等差数列测试题

一、等差数列选择题1．已知数列满足且，则时，使得不等式恒成立的实数a的最大值是（）A．19 B．20 C．21 D．222．等差数列中，已知，则（）A．13 B．14 C．15 D．163．已知数列的前n项和，则（）A．350 B．351 C．674 D．6754．已知数列是公差不为零的等差数列，且，则（）A． B． C．3 D．45．《张丘建算经》卷上第题为：“今有女善织，日益功疾（注：从第天开始，每天比前一天多织相同量的布），第一天织尺布，现一月（按天计）共织尺”，则从第天起每天比前一天多织（）A．尺布 B．尺布 C．尺布 D．尺布6．在数列中，，，则（）A．10 B．145C．300 D．3207．设等差数列的前项和为，且，则（）A．15 B．20 C．25 D．308．在等差数列中，，，则中最大的是（）A． B． C． D．9．等差数列中，，公差，则=（）A．200 B．100 C．90 D．8010．已知等差数列的前项和为，且.定义数列如下：是使不等式成立的所有中的最小值，则（）A．25 B．50 C．75 D．10011．已知等差数列，且，则数列的前13项之和为（）A．24 B．39 C．104 D．5212．在等差数列中，已知前21项和，则的值为（）A．7 B．9 C．21 D．4213．设等差数列的前项和为，若，则必定有（）A．，且 B．，且C．，且 D．，且14．已知数列中，，且，则这个数列的第10项为（）A．18 B．19 C．20 D．2115．已知等差数列的前项和为，且，则（）A．51 B．57 C．54 D．7216．已知数列的前项和，则的通项公式为（）A． B． C． D．17．已知数列{xn}满足x1＝1，x2＝，且(n≥2)，则xn等于（）A．()n－1 B．()n C． D．18．设等差数列的前项和为，若，则（）A．60 B．120 C．160 D．24019．已知正项数列满足，，数列满足，记的前n项和为，则的值为（）A．1 B．2 C．3 D．420．在等差数列{an}中，已知a5=3，a9=6，则a13=（）A．9 B．12 C．15 D．18二、多选题21．已知等差数列的公差，前项和为，若，则下列结论中正确的有（）A． B．C．当时， D．当时，22．题目文件丢失！23．题目文件丢失！24．等差数列是递增数列，公差为，前项和为，满足，下列选项正确的是（）A． B．C．当时最小 D．时的最小值为25．已知等差数列的前n项和为且则（）A． B．当且仅当n=7时，取得最大值C． D．满足的n的最大值为1226．意大利著名数学家斐波那契在研究兔子繁殖问题时，发现有这样一列数：1，1，2，3，5，…，其中从第三项起，每个数等于它前面两个数的和，后来人们把这样的一列数组成的数列{an}称为“斐波那契数列”，记Sn为数列{an}的前n项和，则下列结论正确的是（）A．a8＝34 B．S8＝54 C．S2020＝a2022－1 D．a1＋a3＋a5＋…＋a2021＝a202227．意大利人斐波那契于1202年从兔子繁殖问题中发现了这样的一列数：….即从第三项开始，每一项都是它前两项的和.后人为了纪念他，就把这列数称为斐波那契数列.下面关于斐波那契数列说法正确的是（）A． B．是偶数 C． D．…28．已知数列为等差数列，则下列说法正确的是（）A．（d为常数） B．数列是等差数列C．数列是等差数列 D．是与的等差中项29．在数列中，若为常数，则称为“等方差数列”下列对“等方差数列”的判断正确的是（）A．若是等差数列，则是等方差数列B．是等方差数列C．若是等方差数列，则为常数也是等方差数列D．若既是等方差数列，又是等差数列，则该数列为常数列30．定义为数列的“优值”已知某数列的“优值”，前n项和为，则（）A．数列为等差数列 B．数列为等比数列C． D．，，成等差数列【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、等差数列选择题1．B【分析】由等差数列的性质可得数列为等差数列，再由等差数列的通项公式可得，进而可得，再结合基本不等式即可得解.【详解】因为，所以，所以数列为等差数列，设其公差为，由可得，所以，解得，所以，所以，所以不等式即对任意的恒成立，又，当且仅当时，等号成立，所以即实数a的最大值是.故选：B.【点睛】关键点点睛：解决本题的关键是构造新数列求数列通项及基本不等式的应用.2．A【分析】利用等差数列的性质可得，代入已知式子即可求解.【详解】由等差数列的性质可得，所以，解得：，故选：A3．A【分析】先利用公式求出数列的通项公式，再利用通项公式求出的值.【详解】当时，；当时，.不适合上式，.因此，；故选：A.【点睛】易错点睛：利用前项和求通项，一般利用公式，但需要验证是否满足.4．A【分析】根据数列是等差数列，且，求出首项和公差的关系，代入式子求解.【详解】因为，所以，即，所以.故选：A5．D【分析】设该女子第尺布，前天工织布尺，则数列为等差数列，设其公差为，根据，可求得的值.【详解】设该女子第尺布，前天工织布尺，则数列为等差数列，设其公差为，由题意可得，解得.故选：D.6．C【分析】由等差数列的性质可得，结合分组求和法即可得解。【详解】因为，，所以数列是以为首项，公差为3的等差数列，所以，所以当时，；当时，；所以.故选：C.7．B【分析】设出数列的公差，利用等差数列的通项公式及已知条件，得到，然后代入求和公式即可求解【详解】设等差数列的公差为，则由已知可得，所以故选：B8．B【分析】设等差数列的公差为d.由已知得，可得关系.再运用求和公式和二次函数的性质可得选项.【详解】设等差数列的公差为d.由得，，整理得，.又，所以，因此，所以最大.故选：B.9．C【分析】先求得，然后求得.【详解】依题意，所以.故选：C10．B【分析】先求得，根据，求得，进而得到，结合等差数列的求和公式，即可求解.【详解】由题意，等差数列的前项和为，且，可得，因为，即，解得，当，（）时，，即，即，从而.故选：B.11．D【分析】根据等差数列的性质计算求解．【详解】由题意，，∴．故选：D．12．C【分析】利用等差数列的前项和公式可得，即可得，再利用等差数列的性质即可求解.【详解】设等差数列的公差为，则，所以，即，所以，所以，故选：C【点睛】关键点点睛：本题的关键点是求出，进而得出，即可求解.13．A【分析】根据已知条件，结合等差数列前项和公式，即可容易判断.【详解】依题意，有，则故选：.14．B【分析】由已知判断出数列是以为首项，以为公差的等差数列，求出通项公式后即可求得.【详解】，且，数列是以为首项，以为公差的等差数列，通项公式为，，故选：B.15．B【分析】根据等差数列的性质求出，再由求和公式得出答案.【详解】，即故选：B16．B【分析】利用求出时的表达式，然后验证的值是否适合，最后写出的式子即可.【详解】，当时，，当时，，上式也成立，，故选：B.【点睛】易错点睛：本题考查数列通项公式的求解，涉及到的知识点有数列的项与和的关系，即，算出之后一定要判断时对应的式子是否成立，最后求得结果，考查学生的分类思想与运算求解能力，属于基础题.17．C【分析】由已知可得数列是等差数列，求出数列的通项公式，进而得出答案．【详解】由已知可得数列是等差数列，且，故公差则，故故选：C18．B【分析】利用等差数列的性质，由，得到，然后由求解.【详解】因为，所以由等差数列的性质得，解得，所以．故选：B19．B【分析】由题意可得，运用等差数列的通项公式可得，求得，然后利用裂项相消求和法可求得结果【详解】解：由，，得，所以数列是以4为公差，以1为首项的等差数列，所以，因为，所以，所以，所以，所以，故选：B【点睛】关键点点睛：此题考查由数列的递推式求数列的前项和，解题的关键是由已知条件得，从而数列是以4为公差，以1为首项的等差数列，进而可求，，然后利用裂项相消法可求得结果，考查计算能力和转化思想，属于中档题20．A【分析】在等差数列{an}中，利用等差中项由求解.【详解】在等差数列{an}中，a5=3，a9=6，所以，所以，故选：A二、多选题21．ABC【分析】因为是等差数列，由可得，利用通项转化为和即可判断选项A；利用前项和公式以及等差数列的性质即可判断选项B；利用等差数列的性质即可判断选项C；由可得且，即可判断选项D，进而得出正确选项.【详解】因为是等差数列，前项和为，由得：，即，即，对于选项A：由得，可得，故选项A正确；对于选项B：，故选项B正确；对于选项C：，若，则，故选项C正确；对于选项D：当时，，则，因为，所以，，所以，故选项D不正确，故选：ABC【点睛】关键点点睛：本题的关键点是由得出，熟记等差数列的前项和公式和通项公式，灵活运用等差数列的性质即可.22．无23．无24．BD【分析】由题意可知，由已知条件可得出，可判断出AB选项的正误，求出关于的表达式，利用二次函数的基本性质以及二次不等式可判断出CD选项的正误.【详解】由于等差数列是递增数列，则，A选项错误；，则，可得，B选项正确；，当或时，最小，C选项错误；令，可得，解得或.，所以，满足时的最小值为，D选项正确.故选：BD.25．ACD【分析】由题可得，，，求出可判断A；利用二次函数的性质可判断B；求出可判断C；令，解出即可判断D.【详解】设等差数列的公差为，则，解得，，，且，对于A，，故A正确；对于B，的对称轴为，开口向下，故或7时，取得最大值，故B错误；对于C，，，故，故C正确；对于D，令，解得，故n的最大值为12，故D正确.故选：ACD.【点睛】方法点睛：由于等差数列是关于的二次函数，当与异号时，在对称轴或离对称轴最近的正整数时取最值；当与同号时，在取最值.26．BCD【分析】由题意可得数列满足递推关系，依次判断四个选项，即可得正确答案.【详解】对于A，可知数列的前8项为1，1，2，3，5，8，13，21，故A错误；对于B，，故B正确；对于C，可得，则即，，故C正确；对于D，由可得，，故D正确.故选：BCD.【点睛】本题以“斐波那契数列”为背景，考查数列的递推关系及性质，解题的关键是得出数列的递推关系，，能根据数列性质利用累加法求解.27．AC【分析】由该数列的性质，逐项判断即可得解.【详解】对于A，，，，故A正确；对于B，由该数列的性质可得只有3的倍数项是偶数，故B错误；对于C，，故C正确；对于D，，，，，各式相加得，所以，故D错误.故选：AC.【点睛】关键点点睛：解决本题的关键是合理利用该数列的性质去证明选项.28．ABD【分析】由等差数列的性质直接判断AD选项，根据等差数列的定义的判断方法判断BC选项.【详解】A.因为数列是等差数列，所以，即，所以A正确；B.因为数列是等差数列，所以，那么，所以数列是等差数列，故B正确；C.，不是常数，所以数列不是等差数列，故C不正确；D.根据等差数列的性质可知，所以是与的等差中项，故D正确.故选：ABD【点睛】本题考查等差数列的性质与判断数列是否是等差数列，属于基础题型.29．BCD【分析】根据等差数列和等方差数列定义，结合特殊反例对选项逐一判断即可.【详解】对于A，若是等差数列，如，则不是常数，故不是等方差数列，故A错误；对于B，数列中，是常数，是等方差数列，故B正确；对于C，数列中的项列举出来是，，，，，，，数列中的项列举出来是，，，，，，将这k个式子累加得，，，k为常数是等方差数列，故C正确；对于D，是等差数列，，则设是等方