人教B版必修第二册532事件之间的关系与运算课件

事件之间的关系与运算学习目标1.通过阅读课本,了解事件的包含关系和相等关系,了解并事件与交事件的概念,会进行事件的运算,培养数学抽象的核心素养.2.通过具体实际问题的解决,理解互斥事件和对立事件的概念及关系,会用互斥事件与对立事件的概念公式求概率,培养逻辑推理和数学运算的核心素养.3.通过本节例题的学习,会用自然语言、符号语言表示事件之间的关系与运算,培养数学抽象的核心素养.知识梳理·自主探究师生互动·合作探究知识梳理·自主探究知识探究一定1.事件的包含与相等(1)一般地,如果事件A发生时,事件B

发生,则称“A包含于B”(或“B包含A”),记作A⊆B(或B⊇A),这一关系用图形表示如图.A⊆B也可用充分必要的语言表述为:A发生是B发生的充分条件;B发生是A发生的必要条件.(2)若事件A发生时,事件B一定发生;而且事件B发生时,事件A也一定发生,则称“A与B相等”,记为A=B.①A=B⇔A⊆B,且B⊆A⇔A与B有相同的样本点.②A=B也可用充分必要的语言表述为A发生是B发生的充要条件,即当A=B时,P(A)=P(B).2.事件的和(并)给定事件A,B,由

A中的样本点与B中的样本点组成的事件称为A与B的和(或并),记作A+B(或A∪B).A与B的和(或并)用图形表示如图.(1)由定义可知,事件A+B发生时,当且仅当事件A与事件B中至少有一个发生,即P(A)≤P(A+B),且P(B)≤P(A+B),所有(2)直观上可以知道:P(A+B)≤P(A)+P(B).思考1:事件A、事件B同时发生,与至少有一个发生有何区别?答案:事件A、事件B同时发生,是指两个事件都发生;事件A、事件B至少有一个发生包含三种情况:①事件A发生,事件B不发生;②事件A不发生,事件B发生;③事件A、事件B都发生.3.事件的积(交)给定事件A,B,由A与B中

样本点组成的事件称为A与B的积(或交),记作AB(或A∩B).用图形表示如图.由定义可知,事件AB发生时,当且仅当事件A与事件B都发生.公共4.事件的互斥与对立(1)互斥事件不能互斥思考2:互斥事件与对立事件的关系?答案:对立事件一定是互斥事件;互斥事件不一定是对立事件.不属于补思考3:任意给定两个事件A,B,P(A+B),P(A),P(B),P(AB)有何关系?答案:(1)若事件A,B是互斥事件,则P(A+B)=P(A)+P(B),P(AB)≤P(A),P(AB)≤P(B),P(AB)≤P(A)+P(B).(2)若事件A包含事件B,则P(A+B)=P(A),P(AB)=P(B),P(AB)≤P(A).(3)若事件B包含事件A,则P(A+B)=P(B),P(AB)=P(A),P(AB)≤P(B).拓展总结1.事件与集合的对应关系2.互斥事件的概率加法公式的应用(1)运用互斥事件的概率加法公式解题时,首先要分清事件之间是否互斥,同时要学会把一个事件分拆为几个互斥事件,做到不重不漏.(2)常用步骤:①确定各事件彼此互斥;②先求各事件分别发生的概率,再求和.3.较复杂事件概率的求法(1)求某些较复杂事件的概率,通常有两种方法:一是将所求事件的概率化成一些彼此互斥事件的概率的和;二是先求此事件的对立事件的概率.当用直接法求某一事件的概率较复杂时,采用方法二可使概率的计算得到简化.如果采用方法一,一定要将事件分拆成若干互斥事件,不能重复或遗漏;如果采用方法二,一定要找准其对立事件,否则容易出现错误.(2)一般地,此类问题均可用随机事件的概率求法来探求,但利用互斥事件或对立事件来处理,往往可使问题得到简化.(3)通过对较复杂事件概率的探求,充分体会用多种方法解决问题的思维方式,从而提高综合应用知识解决问题的能力.师生互动·合作探究探究点一事件的包含与相等[例1]在掷骰子试验中,可以得到以下事件.A:{出现1点};B:{出现2点};C:{出现3点};D:{出现4点};E:{出现5点};F:{出现6点};G:{出现的点数不大于1};H:{出现的点数小于5};I:{出现奇数点};J:{出现偶数点}.请判断下列两个事件的关系.(1)B

H;

(2)D

J;

(3)E

I;

(4)A

G.

解析:因为出现的点数小于5包含出现1点、出现2点、出现3点、出现4点四种情况,所以事件B发生时,事件H必然发生,故B⊆H;同理D⊆J,E⊆I;因为出现的点数不大于1,也就是只能出现1点,所以A=G.答案:(1)⊆

(2)⊆

(3)⊆

(4)=方法总结事件的包含与相等可以从集合的角度理解,事件的包含关系就是集合间的子集与真子集的关系.针对训练:事件A、事件B、事件C的关系如图,则P(A),P(B),P(C)的大小关系为

.

解析:由题图知,事件A包含于事件B,事件B包含于事件C,所以P(A)<P(B)<P(C).答案:P(A)<P(B)<P(C)探究点二[例2]盒子里有6个红球,4个白球,现从中任取3个球,设事件A={3个球中有1个红球,2个白球},事件B={3个球中有2个红球,1个白球},事件C={3个球中至少有1个红球},事件D={3个球中既有红球又有白球}.问:(1)事件D与A,B是什么样的运算关系?事件的和(并)、事件的积(交)解:(1)对于事件D,可能的结果为1个红球、2个白球或2个红球、1个白球,故D=A∪B.(2)事件C与A的交事件是什么事件?解:(2)对于事件C,可能的结果为1个红球、2个白球或2个红球、1个白球或3个红球,故C∩A=A.方法总结(1)进行事件的运算时,一是要紧扣运算的定义,二是要全面考查同一条件下的试验可能出现的全部结果,必要时可利用Venn图或列出全部的试验结果进行分析.(2)在一些比较简单的题目中,需要判断事件之间的关系时,可以根据常识来判断.但如果遇到比较复杂的题目,就得严格按照事件之间关系的定义来推理.变式训练1:在例2的条件下,事件A与D,事件B与C的交事件分别是什么?解:因为事件A={3个球中有1个红球,2个白球},事件B={3个球中有2个红球,1个白球},事件C={3个球中至少有1个红球},事件D={3个球中既有红球又有白球},所以A∩D=A,B∩C=B.变式训练2:在例2的条件下,设事件E={3个红球},事件F={3个球中至少有一个白球},那么事件C与A,B,E是什么运算关系?C与F的交事件是什么?解:C=A∪B∪E;C∩F=A∪B=D.探究点三[例3]从装有2个白球和2个黄球的口袋中任取2个球,以下给出了四组事件.①至少有1个白球与至少有1个黄球;②至少有1个黄球与都是黄球;③恰有1个白球与恰有1个黄球;④恰有1个白球与都是黄球.其中互斥而不对立的事件共有(

)A.0组 B.1组 C.2组 D.3组事件的互斥与对立解析:“至少有1个白球”与“至少有1个黄球”可以同时发生,如恰有1个白球和1个黄球,故①中的两个事件不是互斥事件;“至少有1个黄球”说明可以是1个白球和1个黄球或2个黄球,故②中的两个事件不互斥;“恰有1个白球”与“恰有1个黄球”,都是指有1个白球和1个黄球,故③中的两个事件是同一事件;“恰有1个白球”与“都是黄球”不能同时发生,也可能都不发生,故④中的两个事件是互斥事件,但不是对立事件.故选B.方法总结判断互斥、对立事件的两种方法(1)定义法:判断互斥事件、对立事件一般用定义判断,不可能同时发生的两个事件为互斥事件;两个事件,若有且仅有一个发生,则这两事件为对立事件.对立事件一定是互斥事件.(2)集合法:由各个事件所含的结果组成的集合彼此的交集为空集,则事件互斥;事件A的对立事件所含的结果组成的集合,是全集中由事件A所含的结果组成的集合的补集.针对训练:(多选题)若干个人站成一排,其中不是互斥事件的是(

)A.“甲站排头”与“乙站排头”B.“甲站排头”与“乙不站排尾”C.“甲站排头”与“乙站排尾”D.“甲不站排头”与“乙不站排尾”解析:根据题意,依次分析选项,对于A,“甲站排头”与“乙站排头”不可能同时发生,是互斥事件;对于B,“甲站排头”时,乙可以“不站排尾”,两者可以同时发生,不是互斥事件;对于C,“甲站排头”时,乙可以“站排尾”,两者可以同时发生,不是互斥事件;对于D,“甲不站排头”时,乙可以“不站排尾”,两者可以同时发生,不是互斥事件.故选BCD.探究点四[例4]据统计,某食品企业在一个月内被消费者投诉次数为0,1,2的概率分别为0.4,0.5,0.1.(1)求该企业在一个月内被消费者投诉不超过1次的概率;事件的混合运算解:(1)设事件A表示“一个月内被投诉的次数为0”,事件B表示“一个月内被投诉的次数为1”,所以P(A+B)=P(A)+P(B)=0.4+0.5=0.9.[例4]据统计,某食品企业在一个月内被消费者投诉次数为0,1,2的概率分别为0.4,0.5,0.1.(2)假设一月份与二月份被消费者投诉的次数互不影响,求该企业在这两个月内共被消费者投诉2次的概率.解:(2)设事件Ai表示“第i个月被投诉的次数为0”,事件Bi表示“第i个月被投诉的次数为1”,事件Ci表示“第i个月被投诉的次数为2”,事件D表示“两个月内共被投诉2次”,所以P(Ai)=0.4,P(Bi)=0.5,P(Ci)=0.1(i=1,2).因为两个月中,一个月被投诉2次,另一个月被投诉0次的概率为P(A1C2+A2C1),一、二月份均被投诉1次的概率为P(B1B2),所以P(D)=P(A1C2+A2C1)+P(B1B2)=P(A1C2)+P(A2C1)+P(B1B2)=0.4×0.1+0.1×0.4+0.5×0.5=0.33.方法总结实际生活中的概率问题,在阅读理解的基础上,利用互斥事件分类,有时还借助对立事件寻求间接求解问题的捷径,这类问题重在考查学生思维的灵活性和解决实际问题的能力.针对训练:(2021·安徽马鞍山期末)某射手平时的射击成绩统计如下表所示.解:(1)因为他命中7环及7环以下的概率为0.29,所以a=0.29-0.13=0.16,b=1-(0.29+0.25+0.24)=0.22.环数7环以下78910命中概率0.13ab0.250.24已知他命中7环及7环以下的概率为0.29.(1)求a和b的值;解:(2)该射手射击一次命中10环或9环的概率为0.24+0.25=0.49.(2)求该射手射击一次命中10环或9环的概率;解:(3)该射手射击一次命中环数不足9环的概率为1-0.49=0.51.(3)求该射手射击一次命中环数不足9环的概率.当堂检测CA.事件A与事件B都发生B.事件A发生但事件B不发生C.事件A不发生但事件B发生D