2023-2024学年天津重点大学附中高二（上）第二次月考数学试卷（含解析）

第=page11页，共=sectionpages11页2023-2024学年天津重点大学附中高二（上）第二次月考数学试卷一、单选题：本题共9小题，每小题3分，共27分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.直线x−3yA.π6 B.π3 C.2π2.直线l：x−y−2=0与圆C：x2+yA.2 B.22 C.23.已知等差数列{an}的前n项和为Sn，若2a6A.49 B.42 C.35 D.244.已知抛物线y2=45x，F1，F2分别是双曲线x2aA.x210−y2=1 B.5.准线方程为x=2的抛物线的标准方程为(

)A.y2=−8x B.y26.双曲线x216−y29=1的两个焦点分别是F1，F2A.253 B.163 C.7.已知抛物线C：y2=8x的焦点为F，过点F且倾斜角为π4的直线l与抛物线C交于A，BA.8 B.82 C.16 8.若数列{an}的前n项和SnA.an=4n+2 B.a9.已知椭圆C：x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1A.13 B.33 C.1二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分。10.双曲线x2−y2311.已知{an}是等比数列，a2=2,12.设x，y∈R，向量a=(x,1,1)，b=(13.已知a∈R，若直线l1：ax+y+1=014.若直线x−y+m=0(m>015.已知数列{an}是各项均不为零的等差数列，Sn为其前n项和，且S2n−1=an三、解答题：本题共5小题，共60分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。16.(本小题12分)

设{an}是等差数列，a1=−10，且a2+10，a3+8，a4+6成等比数列．

(Ⅰ)求{17.(本小题12分)

如图，四棱柱ABCD −A1B1C1D1中，侧棱A1A⊥底面A(1)证明：(2)求二面角(3)设点M在线段C1E上，且直线AM与平面AD18.(本小题12分)

设椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左焦点为F，上顶点为B.已知椭圆的短轴长为4，离心率为55．

(Ⅰ)求椭圆的方程；

(Ⅱ)设点P在椭圆上，且异于椭圆的上、下顶点，点19.(本小题12分)

已知椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)的一个顶点为A(0,−3)，右焦点为F，且|OA|=|OF|，其中O为原点．

(Ⅰ20.(本小题12分)

已知{an}为等差数列，{bn}为等比数列，a1=b1=1，a5=5(a4−a3)，b5=4(b4−b3).

(Ⅰ)求答案和解析1.【答案】A

【解析】解：设倾斜角为α，

∵直线x−3y+2=0的斜率为33，

∴tanα=2.【答案】B

【解析】解：圆的方程即(x−1)2+(y−1)2=4，

则圆心(1,13.【答案】B

【解析】解：设等差数列{an}的公差为d，

∵2a6=a8+6，

∴2(a1+5d)=a1+7d+6，化为a1+3d=4.【答案】C

【解析】【分析】本题考查双曲线的标准方程，抛物线的焦点、准线，以及双曲线的渐近线，属于较易题．

先由抛物线方程得出准线方程，从而得双曲线的半焦距c，再联立抛物线准线方程与双曲线的渐近线方程解得|yA|，接着由∠F1F2【解答】

解：由题意可得抛物线的准线为x=−5，

又∵抛物线的准线过双曲线的左焦点F1，

∴c=5，

∵双曲线的渐近线方程为y=±bax，

设直线y=−bax与直线x=−5相交于点A−5,yA，

则x=−5y=−bax5.【答案】A

【解析】解：准线方程为x=2的抛物线的标准方程为y2=−2px，

令p2=2，解得p=46.【答案】C

【解析】解：∵F1、F2是双曲线x216−y29=1的两个焦点，P是此双曲线上的点，∠F1PF2=60°，

不妨设PF1>PF2，

∴7.【答案】C

【解析】解：焦点F(2,0)，直线l的方程为y=x−2，

由y=x−2y2=8x，消去y并化简得x2−12x+8.【答案】D

【解析】解：当n=1时，a1=S1=2×12+1=3，

当n>1时，a9.【答案】B

【解析】解：如图，因为△BF1A为等腰三角形，且|AF1|=|AF2|=a，

所以|AB|=|BF1|，

又|AB|+|BF1|+|AF1|=4a，所以|AB|=3a2，所以|AF2|=2|F2B|．10.【答案】2

【解析】解：∵双曲线x2−y23=1中，a2=1且b2=3

∴a=1，b=11.【答案】12【解析】【分析】

由等比数列的通项公式求解．

本题主要考查等比数列的通项公式．

【解答】

解：由题意：

q3=a5a212.【答案】3

【解析】解：∵a=(x,1,1)，b=(1,y,1)，c=(2,−4,2)，且a⊥c13.【答案】12【解析】解：因为直线l1：ax+y+1=0与直线l2：x+(a−1)14.【答案】2

【解析】【分析】本题考查直线与圆的交点坐标、弦长，点到直线的距离公式，属于较易题．

先求出圆心到直线的距离，再根据圆中的弦长公式建立方程，最后解方程即可得解．【解答】

解：由题知，圆心为(1,1)，半径为3，

∴圆心到直线x−y+m=0(m>0)的距离d=m2，

15.【答案】2

【解析】【分析】

本题考查数列递推式，考查了等差数列通项公式的求法，训练了二次函数最值的求法，是中档题．

利用等差数列求和公式化简已知条件，求出数列的通项公式，然后化简不等式，分离变量λ，利用函数的单调性求解函数的最值即可．

【解答】

解：由S2n−1=an2，得a1=a12，

∵an≠0，∴a1=1，

取n=2，得S3=a22，即3a1+3d=(a1+d)2，

∴3+3d16.【答案】解：(Ⅰ)∵{an}是等差数列，a1=−10，且a2+10，a3+8，a4+6成等比数列．

∴(a3+8)2=(a2+10)(a4【解析】本题考查数列的通项公式、前n项和的最小值的求法，考查等差数列、等比数列的性质等基础知识，考查推理能力与计算能力，属于中档题．

(Ⅰ)利用等差数列通项公式和等比数列的性质，列出方程求出d=2，由此能求出{an}的通项公式；

(Ⅱ)由a1=17.【答案】(1)证明：以点A为原点建立空间直角坐标系，如图，

依题意得A(0,0,0)，B(0,0,2)，C(1,0,1)，B1(0,2,2)，C1(1,2,1)，E(0,1,0)．

则B1C1=(1,0,−1),CE=(−1,1,−1)，

而B1C1⋅CE=0．

所以B1C1⊥CE；

(2)解：B1C=(1,−2,−1)，

设平面B1CE的法向量为m=(x,y,z)，

则m【解析】本题考查了线线垂直的向量表示，利用空间向量求线面角、二面角，是较难题．

(1)由题意，以A为坐标原点建立空间直角坐标系，标出点的坐标后，求出B1C1和CE，由B1C1⋅CE=0得到B1C1⊥CE；

(2)18.【答案】解：(Ⅰ)由题意可得2b=4，即b=2，

则e=ca=55，a2−b2=c2，

解得a=5，c=1，

故椭圆方程为x25+y24=1；

(Ⅱ)B(0，2)，设PB的方程为y=kx+2，

代入椭圆方程【解析】本题考查椭圆的方程和性质，考查直线和椭圆方程联立，求交点，考查化简运算能力，属于中档题．

(Ⅰ)由题意可得b=2，运用离心率公式和a，b，c的关系，可得a，c，进而得到所求椭圆方程；

(Ⅱ)B(0，2)，设PB的方程为y=k19.【答案】解：(1)由已知可得b=3.记半焦距为c又由a2=b所以，椭圆的方程为x2(2)因为直线AB与以C为圆心的圆相切于点P依题意，直线AB和直线CP的斜率均存在．设直线AB由方程组y=kx−3解得x=0或依题意，可得点B的坐标为12k因为P为线段AB的中点，点A的坐标为(0,−3由3OC=OF，得点C的坐标为(即32又因为AB⊥C整理得2k2−3k所以，直线AB的方程为y=1

【解析】本题中考查了椭圆的标准方程及其性质、直线与圆相切问题、中点坐标公式等基础知识与基本技能方法，考查了推理能力和计算能力

(Ⅰ)根据题意可得c=b=3，由a2=b2+c2，可得a2=18，即可求出椭圆方程；

(Ⅱ)根据题意可得直线AB和直线CP的斜率均存在，设直线20.【答案】(Ⅰ)解：设等差数列{an}的公差为d，等比数列{bn}的公比为q，

由a1=1，a5=5(a4−a3)，则1+4d=5d，可得d=1，

∴an=1+n−1=n，

∵b1=1，b5=4(b4−b3)，

∴q4=4(q3−q2)，

解得q=2，

∴bn=2n−1；

(