专题02 有理数的运算（知识串讲+热考题型+真题训练）（原卷版）

专题02有理数的运算【考点1】有理数的加减运算【考点2】倒数及运算【考点3】有理数乘除法运算【考点4】有理数的乘方【考点5】有理数混合运算【考点6】科学计数法和近似数的表示【考点7】有理数实际应用知识点1：加法法则⑴同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加。⑵绝对值不相等的异号两数相加，取绝对值较大的加数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值。互为相反数的两个数相加得0。⑶一个数同0相加，仍得这个数。知识点2：加法运算定律（1）加法交换律：两数相加，交换加数的位置，和不变。即a＋b=b＋a加法结合律：在有理数加法中，三个数相加，先把前两个数相加或者先把后两个数相加，和不变。即a＋b＋c=（a＋b）＋c=a＋（b＋c）知识点3：减法法则减法法则：减去一个数，等于加上这个数的相反数。即a－b=a＋（﹣）b知识点4：乘法法则（1）两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘。（2）任何数同0相乘，都得0。（3）多个不为0的数相乘，负因数的个数是偶数时，积为正数；负因数的个数是奇数时，积为负数，即先确定符号，再把绝对值相乘，绝对值的积就是积的绝对值。（4）多个数相乘，若其中有因数0，则积等于0；反之，若积为0，则至少有一个因数是0。知识点5：除法法则（1）除以一个（不等于0）的数，等于乘这个数的倒数。（2）两个数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除。（3）0除以任何一个不等于0的数，都得0。知识点6：倒数（1）定义：的两个数互为倒数。（2）性质：负数的倒数还是负数，正数的倒数是正数。注意：①0没有倒数；②倒数等于它本身的数为.知识点7：乘法运算定律（1）乘法交换律：两数相乘，交换因数的位置，积相等。即a×b＝ba（2）乘法结合律：三个数相乘，先把前两个数相乘，或者先把后两个数相乘，积相等。即a×b×c＝﹙a×b﹚×c＝a×﹙b×c﹚。（3）乘法分配律：一个数同两个数的和相乘，等于把这个数分别同这两个数相乘，在把积相加即a×﹙b＋c﹚＝a×b＋a×c。知识点8：乘方法则运算（1）正数的任何次幂都是正数（2）负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂是正数（3）0的任何正整数次幂都是0知识点9：混合运算（1）先乘方，再乘除，最后加减。（2）同级运算，从左到右的顺序进行。（3）如有括号，先算括号内的运算，按小括号，中括号，大括号依次进行。在进行有理数的运算时，要分两步走：先确定符号，再求值.知识点10：科学计数法1.科学记数法概念：把一个大于10的数表示成a×10n的形式（其中a是整数数位只有一位的数，n为正整数）。这种记数的方法叫做科学记数法。﹙1≤|a|＜10﹚注：一个n为数用科学记数法表示为a×10n－12.近似数的精确度：两种形式（1）精确到某位或精确到小数点后某位。（2）保留几个有效数字注：对于较大的数取近似数时，结果一般用科学记数法来表示例如：256000（精确到万位）的结果是2.6×105有效数字：从一个数的左边第一个非0数字起，到末尾数字止，所有的数字都是这个数的有效数。注：（1）用科学记数法表示的近似数的有效数字时，只看乘号前面的数字。例如：3.0×104的有效数字是3。（2）带有记数单位的近似数的有效数字，看记数单位前面的数字。例如：2.605万的有效数字是2，6，0，5。【考点1】有理数的加减运算1．（2023秋•淮北月考）计算24+（﹣23）的结果是（）A．﹣1 B．﹣47 C．1 D．472．（2023秋•碑林区校级月考）下列说法中，正确的是（）A．如果一个数的绝对值等于它本身，那么这个数一定是正数 B．两个数相加，和一定大于其中一个加数 C．有理数分为正有理数和负有理数 D．若a表示一个有理数，则﹣a不一定是负数3．（2023春•临沂期中）如图所示，直径为单位1的圆从原点沿着数轴无滑动的逆时针滚动一周到达A点，则A点表示的数是（）A．﹣2π B．﹣1+π C．﹣1+2π D．﹣π4．（2023•章贡区校级模拟）若|a|＝3，|b|＝1，且a，b同号，则a+b的值为（）A．4 B．﹣4 C．2或﹣2 D．4或﹣45．（2023秋•大连月考）再加上（）后，结果就是1．A． B． C． D．6．（2023秋•凤山县月考）把（﹣6）﹣（+4）+（﹣5）﹣（﹣2）写成省略加号的形式是（）A．﹣6+4﹣5+2 B．﹣6﹣4﹣5+2 C．﹣6﹣4+5+2 D．6﹣4﹣5+27．（2022秋•雁塔区校级期末）若|a|＝7，|b|＝5，且a+b＜0，则a﹣b的值是（）A．﹣2或﹣12 B．2或﹣12 C．﹣2或12 D．2或128．（2023秋•碑林区校级月考）某地今年2月6日至2月9日每天的最高气温与最低气温如下表：日期2月6日2月7日2月8日2月9日最高气温4℃5℃6℃3℃最低气温﹣3℃﹣1℃0℃﹣2℃其中温差最大的是（）A．2月6日 B．2月7日 C．2月8日 D．2月9日9．（2023秋•兴宁区校级月考）若甲地的海拔高度为﹣100米，乙地的海拔高度为100米．则甲乙两地海拔高度相差为（）A．0米 B．﹣200米 C．100米 D．200米10．（2022秋•梅里斯区期末）12月7日，梅里斯区白天最高温度是﹣10℃，夜间最低温度比白天最高温度低12℃，夜间最低温度可能为（）A．﹣22℃ B．﹣20℃ C．﹣18℃ D．22℃【考点2】倒数及运算11．（2022秋•深圳期末）﹣2022的倒数是（）A．﹣2022 B．2022 C． D．12．（2022秋•大丰区期末）若m，n互为倒数，则|mn﹣2|＝．13．（2023秋•大安市月考）若﹣0.5的倒数与m+4互为相反数，则m＝．14．（2023•九江一模）若m、n互为相反数，p、q互为倒数，则−2023m+−2023n的值是．15．（2023秋•琅琊区校级月考）计算：（1）﹣8+12﹣16﹣23；（2）．16．（2023秋•西华县月考）计算：（1）﹣105﹣（﹣112）+20+18；（2）13+（﹣22）﹣25﹣（﹣18）．17．（2023秋•海淀区校级月考）计算：（1）|﹣12|﹣（﹣6）+5﹣10；（2）．18．（2023秋•金沙县校级月考）阅读下面解答过程：计算：4．解：原式＝4+（﹣12）+（﹣）+6（第一步）＝（4）+（）+（﹣12）（第二步）＝11+1+（﹣12）（第三步）＝12+（﹣12）（第四步）＝0（第五步）（1）上面解题过程存在错误，是从第步开始错误的；（2）写出正确的解答过程．【考点3】有理数乘除法运算19．计算（﹣2）×（﹣3）的结果等于（）A．﹣5 B．5 C．﹣6 D．620．已知，有理数a，b，若ab＞0，a+b＜0，则下列各式成立的是（）A．a＜0，b＜0 B．a＞0，b＜0且|b|＜a C．a＜0，b＞0且|a|＜b D．a＞0，b＜0且|b|＞a21．（2023秋•松原月考）计算：．22．（2022秋•松江区期末）计算：4．23．（2023秋•东莞市月考）（﹣81）×÷（﹣16）．24．（2022秋•任城区期中）小刚与小明在玩数字游戏，现有5张写着不同数字的卡片（如图），小刚请小明按要求抽出卡片，完成下列各问题：（1）从中取出2张卡片，使这2张卡片上的数字乘积最大，如何抽取？最大值是多少？（2）从中取出2张卡片，使这2张卡片上的数字相除的商最小，如何抽取？最小值是多少？【考点4】有理数的乘方25．（2023•海陵区一模）﹣32的值等于（）A．﹣9 B．9 C．6 D．﹣626．（2023春•朝阳区校级期末）下列各组运算中，运算后结果相等的是（）A．43和34 B．﹣|5|3和（﹣5）3 C．﹣42和（﹣4）2 D．（﹣）2和（﹣）327．（2023•罗山县校级开学）某种细菌在培养过程中，每半小时分裂一次（由一个分裂成两个），若这种细菌由1个分裂成256个，则这个过程要经过（）A．3小时 B．3.5小时 C．4小时 D．4.5小时【考点5】有理数混合运算28.计算：﹣60×（+﹣﹣）29．计算：（1）；（2）．30．计算与解释．小杨同学做一道计算题的解题过程如下：解：原式＝①＝②＝6+4﹣6③＝4④根据小杨同学的计算过程，回答下列问题：（1）他的计算过程是否正确？（填写“正确”或“错误”）；（2）如有错误，他在第步出错了（只填写序号），并请写出正确的解答过程．31．计算：﹣14﹣|0.5﹣1|×2﹣（﹣3）2÷（﹣）．32．若a、b互为相反数，c、d互为倒数，m的绝对值为2．（1）直接写出a+b，cd，m的值；（2）求m+cd+的值．33．红红有5张写着以下数字的卡片，请你按要求抽出卡片，完成下列各题：（1）从中取出2张卡片，使这2张卡片上数字乘积最大，最大值是．（2）从中取出2张卡片，使这2张卡片数字相除商最小，最小值是．（3）从中取出除0以外的4张卡片，将这4个数字进行加、减、乘、除或乘方等混合运算，使结果为24，（注：每个数字只能用一次，如：23×[1﹣（﹣2）]），请另写出两种符合要求的运算式子．【考点6】科学计数法和近似数的表示34．2023年2月10号，神舟十五号航天员乘组圆满完成了他们的首次出舱任务，飞船的速度约为每小时28000千米，28000用科学记数法表示应为（）A．2.8×104 B．2.8×105 C．2.8×106 D．28×10335．用四舍五入法对0.6457取近似值（精确到百分位），正确的是（）A．0.6 B．0.65 C．0.646 D．0.64536．用四舍五入法取近似值为3.30，那么这个数精确到位．【考点7】有理数实际应用37．某仓库原有某种货物库存270千克，现规定运入为正，运出为负，一天中七次出入如表（单位：千克）第一次第二次第三次第四次第五次第六次第七次﹣30+82﹣19+102﹣96+34﹣28（1）在第四次纪录时库存最多．（2）求最终这一天库存增加或减少了多少？（3）若货物装卸费用为每千克0.3元，问这一天需装卸费用多少元？38．登山队员王叔叔以某营地为基准，向距该营地500米的顶峰冲击，由于天气骤变，攀岩过程中不得不几次下撤躲避强高空风记王叔叔向上爬升的海拔高度为正数，向下撤退时下降的海拔高度为负数，这次登山的行进过程记录如下：（单位：米）+260，﹣50，+90，﹣20，+80，﹣25，+105．（1）这次登山王叔叔有没有登上顶峰？若没有，最终距顶峰还有多少米？（2）这次登山过程中，每上升或下降1米，平均消耗8千卡的能量，求王叔叔这次登山过程中共消耗了多少能量？39．某果农把自家果园的草莓包装后再进行销售，原计划每天卖10箱，但由种种原因，实际每天的销售量与计划量相比有所增减，下表是某个星期的销售情况（超额记为正，不足记为负，单位：箱）星期一二三四五六日与计划量的差值+4﹣3﹣5+7﹣8+21﹣6（1）根据表格可知，销售量最多的一天比最少的一天多卖出箱；（2）本周实际销售总量超过或不足计划数量多少箱？请通过计算说明理由．（3）若每箱草莓的售价为60元，已知护理果园每天的开支为20元，卖出每箱草莓需支出包装费5元，那么该果农本周共获利多少元？40．股民李明星星期五买进某公司的股票1000股，每股16.8元，下表是第二周一至周五每日该股票的涨跌情况（单位：元）星期一二三四五每股涨跌+0.4+0.45﹣0.1﹣0.25﹣0.4（1）星期三收盘时，每股是多少元？（2）本周内最高价每股多少元？最低价每股多少元？（3）若买进股票和卖出股票都要交0.2%的各种费用，现在小明在星期五收盘前将全部股票卖出，他的收益情况如何？41．某自行车厂计划每天平均生产100辆自行车，而实际产量与计划产量有出入．下表记录了某周五个工作日每天实际产量情况（超出计划产量记为正，少于计划产量记为负）．星期一二三四五实际生产量+5﹣2﹣4+13﹣3（1）本周三生产了辆自行车．（2）产量最多的一天比产量最少的一天多生产了辆．（3）该厂实行每日计件工作制，每生产一辆车可得60元，若超额完成任务，则超过部分每辆另奖15元，少生产一辆扣20元，那么该厂工人这一周的工资总额是多少元？42．在今年的“十一”黄金周的7天长假中，某风景区每天旅游人数变化如下表（正号表示人数比前一天多，负号表示比前一天少）日期1日2日3日4日5日6日7日人数变化（单位：万人）+1.8﹣0.6+0.2﹣0.7﹣1.3+0.5﹣2.4已知知9月30日的游客人数为4.2万人，回答下列问题：（1）10月4日的游客人数是多少万人？（2）7天中游客人数最多的一天比最少的一天多几万人？1．（2023•皇姑区模拟）2022的倒数是（）A．﹣2022 B． C．2022 D．2．（2023•柳州三模）国产C919飞机，全称COMAC919，是我国按照国际民航规章自行研制、具有自主知识产权的大型喷气式民用飞机，座级158﹣168座，最大航程达5555000m．数据5555000用科学记数法表示为（）A．0.5555×107 B．5.555×106 C．55.55×105 D．5555×1033．（2022秋•衡山县期末）下列各组数中，互为相反数的一组是（）A．﹣（﹣9）与+（+9） B．﹣（+9）与﹣|﹣9| C．﹣|﹣9|与+（﹣9） D．﹣32与（﹣3）24．（2022秋•武冈市期末）对于有理数x，y，若xy＜0，则的值是（）A．﹣3 B．﹣1 C．1 D．35．（2023•常德）下面算法正确的是（）A．（﹣5）+9＝﹣（9﹣5） B．7﹣（﹣10）＝7﹣10 C．（﹣5）×0＝﹣5 D．（﹣8）÷（﹣4）＝8÷46．（2023•青龙县模拟）将﹣3﹣（+6）﹣（﹣5）+（﹣2）写成省略括号的和的形式是（）A．﹣3+6﹣5﹣2 B．﹣3﹣6+5﹣2 C．﹣3﹣6﹣5﹣2 D．﹣3﹣6+5+27．（2022秋•高邑县期末）计算的结果是（）A． B． C．﹣1 D．18．（2022秋•隆化县期末）若|a|＝4，|b|＝2，且a+b的绝对值与它的相反数相等，则a+b的值是（）A．﹣2 B．﹣6 C．﹣2或﹣6 D．2或69．（2023•红桥区三模）计算的结果等于（）A．﹣9 B．9 C．﹣1 D．110．（2022秋•亭湖区期末）将34.945取近似数精确到十分位，正确的是（）A．34.9 B．35.0 C．35 D．35.0511．（2022秋•博兴县期末）体育课上，全班男同学进行了100米测验，合格成绩为15秒，如表是某小组10名男生的成绩记录，其中“+”表示成绩大于15秒．这个小组男生的合格率为．﹣0.8+1+0.20﹣0.7+0.6﹣0.4+0.1﹣0.5﹣0.312．（2022秋•海口期末）绝对值大于1且小于4的所有负整数之和等于．13．（2022秋•西安期末）小明写作业时不慎将墨水滴在数轴上，根据图中的数值，判定墨迹盖住部分的整数的和是．14．（2022秋•通川区期末）若|x﹣2|+（y+3）2＝0，则（x+y）2023＝．15．（2022秋•凉州区校级期末）已知a、b互为相反数，c、d互为倒数，m的绝对值为4，则a+b+﹣m的值为．16．（2022秋•泗水县期末）计算：＝．17．（2023春•高邮市期中）观察以下一系列等式：①31﹣30＝（3﹣1）×30＝2×30；②32﹣31＝（3﹣1）×31＝2×31；③33﹣32＝（3﹣1）×32＝2×32；④34﹣33＝（3﹣1）×33＝2×33；……利用上述规律计算：30+31+32+…+3100＝．18．（2022秋•双阳区期末）计算：﹣14﹣×[2﹣（﹣3）2]．19．（2022秋•南昌期末）计算：（1）；（2）．20．（2022秋•罗山县期末）王先生到市行政中心大楼办事，假定乘电梯向上一楼记作+1，向下一楼记作﹣1，王先生从1楼出发，电梯上下楼层依次记录如下（单位：层）：+6，﹣3，+10，﹣8，+12，﹣7，﹣10．（1）请你通过计算说明王先生最后是否回到出发点1楼．（2）该中心大楼每层高3m，电梯每向上或下1m需要耗电0.2度，根据王先生现在所处位置，请你算算，他办事时电梯需要耗电多少度？21．（2022秋•港南区期末）若定义一种新的运算“*”，规定有理数a*b＝4ab，如2*3＝4×2×3＝24．（1）求3*（﹣4）的值；（2）求（﹣2）*（6*3）的值．22．（2022秋•汝阳县期末）有16筐白菜，以每筐30千克为标准，超过或不足的分别用正、负来表示，记录如下：与标准质量的差（单位：千克）﹣3﹣2﹣1012.5筐数142324（1）16筐白菜中，最重的一筐比最轻的一筐要重多少千克？（2）与标准质量比较，16筐白菜总计超过或不足多少千克？（3）若白菜每千克售