专题5.8 二次函数重难点应用题归纳（六大题型）（原卷版）

专题5.8二次函数重难点应用题归纳（六大题型）重难点题型归纳【题型1运动类-落地类型】【题型2运动类-最值类型】【题型3经济类问题-与一次函数综合问题】【题型4经济类问题-每每问题】【题型5面积类问题】【题型6拱桥类问题】【模型1：运动类】（1）落地模型最值模型【模型2：经济类】销售问题常用等量关系：利润=收入-成本；利润=单件利润×销量；【模型3：面积类】【模型4：拱桥类】一般步骤：(1)恰当地建立直角坐标系；(2)将已知条件转化为点的坐标；(3)合理地设出所求函数关系式；(4)代入已知条件或点的坐标，求出关系式；(5)利用关系式求解问题．【题型1运动类-落地类型】【典例1】（2023秋•台江区校级月考）掷实心球是中考体育考试项目之一．如图1是一名男生投实心球情境，实心球行进路线是一条抛物线，行进高度y（m）与水平距离x（m）之间的函数关系如图2所示．掷出时，起点处高度为．当水平距离为4m时，实心球行进至最高点5m处．​（1）求y关于x的函数表达式；（2）根据中考体育考试评分标准（男生版），投掷过程中，实心球从起点到落地点的水平距离大于等于11m时，即可得满分8分．该男生在此项考试中能否得满分，请说明理由．【变式1-1】（2023秋•姑苏区校级月考）2019年在武汉市举行了军运会．在军运会比赛中，某次羽毛球的运动路线可以看作是抛物线的一部分（如图），其中出球点B离地面O点的距离是1米，球落地点A到O点的距离是（）A．1米 B．3米 C．4米 D．米【变式1-2】（2023•南关区校级四模）如图，不考虑空气阻力，以一定的速度将小球沿斜上方击出时，小球飞行的高度是飞行时间的二次函数．现以相同的初速度沿相同的方向每隔t秒依次击出三个质地一样的小球，小球在各自击出后2秒到达相同的最大飞行高度，若整个过程中，保持空中始终有1或2个小球（不考虑小球落地后再弹起），则t的取值范围是（）A．0＜t＜2 B．2≤t＜4 C．1≤t＜3 D．3≤t＜5【变式1-3】（2022秋•高邑县期末）如图，从某建筑物10m高的窗口A处用水管向外喷水，喷出的水成抛物线状（抛物线所在平面与墙面垂直）．如果抛物线的最高点M离墙1m，离地面m，则水流落地点B离墙的距离OB是（）A．2m B．3m C．4m D．5m【变式1-4】（2022秋•开封期末）如图，当某运动员以40m/s的速度将小球沿与地面成30°角的方向击出时，小球的飞行路线是一条抛物线，如果不考虑空气阻力，小球的飞行高度h（单位：m）与飞行时间t（单位：s）之间具有函数关系h＝20t﹣5t2．下列结论不正确的是（）A．小球从飞出到落地要用4s B．小球飞行的最大高度为20m C．当小球飞出时间从1s到2s时，飞行的高度随时间的增大而减小 D．当小球飞出时间从3s到3.8s时，飞行的高度随时间的增大而减小【变式1-5】（2022•晋中一模）板球是以击球、投球和接球为主的运动，该项目主要锻炼手眼的协调能力，集上肢动作控制能力、技巧与力量为一体的综合性运动．如图，是运动员击球过程中板球运动的轨迹示意图，板球在点A处击出，落地前的点B处被对方接住，已知板球经过的路线是抛物线，其表达式为y＝﹣x2+x+1，则板球运行中离地面的最大高度为（）A．1 B． C． D．4【变式1-6】（2022秋•韩城市校级月考）在中考体育训练期间，小宇对自己某次实心球训练的录像进行分析，发现实心球飞行高度y（米）与水平距离x（米）之间的关系式为y＝﹣x2+x+，由此可知小宇此次训练实心球落地时的水平距离为（）A．85米 B．8米 C．10米 D．2米【变式1-7】（2023秋•海淀区期中）在投掷实心球时，球以一定的速度斜向上抛出，不计空气阻力，在空中划过的运动路线可以看作是抛物线的一部分．如图，建立平面直角坐标系xOy，实心球从出手到落地的过程中，它的竖直高度y（单位：m）与水平距离x（单位：m）近似满足二次函数关系，记出手点与着陆点的水平距离为投掷距离．（1）小刚第一次投掷时水平距离x与竖直高度y的几组数据如下：水平距离x/m01234竖直高度y/m1.62.12.42.52.4①根据上述数据，实心球运行的竖直高度的最大值为2.5m；②求小刚第一次的投掷距离；（2）已知第二次投掷出手点竖直高度与第一次相同，且实心球达到最高点时水平距离与第一次也相同．若小刚第二次投掷距离比第一次远，则实心球第二次运行过程中竖直高度的最大值比第一次（填“大”或“小”）．【题型2运动类-最值类型】【典例2】（2022秋•乐亭县期末）飞机着陆后滑行的距离s（单位：m）与滑行的时间t（单位：s）的函数解析式是s＝60t﹣1.5t2，那么飞机着陆后滑行多长时间才能停下来（）A．10s B．20s C．30s D．40s【变式2-1】（2022秋•沧州期末）烟花厂某种礼炮的升空高度h（m）与飞行时间t（s）的关系式是h＝﹣2t2+20t+1，若这种礼炮在点火升空到最高点处引爆，则最高点的高度为（）米．A．51 B．50 C．20 D．1【变式2-2】（2022秋•信阳期中）烟花厂为建党成立100周年特别设计制作了一种新型礼炮，这种礼炮的升空高度h（m）与飞行时间t（s）的关系式是h＝﹣t2+8t．若这种礼炮在升空到最高点时引爆，则从点火升空到引爆需要的时间为（）A．3s B．4s C．5s D．6s【变式2-3】（2021秋•纳溪区期末）某车的刹车距离y（m）与开始刹车时的速度x（m/s）之间满足二次函数y＝x2（x＞0），若该车某次的刹车距离为4m，则开始刹车时的速度为（）A．4m/s B．5m/s C．8m/s D．10m/s【变式2-4】（2021秋•费县期末）汽车刹车后行驶的距离s（单位：m）关于行驶时间t（单位：s）的函数解析式是s＝15t﹣6t2，汽车刹车后到停下来所用的时间t是（）A．2.5s B．1.5s C．1.25s D．不能确定【变式2-5】（2020秋•锡山区校级月考）汽车在高速公路刹车后滑行的距离y（米）与行驶的时间x（秒）的函数关系式是y＝﹣3x2+36x，汽车就刹车后，会继续向前滑行直至静止，那么汽车静止前2秒内滑行的距离是（）A．6米 B．12米 C．96米 D．108米【题型3经济类问题-与一次函数综合】【典例3】（2023秋•南宁月考）南宁市某公司计划购进一批原料加工销售，已知该原料的进价为6.2万元/吨，加工过程中原料的质量有20%的损耗，加工费m（万元）与原料的质量x（吨）之间的关系为m＝50+0.2x，销售价y（万元/吨）与原料的质量x（吨）之间的关系如图所示．（1）求y与x之间的函数关系式；（2）在进价不超过248万元的情况下，原料的质量x为多少吨时，销售收入为300万元；（3）原料的质量x为多少吨时，所获销售利润最大，最大销售利润是多少万元？（销售利润＝销售收入﹣总支出）【变式3-1】（2023•青山区模拟）小亮创办了一个微店商铺，营销一款小型LED护眼台灯，成本是20元/盏，在“双十一”前20天进行了网上销售后发现，该台灯的日销售量p（盏）与时间x（天）之间满足一次函数关系，且第1天销售了78盏，第2天销售了76盏．护眼台灯的销售价格y（元/盏）与时间x（天）之间符合函数关系式y＝x+25（1≤x≤20，且x为整数）．（1）求日销售量p（盏）与时间x（天）之间的函数关系式；（2）在这20天中，哪天的日销售利润最大？最大日销售利润是多少？（3）“双十一”当天，小亮采用如下促销方式：销售价格比前20天中最高日销售价格降低a元；日销售量比前20天最高日销售量提高了7a盏；日销售利润比前20天中的最大日销售利润多了30元，求a的值．注：销售利润＝售价﹣成本．【变式3-2】（2023秋•琅琊区校级月考）某商店销售一种进价100元/件的商品，且规定售价不得超过进价的1.4倍，经市场调查发现：该商品的每天销售量y（件）是售价x（元/件）的一次函数，其售价、销售量的二组对应值如下表：售价x（元/件）130140销售量y（件/天）8060（1）直接写出y关于售价x的函数关系式；（2）设商店销售该商品每天获得的利润为W（元），求W与x之间的函数关系式，并求出当销售单价定为多少时，该商店销售这种商品每天获得的利润最大？（3）若某天的利润不低于2000元，请直接写出x的取值范围．【变式3-3】（2022秋•池州期末）某蔬菜市场为指导某种蔬菜的生产和销售，对往年的市场行情和生产情况进行了调查，提供的信息如图：（1）在3月份出售这种蔬菜，每千克的收益是多少元？（收益＝售价﹣成本）（2）哪个月出售这种蔬菜的收益最大？为什么？【题型4经济类问题-每每问题】【典例4】（2022秋•莘县校级期末）某商场销售一批名牌衬衫，平均每天可售出20件，每件赢利40元，为了扩大销售，增加利润，尽量减少库存，商场决定采取适当的降价措施．经调查发现，如果每件衬衫每降价1元，商场平均每天可多售出2件；（1）若商场平均每天要赢利1200元，每件衬衫应降价多少元？（2）每件衬衫降价多少元时，商场平均每天赢利最多？【变式4-1】（2023•广西模拟）某超市销售一种商品，每件成本为50元，销售人员经调查发现，销售单价为100元时，每月的销售量为50件，而销售单价每降低2元，则每月可多售出10件，且要求销售单价不得低于成本．（1）求该商品每月的销售量y（件）与销售单价x（元）之间的函数关系式；（不需要求自变量取值范围）（2）若使该商品每月的销售利润为4000元，并使顾客获得更多的实惠，销售单价应定为多少元？（3）超市的销售人员发现：当该商品每月销售量超过某一数量时，会出现所获利润反而减小的情况，为了每月所获利润最大，该商品销售单价应定为多少元？【变式4-2】（2023•鄂伦春自治旗一模）某商店销售一种销售成本为每件40元的玩具，若按每件50元销售，一个月可售出500件，销售价每涨1元，月销量就减少10件．设销售价为每件x元（x≥50），月销量为y件，月销售利润为w元．（1）写出y与x的函数解析式和w与x的函数解析式；（2）商店要在月销售成本不超过10000的情况下，使月销售利润达到8000元，销售价应定为每件多少元？（3）当销售价定为每件多少元时会获得最大利润？求出最大利润．【变式4-3】（2022秋•定远县期末）某宾馆有客房90间，当每间客房的定价为每天140元时，客房会全部住满．当每间客房每天的定价每涨10元时，就会有5间客房空闲．如果旅客居住客房，宾馆需对每间客房每天支出60元的各种费用．（1）请写出该宾馆每天的利润y（元）与每间客房涨价x（元）之间的函数关系式；（2）设某天的利润为8000元，8000元的利润是否为该天的最大利润？如果是，请说明理由；如果不是，请求出最大利润，并指出此时客房定价应为多少元？（3）请回答客房定价在什么范围内宾馆就可获得利润？【题型5面积类问题】【典例5】（2022秋•蒙城县期末）如图，有长为24m的篱笆，现一面利用墙（墙的最大可用长度a为10m）围成中间隔有一道篱笆的长方形花圃，设花圃的宽AB为xm，面积为Sm2．（1）求S与x的函数关系式及x值的取值范围；（2）要围成面积为45m2的花圃，AB的长是多少米？【变式5-1】（2022秋•庄河市期末）为了改善小区环境，某小区决定要在一块一边靠墙（墙长25m）的空地上修建一个矩形绿化带ABCD，绿化带一边靠墙，另三边用总长为40m的栅栏围住（如图）．若设绿化带的BC边长为xm，绿化带的面积为ym2．（1）求y与x之间的函数解析式，并写出自变量x的取值范围；（2）当x为何值时，满足条件的绿化带的面积最大？最大为多少？【变式5-2】（2023•汶上县一模）某农场计划建造一个矩形养殖场，为充分利用现有资源，该矩形养殖场一面靠墙（墙的长度为10m），另外三面用栅栏围成，中间再用栅栏把它分成两个面积为1：2的矩形，已知栅栏的总长度为24m，设较小矩形的宽为xm（如图）．（1）若矩形养殖场的总面积为36m2，求此时x的值；（2）当x为多少时，矩形养殖场的总面积最大？最大值为多少？【变式5-3】（2023•凉山州模拟）2022年5月，教育部颁布的《义务教育劳动课程标准》中，要求以丰富开放的劳动项目为载体，培养学生正确的劳动价值观和良好的劳动品质．某校为此规划出矩形苗圃ABCD，苗圃的一面靠墙（墙最大可用长度为12米），另三边用木栏围成，中间也用垂直于墙的木栏隔开分成面积相等的两个区域，并在如图所示的两处各留1米宽的门（门不用木栏），修建所用木栏总长28米，设矩形ABCD的一边CD长为x米．（1）矩形ABCD的另一边BC长为米（用含的代数式表示）；（2）若矩形ABCD的面积为63m2，求x的值；（3）当x为何值时，矩形ABCD的面积最大，最大面积为多少平方米？【变式5-5】（2022秋•孟州市校级期末）为落实国家《关于全面加强新时代大中小学劳动教育的意见》，某校准备在校园里利用围墙（墙长12m）和21m长的篱笆墙，围成Ⅰ、Ⅱ两块矩形劳动实践基地．某数学兴趣小组设计了两种方案（除围墙外，实线部分为篱笆墙，且不浪费篱笆墙），请根据设计方案回答下列问题：（1）方案一：如图①，全部利用围墙的长度，但要在Ⅰ区中留一个宽度AE＝1m的水池，且需保证总种植面积为32m2，试分别确定CG、DG的长；（2）方案二：如图②，使围成的两块矩形总种植面积最大，请问BC应设计为多长？此时最大面积为多少？【变式5-6】（2023•青山区模拟）在一张足够大的纸板上截取一个面积为3600cm2的矩形纸板ABCD，如图1，再在矩形纸板的四个角上切去边长相等的小正方形，再把它的边沿虚线折起，做成一个无盖的长方体纸盒，底面为矩形EFGH，如图2．设小正方形的边长为x厘米．（1）若矩形纸板ABCD的一边长为90cm，①当纸盒的底面积为1056cm2时，求x的值；②求纸盒的侧面积的最大值；（2）当EH：EF＝7：2，且侧面积与底面积之比为9：7时，求x的值．【变式5-7】（2022秋•孟州市校级期末）为落实国家《关于全面加强新时代大中小学劳动教育的意见》，某校准备在校园里利用围墙（墙长12m）和21m长的篱笆墙，围成Ⅰ、Ⅱ两块矩形劳动实践基地．某数学兴趣小组设计了两种方案（除围墙外，实线部分为篱笆墙，且不浪费篱笆墙），请根据设计方案回答下列问题：（1）方案一：如图①，全部利用围墙的长度，但要在Ⅰ区中留一个宽度AE＝1m的水池，且需保证总种植面积为32m2，试分别确定CG、DG的长；（2）方案二：如图②，使围成的两块矩形总种植面积最大，请问BC应设计为多长？此时最大面积为多少？【变式5-9】（2023•青山区模拟）在一张足够大的纸板上截取一个面积为3600cm2的矩形纸板ABCD，如图1，再在矩形纸板的四个角上切去边长相等的小正方形，再把它的边沿虚线折起，做成一个无盖的长方体纸盒，底面为矩形EFGH，如图2．设小正方形的边长为x厘米．（1）若矩形纸板ABCD的一边长为90cm，①当纸盒的底面积为1056cm2时，求x的值；②求纸盒的侧面积的最大值；（2）当EH：EF＝7：2，且侧面积与底面积之比为9：7时，求x的值．【题型6拱桥类问题】【典例6】（2023•碑林区校级模拟）某公园有一个抛物线形状的观景拱桥ABC，其横截面如图所示，在图中建立的直角坐标系（以AB中点为原点，抛物线对称轴所在直线为y轴）中，拱桥高度OC＝5m，跨度AB＝20m．（1）求抛物线的表达式；（2）拱桥下，有一加固桥身的“脚手架”矩形EFGH（H，G分别在抛物线的左右侧上），已知搭建“脚手架”EFGH的三边所用钢材长度为18.4m（EF在地面上，无需使用钢材），求“脚手架”打桩点E与拱桥端点A的距离．【变式6-1】（2023•晋中模拟）如图1是太原晋阳湖公园一座抛物线型拱桥，按如图所示建立坐标系，得到函数，在正常水位时水面宽AB＝30米，当水位上升5米时，则水面宽CD＝（）A．20米 B．15米 C．10米 D．8米【变式6-2】（2023•丰润区二模）如图（1）是一个横断面为抛物线形状的拱桥，当水面在l时，拱顶（拱桥洞的最高点）离水面3m，水面宽6m．如图（2）建立平面直角坐标系，则抛物线的解析式是（）A． B． C．y＝﹣3x2 D．y＝3x2【变式6-3】（2023•遵化市二模）如图是一款抛物线型落地灯筒示意图，防滑螺母C为抛物线支架的最高点，灯罩D距离地面1.5米，最高点C距灯柱的水平距离为1.6米，灯柱AB＝1.5米，若茶几摆放在灯罩的正下方，则茶几到灯柱的距离AE为多少米（）A．3.2 B．0.32 C．2.5 D．1.6【变式6-4】（2023•榆阳区二模）廊桥是我国古老的文化遗产，如图是某座下方为抛物线形的廊桥示意图．已知抛物线的函数表达式为，为保护廊