,尸分别为直三棱柱ABC-A4G的棱AC和CG的中点，且AB=BC=2,

:.CF=\,BF=y/5,

•.•8F_LA4，AB//%B、,

：.BF±AB

22

AF=^AB+BF="2+(府=3,AC=NAF-CF?=旧=2&,

AC2=AB1+BC2.UPBArBC,

故以3为原点，BA,BC,B4所在直线分别为x,y,z轴建立如图所示的空间直角坐标系,

则A(2,0,0),8(0,0,0),C(0,2,0),E(1,I,0),F(0,2,1),

设用。=根，则0(加，0,2),

BF=(0,2,1),DE=(\-m,1,-2),

BFDE=0,即班

(2)解：•.•河，平面BgCC，；.平面的一个法向量为7=(1,0,0),

由(1)知，DE=(\-m,1,-2),£F=(-1,1,1),

.....〃、，,_、，,.[n-DE=0,,nf(l-/w)x+y-2z=0

设平面£>£尸的法向量为"(x,y,z),则4一，即！.八,