专题3.21 勾股定理中的方程思想（分层练习）-2023-2024学年八年级数学上册基础知识专项突破讲与练（苏科版）

专题3.21勾股定理中的方程思想（分层练习）1．的三边长分别为，，，若该三角形是以为斜边的直角三角形，求的值．2．在中，，、、的边分别为a、b、c．(1)若，，求a，b的值．(2)若，，求a的值．3．如图，在中，，，，动点P从点B出发沿射线以的速度移动，设运动的时间为t秒．(1)用含t的代数式表示①当点P在线段上时，________．②当点P在线段的延长线上时，________．当为直角三角形时，求t的值；4．春天到了，奇奇和妙妙一同去春游．如图，有一座景观桥，他俩一同坐在离桥头A的凉亭D处，准备从桥的不同方向到达景点C．奇奇先走到桥尾B到岸边后再坐船到景点C，妙妙先走到桥头A到岸边，再沿与桥垂直的小路走到达景点C，若距离均以直线计算，且两人所经过的距离相等，请利用所学知识计算桥的长是多少？5．一条东西走向的公路上有A，B两个站点（视为直线上的两点）相距，C，D为两村庄（视为两个点），于点A，于点（如图），已知，，现在要在公路上建一个土特产储藏仓库P，使得C，D两村庄到储藏仓库P的直线距离相等，请求出储藏仓库P到A站点的距离（精确到）6．如图，有一只摆钟，摆锤看作一个点，当摆锤静止时，它离底座的垂直高度，当摆锤摆动到最高位置时，它离底座的垂直高度，此时摆锤与静止位置时的水平距离时，求钟摆的长度．7．如图，在中，长比长大1，，D是上一点，，．(1)求证：；(2)求长．8．在中，已知，求代数式的值.9．如图，中，，将折叠，使点恰好落在斜边上，与点重合，为折痕，求的长．10．如图，一棵大树在一次强台风中在离地某处折断倒下，树尖落在离树底部12米处，已知原树高是18米，你能求出大树在离地多少米的位置折断吗？

11．如图，某斜拉桥的主梁垂直于桥面与点D，主梁上有两根拉索分别为．(1)若拉索的长度分别为10米、26米，则拉索______米，主梁______米；(2)若的长分别为13米、20米，且固定点B、C之间的距离为21米，求主梁AD的高度．12．《九章算术》卷九“勾股”中记载：今有立木，系索其末，委地四尺，引索却行，去本八尺而索尽，问索长几何？译文：今有一竖立着的木柱，在木柱的上端系有绳索，绳索从木柱上端顺木柱下垂后，堆在地面的部分尚有4尺．牵着绳索（绳索头与地面接触）退行，在距木根部8尺处时绳索用尽，问绳索长是多少？根据题意求出绳索长．13．同学们想利用升旗的绳子、卷尺，测算学校旗杆的高度．爱动脑的小华设计了这样一个方案：如图，将升旗的绳子拉直刚好触底，此时测得绳子末端C到旗杆AB的底端B的距离为1米，然后将绳子末端拉直到距离旗杆5米的点E处，此时测得绳子末端E距离地面的高度为1米．请你根据小华的测量方案和测量数据，求出学校旗杆的高度．14．如图所示，有一根高为的电线杆在处断裂，电线杆顶部C落在地面离电线杆底部B点远的地方，求电线杆断裂处A离地面的距离.15．光武大桥是我市中心城区的首座斜拉大桥，为纪念故乡南阳的东汉光武帝刘秀而命名，若一根斜拉钢梁竖直垂下时底端在桥下面的5米处，当点固定在桥面上的处时，距离点15米，求这根钢梁的长度．16．如图，小巷左右两侧是竖直的高度相等的墙，一根竹竿斜靠在左墙时，竹竿底端O到左墙角的距离为米，顶端B距墙顶的距离为米若保持竹竿底端位置不动，将竹竿斜靠在右墙时，竹竿底端到右墙角的距离为米，顶端E距墙项D的距离为1米，点A、B、C在一条直线上，点D、E、F在一条直线上，，．求：(1)墙的高度；(2)竹竿的长度．17．《九章算术》是古代东方数学代表作，书中记载：今有开门去阃（门槛）一尺，不合四寸，问门广几何？其大意：如图，推开双门（大小相同），双门间隙寸，点C、点D与门槛的距离尺（1尺=10寸），O是的中点，连接．(1)求的长，(2)求门槛的长．18．铁路上A,B两站（视为直线上的两点）相距50km，C,D为两村庄（视为两个点），DA⊥AB于点A，CB⊥AB于点B（如图）.已知DA=20km,CB=10km,现在要在铁路AB上建一个土特产收购站E,使得C,D两村庄到收购站E的直线距离相等，请你设计出收购站的位置，并计算出收购站E到A站的距离.19．在△ABC中，AB＝15，BC＝14，AC＝13，求△ABC的面积．某学习小组经过合作交流，给出了下面的解题思路，请你按照他们的解题思路完成解答过程．20．已知在等腰三角形中，，，当底边上的高增加，腰长增加时，底却保持不变，请确定的值.21．八年级(3)班开展了手工制作竞赛，每名同学都需在规定时间内完成一件手工作品．陈莉同学在制作手工作品时的第一、二个步骤是：①如图17，先裁下一张长BC＝20cm，宽AB＝16cm的长方形纸片ABCD；②将纸片沿着直线AE折叠，点D恰好落在BC边上的点F处．请你根据步骤①②解答下列问题：(1)找出图中∠FEC的余角；(2)求EC的长．22．已知：如图，△ABC中，AB=AC=10，BC=16，点D在BC上，DA⊥CA于A．求：BD的长．23．如图，在△ABC中，AB=15，BC=14，AC=13，求△ABC的面积．某学习小组经过合作交流，给出了下面的解题思路，请你按照他们的解题思路，完成解答过程．(1)作AD⊥BC于D，设BD=x，用含x的代数式表示CD，则CD=________；

(2)请根据勾股定理，利用AD作为“桥梁”建立方程，并求出x的值；(3)利用勾股定理求出AD的长，再计算三角形的面积．参考答案1．【分析】利用直角三角形勾股定理得性质，列出方程，借用方程解出x即可．解：∵该三角形是以为斜边的直角三角形，∴，∴．【点拨】本题考查了勾股定理，能利用勾股定理列出方程是解答此题的关键．2．(1)，；(2)30【分析】（1）设，则，再根据勾股定理求出的值，进而可得出结论．（2）根据勾股定理可得，，的数量关系，再把已知条件代入即可求出的值．（1）解：中，，、、的对边分别为、、，且，设，则．，即，解得（负值舍去），，；（2）中，，，，的对边分别为，，，，，，，解得：．【点拨】本题考查的是勾股定理，熟知在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方是解答此题的关键．3．(1)①；②；(2)或【分析】（1）先根据勾股定理求出的长度，然后再根据图形求解即可；（2）当为直角三角形时，分两种情况：①当为直角时，②当为直角时，分别求出此时的t值即可．解：（1）∵，，，∴．∵动点P从点B出发沿射线以的速度移动，∴．①当点P在线段上时，．②当点P在线段的延长线上时，．故答案为：①；②；（2）①当为直角时，点P与点C重合，，即；②当为直角时，，，在中，，在中，，即：，解得，故当为直角三角形时，或；【点拨】本题考查了勾股定理，解答本题的关键是掌握勾股定理，以及分情况讨论．4．桥长．【分析】设桥长为，则，利用两人所经过的距离相等，求得，在中，利用勾股定理列式计算即可求解.解：设桥长为，则，由题可知，，∴，∴，∵为直角三角形，∴，∴，解得，答：桥长．【点拨】本题考查了勾股定理的应用，能从实际问题中抽象出勾股定理并应用解决问题是关键．5．【分析】由题意得，再由勾股定理得，设AP为xkm，则，得方程，解方程即可．解：、D两村到储藏仓库P的直线距离相等，，，，，在和中，由勾股定理得：，，，设，则，，解得：，答：储藏仓库P到A站点的距离约为【点拨】本题考查了勾股定理的应用，由勾股定理得出方程是解题的关键．6．【分析】设，表示出的长，然后利用勾股定理列方程求解即可．解：设，由题意得，，∴，∵，∴，∴，∴．【点拨】此题考查了勾股定理的应用，在应用勾股定理解决实际问题时，勾股定理与方程的结合是解决实际问题常用的方法，关键是从题中抽象出勾股定理这一数学模型，画出准确的示意图．领会数形结合的思想的应用．7．(1)见分析；(2)13【分析】（1）根据，，，得到，根据勾股定理逆定理即可得到，问题得证；（2）设，则，根据勾股定理得到，解方程即可求解．解：（1）证明：，，，∴，，∴，，；（2）解：由题意得，设，则，，，，解得：，即．【点拨】本题考查了勾股定理及其逆定理，熟知两个定理并根据题意灵活应用是解题关键．8．9或7【分析】分两种情况讨论①当是斜边时，②当是斜边时，即可求解．解：由题意得：，①当是斜边时，则，即，解得：，∴，②当是斜边时，则，即，解得：，∴，综上所述：代数式的值为9或7．【点拨】本题考查了求代数式的值，核心是考查勾股定理，掌握分类讨论思想是解题关键．9．【分析】根据勾股定理得到，由折叠的性质得到，设，则，根据勾股定理即可得到结论．解：在中，，∴，∵将折叠，使点B恰好落在斜边上，与点重合，∴，∴，设，则，∵在中，，∴，解得，∴．【点拨】本题考查了翻折变换-折叠问题，勾股定理，熟练掌握折叠的性质是解题的关键．10．5米【分析】设大树在离地米处折断，则折断处离树尖的距离为米，再根据勾股定理建立方程求解即可．解：设大树在离地米处折断，由勾股定理得：，解得．答：大树在离地5米的位置折断．【点拨】本题主要考查了勾股定理的实际应用，正确理解题意并熟知勾股定理是解题的关键．11．(1)24，；(2)主梁的高度为12米【分析】（1）根据勾股定理可求得，再根据等面积法可求得；（2）设米，则米，由题意可得，则、可得解得：，最后在中运用勾股定理即可解答．（1）解：∵的长度分别为10米、26米，∴（米），∵∴，解得：（米）．（2）解：设米，则米，∵主梁垂直于桥面于点，∴，∴根据勾股定理可得：，∴，解得：∵，∴．答：主梁的高度为12米．【点拨】本题主要考查了运用勾股定理解直角三角形、勾股定理的的应用等知识点，根据勾股定理建立方程是解答本题的关键．12．绳索长为10尺【分析】设绳索长为x尺，利用勾股定理进行求解即可．解：设绳索长为x尺，根据题意得：，解得：，答：绳索长为10尺．【点拨】本题考查勾股定理的应用．熟练掌握勾股定理，是解题的关键．13．12.5米【分析】过点E作，垂足为F，在和中，根据勾股定理得出，，根据，得出，求出的长即可．解：过点E作，垂足为F，如图所示：由题意可知：四边形是长方形，和是直角三角形，∴，，，在和中，根据勾股定理可得：，，即，，又∵，∴，解得：．答：学校旗杆的高度为12.5米．【点拨】本题主要考查了勾股定理的应用，解题的关键是根据勾股定理列出关于方程．14．【分析】根据题意，设，则．运用勾股定理，列方程求解即可．解：设，则．根据勾股定理，得,∴，∴，解得：．∴【点拨】本题考查了勾股定理的应用，根据题意建列方程是解题的关键．15．这根钢梁的长度为25米．【分析】设米，由题意得到：，，根据一根斜拉钢梁竖直垂下，利用勾股定理建立等式求解．解：设米，由题意得到：，，一根斜拉钢梁竖直垂下，，，，解得：米答：这根钢梁的长度为25米．【点拨】本题考查了勾股定理，解题的关键是得出是直角三角形，利用勾股定理求解．16．(1)墙高3米；(2)竹竿的长米【分析】（1）设墙高x米，在，根据勾股定理即可表示出竹竿长度的平方，联立即可得到答案；（2）把（1）中的x代入勾股定理即可得到答案．（1）解：设墙高x米，∵，，∴，在，根据勾股定理可得，，，∵，∴，解得：，答：墙高3米；（2）由（1得），，，∴答：竹竿的长米．【点拨】本题考查勾股定理实际应用题，解题的关键时根据两种不同状态竹竿长不变列等式及正确计算．17．(1)；(2)【分析】（1）根据题意得到，然后根据勾股定理求解即可；（2）由题意可得，设，则，利用勾股定理即可求解．（1）解：∵O是的中点∴∵∴；（2）设，则．∵，尺寸∴解得：∴．【点拨】本题考查了勾股定理的应用，弄清题意，构建直角三角形是解题关键．18．收购站E到A站的距离为22km解：连接CD,并作线段CD的垂直平分线,垂直平分线到端点距离相等，再利用勾股定理求EA长.【点拨】如图,连接CD,并作线段CD的垂直平分线,与AB相交于点E,点E即为所建土特产收购站的地点.连接DE,CE，设AE=xkm,则BE=(50-x)km,在Rt△ADE中,,∴

,在Rt△BCE中,,∴,

又DE=CE,

∴,解得x=22

.

∴收购站E到A站的距离为22km.点睛：勾股定理：在平面上的一个直角三角形中，两个直角边边长的平方加起来等于斜边长的平方.19．84.解：作AD⊥BC于D，如图所示：设BD=x，则．

在Rt△ABD中，由勾股定理得：，在Rt△ACD中，由勾股定理得：，∴，

解之得：．

∴．

∴．20．.【分析】过点作于点.先根据勾股定理求出AD的长，然后根据变化后的边长利用勾股定理列方程解答即可．解：过点作于点.因为，，所以.在中，，所以.根据题意得，，所以.【点拨】此题考查勾股定理，关键是根据勾股定理和等腰三角形的性质解答．在直角三角形中，如果两条直角边分别为a和b，斜边为c，那么a2+b2=c2.也就是说，直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方.21．(1)∠CFE，∠BAF；(2)EC的长为6cm.解：(1)∠CFE,∠BAF,(2)由折叠的性质,得AF＝AD＝20cm,EF＝DE.设EC＝xcm,则EF＝DE＝(16－x)cm,在Rt△ABF中,BF2＝AF2－AB2＝202－162＝144,所以BF＝12(cm),所以FC＝BC－BF＝20－12＝8(cm),在Rt△EFC中,由勾股定理,得EF2＝FC2＋EC2,即(16－x)2＝82＋x2,解得x＝6,所以EC的长为6cm.22．【分析】先根据等腰三角形的性质和勾股定理求出AE=6，设BD=x，则DE=8﹣x，DC=16﹣x．在Rt△ADE和Rt△ADC中利用勾股定理得：AD2=AE2+DE2=DC2﹣AC2，继而代入求出x的值即可．解：如图,过点A作AE⊥BC于点E，∵AB=AC=10，BC=