高二数学上学期期中模拟卷（空间向量与立体几何+直线与圆的方程+椭圆）（解析版）2023-2024学年高二数学上学期期中期末复习讲练测（人教A版2019选择性必修第一册）

第第页2023-2024学年高二数学上学期期中考试（考试时间：120分钟试卷满分：150分范围：选修一第一、二章+椭圆）注意事项：1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。第Ⅰ卷一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的．1．“”是“方程表示椭圆”的（

）A．充要条件 B．必要不充分条件C．充分不必要条件 D．既不充分也不必要条件【答案】B【分析】根据充分条件和必要条件的定义判断即可.【详解】等价于.若，则方程表示单位圆.若方程表示椭圆，则椭圆方程可化为，则且.故“”是“方程表示椭圆”的必要不充分条件.故选：B.2．直线，若，则实数的值不可能是（

）A． B．0 C．1 D．【答案】A【分析】根据平行列式，求得的值，进而确定正确答案.【详解】由于，所以，，，解得或或.当时，，即，两直线平行，符合题意.当时，，即，两直线平行，符合题意.当时，，即，两直线平行，符合题意.所以的值不可能是.故选：A3．如图，在四面体中，．点在上，且为中点，则等于（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】连接，利用空间向量基本定理可得答案.【详解】连接．故选：B.4．如图，已知正方体的棱长为4，是的中点，若，，，若，则面积的最小值为（

）

A．4 B．8 C． D．【答案】C【分析】由题意知点M在平面内，建立如图空间直角坐标系，设，根据空间向量的数量积的坐标表示可得，取AB的中点N，连接，则点M的轨迹为线段，过点B作，结合线面垂直的性质即可求解.【详解】由，知点M在平面内，以所在直线为坐标轴建立如图空间直角坐标系，则，设，则，由，得，即，取AB的中点N，连接，则点M的轨迹为线段，过点B作，则，又平面，故，所以的最小值为.故选：C.5．在平面直角坐标系中，设军营所在区域为，将军从点出发，河岸线所在直线方程为，假定将军只要到达军营所在区域即回到军营，则“将军饮马”的最短总路程（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根据题意作出图形，然后求出关于直线的对称点，进而根据圆的性质求出到圆上的点的最短距离即可.【详解】若军营所在区域为，圆：的圆心为原点，半径为，作图如下：

设将军饮马点为，到达营区点为，设为A关于直线的对称点，因为，所以线段的中点为，则即，又，联立解得：，即，所以总路程，要使得总路程最短，只需要最短，即点到圆上的点的最短距离，即为.故选：B.6．在等腰直角三角形中，，点是边上异于的一点，光线从点出发，经发射后又回到原点（如图）．若光线经过的重心，则的长度等于（

）

A． B． C． D．【答案】B【分析】建立平面直角坐标系，得出各顶点以及重心的坐标，设，.求出直线的方程，根据光的反射原理得出点关于以及轴的对称点的坐标，表示出的方程，代入重心坐标，求出的值，得出的方程.进而求出的坐标，即可根据两点间的距离公式得出答案.【详解】

如图，建立平面直角坐标系，则，，，的重心坐标为，方程为，设，.根据光的反射原理以及已知可知，点关于的对称点在的反向延长线上，点关于轴的对称点在的延长线上，即四点共线.由已知可得点满足，解得，所以.易知.因为四点共线，所以有直线的斜率为，所以，直线的方程为.由于直线过重心，所以有，整理可得，解得或（舍去），所以直线的方程为，整理可得.所以，点坐标为.联立与的方程，解得，即，所以，.故选：B.7．正四面体的棱长为，点，是它内切球球面上的两点，为正四面体表面上的动点，当线段最长时，的最大值为（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】设四面体的内切球球心为，为的中心，为的中点，连接，则在上，连接，根据题意求出内切球的半径，当为内切球的直径时，最长，再化简可求得其最大值.【详解】设正四面体的内切球球心为，为的中心，为的中点，连接，则在上，连接，则.因为正四面体的棱长为3，所以，所以，设内切球的半径为，则，，解得，当为内切球的直径时最长，此时，，，因为为正四面体表面上的动点，所以当为正四体的顶点时，最长，的最大值为，所以的最大值为.

故选：C8．已知M为椭圆：上一点，，为左右焦点，设，，若，则离心率（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】设，，结合三角恒等变换以及正余弦定理将化为，继而推出的关系，求得答案.【详解】设，，则，

由得，即，在中，由正弦定理得，故，又，故，即，即，即或，结合椭圆定义可知且，故，即，故选：C【点睛】关键点睛：本题是椭圆的离心率的求解问题，即求之间的关系，解答的关键是对于已知等式的化简，即利用三角恒等变换结合正余弦定理将转化为三角形边之间的关系式，进而化简可得的关系，即可求解答案.二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9．直线分别与轴，轴交于两点，点在圆上，则面积可能是（

）A．1 B．3 C．4 D．7【答案】BC【分析】根据给定条件，求出线段长，点到直线的距离范围，再利用三角形面积公式求解即得.【详解】依题意，点，则，圆的圆心，半径，则点到直线的距离，因此点到直线的距离，的面积，显然BC满足，AD不满足.故选：BC10．已知圆，圆，则下列说法正确的是（

）A．若点在圆的内部，则B．若，则圆的公共弦所在的直线方程是C．若圆外切，则D．过点作圆的切线，则的方程是或【答案】BCD【分析】根据点在圆的内部解不等式即可判断A错误；将两圆方程相减可得公共弦所在的直线方程可知B正确；利用圆与圆外切，由圆心距和两半径之和相等即可知C正确；对直线的斜率是否存在进行分类讨论，由点到直线距离公式即可得D正确.【详解】对于A，由点在圆的内部，得，解得，故错误；对于B，若，则圆，将两圆方程相减可得公共弦所在的直线方程是，故B正确；对于C，圆的标准方程为，圆心为，半径，圆的标准方程为，圆心为，半径，若圆外切，则，即，解得，故C正确；对于D，当的斜率不存在时，的方程是，圆心到的距离，满足要求，当的斜率存在时，设的方程为，圆心到的距离，解得，所以的方程是，故D正确.故选：BCD.11．如图，正方体的棱长为2，E为的中点，P为棱BC上的动点（包含端点），则下列结论正确的是（

）

A．存在点P，使B．存在点P，使C．四面体的体积为定值D．二面角的余弦值的取值范围是【答案】AB【分析】利用向量法，根据线面垂直，两点间的距离，几何体的体积，二面角等知识对选项进行分析，从而确定正确答案.【详解】

建立如图所示空间直角坐标系，设，则，，，，则，，，当时，即点与点重合时，，故A正确.由知，解得，此时点与点重合，故B正确.为定值，故C错误.又，，设平面的法向量，由，令则，，，又平面的法向量，，又，，故D错误.故选：AB12．已知椭圆的焦点分别为，，设直线l与椭圆C交于M，N两点，且点为线段的中点，则下列说法正确的是（

）A． B．椭圆C的离心率为C．直线l的方程为 D．的周长为【答案】AC【分析】先由题意求出即可判断A；再根据离心率公式即可判断B；由点差法可以求出直线l的斜率，由直线的点斜式化简即可判断C；由焦点三角形的周长公式即可判断D.【详解】如图所示：

根据题意，因为焦点在y轴上，所以，则，故选项A正确；椭圆C的离心率为，故选项B不正确；不妨设，则，，两式相减得，变形得，又注意到点为线段的中点，所以，所以直线l的斜率为，所以直线l的方程为，即，故选项C正确；因为直线l过，所以的周长为，故选项D不正确.故选：AC．第Ⅱ卷三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．在三棱锥中，底面，则点到平面的距离是.【答案】/【分析】建立空间直角坐标系，设平面的一个法向量为，由点到平面的距离为求解.【详解】解：建立如图所示的空间直角坐标系，则，所以.设平面的一个法向量为，则即令，则，所以，所以点到平面的距离为.故答案为：14．若非零实数对满足关系式，则．【答案】或【分析】化简转化为点到直线的距离，利用直线的位置关系即可求解.【详解】由，可得，可以看成点到直线的距离，可以看成点到直线的距离，因为，所以.因为，，所以当点，在直线同侧时，直线与直线平行，当点，在直线异侧时，，关于直线对称，因为直线的斜率，直线的斜率为，所以或，所以或.故答案为：或.15．过椭圆的右焦点F且与长轴垂直的弦的长为，过点且斜率为的直线与相交于两点，若恰好是的中点，则椭圆上一点到的距离的最大值为.【答案】/【分析】利用点差法可求基本量的关系，再结合通径的长可求基本量，故可求焦半径的最大值.我们也可以联立直线方程和椭圆方程，从而可用基本量表示中点，从而得到基本量的一个关系式，同样结合通径长可取基本量，故可求焦半径的最大值.【详解】法一：将代入椭圆的方程得，所以①，设，，则，两式相减得，又，，所以②，解①②得，所以，所以上的点到焦点的距离的最大值为.法二：将代入椭圆的方程得，所以①，直线的方程是，即，代入椭圆的方程并消去整理得，则，设，，则，即②，解①②得，满足，所以，所以上的点到焦点的距离的最大值为.故答案为：.16．在平面直角坐标系中，已知，圆，在直线上存在异于的定点，使得对圆上任意一点，都有为常数），则的坐标为．【答案】【分析】设，，根据距离公式得到对圆上任意点恒成立，从而得到对任意恒成立，从而得到，即可求出与，从而得解.【详解】设，，则，.若在直线上存在异于的定点，使得对圆上任意一点，都有为常数，等价于对圆上任意点恒成立，即，整理得，因为点在直线上，所以，由于在圆上，所以，故恒成立，其中点在圆上，令，则，所以直线与圆有交点，所以圆心到直线的距离小于等于半径，即，解得，即，所以，显然，所以，故，因为，解得或.当时，，此时重合，舍去.当时，，综上，存在满足条件的定点，此时.故答案为：【点睛】关键点睛：本题解决的关键是利用题设条件，结合与化简得恒成立，从而得到关于的方程组，由此得解.四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（10分）如图，在四棱锥中，底面，底面为正方形，，，分别是，的中点.

(1)求证：.(2)已知点在平面内，且平面，试确定点的位置.【答案】(1)证明见解析(2)点为的中点【分析】（1）以D为坐标原点，，，的方向分别为x轴、y轴、z轴的正方向，建立空间直角坐标系，设，再根据即可证明.（2）设，根据平面PCB得到，，即可得到答案.【详解】（1）以D为坐标原点，，，的方向分别为x轴、y轴、z轴的正方向，建立空间直角坐标系（如图），

设，则，，，，，，所以，，所以，所以.（2）因为平面PAD，设，所以.由（1），知，.因为平面PCB，所以，，所以，，所以点G的坐标为，即点G为AD的中点.18．（12分）已知直线．(1)求证：直线过定点；(2)若当时，直线上的点都在轴下方，求的取值范围；(3)若直线与轴、轴形成的三角形面积为1，求直线的方程．【答案】(1)证明见解析(2)(3)或【分析】（1）由直线方程观察得定点坐标即证；（2）由时对应点的纵坐标不小于0可得；（3）求出直线与坐标轴的交点坐标，再计算三角形面积从而得直线的斜率，即得直线方程．【详解】（1）由，得．由直线方程的点斜式可知，直线过定点；（2）若当时，直线上的点都在轴下方，则解得，所以k的取值范围是；（3）设直线与轴的交点为A，与轴的交点为，坐标原点为．当时，得|，当时，得，所以，即，解得或，所以直线的方程为或．（12分）如图所示，第九届亚洲机器人锦标赛VEX中国选拔赛永州赛区中，主办方设计了一个矩形坐标场地ABCD（包含边界和内部，A为坐标原点），AD长为10米，在AB边上距离A点4米的F处放置一只电子狗，在距离A点2米的E处放置一个机器人，机器人行走速度为v，电子狗行走速度为2v，若电子狗和机器人在场地内沿直线方向同时到达场地内某点M，那么电子狗将被机器人捕获，点M叫成功点．

(1)求在这个矩形场地内成功点M的轨迹方程；(2)若P为矩形场地AD边上的一点，若电子狗在线段FP上都能逃脱，问：P点应在何处？【答案】(1)(2)的横坐标范围为即可逃脱.【分析】（1）分别以为轴，建立平面直角坐标系，由题意，利用两点间的距离公式可得答案.（2）利用三角函数得到极端情况时点的横坐标即可得到答案.【详解】（1）分别以AD，AB为x，y轴，建立平面直角坐标系，则，，设成功点，可得，即，化简得，因为点M需在矩形场地内，所以，故所求轨迹方程为．

（2）当线段FP与（1）中圆相切时，则，所以，所以，若电子狗在线段FP上都能逃脱，P点的横坐标取值范围是．20．（12分）．如图，且且且平面．(1)若为的中点，为的中点，求证：平面；(2)求平面和平面夹角的正弦值；(3)若点在线段上，且直线与平面所成的角为，求点到平面的距离．【答案】(1)证明见解析；(2)；(3).【分析】（1）取GD中点为Q，连接NQ，MQ，通过证明平面平面，可得平面；（2）如图，建立以D为原点的空间直角坐标系，分别求出平面和平面夹角的法向量，即可得答案；（3）由（2），设，直线与平面所成的角为可得点P坐标，可得点到平面的距离.【详解】（1）取GD中点为Q，连接NQ，MQ.因为的中点，为的中点，Q为GD中点，由三角形及梯形中位线定理，可得.又注意到，平面EDC，平面EDC，平面MNQ，，则平面平面.又平面MQN，则平面.（2）因平面ABCD，平面ABCD，则，又，则如图建立以D为原点的空间坐标系.则..设平面和平面的法向量分别为.则，取；，取.设平面和平面夹角为，则.则平面和平面夹角的正弦值为.（3）由（2），设，其中，则又由题可得，平面的一个法向量可取.结合直线与平面所成的角为，则.则，.设平面法向量为，则.取，则点到平面的距离.21．（12分）已知在平面直角坐标系xOy中，已知A、B是圆O：上的两个动点，P是弦AB的中点，且；(1)求点P的轨迹方程；(2)点P轨迹记为曲线τ，若C，D是曲线τ与x轴的交点，E为直线l：上的动点，直线CE，DE与曲线τ的另一个交点分别为M，N，判断直线MN是否过定点，若是，求出定点的坐标，若不是，请说明理由．【答案】(1)(2)过定点．【分析】（1）设点为曲线上任意一点，根据几何关系得到，得到轨迹方程.（2）设，分别计算，的直线方程，联