第四节 数学概念的学习

302520151051978198519911993图2-19(让学生体会图象刻画变量之间的对应关系，关注和S的取值范围)例“八五”计划以来，我国城镇居民恩格尔系数变化情况(如表2-20所示)表2-20时间（年）19911992199319941995199619971998199920002001城镇居民家庭恩格尔系数（%）53．852．950．149．949．948．646．444．541．939．237．9解释恩格尔系数：恩格尔系数=，恩格尔系数越低，代表生活质量越高．师：恩格尔系数与时间之间的关系是否和前两个实例中的两个变量之间的关系相似?如何用集合与对应的语言来描述这个关系?生：相似，在时间的变化范围内，任给一个的值，按照给定的表格，都有惟一确定的恩格尔系数和它对应．师：上面的对应关系，与前两个例子中的对应关系有何不同?生：第一个例题是解析式，第二个例题是图象，第三个例题是表格．概念形成师：以上三个实例的共同特点是什么?(组织学生分组讨论，归纳出三个实例的共性并在全班交流)生：(1)都涉及两个数集；(2)两个集合间都有确定的对应关系，即对于每一个，都有惟一确定的和它对应．师：(函数的定义)设A、是非空的数集，如果按照某种确定的对应关系，使对于集合A中的任意一个数，在集合B中都有惟一确定的数和它对应，那么就称为从集合A到集合B的一个函数，记作．其中x叫做变量，x的取值范围A叫做函数的定义域；与x的值相对应的值叫做函数值，函数值的集合叫做函数的值域．师：值域C与B有何关系?生：．师：由函数的定义，上面的三个例子所表示的两个变量间的关系是函数吗?生：是函数．师：确定函数的三要素是什么?生：定义域、值域和对应关系．师：(点评)函数记号“”为“是的函数”，它仅仅是函数符号，不是表示“等于与的乘积”，这里是一种对应法则，如，对应法则是“平方”．2．概念同化就数学概念而言，所谓概念同化，是以学生已有的知识经验为基础，通过定义的方式直接提出概念，并揭示其本质属性，由学生主动地与原认知结构中的有关概念相联系，从而使学生掌握概念的方式．从本质上讲，概念同化是利用已经掌握的概念去学习新概念，修改或者改造旧-既念使之适应新的需要的过程．因此，概念同化学习必须具备如下两个前提条件：第一，学生原有的认知结构中要具有同化新概念所需要的知识经验；第二，新学习的概念本身必须具有逻辑(处于下位)意义．当然，概念同化过程中学生必须积极参与认知活动，才能在认知结构中使新概念与原知识发生相互作用，或者改造原知只形成概念，或者使新概念与原有认知结构中的有关知识进一步分化和融会贯通．由此可见，在概念同化学习中，学生的认知结构中具有同化新概念所需的知识经验是最重要的条件．以概念同化方式学习数学概念，通常有以下几个阶段：(1)联结相关概念，揭示新概念的关键属性．给出概念的定义、名称和符号．例如，梯形概念的同化．直接给出定义“一组对边平行而另一组对边不平行的四边形叫做梯形”．(2)对概念进行特殊性分类，讨论这个概念所包含的各种特例，突出概念的本质特征．例如，讨论梯形的各种特例：直角梯形、等腰梯形等．不论哪种情况，都要突出“只有一组对边平行”这一本质特征．(3)使新概念与已有认知结构中的有关观念建立联系，把新观念纳入到已有概念体系中，同化新概念．这样不仅使新概念被赋予一定的定义，丰富和发展原有的认知结构，又可把新概念从原概念中分离出来．例如，学生已经掌握了四边形的概念，对平行四边形也有知识经验，把梯形的概念与四边形及平行四边形等概念相比较，就可以认识到梯形是四边形的限制，从而建立起新旧概念间的实质性联系．(4)通过辨认肯定的例证和否定的例证，使新概念与已有认知结构中的相关概念分化．例如，学生通过辨认图2-21中的各个图形．认识哪些是梯形，哪些不是梯形．图2-21(5)把新概念纳入到相应的概念体系中，使有关概念融会贯通组成一个整体．以概念同化方式学习概念，是从抽象定义出发进行学习的，实际上是用演绎方式理解和掌握概念的．所以，在学习中应及时应用实例，使抽象概念获得具体例证的支持．“命题”概念(同化方式的学习)直接指出，可以判断成立或不成立的语句叫做命题．然后给出各种实例：在数学课上曾遇到过大量如下的语句：·三角形的三内角之和等于．·如果是任意两个正实数，那么·如果，那么=3．在报刊上也读到过这样的句子：·中学生目前的学业负担过重．·中国将在本世纪中叶达到中等发达国家的水平．上述这些句子都是命题，它们的共同特征是每个句子都陈述了能够判断其成立或不成立的一件事件．特别指出命题是可真可假的．比如“如果，那么”就是假命题．概念同化学习中，还必须经过概念分类这一步．因为搞清楚概念的各个方面，认清概念的各种特例，是从外延的角度进一步理解概念，达到对概念的深入认识．概念同化学习中，还要注意在给出概念的定义后，要帮助学生掌握一定的智力动作，即判断某一事物是否隶属该概念或推出隶属该概念的事物的相应特征的具体方法，以防止出现知道概念的定义而不知如何将它应用于实际问题的情况．同时，要为学生及时提供应用概念进行推理、论证的机会，在应用中强化概念，防止由于没有经历概念形成的原始过程而出现的概念加工不充分、理解不深刻的现象．最后，概念同化学习时，所学概念必须纳入到已有认知结构中，形成概念系统．学生通过“纳入”，经历一次新的概括过程，了解有关概念之间的逻辑关系，从而深化概念的理解，牢固掌握概念，并能用来解决新问题．映射概念同化案例①（①赵徽：《高中新课程数学教学案例与评析》．新华出版社，2005）师：前面我们研究了函数的概念，请回答函数的定义．生：设A、是非空的数集，如果按照某种确定的对应关系，使对于集合A中的任意一个数，在集合B中都有惟一确定的数和它对应，那么就称：为从集合A到集合B的一个函数．讲解概念师：函数是“两个数集间一种确定的对应关系”．如果将数集扩展到任意两个集合时，那么就可得到一种新的对应——映射．设A、B是两个非空的集合，如果按某一个确定的对应关系，使对于集合A中的任意一个元素，在集合B中都有惟一确定的元素与之对应，那么就称对应：为从集合A到集合B的一个央射．师：(说明)(1)映射是函数的推广，将函数中两个非空的数集推广到两个非空的集合．(2)映射与函数的共同点：对于集合A中的任意一个元素，按照对应法则，集合B中都有惟一确定的元素和它对应．例设集合A={│是某场电影票的号码}，集合B={│x是某电影院的座位号}，对应关系：电影票上的号码对应于电影院的座位号，则对应关系：A—B是映射吗?为什么?生：是映射，合乎映射的定义．辨析概念例以下给出的对应是不是从集合A到的映射?[教师分析讲解后，启发三个学生回答]师：对第(1)题，按照建立数轴的方法可知，数轴上任意一个点，都有惟一确定的实数与之对应，是点与实数的对应，所以这个对应：A一是从集合到集合B的一个映射．生1：(2)题按照建立平面直角坐标系的方法可知，平面直角坐标系中的任意一个点都有惟一的一个实数对与之对应，是点与实数的对应，所以这个对应：A一是从集合到集合B的一个映射．生2：(3)题由于每一个三角形只有一个内切圆与之对应，是图形与图形的对应，所以这个对应：A一是从集合到集合B的一个映射．师：如果将对应关系改为：每一个圆都对应它的内接三角形，那么对应：A一是从集合B到A的映射吗?为什么?生：不是，因为对于B中的任意一个圆，它对应的内接三角形不惟一．生3：(4)题新华中学的每一个班级里的学生都不止一个，即与一个班级对应的学生不止一个，是一对多的对应，所以这个对应：A一不是从集合到集合B的一个映射．师：如果将对应关系改为：每一个学生都对应它的班级，那么对应：—是从集合到A的一个映射吗?生：是映射．因为对于中的任意一名学生，在A中都有惟一的班级和它对应．师：(点评)映射中的两个集合是有顺序的，：A一与：B是不同的．它们中可以有一个是映射而另一个不是映射，也可以两个都是映射或两个都不是映射．巩固概念师：(1)图2—22四个图形表示四种对应关系，其中是映射的是()图2-22A．①和②B．②和③c．③和④D．④和①(学生口答上述问题，1．B，)3．两种概念学习方式的辩证关系数学概念的学习是复杂的．首先，数学概念本身形式是多样的，因而学习心理活动呈可变性．其次?学生的学习基础不同，学习的性质不同．这就必然导致产生两种不同的学习方式．然而，两种学习方式又是相互关联的，任何一个数学概念的学习，虽然以某一种学习方式为主，但也必有另一种学习方式的成分，两种学习方式是无法分离的．(1)数学概念的特征概念形成是在经验基础上的学习，概念同化是在原知识基础上的学习，因而不同形式的数学概念适合不同形式的学习方式．一般来说，原始概念、发生式或构造式概念，以及从属关系中较低层次的概念，适合以概念形式的方式学习，因为这类概念需要经验活动的铺垫，以归纳的方式获得知识．另一方面，直觉式概念、约定式概念，以及从属关系中较高层次的概念，适合以概念同化的方式学习，因为这些概念需要相应的知识为基础．例如，“函数”概念适合用形成方式学习，“映射”概念则适合用同化方式学习．(2)学生的学习基础不同概念形成以学生的直接经验为基础，以归纳的方式提取一类事物的共同属性．概念同化以学生的间接经验为基础，以数学语言为工具揭示同类事物的本质属性．因此，当学生的基础知识较薄弱时，应以概念形成的方式学习概念，帮助学生积累经验，获得知识．而当学生的基础知识扎实全面时，可以概念同化的方式学习，学习成效更加明显．(3)学习的性质不同一般来说，概念形成是学生在教师指导下自行发现数学概念的学习方式，在性质上属于发现学习．概念同化则是学生接受和理解教师或教材所提供的现成概念的学习方式，属于接受学习的范畴．“发现”是艰难曲折的，所以概念形成费时费力，因而仅适合新知识的开始阶段或低年级学生的学习．相比较之下，概念同化较为省时省力，适合于后续知识或高年级学生的学习．(4)学习心理的本质不同概念形成和概念同化在学习心理过程上，基本都是抽象和概括的过程．但是，概念形成是对具体事物性质的概括，依靠学生的直接认知和直接经验；概念同化则是对已有知识经验的概括，依靠学生对新旧概念联系的认识和分化．(5)两种概念学习方式的辩证关系在实际学习中，概念形成和概念同化两种学习方式是相互联系、不能孤立使用的．事实上，若仅用概念形成方式学习，不符合学校学习的经济性原则，况且由于个人能力所限，所发现的数学知识往往是粗糙的、不规范的，还需要外部知识使之规范化．另一方面，若仅用概念同化方式学习，由于数学概念的高度抽象性，学生就难以把握概念背后的丰富内容、理解概念的关键属性，容易造成学习的表面化．实际学习过程中，应有学生的独立认知(概念形成)，也要有教师的关键性讲解(概念同化)．教师可以在揭示概念的定义之后，引导学生观察符合定义的实际事例，这种导向可以使学生比较容易地揭示实例中包含的与概念相关的关键属性．同时，通过正例与反例的应用，通过对实例的比较、分析、概括、分化以及类化等，使概念的关键属性变得清晰，使实例成为理解概念的思维载体，最后再引导学生将新概念与原认知结构中的相关观念建立联系，形成概念系统．勾股定理的综合学习方式第一阶段：概念形成初步．学生在坐标纸上作图，作以格点为顶点的直角三角形．在这个三角形三边上分别向形外作以这三边长为边的正方形I、Ⅱ、Ⅲ，其中I、Ⅱ是直角边上的外正方形，Ⅲ是斜边上的外正方形．研究它们的面积、、之间的关系．作出很多个这样的三角形，进行很多次这样的研究，学生获得初步概念意象，猜想“直角三角形两条直角边的平方和，等于斜边的平方”．第二阶段：概念同化．教师给出上述猜想的数学证明．已知：（如图2-23），在中，．求证：图2-23图2-24证明：取4个与全等的直角三角形，把它们拼成如图2—24的形状．从图中可知，以为边长的大正方形是由4个直角三角形与以c为边长的小正方形组合出来的，所以它