2023年上海海洋大学附属大团高级中学高考数学一模试卷

2023年上海海洋大学附属大团高级中学高考数学一模试卷试题数：21，满分：01.（填空题，0分）不等式＜0的解集为___．2.（填空题，0分）抛物线y2=4x的焦点坐标是___．3.（填空题，0分）若复数z满足i•z=1+2i，其中i是虚数单位，则z的实部为___．4.（填空题，0分）二项式的展开式中的常数项为___．5.（填空题，0分）等差数列{an}的前10项和为30，则a1+a4+a7+a10=___．6.（填空题，0分）设函数y=f（x）=2x+c的图象经过点（2，5），则y=f（x）的反函数f-1（x）=___．7.（填空题，0分）如果无穷等比数列{an}所有奇数项的和等于所有项和的3倍，则公比q=___．8.（填空题，0分）圆x2+y2-2x+4y=0的圆心到直线3x+4y-5=0的距离等于___．9.（填空题，0分）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，面积为S，且4S=（a+b）2-c2，则cosC=___．10.（填空题，0分）在120°的二面角内放置一个半径为6的小球，它与二面角的两个半平面相切于A、B两点，则这两个点在球面上的距离是___．11.（填空题，0分）已知点A（-2，0），设B、C是圆O：x2+y2=1上的两个不同的动点，且向量=t+（1-t）（其中t为实数），则=___．12.（填空题，0分）已知平面向量，，，满足|=1，||=2，||=2，0≤λ≤1．若•=0，则|-λ-（1-λ）|的取值范围是___．13.（单选题，0分）下列函数中既是奇函数，又在区间[-1，1]上单调递减的是（）A.f（x）=arcsinxB.y=lg|x|C.f（x）=-xD.f（x）=cosx14.（单选题，0分）电视台在电视剧开播前连续播放6个不同的广告，其中4个商业广告2个公益广告，现要求2个公益广告不能连续播放，则不同的播放方式共有（）A.A•AB.C•CC.A•AD.C•C15.（单选题，0分）已知向量，，满足++=，且＜＜，则、、中最小的值是（）A.B.C.D.不能确定的16.（单选题，0分）函数f（x）=x，g（x）=x2-x+2．若存在x1，x2，…，xn∈[0，]，使得f（x1）+f（x2）+…+f（xn-1）+g（xn）=g（x1）+g（x2）+…+g（xn-1）+f（xn），则n的最大值是（）A.11B.13C.14D.1817.（问答题，0分）如图，三棱柱ABC-A1B1C1中，AA1⊥底面ABC，AB=AC，D是BC的中点．

（1）求证：BC⊥平面A1AD；

（2）若∠BAC=90°，BC=4，三棱柱ABC-A1B1C1的体积是8，求异面直线A1D和AB1所成的角的大小．18.（问答题，0分）已知向量=（sinx,1），=（cosx,-1）．

（1）若，求tan2x的值；

（2）若f（x）=（+），求函数f（x）的最小正周期及当x∈[0，]时的最大值．19.（问答题，0分）已知函数f（x）=，其中a∈R．

（1）解关于x的不等式f（x）≤-1；

（2）求a的取值范围，使f（x）在区间（0，+∞）上是单调减函数．20.（问答题，0分）椭圆Γ：+=1．

（1）若抛物线C的焦点与Γ的焦点重合，求C的标准方程；

（2）若Γ的上顶点A、右焦点F及x轴上一点M构成直角三角形，求点M的坐标；

（3）若O为Γ的中心，P为Γ上一点（非Γ的顶点），过Γ的左顶点B，作BQ||OP，BQ交y轴于点Q，交Γ于点N，求证：•=22．21.（问答题，0分）已知数列{an}的前n项和为Sn，且a1=1，a2=a．

（1）若数列{an}是等差数列，且a8=15，求实数a的值；

（2）若数列{an}满足an+2-an=2（n∈N*），且S19=19a10，求证：数列{an}是等差数列；

（3）设数列{an}是等比数列，试探究当正实数a满足什么条件时，数列{an}具有如下性质M：对于任意的n≥2（n∈N*），都存在m∈N*使得（Sm-an）（Sm-an+1）＜0，写出你的探求过程，并求出满足条件的正实数a的集合．

2023年上海海洋大学附属大团高级中学高考数学一模试卷参考答案与试题解析试题数：21，满分：01.（填空题，0分）不等式＜0的解集为___．【正确答案】：[1]（0，1）【解析】：由不等式＜0可得x（x-1）＜0，由此解得不等式的解集．

【解答】：解：由不等式＜0可得x（x-1）＜0，解得0＜x＜1，

故答案为：（0，1）．

【点评】：本题主要考查分式不等式的解法，体现了等价转化的数学思想，属于基础题．2.（填空题，0分）抛物线y2=4x的焦点坐标是___．【正确答案】：[1]（1，0）【解析】：根据题意，由抛物线的标准方程分析可得抛物线的点在x轴正半轴上，且p=2，由抛物线的焦点坐标公式计算可得答案．

【解答】：解：根据题意，抛物线y2=4x的开口向右，其焦点在x轴正半轴上，

且p=2，

则抛物线的焦点坐标为（1，0），

故答案为：（1，0）．

【点评】：本题考查抛物线的几何性质，注意分析抛物线的开口方向．3.（填空题，0分）若复数z满足i•z=1+2i，其中i是虚数单位，则z的实部为___．【正确答案】：[1]2【解析】：把已知等式变形，再由复数代数形式的乘除运算化简得答案．

【解答】：解：由i•z=1+2i，

得z=，

∴z的实部为2．

故答案为：2．

【点评】：本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念，是基础题．4.（填空题，0分）二项式的展开式中的常数项为___．【正确答案】：[1]15【解析】：利用二项展开式的通项公式求出展开式的通项，令x的指数为0，求出展开式的常数项．

【解答】：解：展开式的通项为Tr+1==

令6-r=0得r=4，

所以展开式的常数项为C64=15，

故答案为：15

【点评】：本题考查利用二项展开式的通项公式解决二项展开式的特定项问题，本题解题的关键是写出二项式的通项，本题是一个基础题．5.（填空题，0分）等差数列{an}的前10项和为30，则a1+a4+a7+a10=___．【正确答案】：[1]12【解析】：利用等差数列的前n项和公式即可得到a1+a10=6．由等差数列的性质可得a1+a10=a4+a7，进而可得答案．

【解答】：解：∵等差数列{an}的前10项和为30，∴，解得a1+a10=6．

由等差数列的性质可得a1+a10=a4+a7，

∴a1+a4+a7+a10=2（a1+a10）=2×6=12．

∴a1+a4+a7+a10=12．

故答案为12．

【点评】：熟练掌握等差数列的前n项和公式、等差数列的性质是解题的关键．6.（填空题，0分）设函数y=f（x）=2x+c的图象经过点（2，5），则y=f（x）的反函数f-1（x）=___．【正确答案】：[1]log2（x-1）【解析】：由f（2）=5，解得c=1，得y=f（x）=2x+1，然后反解x后，对调x与f（x）可得．

【解答】：解：依题意有：f（2）=22+c=5，解得：c=1，所以f（x）=2x+1，

∴2x=f（x）-1，x=log2（f（x）-1），∴f-1（x）=log2（x-1）

故答案为：log2（x-1）

【点评】：本题考查了反函数．属基础题．7.（填空题，0分）如果无穷等比数列{an}所有奇数项的和等于所有项和的3倍，则公比q=___．【正确答案】：[1]-【解析】：由题意可知，所有项和S=，奇数项的和S奇=，结合已知即可求解

【解答】：解：由题意可知，所有项和S=，

奇数项的和S奇=，

∴，

解可得，q=-

故答案为：-

【点评】：本题主要考查了无穷等比数列的求和公式的简单应用，属于基础试题．8.（填空题，0分）圆x2+y2-2x+4y=0的圆心到直线3x+4y-5=0的距离等于___．【正确答案】：[1]2【解析】：根据题意，由圆的方程求出圆的圆心，由点到直线的距离公式计算可得答案．

【解答】：解：根据题意，圆x2+y2-2x+4y=0的圆心为（1，-2），

则点（1，-2）到直线3x+4y-5=0的距离d==2，

故答案为：2．

【点评】：本题考查圆的一般方程和点到直线距离的计算，注意求出圆的圆心坐标，属于基础题．9.（填空题，0分）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，面积为S，且4S=（a+b）2-c2，则cosC=___．【正确答案】：[1]0【解析】：由余弦定理和三角形面积公式得sinC-cosC=1，结合平方关系得答案．

【解答】：解：∵4S=（a+b）2-c2，

∴4×absinC=a2+b2-c2+2ab，

由余弦定理得：2absinC=2abcosC+2ab，

∴sinC-cosC=1，又∵sin2C+cos2C=1，

∴sinCcosC=0，又∵在△ABC中，sinC≠0，

∴cosC=0．

故答案为：0．

【点评】：本题考查余弦定理、三角形面积公式、平方关系，考查计算能力．10.（填空题，0分）在120°的二面角内放置一个半径为6的小球，它与二面角的两个半平面相切于A、B两点，则这两个点在球面上的距离是___．【正确答案】：[1]2π【解析】：由题意及二面角的面与球相切的性质可以求得∠AOB=60°，又半径已知，由弧长公式求出两切点在球面上的最短距离．

【解答】：解：由球的性质知，OA，OB分别垂直于二面角的两个面，

又120°的二面角内，故∠AOB=60°

∵半径为6的球切两半平面于A，B两点

∴两切点在球面上的最短距离是6×=2π．

故答案为：2π．

【点评】：本题考查球面距离及相关计算，解题的关键是根据二面角与球的位置关系得出过两切点的两个半径的夹角以及球面上两点距离的公式，考查空间想像能力，是中档题．11.（填空题，0分）已知点A（-2，0），设B、C是圆O：x2+y2=1上的两个不同的动点，且向量=t+（1-t）（其中t为实数），则=___．【正确答案】：[1]3【解析】：由向量=t+（1-t）（其中t为实数），可得：A，B，C三点共线，且，同向，

设圆O与x轴正半轴交于点E，与x轴负半轴交于点D，由割线定理可得，|AB||AC|=|AD||AE|=1×3=3

【解答】：解：由向量=t+（1-t）（其中t为实数），

可得：A，B，C三点共线，

且，同向，

设圆O与x轴正半轴交于点E，与x轴负半轴交于点D，

由圆的割线定理可得，|AB||AC|=|AD||AE|，

∴•=||||cos0=|AB||AC|=|AD||AE|=1×3=3

故答案为：3

【点评】：本题考查了向量中三点共线的判断，及圆的割线定理，属中档题12.（填空题，0分）已知平面向量，，，满足|=1，||=2，||=2，0≤λ≤1．若•=0，则|-λ-（1-λ）|的取值范围是___．【正确答案】：[1]【解析】：设=λ+（1-λ），则|-λ-（1-λ）|=||，得|||-1|≤||≤||+1，由||2=8（λ-）2+2和0≤λ≤1，得≤||≤2，得-1≤|-λ-（1-λ）|≤3．

【解答】：解：设=λ+（1-λ），则|-λ-（1-λ）|=||，

因为|||-|||≤||≤||+||，

所以|||-1|≤||≤||+1，

因为||²=|λ+（1-λ）|²=+（1-λ）²+2=4λ2+4（1-λ）2=8λ2-8λ+4=8（λ-）2+2，

又因为0≤λ≤1，所以，2≤||²≤4，故≤||≤2，得-1≤|-λ-（{1-λ}）|≤3．

故答案为：[-1，3]．

【点评】：本题主要考查向量模的求解，利用换元法与配方法求向量的模是解决本题的关键．13.（单选题，0分）下列函数中既是奇函数，又在区间[-1，1]上单调递减的是（）A.f（x）=arcsinxB.y=lg|x|C.f（x）=-xD.f（x）=cosx【正确答案】：C【解析】：可看出f（x）=arcsinx在[-1，1]上单调递增，y=lg|x|和f（x）=cosx都是偶函数，从而判断A，B，D都错误，只能选C．

【解答】：A．f（x）=arcsinx在区间[-1，1]上单调递增；

∴该选项错误；

B．y=lg|x|为偶函数，∴该选项错误；

C．f（x）=-x是奇函数，且在[-1，1]上单调递减；

∴该选项正确；

D．f（x）=cosx是偶函数，∴该选项错误．

故选：C．

【点评】：考查反正弦函数和一次函数的单调性，以及奇函数和偶函数的定义．14.（单选题，0分）电视台在电视剧开播前连续播放6个不同的广告，其中4个商业广告2个公益广告，现要求2个公益广告不能连续播放，则不同的播放方式共有（）A.A•AB.C•CC.A•AD.C•C【正确答案】：A【解析】：先把4个商业广告排好顺序，再用插空法求得2个公益广告不能连续播放的方法数．

【解答】：解：先把4个商业广告排好顺序，共有种方法，再把2个公益广告插入5个空（包括两头）中，

根据分步计数原理，共有•种方法，

故选：A．

【点评】：本题主要考查排列组合的应用，分步计数原理，不相邻问题采用插空法，属于中档题．15.（单选题，0分）已知向量，，满足++=，且＜＜，则、、中最小的值是（）A.B.C.D.不能确定的【正确答案】：B【解析】：利用已知条件，结合向量模的大小，转化求解数量积的大小即可．

【解答】：解：向量，，满足++=，可得：，=，

同理，，，

∵＜＜，∴＜＜．

故选：B．

【点评】：本题考查向量的数量积的应用，向量的模的大小以及数量积的运算，考查转化思想以及计算能力，是中档题．16.（单选题，0分）函数f（x）=x，g（x）=x2-x+2．若存在x1，x2，…，xn∈[0，]，使得f（x1）+f（x2）+…+f（xn-1）+g（xn）=g（x1）+g（x2）+…+g（xn-1）+f（xn），则n的最大值是（）A.11B.13C.14D.18【正确答案】：C【解析】：由已知得n-2=（xn-1）2-[（x1-1）2+（x2-1）2+…+（xn-1-1）2]，又x1，x2，…，xn∈[0，]，可求n的最大值．

【解答】：解：∵f（x1）+f（x2）+…+f（xn-1）+g（xn）=x1+x2+…+xn-1+xn2-xn+2，

g（x1）+g（x2）+…+g（xn-1）+f（xn）=x12+x22+…+xn-12-（x1+x2+…+xn-1）+2（n-1）+xn，

∴（x1-1）2+（x2-1）2+…+（xn-1-1）2+（n-2）=（xn-1）2，

∴n-2=（xn-1）2-[（x1-1）2+（x2-1）2+…+（xn-1-1）2]

当x1=x2=…=xn-1=1，xn=时，（n-2）max=（-1）2=，

∴n-2≤，又∵n∈N，∴nmax=14．

故选：C．

【点评】：本题考查参数的最值，配方是关键，考查推理能力和计算能力，属中档题．17.（问答题，0分）如图，三棱柱ABC-A1B1C1中，AA1⊥底面ABC，AB=AC，D是BC的中点．

（1）求证：BC⊥平面A1AD；

（2）若∠BAC=90°，BC=4，三棱柱ABC-A1B1C1的体积是8，求异面直线A1D和AB1所成的角的大小．【正确答案】：

【解析】：（1）推导出AA1⊥BC，BC⊥AD，由此能证明BC⊥平面A1AD．

（2）以A为原点，AB为x轴，AC为y轴，AA1为z轴，建立空间直角坐标系，由此能求出异面直线A1D和AB1所成的角的大小．

【解答】：证明：（1）∵AA1⊥底面ABC，∴AA1⊥BC，

又AB=AC，D是BC的中点，BC⊥AD，

AA1∩AD=A，

∴BC⊥平面A1AD．

解：（2）∵∠BAC=90°，AB=AC，BC=4，

∴AB=AC=2，==4，

∵三棱柱ABC-A1B1C1的体积是8，

∴S△ABC•AA1=4AA1=8，解得AA1=2，

以A为原点，AB为x轴，AC为y轴，AA1为z轴，建立空间直角坐标系，

则D（，0），A（0，0，0），B1（2，0，2），

=（，-2），=（2，0，2），

设异面直线A1D，AB1所成角为θ，

则cosθ===．

∴异面直线A1D和AB1所成的角的大小为arccos．

【点评】：本题考查线面垂直的证明，考查异面直线所成角的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想，是中档题．18.（问答题，0分）已知向量=（sinx,1），=（cosx,-1）．

（1）若，求tan2x的值；

（2）若f（x）=（+），求函数f（x）的最小正周期及当x∈[0，]时的最大值．【正确答案】：

【解析】：（1）由向量=（sinx,1），=（cosx,-1），得1×cosx=-1×sinx,即tanx=-，可得解，

（2）由f（x）=（+）=sin（2x+）+，函数f（x）的最小正周期T==π，所以2x+∈[]，则x=时，函数取最大值．

【解答】：解：（1）∵向量=（sinx,1），=（cosx,-1）．

又，

∴1×cosx=-1×（sinx），

∴tanx=-，

∴tan2x==-，

（2）∵f（x）=（+），

∴f（x）=sinxcosx+cos2x

=sin2x+cos2x+，

=sin（2x+）+，

∴函数f（x）的最小正周期T==π，

∵x∈[0，]，

∴2x+∈[]，

即2x+=即x=时，函数取最大值，

故函数的周期为：π，当x∈[0，]时的最大值．

【点评】：本题考查了平面向量数量积公式，平面向量共线的坐标表示及三角恒等变形，属中档题19.（问答题，0分）已知函数f（x）=，其中a∈R．

（1）解关于x的不等式f（x）≤-1；

（2）求a的取值范围，使f（x）在区间（0，+∞）上是单调减函数．【正确答案】：

【解析】：（1）由题意可得≤0，对a讨论，可得所求解集；

（2）求得f（x）==a+，由反比例函数的单调性，可得-2-2a＞0，解不等式即可得到所求范围．

【解答】：解：（1）x的不等式f（x）≤-1，

即为≤-1，即为≤0，

当a=-1时，解集为{x|x≠-2}；

当a＞-1时，解集为（-2，0]；

当a＜-1时，解集为（-∞，-2）∪[0，+∞）；

（2）f（x）==a+，

由f（x）在区间（0，+∞）上是单调减函数，

可得-2-2a＞0，

解得a＜-1．

即a的范围是（-∞，-1）．

【点评】：本题考查分式不等式的解法，注意运用分类讨论思想方法，考查函数的单调性的判断和运用，考查运算能力，属于基础题．20.（问答题，0分）椭圆Γ：+=1．

（1）若抛物线C的焦点与Γ的焦点重合，求C的标准方程；

（2）若Γ的上顶点A、右焦点F及x轴上一点M构成直角三角形，求点M的坐标；

（3）若O为Γ的中心，P为Γ上一点（非Γ的顶点），过Γ的左顶点B，作BQ||OP，BQ交y轴于点Q，交Γ于点N，求证：•=22．【正确答案】：

【解析】：（1）根据椭圆的方程和抛物线的性质即可求出，

（2）根据勾股定理即可求出，

（3）由B（-3，0），BQ||OP，设直线BQ的方程为x=my-3，直线OP的方程为x=my,分别于椭圆的方程联立，求出点Q，N，P的坐标，在根据向量的运算即可证明

【解答】：解：（1）椭圆Γ：+=1中a2=9，b2=4，

∴c2=a2-b2=5，

∴c=，

∴Γ的焦点坐标为（，0），（-，0），

∵抛物线C的焦点与Γ的焦点重合，

∴p=2，且抛物线的焦点在x轴上，

∴C的标准方程y2=±4；

（2）∵Γ的上顶点A、右焦点F及x轴上一点M构成直角三角形，

∴A（0，2），F（，0），

设M（t,0），显然t＜0，

∵|MA|2+|AF|2=|MF|2，

∴t2+4+5+4=（-t）2，

解得t=-，

∴M（-，0），

当M（0，0）时，此时三角形为直角三角形．

综上所述M（0，0）或（-，0）．

证明（3）由B（-3，0），BQ||OP，

设直线BQ的方程为x=my-3，直线OP的方程为x=my,

由，消x可得（4m2+9）y2-24my=0，

解得y=0，或y=，

则xN=-3=

则N点的坐标为（，），

对于直线方程x=my-3，令x=0，可得y=

∴Q（0，），

∴•=（+3，）•（3，）=+=

由，解得yp2=，xp2=

解得或，

∴22=2（xp2+yp2）=2（+）=，

∴•=22．

【点评】：本题考查直线与椭圆的位置关系的综合应用，抛物线方程的求法，向量的运算，考查计算能力，属于中档题．21.（问答题，0分）已知数列{an}的前n项和为Sn，且a1=1，a2=a．

（1）若数列{an}是等差数列，且a8=15，求实数a的值；

（2）若数列{an}满足an+2-an=2（n∈N*），且S19=19a10，求证：数列{an}是等差数列；

（3）设数列{an}是等比数列，试探究当正实数a满足什么条件时，数列{an}具