等差数列选择题专项训练单元自检题学能测试试卷

一、等差数列选择题1．在等差数列中，，S，是数列的前n项和，则S2020=（）A．2019 B．4040 C．2020 D．4038解析：B【分析】由等差数列的性质可得，则可得答案.【详解】等差数列中,故选：B2．已知数列的前项和为，且，现有如下说法：①；②；③.则正确的个数为（）A．0 B．1 C．2 D．3解析：D【分析】由得到，再分n为奇数和偶数得到，，然后再联立递推逐项判断.【详解】因为，所以，所以，，联立得：，所以，故，从而，，，则，故，，，故①②③正确.故选：D3．已知数列的前项和，则的通项公式为（）A． B． C． D．解析：B【分析】利用求出时的表达式，然后验证的值是否适合，最后写出的式子即可.【详解】，当时，，当时，，上式也成立，，故选：B.【点睛】易错点睛：本题考查数列通项公式的求解，涉及到的知识点有数列的项与和的关系，即，算出之后一定要判断时对应的式子是否成立，最后求得结果，考查学生的分类思想与运算求解能力，属于基础题.4．已知等差数列的前项和为，且，则（）A．51 B．57 C．54 D．72解析：B【分析】根据等差数列的性质求出，再由求和公式得出答案.【详解】，即故选：B5．已知等差数列的前项和为，且.定义数列如下：是使不等式成立的所有中的最小值，则（）A．25 B．50 C．75 D．100解析：B【分析】先求得，根据，求得，进而得到，结合等差数列的求和公式，即可求解.【详解】由题意，等差数列的前项和为，且，可得，因为，即，解得，当，（）时，，即，即，从而.故选：B.6．已知是公差为2的等差数列，前5项和，若，则（）A．4 B．6 C．7 D．8解析：A【分析】由求出，从而可求出数列的通项公式，进而可求出的值【详解】解：由题意得，解得，所以，因为，所以，解得，故选：A7．设等差数列的前项和为，且，则（）A．15 B．20 C．25 D．30解析：B【分析】设出数列的公差，利用等差数列的通项公式及已知条件，得到，然后代入求和公式即可求解【详解】设等差数列的公差为，则由已知可得，所以故选：B8．已知等差数列的前项和为，，则（）A．121 B．161 C．141 D．151解析：B【分析】由条件可得，然后，算出即可.【详解】因为，所以，所以，所以，即所以故选：B9．若两个等差数列，的前项和分别为和，且，则（）A． B． C． D．解析：C【分析】可设，，进而求得与的关系式，即可求得结果．【详解】因为，是等差数列，且，所以可设，，又当时，有，，，故选：．10．设，，数列的前项和，，则存在数列和使得（）A．，其中和都为等比数列B．，其中为等差数列，为等比数列C．，其中和都为等比数列D．，其中为等差数列，为等比数列解析：D【分析】由题设求出数列的通项公式，再根据等差数列与等比数列的通项公式的特征，逐项判断，即可得出正确选项.【详解】解：，当时，有；当时，有，又当时，也适合上式，，令，，则数列为等差数列，为等比数列，故，其中数列为等差数列，为等比数列；故C错，D正确；因为，，所以即不是等差数列，也不是等比数列，故AB错.故选：D.【点睛】方法点睛：由数列前项和求通项公式时，一般根据求解，考查学生的计算能力.11．已知等差数列的前项和为，且，，下列四个命题：①公差的最大值为；②；③记的最大值为，则的最大值为30；④.其真命题的个数是（）A．4个 B．3个 C．2个 D．1个解析：B【分析】设公差为，利用等差数列的前项和公式，，得，由前项和公式，得，同时可得的最大值，，或时取得，结合递减数列判断D．【详解】设公差为，由已知，，得，所以，A正确；所以，B错误；，解得，，解得，所以，当时，，当时，有最大值，此时，当时，有最大值，此时，C正确．又该数列为递减数列，所以，D正确．故选：B．【点睛】关键点点睛：本题考查等差数列的前项和，掌握等差数列的前和公式与性质是解题关键．等差数列前项和的最大值除可利用二次函数性质求解外还可由求得．12．等差数列的前项和分别为，若，则的值为（）A． B． C． D．解析：C【分析】利用等差数列的求和公式，化简求解即可【详解】＝＝＝＝＝.故选C13．已知为等差数列的前项和，，，则（）A． B． C． D．解析：B【分析】根据条件列出关于首项和公差的方程组，求解出首项和公差，则等差数列的通项公式可求.【详解】因为，，所以，所以，所以，故选：B.14．设等差数列的前项和为，公差，且，则（）A．2 B．3 C．4 D．5解析：B【分析】根据等差数列的性质，由题中条件，可直接得出结果.【详解】因为为等差数列的前项和，公差，，所以，解得.故选：B.15．等差数列中，，公差，则=（）A．200 B．100 C．90 D．80解析：C【分析】先求得，然后求得.【详解】依题意，所以.故选：C二、等差数列多选题16．已知数列是等差数列，前n项和为且下列结论中正确的是（）A．最小 B． C． D．解析：BCD【分析】由是等差数列及，求出与的关系，结合等差数列的通项公式及求和公式即可进行判断.【详解】设等差数列数列的公差为.由有，即所以,则选项D正确.选项A.,无法判断其是否有最小值，故A错误.选项B.,故B正确.选项C.,所以，故C正确.故选：BCD【点睛】关键点睛：本题考查等差数列的通项公式及求和公式的应用，解答本题的关键是由条件得到，即，然后由等差数列的性质和前项和公式判断,属于中档题.17．在等差数列中，公差，前项和为，则（）A． B．，，则C．若，则中的最大值是 D．若，则解析：AD【分析】对于，作差后利用等差数列的通项公式运算可得答案；对于，根据等差数列的前项和公式得到和，进而可得，由此可知，故不正确；对于，由得到，，然后分类讨论的符号可得答案；对于，由求出及，根据数列为等差数列可求得.【详解】对于，因为，且，所以，所以，故正确；对于，因为，，所以，即，，即，因为，所以，所以，即，故不正确；对于，因为，所以，所以，即，当时，等差数列递增，则，所以中的最小值是，无最大值；当时，等差数列递减，则，所以中的最大值是，无最小值，故不正确；对于，若，则，时，，因为数列为等差数列，所以，故正确.故选：AD【点睛】关键点点睛：熟练掌握等差数列的通项公式、前项和公式是解题关键.18．题目文件丢失！19．已知等差数列的前n项和为，公差为d，且，，则（）A． B． C． D．解析：BD【分析】由等差数列下标和性质结合前项和公式，求出，可判断C，D，由等差数列基本量运算，可得公差，判断出A，B．【详解】因为，所以．因为，，所以公差．故选：BD20．已知等差数列的前项和为，，，则下列选项正确的是（）A． B．C． D．当且仅当时，取得最大值解析：AC【分析】先根据题意得等差数列的公差，进而计算即可得答案.【详解】解：设等差数列的公差为，则，解得.所以，，，所以当且仅当或时，取得最大值.故选：AC【点睛】本题考查等差数列的基本计算，前项和的最值问题，是中档题.等差数列前项和的最值得求解常见一下两种情况：（1）当时，有最大值，可以通过的二次函数性质求解，也可以通过求满足且的的取值范围确定；（2）当时，有最小值，可以通过的二次函数性质求解，也可以通过求满足且的的取值范围确定；21．已知正项数列的前项和为，若对于任意的，，都有，则下列结论正确的是（）A．B．C．若该数列的前三项依次为，，，则D．数列为递减的等差数列解析：AC【分析】令，则，根据，可判定A正确；由，可判定B错误；根据等差数列的性质，可判定C正确；，根据，可判定D错误.【详解】令，则，因为，所以为等差数列且公差，故A正确；由，所以，故B错误；根据等差数列的性质，可得，所以，，故，故C正确；由，因为，所以是递增的等差数列，故D错误.故选：AC.【点睛】解决数列的单调性问题的三种方法；1、作差比较法：根据的符号，判断数列是递增数列、递减数列或是常数列；2、作商比较法：根据或与1的大小关系，进行判定；3、数形结合法：结合相应的函数的图象直观判断.22．意大利著名数学家斐波那契在研究兔子繁殖问题时，发现有这样一列数：1，1，2，3，5，…，其中从第三项起，每个数等于它前面两个数的和，后来人们把这样的一列数组成的数列{an}称为“斐波那契数列”，记Sn为数列{an}的前n项和，则下列结论正确的是（）A．a8＝34 B．S8＝54 C．S2020＝a2022－1 D．a1＋a3＋a5＋…＋a2021＝a2022解析：BCD【分析】由题意可得数列满足递推关系，依次判断四个选项，即可得正确答案.【详解】对于A，可知数列的前8项为1，1，2，3，5，8，13，21，故A错误；对于B，，故B正确；对于C，可得，则即，，故C正确；对于D，由可得，，故D正确.故选：BCD.【点睛】本题以“斐波那契数列”为背景，考查数列的递推关系及性质，解题的关键是得出数列的递推关系，，能根据数列性质利用累加法求解.23．已知等差数列的公差不为，其前项和为，且、、成等差数列，则下列四个选项中正确的有（）A． B． C．最小 D．解析：BD【分析】设等差数列的公差为，根据条件、、成等差数列可求得与的等量关系，可得出、的表达式，进而可判断各选项的正误.【详解】设等差数列的公差为，则，，因为、、成等差数列，则，即，解得，，.对于A选项，，，A选项错误；对于B选项，，，B选项正确；对于C选项，.若，则或最小；若，则或最大.C选项错误；对于D选项，，D选项正确.故选：BD.【点睛】在解有关等差数列的问题时可以考虑化归为a1和d等基本量，通过建立方程（组）获得解，另外在求解等差数列前项和的最值时，一般利用二次函数的基本性质或者数列的单调性来求解.24．等差数列中，为其前项和，，则以下正确的是（）A．B．C．的最大值为D．使得的最大整数解析：BCD【分析】设等差数列的公差为，由等差数列的通项公式及前n项和公式可得，再逐项判断即可得解.【详解】设等差数列的公差为，由题意，，所以，故A错误；所以，所以，故B正确；因为，所以当且仅当时，取最大值，故C正确；要使，则且，所以使得的最大整数，故D正确.故选：BCD.25．(多选题)等差数列的前n项和为，若，公