高考数学二轮复习 专题8 平面向量（含解析）试题

一、选择题1．设x∈R，向量a＝(x,1)，b＝(1，－2)，且a⊥b，则|a＋b|＝()A.eq\r(5) B.eq\r(10)C．2eq\r(5) D．10[答案]B[解析]本题考查向量的模及垂直问题．∵a⊥b，∴a·b＝0，∴x－2＝0，∴x＝2，∴a＋b＝(3，－1)，|a＋b|＝eq\r(10).[方法点拨]1.平面向量的平行与垂直是高考命题的主要方向之一，此类题常见命题形式是：①考查坐标表示；②与三角函数、三角形、数列、解析几何等结合，解题时直接运用向量有关知识列出表达式，再依据相关知识及运用相关方法加以解决．2．点共线和向量共线，直线平行与向量平行既有联系又有区别．3．注意垂直与平行的坐标表示不要混淆．2．(文)(2014·新课标Ⅱ理，3)设向量a、b满足|a＋b|＝eq\r(10)，|a－b|＝eq\r(6)，则a·b＝()A．1 B．2C．3 D．5[答案]A[解析]本题考查平面向量的模，平面向量的数量积．∵|a＋b|＝eq\r(10)，|a－b|＝eq\r(6)，∴a2＋b2＋2a·b＝10，a2＋b2－2a·b＝6.联立方程解得ab＝1，故选A.(理)设向量a，b满足|a|＝2，a·b＝eq\f(3,2)，|a＋b|＝2eq\r(2)，则|b|等于()A.eq\f(1,2) B．1C.eq\f(3,2) D．2[答案]B[解析]∵|a＋b|2＝|a|2＋2a·b＋|b|2＝4＋3＋|b|2＝8，∴|b3．(文)(2015·四川文，2)设向量a＝(2,4)与向量b＝(x,6)共线，则实数x＝()A．2 B．3C．4 D．6[答案]B[解析]由向量平行的性质，有24＝x6，解得x＝3，选B.[方法点拨]若a与b都是非零向量λμ≠0，则λa＋μb＝0⇔a与b共线；若a与b不共线，则λa＋μb＝0⇔λ＝μ＝0，a＝(x1，y1)与b＝(x2，y2)共线⇔x1y2－x2y1＝0⇔eq\f(x1,y1)＝eq\f(x2,y2)(y1y2≠0)．(理)(2015·新课标Ⅰ文，2)已知点A(0,1)，B(3,2)，向量eq\o(AC,\s\up6(→))＝(－4，－3)，则向量eq\o(BC,\s\up6(→))＝()A．(－7，－4) B．(7,4)C．(－1,4) D．(1,4)[答案]A[解析]本题主要考查平面向量的线性运算．eq\o(BC,\s\up6(→))＝eq\o(BA,\s\up6(→))＋eq\o(AC,\s\up6(→))＝(－3，－1)＋(－4，－3)＝(－7，－4)．故本题正确答案为A.4．(2015·北京文，6)设a，b是非零向量，“a·b＝|a||b|”是“a∥b”的()A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件[答案]A[解析]考查充分必要条件、向量共线．a·b＝|a|·|b|cos〈a，b〉，由已知得cos〈a，b〉＝1，即〈a，b〉＝0，a∥b.而当a∥b时，〈a，b〉还可能是π，此时a·b＝－|a||b|，故“a·b＝|a||b|”是“a∥b”的充分而不必要条件．5．(文)如果不共线向量a、b满足2|a|＝|b|，那么向量2a＋b与2a－A.eq\f(π,6) B.eq\f(π,3)C.eq\f(π,2) D.eq\f(2π,3)[答案]C[解析]∵(2a＋b)·(2a－b)＝4|a|2－|b|∴(2a＋b)⊥(2a－b)，∴选C.(理)若两个非零向量a、b满足|a＋b|＝|a－b|＝2|a|，则向量a＋b与a－b的夹角是()A.eq\f(π,6) B.eq\f(π,3)C.eq\f(2π,3) D.eq\f(5π,6)[答案]C[解析]解法1：由条件可知，a·b＝0，|b|＝eq\r(3)|a|，则cosθ＝eq\f(a＋b·a－b,|a＋b|·|a－b|)＝eq\f(a2－b2,2|a|2)＝eq\f(－2a2,4a2)＝－eq\f(1,2)⇒θ＝eq\f(2π,3).解法2：由向量运算的几何意义，作图可求得a＋b与a－b的夹角为eq\f(2π,3).[方法点拨]两向量夹角的范围是[0，π]，a·b>0与〈a，b〉为锐角不等价；a·b<0与〈a，b〉为钝角不等价．6．(2015·广东文，9)在平面直角坐标系xOy中，已知四边形ABCD是平行四边形，eq\o(AB,\s\up6(→))＝(1，－2)，eq\o(AD,\s\up6(→))＝(2,1)，则eq\o(AD,\s\up6(→))·eq\o(AC,\s\up6(→))＝()A．5 B．4C．3 D．2[答案]A[解析]考查：1.平面向量的加法运算；2.平面向量数量积的坐标运算．因为四边形ABCD是平行四边形，所以eq\o(AC,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AD,\s\up6(→))＝(1，－2)＋(2,1)＝(3，－1)，所以eq\o(AD,\s\up6(→))·eq\o(AC,\s\up6(→))＝2×3＋1×(－1)＝5，故选A.7．(文)如图，正方形ABCD中，点E是DC的中点，点F是BC的一个三等分点，那么eq\o(EF,\s\up6(→))＝()A.eq\f(1,2)eq\o(AB,\s\up6(→))－eq\f(1,3)eq\o(AD,\s\up6(→)) B.eq\f(1,4)eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(1,2)eq\o(AD,\s\up6(→))C.eq\f(1,3)eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(1,2)eq\o(DA,\s\up6(→)) D.eq\f(1,2)eq\o(AB,\s\up6(→))－eq\f(2,3)eq\o(AD,\s\up6(→))[答案]D[解析]eq\o(EF,\s\up6(→))＝eq\o(AF,\s\up6(→))－eq\o(AE,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(1,3)eq\o(AD,\s\up6(→))－(eq\o(AD,\s\up6(→))＋eq\f(1,2)eq\o(AB,\s\up6(→)))＝eq\f(1,2)eq\o(AB,\s\up6(→))－eq\f(2,3)eq\o(AD,\s\up6(→)).(理)已知平面上不共线的四点O，A，B，C.若eq\o(OA,\s\up6(→))＋2eq\o(OC,\s\up6(→))＝3eq\o(OB,\s\up6(→))，则eq\f(|\o(BC,\s\up6(→))|,|\o(AB,\s\up6(→))|)的值为()A.eq\f(1,2) B.eq\f(1,3)C.eq\f(1,4) D.eq\f(1,6)[答案]A[解析]∵eq\o(OA,\s\up6(→))＋2eq\o(OC,\s\up6(→))＝3eq\o(OB,\s\up6(→))，∴eq\o(OA,\s\up6(→))－eq\o(OC,\s\up6(→))＝3(eq\o(OB,\s\up6(→))－eq\o(OC,\s\up6(→)))，∴eq\o(CA,\s\up6(→))＝3eq\o(CB,\s\up6(→))，∴eq\o(BA,\s\up6(→))＝2eq\o(CB,\s\up6(→))，∴|eq\o(BA,\s\up6(→))|＝2|eq\o(CB,\s\up6(→))|，∴eq\f(|\o(BC,\s\up6(→))|,|\o(AB,\s\up6(→))|)＝eq\f(1,2)，故选A.8．(文)(2014·新课标Ⅰ理，10)已知抛物线C：y2＝8x的焦点为F，准线为l，P是l上一点，Q是直线PF与C的一个交点，若eq\o(FP,\s\up6(→))＝4eq\o(FQ,\s\up6(→))，则|QF|＝()A.eq\f(7,2) B.eq\f(5,2)C．3 D．2[答案]C[解析]抛物线的焦点坐标是F(2,0)，过点Q作抛物线的准线的垂线，垂足是A，则|QA|＝|QF|，抛物线的准线与x轴的交点为G，因为eq\o(FP,\s\up6(→))＝4eq\o(FQ,\s\up6(→))，∴eq\f(|\o(PQ,\s\up6(→))|,|\o(PF,\s\up6(→))|)＝eq\f(3,4)，由于三角形QAP与三角形FGP相似，所以可得eq\f(|QA|,|FG|)＝eq\f(|\o(PQ,\s\up6(→))|,|\o(PF,\s\up6(→))|)＝eq\f(3,4)，所以|QA|＝3，所以|QF|＝3.(理)(2014·中原名校第二次联考)在三角形ABC中，∠A＝60°，∠A的平分线交BC于D，AB＝4，eq\o(AD,\s\up6(→))＝eq\f(1,4)eq\o(AC,\s\up6(→))＋λeq\o(AB,\s\up6(→))(λ∈R)，则AD的长为()A．1 B.eq\r(3)C．3 D．3eq\r(3)[答案]D[解析]在AC上取E点，在AB上取F点，使eq\o(AE,\s\up6(→))＝eq\f(1,4)eq\o(AC,\s\up6(→))，eq\o(AF,\s\up6(→))＝λeq\o(AB,\s\up6(→))，∵eq\o(AD,\s\up6(→))＝eq\f(1,4)eq\o(AC,\s\up6(→))＋λeq\o(AB,\s\up6(→))＝eq\o(AE,\s\up6(→))＋eq\o(AF,\s\up6(→))，∴DE∥AB，DF∥AC，∴eq\f(AF,BF)＝eq\f(CD,BD)＝eq\f(CE,AE)＝3，∵AF＋BF＝AB＝4，∴BF＝1，AF＝3，在△ADF中，AF＝3，DF＝3，∠DFA＝120°，∴AD＝3eq\r(3).9．(文)(2014·湖南文，10)在平面直角坐标系中，O为原点，A(－1,0)，B(0，eq\r(3))，C(3,0)，动点D满足|eq\o(CD,\s\up6(→))|＝1，则|eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\o(OB,\s\up6(→))＋eq\o(OD,\s\up6(→))|的取值范围是()A．[4,6] B．[eq\r(19)－1，eq\r(19)＋1]C．[2eq\r(3)，2eq\r(7)] D．[eq\r(7)－1，eq\r(7)＋1][答案]D[解析]考查了向量的坐标运算，圆的有关知识．设D(x，y)，则由|eq\o(CD,\s\up6(→))|＝1，得(x－3)2＋y2＝1，而|eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\o(OB,\s\up6(→))＋eq\o(OD,\s\up6(→))|＝eq\r(x－12＋y＋\r(3)2)表示点D(x，y)到点(1，－eq\r(3))的距离，(x－3)2＋y2＝1表示以(3,0)为圆心，1为半径的圆，点(1，－eq\r(3))与点(3,0)的距离为eq\r(7)，∴|eq\o(CA,\s\up6(→))＋eq\o(OB,\s\up6(→))＋eq\o(OD,\s\up6(→))|的取值范围为[eq\r(7)－1，eq\r(7)＋1]．(理)(2015·湖南文，9)已知点A，B，C在圆x2＋y2＝1上运动，且AB⊥BC.若点P的坐标为(2,0)，则|Peq\o(A,\s\up6(→))＋Peq\o(B,\s\up6(→))＋Peq\o(C,\s\up6(→))|的最大值为()A．6 B．7C．8 D．9[答案]B[解析]考查直线与圆的位置关系、平面向量的运算性质．由题根据所给条件不难得到该圆x2＋y2＝1是以AC为直径的圆，然后根据所给条件结合向量的几何关系不难得到|PA→＋PB→＋PC→|＝|2PO→＋PB→|，又eq\o(PB,\s\up6(→))＝eq\o(OB,\s\up6(→))－eq\o(OP,\s\up6(→))，∴|eq\o(PA,\s\up6(→))＋eq\o(PB,\s\up6(→))＋eq\o(PC,\s\up6(→))|＝|2eq\o(PO,\s\up6(→))＋eq\o(OB,\s\up6(→))－eq\o(OP,\s\up6(→))|＝|eq\o(OB,\s\up6(→))－3eq\o(OP,\s\up6(→))|＝eq\r(\a\vs4\al(|\o(OB,\s\up6(→))|2＋9|\o(OP,\s\up6(→))|2－6\o(OB,\s\up6(→))·\o(OP,\s\up6(→))))＝eq\r(1＋9×4－12cos∠POB)＝eq\r(37－12cos∠POB)≤7，当且仅当∠POB＝180°时取等号，故最大值为7，选B.10．(文)已知菱形ABCD的边长为2，∠BAD＝120°，点E、F分别在边BC、DC上，eq\o(BE,\s\up6(→))＝λeq\o(BC,\s\up6(→))，eq\o(DF,\s\up6(→))＝μeq\o(DC,\s\up6(→)).若eq\o(AE,\s\up6(→))·eq\o(AF,\s\up6(→))＝1，eq\o(CE,\s\up6(→))·eq\o(CF,\s\up6(→))＝－eq\f(2,3)，则λ＋μ＝()A.eq\f(1,2) B.eq\f(2,3)C.eq\f(5,6) D.eq\f(7,12)[答案]C[解析]∵eq\o(AE,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(BE,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→))＋λeq\o(BC,\s\up6(→))，eq\o(AF,\s\up6(→))＝eq\o(AD,\s\up6(→))＋eq\o(DF,\s\up6(→))＝eq\o(AD,\s\up6(→))＋μeq\o(DC,\s\up6(→))，∴eq\o(AE,\s\up6(→))·eq\o(AF,\s\up6(→))＝(eq\o(AB,\s\up6(→))＋λeq\o(BC,\s\up6(→)))·(eq\o(AD,\s\up6(→))＋μeq\o(DC,\s\up6(→)))＝eq\o(AB,\s\up6(→))·eq\o(AD,\s\up6(→))＋λeq\o(AD,\s\up6(→))·eq\o(BC,\s\up6(→))＋μeq\o(AB,\s\up6(→))·eq\o(DC,\s\up6(→))＋λμeq\o(BC,\s\up6(→))·eq\o(DC,\s\up6(→))＝2×2×cos120°＋4λ＋4μ＋λμ(2×2×cos120°)＝－2＋4(λ＋μ)－2λμ＝1，①eq\o(CE,\s\up6(→))·eq\o(CF,\s\up6(→))＝(1－λ)eq\o(CB,\s\up6(→))·(1－μ)eq\o(CD,\s\up6(→))＝－2(1－λ)(1－μ)＝－eq\f(2,3)，∴λμ－(λ＋μ)＝－eq\f(2,3).②解①②组成的方程组得λ＋μ＝eq\f(5,6).[方法点拨]1.熟记平面向量的数量积、夹角、模的定义及性质是解答求模与夹角问题的基础．2．充分利用平面向量的几何运算法则、共线向量定理、平面向量数量积的运算法则、平面向量基本定理，探究解题思路是解决平面向量问题的保证．(理)(2015·江西质检)设F1，F2分别是双曲线eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的左、右焦点，若双曲线右支上存在一点P，使(eq\o(OP,\s\up6(→))＋eq\o(OF2,\s\up6(→)))·eq\o(F2P,\s\up6(→))＝0，O为坐标原点，且|eq\o(PF1,\s\up6(→))|＝2|eq\o(PF2,\s\up6(→))|，则双曲线的离心率为()A.eq\r(2) B.eq\r(3)C．2 D.eq\r(5)[答案]D[解析]由(eq\o(OP,\s\up6(→))＋eq\o(OF2,\s\up6(→)))·eq\o(F2P,\s\up6(→))＝0，得(eq\o(OP,\s\up6(→))＋eq\o(OF2,\s\up6(→)))·(eq\o(OP,\s\up6(→))－eq\o(OF2,\s\up6(→)))＝0，即|eq\o(OP,\s\up6(→))|2－|eq\o(OF2,\s\up6(→))|2＝0，所以|eq\o(OP,\s\up6(→))|＝|eq\o(OF2,\s\up6(→))|＝c，所以△PF1F2中，边F1F2上的中线等于|F1F2|的一半，则PF1⊥PF2，即|PF1|2＋|PF2|2＝4c2，又|eq\o(PF1,\s\up6(→))|＝2|PF2|，解得|PF1|＝eq\f(4,\r(5))c，|PF2|＝eq\f(2,\r(5))c.所以|PF1|－|PF2|＝eq\f(2,\r(5))c＝2a，所以e＝eq\f(c,a)＝eq\r(5).二、填空题11．(文)在边长为1的正三角形ABC中，设eq\o(BC,\s\up6(→))＝2eq\o(BD,\s\up6(→))，eq\o(CA,\s\up6(→))＝3eq\o(CE,\s\up6(→))，则eq\o(AD,\s\up6(→))·eq\o(BE,\s\up6(→))＝________.[答案]－eq\f(1,4)[解析]如图，令eq\o(AB,\s\up6(→))＝a，eq\o(AC,\s\up6(→))＝b，eq\o(AD,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)(a＋b)，eq\o(BE,\s\up6(→))＝eq\o(BC,\s\up6(→))＋eq\o(CE,\s\up6(→))＝(b－a)＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(b,3)))＝eq\f(2,3)b－a，∴eq\o(AD,\s\up6(→))·eq\o(BE,\s\up6(→))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a,2)＋\f(b,2)))·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)b－a))＝eq\f(1,3)a·b－eq\f(|a|2,2)＋eq\f(|b|2,3)－eq\f(1,2)a·b＝eq\f(|b|2,3)－eq\f(|a|2,2)－eq\f(1,6)a·b＝eq\f(1,3)－eq\f(1,2)－eq\f(1,6)×eq\f(1,2)＝－eq\f(1,4).(理)(2015·天津文，13)在等腰梯形ABCD中，已知AB∥DC，AB＝2，BC＝1，∠ABC＝60°.点E和F分别在线段BC和DC上，且eq\o(BE,\s\up6(→))＝eq\f(2,3)eq\o(BC,\s\up6(→))，eq\o(DF,\s\up6(→))＝eq\f(1,6)eq\o(DC,\s\up6(→))，则eq\o(AE,\s\up6(→))·eq\o(AF,\s\up6(→))的值为________．[答案]eq\f(29,18)[解析]考查平面向量的数量积．如图，O为AB的中点，设Aeq\o(O,\s\up6(→))＝a，Aeq\o(D,\s\up6(→))＝b，则|a|＝|b|＝1且a·b＝eq\f(1,2)，根据梯形的性质可得Deq\o(C,\s\up6(→))＝Aeq\o(O,\s\up6(→))＝a，Beq\o(C,\s\up6(→))＝Oeq\o(D,\s\up6(→))＝b－a.所以Aeq\o(E,\s\up6(→))＝Aeq\o(B,\s\up6(→))＋Beq\o(E,\s\up6(→))＝Aeq\o(B,\s\up6(→))＋eq\f(2,3)Beq\o(C,\s\up6(→))＝2a＋eq\f(2,3)(b－a)＝eq\f(4,3)a＋eq\f(2,3)b.Aeq\o(F,\s\up6(→))＝Aeq\o(D,\s\up6(→))＋Deq\o(F,\s\up6(→))＝Aeq\o(D,\s\up6(→))＋eq\f(1,6)Deq\o(C,\s\up6(→))＝eq\f(1,6)a＋b.所以Aeq\o(E,\s\up6(→))·Aeq\o(F,\s\up6(→))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(4,3)a＋\f(2,3)b))·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,6)a＋b))＝eq\f(2,9)a2＋eq\f(13,9)a·b＋eq\f(2,3)b2＝eq\f(29,18).12．(文)已知单位向量e1与e2的夹角为α，且cosα＝eq\f(1,3)，向量a＝3e1－2e2与b＝3e1－e2的夹角为β，则cosβ＝________.[答案]eq\f(2\r(2),3)[解析]本题考查平面向量数量积的性质及运算．依题意e1·e2＝|e1||e2|cosα＝eq\f(1,3)，∴|a|2＝9eeq\o\al(2,1)－12e1·e2＋4eeq\o\al(2,2)＝9，∴|a|＝3，|b|2＝9eeq\o\al(2,1)－6e1·e2＋eeq\o\al(2,2)＝8，a·b＝9eeq\o\al(2,1)－9e1·e2＋2eeq\o\al(2,2)＝8，∴|b|＝2eq\r(2)，cosβ＝eq\f(a·b,|a|·|b|)＝eq\f(8,3×2\r(2))＝eq\f(2\r(2),3).(理)如图所示，A、B、C是圆O上的三点，线段CO的延长线与线段BA的延长线交于圆O外的点D，若eq\o(OC,\s\up6(→))＝meq\o(OA,\s\up6(→))＋neq\o(OB,\s\up6(→))，则m＋n的取值范围是________．[答案](－1,0)[解析]根据题意知，线段CO的延长线与线段BA的延长线的交点为D，则eq\o(OD,\s\up6(→))＝teq\o(OC,\s\up6(→)).∵D在圆外，∴t<－1，又D、A、B共线，∴存在λ、μ，使得eq\o(OD,\s\up6(→))＝λeq\o(OA,\s\up6(→))＋μeq\o(OB,\s\up6(→))，且λ＋μ＝1，又由已知，eq\o(OC,\s\up6(→))＝meq\o(OA,\s\up6(→))＋neq\o(OB,\s\up6(→))，∴tmeq\o(OA,\s\up6(→))＋tneq\o(OB,\s\up6(→))＝λeq\o(OA,\s\up6(→))＋μeq\o(OB,\s\up6(→))，∴m＋n＝eq\f(1,t)，故m＋n∈(－1,0)．13．(2015·安徽文，15)△ABC是边长为2的等边三角形，已知向量a，b满足eq\o(AB,\s\up6(→))＝2a，eq\o(AC,\s\up6(→))＝2a＋b，则下列结论中正确的是________．(写出所有正确结论的编号)①a为单位向量；②b为单位向量；③a⊥b;④b∥eq\o(BC,\s\up6(→))；⑤(4a＋b)⊥eq\o(BC,\s\up6(→)).[答案]①④⑤[解析]考查1.平面向量的基本概念；2.平面向量的性质．∵等边三角形ABC的边长为2，AB→＝2a，∴|AB→|＝2|a|＝2⇒|a|＝1，故①正确；∵AC→＝AB→＋BC→＝2a＋BC→，∴BC→＝b⇒|b|＝2，故②错误，④正确；由于AB→＝2a，BC→＝b⇒a与b夹角为120°，故③错误；又∵(4a＋b)·BC→＝(4a＋b)·b＝4a·b＋|b|2＝4×1×2×(－eq\f(1,2))＋4＝0，∴(4a＋b)⊥BC→，故⑤正确，因此，正确的编号是①④⑤.14．(文)如图，在四边形ABCD中，AC和BD相交于点O，设eq\o(AD,\s\up6(→))＝a，eq\o(AB,\s\up6(→))＝b，若eq\o(AB,\s\up6(→))＝2eq\o(DC,\s\up6(→))，则eq\o(AO,\s\up6(→))＝________(用向量a和b表示)．[答案]eq\f(2,3)a＋eq\f(1,3)b[解析]据题意可得eq\o(AC,\s\up6(→))＝eq\o(AD,\s\up6(→))＋eq\o(DC,\s\up6(→))＝eq\o(AD,\s\up6(→))＋eq\f(1,2)eq\o(AB,\s\up6(→))＝a＋eq\f(1,2)b，又由eq\o(AB,\s\up6(→))＝2eq\o(DC,\s\up6(→))，可得eq\o(AO,\s\up6(→))＝eq\f(2,3)eq\o(AC,\s\up6(→))＝eq\f(2,3)(a＋eq\f(1,2)b)＝eq\f(2,3)a＋eq\f(1,3)b.(理)已知O为坐标原点，点M(3,2)，若N(x，y)满足不等式组eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x≥1，,y≥0，,x＋y≤4.))则eq\o(OM,\s\up6(→))·eq\o(ON,\s\up6(→))的最大值为________．[答案]12[解析]据不等式组得可行域如图所示：由于z＝eq\o(OM,\s\up6(→))·eq\o(ON,\s\up6(→))＝3x＋2y，结合图形进行平移可得点A(4,0)为目标函数取得最大值的最优解．即zmax＝3×4＋2×0＝12.三、解答题15．(文)已知向量a＝(cosθ，sinθ)，θ∈[0，π]，向量b＝(eq\r(3)，－1)．(1)若a⊥b，求θ的值；(2)若|2a－b|<m恒成立，求实数m[解析](1)∵a⊥b，∴eq\r(3)cosθ－sinθ＝0，得tanθ＝eq\r(3).又θ∈[0，π]，∴θ＝eq\f(π,3).(2)∵2a－b＝(2cosθ－eq\r(3)，2sinθ＋1)，∴|2a－b|2＝(2cosθ－eq\r(3))2＋(2sinθ＋1)2＝8＋8(eq\f(1,2)sinθ－eq\f(\r(3),2)cosθ)＝8＋8sin(θ－eq\f(π,3))．又θ∈[0，π]，∴θ－eq\f(π,3)∈[－eq\f(π,3)，eq\f(2π,3)]，∴sin(θ－eq\f(π,3))∈[－eq\f(\r(3),2)，1]，∴|2a－b|2的最大值为16，∴|2a－b|的最大值为4.又|2a－b|<m恒成立，∴m>4.(理)在△ABC中，角A、B、C所对的对边长分别为a、b、c.(1)设向量x＝(sinB，sinC)，向量y＝(cosB，cosC)，向量z＝(cosB，－cosC)，若z∥(x＋y)，求tanB＋tanC的值；(2)若sinAcosC＋3cosAsinC＝0，证明：a2－c2＝2b2.[解析](1)x＋y＝(sinB＋cosB，sinC＋cosC)，∵z∥(x＋y)，∴cosB(sinC＋cosC)＋cosC(sinB＋cosB)＝0，整理得tanC＋tanB＋2＝0，∴tanC＋tanB＝－2.(2)证明：∵sinAcosC＋3cosAsinC＝0，∴由正、余弦定理得：a·eq\f(a2＋b2－c2,2ab)＋3×eq\f(b2＋c2－a2,2bc)×c＝0，∴a2－c2＝2b2.16．(文)已知向量a＝(sineq\f(ωx,2)，eq\f(1,2))，b＝(coseq\f(ωx,2)，－eq\f(1,2))(ω>0，x≥0)，函数f(x)＝a·b的第n(n∈N*)个零点记作xn(从左向右依次计数)，则所有xn组成数列{xn}．(1)若ω＝eq\f(1,2)，求x2；(2)若函数f(x)的最小正周期为π，求数列{xn}的前100项和S100.[解析]f(x)＝a·b＝sineq\f(ωx,2)coseq\f(ωx,2)－eq\f(1,4)＝eq\f(1,2)sinωx－eq\f(1,4).(1)当ω＝eq\f(1,2)时，f(x)＝eq\f(1,2)sin(eq\f(1,2)x)－eq\f(1,4)，令f(x)＝0，得x＝4kπ＋eq\f(π,3)或x＝4kπ＋eq\f(5π,3)(k∈Z，x≥0)，取k＝0，得x2＝eq\f(5π,3).(2)因为f(x)最小正周期为π，则ω＝2，故f(x)＝eq\f(1,2)sin2x－eq\f(1,4)，令f(x)＝0得x＝kπ＋eq\f(π,12)或x＝kπ＋eq\f(5π,12)(k∈Z，x≥0)，所以S100＝eq\i\su(k＝0,49,[)(kπ＋eq\f(π,12))＋(kπ＋eq\f(5π,12))]＝eq\i\su(k＝0,49,)(2kπ＋eq\f(π,2))＝2π(0＋1＋2＋…＋49)＋50×eq\f(π,2)＝50×49π＋25π＝2475π.[方法点拨]1.不含坐标的向量综合问题，解答时，按向量有关概念、性质、法则等通过运算解决，若条件方便建立坐标系，则建立坐标系用坐标运算解决，给出坐标的向量综合问题，直接按向量各概念、法则的坐标表示将向量问题转化为代数问题处理．2．向量与其他知识交汇的题目，先按向量的概念、性质、法则脱去向量外衣，转化为相应的三角、数列、不等式、函数、解析几何等问题，再按相应的知识选取解答方法．(理)(2015·太原市一模)已知椭圆eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)的左、右焦点分别是点F1、F2，其离心率e＝eq\f(1,2)，点P为椭圆上的一个动点，△PF1F2内切圆面积的最大值为eq\f(4π,3).(1)求a，b的值；(2)若A、B、C、D是椭圆上不重合的四个点，且满足eq\o(F1A,\s\up6(→))∥eq\o(F1C,\s\up6(→))，eq\o(F1B,\s\up6(→))∥eq\o(F1D,\s\up6(→))，eq\o(AC,\s\up6(→))·eq\o(BD,\s\up6(→))＝0，求|eq\o(AC,\s\up6(→))|＋|eq