专题2.12 等腰三角形的轴对称性（分层练习）（提升练）-2023-2024学年八年级数学上册基础知识专项突破讲与练（苏科版）

专题2.12等腰三角形的轴对称性（分层练习）（提升练）一、单选题1．若是轴对称图形，中线所在直线为其唯一的一条对称轴，则下列说法正确的是（

）A．的周长 B．的周长C．的周长 D．以上都不对2．如图，在△ABC中，点P在边BC上（不与点B，点C重合），下列说法正确的是（

）A．若∠BAC＝90°，∠BAP＝∠B，则AC＝PCB．若∠BAC＝90°，∠BAP＝∠C，则AP⊥BCC．若AP⊥BC，PB＝PC，则∠BAC＝90°D．若PB＝PC，∠BAP＝∠CAP，则∠BAC＝90°3．如图，在中，，是边上的两点，且，，设，，则与之间的关系式为（

）A． B． C． D．4．如图，点在的边上，点在射线上（不与点，重合），连接，．下列命题中，假命题是（

）A．若，，则 B．若，，则C．若，，则 D．若，，则5．如图，在四边形中，，，我们把这种两组邻边分别相等的四边形叫做筝形根据学习平行四边形性质的经验，有同学得出如下筝形的性质，你认为其中不正确的是（

）A．两组邻边分别相等B．有一组对角相等C．两条对角线相互垂直平分D．一条对角线被另一条对角线垂直平分6．如图，四边形ABCD中，DE和DF恰好分别垂直平分AB和BC，则以下结论不正确的是（

）A．AD＝CD B．∠B＝∠A+∠CC．∠EDF＝∠ADE+∠CDF D．BE＝BF7．如图，中，，从以下条件①；②；③；④中，选出一个条件证明，那么符合要求条件的个数有（）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个8．如图，在中，的平分线与边交于点，与外角的平分线交于点，若，下列结论不正确的是（

）A． B． C． D．9．如图，在Rt△ABC中，，，点E在边BC上，将△ABE沿AE翻折，点B落在AC边上的点D处，连结DE、BD，若．下列结论：①AE垂直平分BD；②；③点E是BC的中点；④△CDB的周长比△CDE的周长大5．其中正确的个数是（

）A．1 B．2 C．3 D．410．如图，在中，，的度数为α．点P在边上（点P不与点B，点C重合），作于点D，连接，取上一点E，使得，连接，并延长交于点F之后，有．若记的度数为x，则下列关于的表达式正确的是（

）A． B．C． D．二、填空题11．若等腰三角形的腰长恰好是方程的解，且它的底边长是偶数，则这个等腰三角形的周长为．12．如图，△ABC是等腰三角形，AC＝BC，将一个含30°的直角三角板如图放置，若AC∥DE，则∠ABD＝．13．在中，，D为的中点，如图所示，E为上一点，将沿着直线翻折，点B的对应点落在的延长线上，分别联结、，与交于点F．如果，那么（结果用用整数比比表示）14．将一个含角的三角板如图放置，其中顶点A在y轴正半轴上，顶点B在第一象限，且点B的横、纵坐标相等，顶点在第四象限，则点C的坐标为．15．如图，在中，，，分别与、为直角边向外作等腰直角、，连结交的延长于点M，则的长为cm．16．如图，坐标平面内O为原点，M为x轴正半轴上一点，且，P是y轴上的一个动点，如果以点P、O、N为顶点的三角形是等腰三角形，那么这个等腰三角形顶角的度数为．17．如图，在中，，，，分别以、为一直角边作等腰直角、，连接交的延长线于F，则的面积为．18．如图所示，在等腰中，，点D为射线CB上的动点，，且，与所在的直线交于点P，若，则．三、解答题19．如图，已知，请用尺规作图法，在边上求作一点P，使是以为底的等腰三角形．（保留作图痕迹，不写作法）20．（1）已知等腰的周长是，且腰长比底边长的2倍少4，求等腰的三边的长；（2）已知，，是的三个内角，且，，求三个内角的度数.21．如图，已知等腰与等腰的顶角分别是和，，请说明．下面是解答过程，请在括号内填上相应的依据．

解答过程：因为与是等腰三角形，所以，（______）因为，所以，（______）所以______，（等量代换）在和中，所以（______）．22．如图，和都是等腰三角形，且，，如果点B，C，D在同一条直线上．那么与有怎样的关系呢？请说明理由．

23．直线是线段的垂直平分线，垂足为点O，点C是直线上一点，连接．以为斜边作等腰直角，连接．（1）如图1，若，求的度数；（2）如图2所示，点E是直线上一点，且，连接，延长至点F，使得，连接．根据题意补全图2，写出线段之间的关系，并证明．24．定义：顶角相等且顶点重合的两个等腰三角形叫做“同源三角形”，我们称这两个顶角为“同源角”．如图，和为“同源三角形”，，，与为“同源角”．

（1）如图1，和为“同源三角形”，试判断与的数量关系，并说明理由．（2）如图2，若“同源三角形”和上的点，，在同一条直线上，且，则______°．（3）如图3，和为“同源三角形”，且“同源角”的度数为90°时，分别取，的中点，，连接，，，试说明是等腰直角三角形．参考答案1．B【分析】根据轴对称的性质，得到是以和为腰的等腰三角形，再根据对称性可得结果．【详解】解：由题意可得：是以和为腰的等腰三角形，且不是等边三角形，∴，∴的周长，故选B．【点拨】本题考查了等腰三角形的性质，轴对称图形，解题的关键是根据题意判断出是等腰三角形．2．B【分析】根据等腰三角形和直角三角形的性质逐项判定可求解．【详解】解：A．∵∠BAC=90°，∴∠BAP+∠CAP=∠B+∠C=90°，∵∠BAP=∠B，∴∠CAP=∠C，∴AP=PC，只有当∠B=30°时，AC=PC，故错误；B．∵∠BAC=90°，∴∠BAP+∠CAP=90°，∵∠BAP=∠C，∴∠C+∠CAP=90°，∴∠APC=180°-（∠C+∠CAP）=90°，即AP⊥BC，故正确；C．∵AP⊥BC，PB=PC，∴AP垂直平分BC，而∠BAC不一定等于90°，故错误；D．根据PB=PC，∠BAP=∠CAP，无法证明∠BAC=90°，故错误，故选：B．【点拨】本题主要考查直角三角形，等腰三角形的性质与判定，灵活运用直角三角形的性质是解题的关键．3．C【分析】根据三角形内角和以及角平分线的定义表示求解即可．【详解】解：∵，∴，∵在中，，∴，∵，∴，∵在中，，∴，∵在中，，∴，∴，即∴，∴．故选：C．【点拨】此题考查了三角形内角和以及等腰三角形的性质，解题的关键是熟练掌握三角形内角和以及等腰三角形的性质．4．D【分析】根据等腰三角形三线合一的性质证明PD是否是BC的垂直平分线，判断即可．【详解】因为AB=AC，且AD⊥BC，得AP是BC的垂直平分线，所以PB=PC，则A是真命题；因为PB=PC，且AD⊥BC，得AP是BC的垂直平分线，所以AB=AC，则B是真命题；因为AB=AC，且∠1=∠2，得AP是BC的垂直平分线，所以PB=PC，则C是真命题；因为PB=PC，△BCP是等腰三角形，∠1=∠2，不能判断AP是BC的垂直平分线，所以AB和AC不一定相等，则D是假命题．故选：D．【点拨】本题主要考查了等腰三角形的性质和判定，掌握性质定理是解题的关键．5．C【分析】将筝形分成两个全等三角形，即可得出结论解．【详解】解：连接AC和BD相交于点OAB＝AD，BC＝DC，AC＝AC（公共边）ABCADC（SSS）ABC＝ADC.BAC＝DAC又知ABD是等腰三角形ACBD且OB＝OD故：A、B、D项成立，B不成立故选：C【点拨】本题考查推断筝形的性质，能够掌握常见图形的基本性质，并能在理解的基础上加以分析是解出此题的基本要求．6．D【分析】如图，连接BD根据中垂线的性质，进行线段和角度的转化即可求解．【详解】证明：连接BD，∵DE和DF恰好分别垂直平分AB和BC∴AD=BD，CD=BD；∴AD=CD，选项A正确，不符合题意；∵AD=BD，CD=BD∴∠A＝∠DBE，∠C＝∠DBC∴∠ABC＝∠A+∠C，选项B正确，不符合题意；又∵BD=CD,∠BFD＝∠DFC＝90°∴∠BDF＝∠FDC同理：∠ADE＝∠BDE∴∠EDF＝∠ADE+∠CDF，选项C正确，不符合题意；∵BE≠BF，选项D不正确，符合题意．故选D．【点拨】本题考查垂直平分线的性质．遇到中垂线，常常要将中垂线上的点与线段的两个端点连起来构造等腰三角形来解题．7．C【分析】根据全等三角形的判定与性质逐一判断即可．【详解】解：由，，无法证明，故①不符合题意；由，，，利用即可证明，则，故②符合题意；由，，，利用即可证明，则，故③符合题意；由，，，利用即可证明，则，故④符合题意，综上分析可知，符合条件的个数为3个，故C正确．故选：C．【点拨】本题考查了全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键．8．D【分析】由全等三角形的性质得到，，，推出；利用等角对等边推出；利用等腰三角形的性质推出；据此即可求解．【详解】解：∵，∴，，，∴，故A选项正确，不符合题意；∵是的平分线，∴，∴，∴，∴，故B选项正确，不符合题意；∵是的平分线，∴，即，故C选项正确，不符合题意；没有理由能证明，故D选项不正确，符合题意；故选：D．【点拨】本题考查了全等三角形的性质，等腰三角形的判定和性质，熟记各图形的性质并准确识图是解题的关键．9．C【分析】根据翻折后图形大小不变，三角形的外角和，三角形周长，即可判断出正确．【详解】∵是翻折而得的∴，∴垂直平分故正确；∵中，，∴∴∴∴故正确；∵是翻折而得的∴，∴∵∴∴∴，但∴不是的中点故错误；∵∴故正确．故正确的结论的是：．故选：C．【点拨】本题考查翻折的性质和三角形的知识，解题的关键是掌握翻折的性质，三角形外角和定理，三角形周长等．10．B【分析】由等腰三角形的性质求出，由三角形外角的性质可求，由平角的定义即可求出．【详解】∵∴∴∵∴∴∵∴∴∵∴．故选：B．【点拨】此题考查等腰三角形的性质，三角形外角的性质，解题的关键是掌握以上知识点．11．6【分析】先求出方程的解得到腰长，再根据底边为偶数和三角形三边关系得出底边长即可求解．【详解】解：，∴等腰三角形的腰长为2，又由它的底边长是偶数，且三角形的三边关系可得底边长为2，∴这个等腰三角形的周长为，故答案为：6．【点拨】本题考查了一元一次方程，等腰三角形和三角形的三边关系，关键是熟练掌握三角形的三边关系：任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边．12．15°/15度【分析】根据AC∥DE，可得∠ACB=∠E=30°，再由等腰三角形的性质，可得∠A=∠ABC=75°，即可求解．【详解】解：根据题意得：∠E=30°，∠DBE=60°，∵AC∥DE，∴∠ACB=∠E=30°，∵AC=BC，∴∠A=∠ABC=75°，∴∠ABD=∠ABC-∠DBE=15°，故答案为：15°【点拨】本题主要考查了等腰三角形的性质，平行线的性质，熟练掌握等腰三角形的性质，平行线的性质是解题的关键．13．5:6:7【分析】根据点B沿折叠，对应点B落在延长线上，得出垂直平分可求，可证，求出，利用角的和差，利用三角形内角和即可．【详解】解：∵点B沿折叠，对应点B落在延长线上，∴垂直平分，∴（垂直平分线性质）．∴，∴（外角性质），又∵D为的中点，∴，∴，∵，∴，∴，∴（三角形内角和），∴．故答案为：5:6:7．【点拨】本题考查折叠性质，线段垂直平分线性质，等腰三角形性质，三角形外角性质，三角形内角和，掌握折叠性质，线段垂直平分线性质，等腰三角形性质，三角形外角性质，三角形内角和是解题关键．14．【分析】根据等腰直角三角形的性质以及全等三角形的判定与性质，求出相应的线段的长度，进而表示点的坐标，由点的纵、横坐标之间的关系得出答案即可．【详解】解：如图所示，过点分别作轴于，轴于，过点作轴于，点B的横、纵坐标相等，设点，则，是含有角的三角板，，，，又，，在与中，，，，，设，则，点在第四象限，，又点，，，；故答案为：．【点拨】此题考查了等腰直角三角形的性质、全等三角形的判定与性质等知识，熟练掌握相关的性质与判定是解答此题的关键．15．2【分析】过点E作于H，由得，，再证明得即可解决问题．【详解】解：如图，过点E作于H，∵，，∴，∵，，∴，∵和都是等腰三角形，∴，，，在和中，，∴（AAS），∴，，在和中，，∴（AAS）．∴，∴．故答案为：2．【点拨】本题考查全等三角形的判定和性质、等腰直角三角形的性质，解题的关键是添加辅助线构造全等三角形，掌握添加辅助线的方法．16．或或【分析】分两种情况：①点在轴正半轴上时；②点在轴负半轴上时．然后再根据等腰三角形的性质与三角形内角和定理求解即可．【详解】解：分两种情况：①点在轴正半轴上时，，，以点P、O、N为顶点的三角形是等腰三角形，只能是顶角，这个等腰三角形顶角的度数为；②点在轴负半轴上时，，，以点P、O、N为顶点的三角形是等腰三角形，当为顶角时，这个等腰三角形顶角的度数为；当为底角时，这个等腰三角形顶角的度数为：；综上所述，这个等腰三角形顶角的度数为或或．故答案为：或或．【点拨】此题考查了等腰三角形的性质、三角形的内角和定理，灵活地进行分类讨论是解答此题的关键．17．【分析】作交的延长线于点H．先证≌，推出，，再证≌，推出，最后利用三角形面积公式即可求出的面积．【详解】解：如图，作交的延长线于点H．则，，是等腰直角三角形，，，，．在和中，∵，≌,，．是等腰直角三角形，，，．在和中，

∵，≌,．．故答案为：．【点拨】本题考查全等三角形判定与性质，等腰直角三角形的性质，三角形面积公式等，解题的关键是作辅助线构造全等三角形．18．/【分析】作，交的延长线于H，利用证明，得，，再证明，得，从而解决问题．【详解】解：作，交的延长线于H，∵，∴，∴，∴，∵，∴，∴，，∵，∴，∵，，∴，∴，∵，设，则，∴，，∴，∴，故答案为：．【点拨】本题主要考查了三角形全等的判定和性质，余角的性质，解题的关键是作出辅助线，构造全等三角形．19．见解析【分析】作边的垂直平分线l，与交于点P即可．【详解】解：如图，点P即为所求．【点拨】本题考查了等腰三角形的定义，垂直平分线的性质和作法，解题的关键是确定等腰三角形的底，从而找到对应的作图步骤．20．（1）；（2），，【分析】(1)利用等腰三角形的性质，设出未知数，列方程组即可求解；(2)根据已知，结合三角形的内角和定理即可求解．【详解】解：（1）设等腰的腰长为x，底边长为y，根据题意得，解得，∴等腰的三边的长为；解：（2）∵，，∴，，∵，∴，解得，∴，，∴的三个内角的度数为，，【点拨】本题考查了等腰三角形的性质，三角形的内角和定理，熟练掌握定理和性质是解题的关键．21．等腰三角形的定义；等式的性质；；【分析】根据等腰三角形的定义，三角形全等的判定方法，即可填空．【详解】因为等腰与等腰的顶角分别是和，所以，（等腰三角形的定义），因为，所以，（等式的性质），所以，（等量代换），在和中，所以【点拨】本题考查等腰三角形的定义和三角形全等的判定，解题的关键是掌握判定定理，进行求解．22．，，理由见解析【分析】求出