小学奥数工程问题综合

工程问题根本知识讲解工程应用题中的工作(或工作)一般不给出具体数量。解题时首先要将全部工程看作单位“1〞，再求出一个单位时间的工作量占总工作量的几分之几，即工作效率。一般要用到下面三个关系式：工作量=工作效率×工作时间，工作时间=工作量÷工作效率，工作效率=工作量÷工作时间。在解答时要注意以下几点。有的工程问题，工作效率往往隐藏在条件中，工作过程也较为复杂，要仔细梳理工作过程、灵活运用根本数量关系。涉及到具体数量的工程问题，关键要找到的具体数量与对应分率之间的关系，转化为分数应用题来解答。对一些有循环周期的工程问题，要注意弄清一个周期的工作量，还要注意最后不满一个周期的局部所需的工作时间。经典例题赏析例1：(难度:★★★)一件工作，甲、乙两人合作30天可以完成，共同做了6天后，甲离开了，由乙继续做了40天才完成.如果这件工作由甲或乙单独完成各需要多少天？解答：共做了6天后，原来，甲做24天，乙做24天，现在，甲做0天，乙做40=〔24+16〕天.这说明原来甲24天做的工作，可由乙做16天来代替.因此甲的工作效率是乙的工作效率的16/24=2/3。如果乙独做，所需时间是天如果甲独做，所需时间是天例2：(难度:★★)一件工程，甲队单独做10天完成，乙队单独做30天完成.现在两队合作，其间甲队休息了2天，乙队休息了8天〔不存在两队同一天休息〕.问开始到完工共用了多少天时间？解答：甲队单独做8天，乙队单独做2天，共完成工作量余下的工作量是两队共同合作的，需要的天数是2+8+1=11〔天〕.例3：(难度:★★★★)甲、乙两个工程队修路，最终按工作量分配8400元工资．按两队原方案的工作效率，乙队应获5040元．实际从第5天开始，甲队的工作效率提高了1倍，这样甲队最终可比原方案多获得960元．那么两队原方案完成修路任务要多少天?解答：开始时甲队拿到8400—5040=3360元，甲乙的工资比等于甲乙的工效比，即为3360：5040＝2：3；甲提高工效后，甲乙的工资及工效比为(3360+960)：(5040—960)=18：17；设甲开始的工效为“2”，那么乙的工效为“3”，设甲在提高工效后还需天完成任务．有(2×4+4)：(3×4+3)=18：17，化简为216+54=136+68，解得于是共有工程量为所以原方案60÷(2+3)＝12天完成例4：(难度:★★★★)一个蓄水池，每分钟流入4立方米水.如果翻开5个水龙头，2小时半就把水池水放空，如果翻开8个水龙头，1小时半就把水池水放空.现在翻开13个水龙头，问要多少时间才能把水放空？解答：先计算1个水龙头每分钟放出水量.2小时半比1小时半多60分钟，多流入水4×60=240〔立方米〕.时间都用分钟作单位，1个水龙头每分钟放水量是240÷〔5×150-8×90〕=8〔立方米〕，8个水龙头1个半小时放出的水量是8×8×90，其中90分钟内流入水量是4×90，因此原来水池中存有水8×8×90-4×90=5400〔立方米〕.翻开13个水龙头每分钟可以放出水8×13，除去每分钟流入4，其余将放出原存的水，放空原存的5400，需要5400÷〔8×13-4〕=54〔分钟〕.所以翻开13个龙头，放空水池要54分钟.水池中的水，有两局部，原存有水与新流入的水，就需要分开考虑，解此题的关键是先求出池中原存有的水.这在题目中却是隐含着的.例5：(难度：★★★★★)有10根大小相同的进水管给、两个水池注水，原方案用4根进水管给水池注水，其余6根给水池注水，那么5小时可同时注满．因为发现水池以一定的速度漏水，所以改为各用5根进水管给水池注水，结果也是同时注满．(1)如果用10根进水管给漏水的水池注水，需要多少分钟注满?(2)如果增加4根同样的进水管，水池仍然漏水，并且要求在注水过程中每个水池的进水管的数量保持不变，那么要把两个水池注满最少需要多少分钟?(结果四舍五入到个位)解答：设每只进水管的工效为“1”，那么A池容量为4×5=20，B池容量为6×5=30．当用5根进水管给B池灌水时需30÷5=6小时，而在6小时内5只其水管给A池也是灌有30的水，所以漏了30—20=10，因此漏水的工效为(1)用10根进水管给漏水的A池灌水，那么需(2)设A池需根，那么B池需14根，有所以有化简解得所以A池用7根或6根进水管，此时对应所需时间，分别为：①当A池用7根进水管时：A：7根水管，需时间小时=225分钟；B：7根水管，需时间小时257分钟．此时要把两个水池注满最少需要257分钟；②当A池用6根进水管时：A：6根水管，需时间小时277分钟；B：8根水管，需时间30÷8=小时=225分钟．此时要把两个水池注满最少需要277分钟．所以，要把两个水管都注满，最少需257分钟，7根水管注A池，7根水管注B池。例6：〔难度：★★★〕甲、乙两项工程分别由一、二队来完成．在晴天，一队完成甲工程需要12天.二队完成乙工程需要15天；在雨天，一队的工作效率要下降40％，二队的工作效率要下降10％．结果两队同时完成这两项工程，那么在施工的日子里，雨天有多少天?解答：晴天时，一队、二队的工作效率分别为和，一队比二队的工作效率高-=；雨天时，一队、二队的工作效率分别为×(1-40%)=和×(1-10%)=,这时二队的工作效率比一队高-=.由:=5:3知，要两个队同时完工，必须是3个晴天，5个雨天，而此时完成了工程的×3+×5=，所以，整个施工期间共有6个晴天,10个雨天.例7：〔难度：★★★〕甲、乙、丙3名搬运工同时分别在3个条件和工作量完全相同的仓库工作，搬完货物甲用10小时，乙用12小时，丙用15小时．第二天3人又到两个较大的仓库搬运货物，这两个仓库的工作量也相同．甲在A仓库，乙在B仓库，丙先帮甲后帮乙，结果干了16小时后同时搬运完毕．问丙在A仓库做了多长时间?解答：设第一天的每个仓库的工作量为“1”，那么甲、乙、丙的合作工作效率为=，第二天，甲、乙、丙始终在同时工作，所以第二天两个仓库的工作总量为×16=4，即第二天的每个仓库的工作总量为4÷2=2．于是甲工作了16小时只完成了16×=的工程量，剩下的2-=的工程量由丙帮助完成，那么丙需工作÷=6(小时).丙在A仓库做了6小时．强化拓展训练.打印一份稿件，甲单独打4小时打了这份稿件的，乙接着又打了2小时，打了这份稿件的，剩余的甲、乙共同打，还需几小时？修一段公路，甲队单独做要40天，乙队单独做要用24天。现在两队同时从两端开工，结果距中点750米处相遇，这段公路长多少米？一项工程，甲单独做需12小时，乙单独做需18小时，假设甲先做1小时，然后乙接替甲做1小时，再由甲接替乙做1小时……两人如此交替工作，问完成任务时共用多少个小时？一件工程，甲、乙合作6天能完成。如果甲单独做，那么完成与乙完成所需的时间相等。假设按甲、乙、甲、乙……的顺序每人一天轮流，那么需多少天完成任务？老刘和小李合做一件工作，要12天完成，如果让老刘先做8天，剩下的工作由小李单独做，小李还要14天才能完成。小李单独做这件工作需几天完成？一件工程，甲、乙合作需6天完成，乙、丙合作需9天完成，甲、丙合作需15天完成，再在甲、乙、丙三人合作需要多少天完成？一项工作，甲、乙合作要12天完成。假设甲先做3天后，再由乙工作8天，共完成这件工作的。如果这件工作由甲、乙单独做，甲需要多少天？乙需要多少天？抄一份稿件，甲每天的工作效率等于乙、丙二人每天工作效率的和；丙的工作效率相当于甲、乙每天工作效率和的；如果三人合抄，只需8天就完成了，那么乙单独抄需要多少天才能完成？师徒三人合作承包一项工程，4天能够全部做完。师傅单独做所需要天数与两个徒弟合作所需天数相等，而师傅与乙徒弟合做所需天数的2倍与甲徒弟单独做完所需的天数相等。那么甲徒弟单独做，完成这项工程需要多少天？乙徒弟单独做，完成这项工程需要多少天？一件工作，甲乙两人合作30天可以完成。甲乙两人共同做了6天后，甲离开了，由乙继续做了40天才完成。如果这件工作由甲或乙单独完成各需要多少天？一件工程，甲队单独做10天完成，乙队单独做30天完成。现在两队合做，其间甲队休息了2天，乙队休息了8天〔不存在两队同一天休息〕，问开始到完工共用了多少年来天时间？某工程由甲单独做63天可以完成，由乙单独做28天可完成。现在甲先单独42天，然后再由乙来单独完成，乙还需要多少天？甲乙合作一件工作，由于配合好，甲的工作效率比单独做时提高，乙的工作效率比单独做时提高了。甲乙合作6小时，完成全部工程的，第二天乙又单独做了6小时，还剩下这件工作的未完成，如果这件工作始终由甲一人单独来做，需多少小时？甲、乙、丙、合修围墙，甲乙合修5天完成了，乙丙合修了2天完成余下的，然后甲丙合修了5天才完工，整个工程的劳动报酬是600元，乙分得多少元？一件工作，甲单独做12天完成，乙单独做要18天完成，丙单独做要24天完成。这件工作先由甲做了假设干天，然后由乙接着做，乙做的天数是甲做的天数的3倍；再由丙接着做，丙做的天数是乙做的天数的2倍，终于完成这件工作。问共用了多少天？一项工程，甲乙丙三人合作需13天完成，如果丙休息2天，乙就要多做4天，或者由甲乙两人合作多做1天，这项工程由甲单独做需要多少天？制作一批零件，甲车间要10天完成，如果甲车间与乙车间一起做只要6天就能完成，乙车间与丙车间一起做，需8天才能完成。现在三个车间一起做，完工时发现甲车间比乙车间多做零件2400个，丙车间制作零件多少个？甲、乙、丙三人做一件工作，原方案按甲、乙、丙的顺序每人一天轮流去做，恰好整数天完成。假设按乙、丙、甲的顺序每人一天轮流去做，那么比原方案多用天；假设按丙、甲、乙的顺序每人一天轮流去做，那么比原方案多用天。甲单独做完这件工作要13天，甲、乙、丙三人一起做这件工作要用多少天完成？蓄水池有甲、丙两条进水管和乙、丁两条排水管，要灌满一池水，单开甲管要3小时，单开丙管要5小时，要排光一池水，单开乙管要4小时，单开丁管要6小时。现在池内有池水，如果按甲、乙、丙、丁的顺序循环开各水管，每次每管开1小时，那么多长时间后水开始溢出水池？第二十二周特殊工程问题专题简析：有些工程题中，工作效率、工作时间和工作总量三者之间的数量关系很不明显，这时我们就可以考虑运用一些特殊的思路，如综合转化、整体思考等方法来解题。例1：修一条路，甲队每天修8小时，5天完成；乙队每天修10小时，6天完成。两队合作，每天工作6小时，几天可以完成？把前两个条件综合为“甲队40小时完成〞，后两个条件综合为“乙队60小时完成〞。那么1÷[EQ\F(1,5×8)+EQ\F(1,10×6)]÷6=4〔天〕或1÷[〔EQ\F(1,5×8)+EQ\F(1,10×6)〕×6]=4〔天〕答：4天可以完成。练习1：1、修一条路，甲队每天修6小时，4天可以完成；乙队每天修8小时，5天可以完成。现在让甲、乙两队合修，要求2天完成，每天应修几小时？2、一项工作，甲组3人8天能完成，乙组4人7天也能完成。现在由甲组2人和乙组7人合作，多少天可以完成？3、货场上有一堆沙子，如果用3辆卡车4天可以完成，用4辆马车5天可以运完，用20辆小板车6天可以运完。现在用2辆卡车、3辆马车和7辆小板车共同运两天后，全改用小板车运，必须在两天内运完。问：后两天需要多少辆小板车？例2：有两个同样的仓库A和B，搬运一个仓库里的货物，甲需要10小时，乙需要12小时，丙需要15小时。甲和丙在A仓库，乙在B仓库，同时开始搬运。中途丙转向帮助乙搬运。最后，两个仓库同时搬完，丙帮助甲、乙各多少时间？设搬运一个仓库的货物的工作量为“1〞。总整体上看，相当于三人共同完成工作量“2〞三人同时搬运了2÷〔EQ\F(1,10)+EQ\F(1,12)+EQ\F(1,15)〕=8〔小时〕丙帮甲搬了〔1-EQ\F(1,10)×8〕÷EQ\F(1,15)=3〔小时〕③丙帮乙搬了8-3=5〔小时〕答：丙帮甲搬了3小时，帮乙搬了5小时。练习2：1、师、徒两人加工相同数量的零件，师傅每小时加工自己任务的EQ\F(1,10)，徒弟每小时加工自己任务的EQ\F(1,15)。师、徒同时开始加工。师傅完成任务后立即帮助徒弟加工，直至完成任务，师傅帮徒弟加工了几小时？2、有两个同样的仓库A和B，搬运一个仓库里的货物，甲需要18小时，乙需要12小时，丙需要9小时。甲、乙在A仓库，丙在B仓库，同时开始搬运。中途甲又转向帮助丙搬运。最后，两个仓库同时搬完。甲帮助乙、丙各多少小时？3、甲、乙两人同时加工一批零件，完成任务时，甲做了全部零件的EQ\F(5,8)，乙每小时加工12个零件，甲单独加工这批零件要12小时，这批零件有多少个？例3：一件工作，甲独做要20天完成，乙独做要12天完成。这件工作先由甲做了假设干天，然后由乙继续做完，从开始到完工共用了14天。这件工作由甲先做了几天？解法一：根据两人做的工作量的和等于单位“1〞列方程解答，很容易理解。解：设甲做了x天，那么乙做了〔14-x〕天。EQ\F(1,20)x+EQ\F(1,12)×〔14-x〕=1X=5解法二：假设这14天都由乙来做，那么完成的工作量就是EQ\F(1,12)×14，比总工作量多了EQ\F(1,12)×14-1=EQ\F(1,6)，乙每天的能够做量比甲每天的工作两哦了EQ\F(1,12)-EQ\F(1,20)=EQ\F(1,30)，因此甲做了EQ\F(1,6)÷EQ\F(1,30)=5〔天〕练习3：1、一项工程，甲独做12天完成，乙独做4天完成。假设甲先做假设干天后，由乙接着做余下的工程，直至完成全部任务，这样前后共用了6天，甲先做了几天？2、一项工程，甲队单独做需30天完成，乙队单独做需40天完成。甲队单独做假设干天后，由乙队接着做，共用35天完成了任务。甲、乙两队各做了多少天？3、一项工程，甲独做要50天，乙独做要75天，现在由甲、乙合作，中间乙休息几天，这样共用40天完成。求乙休息的天数。例4：甲、乙两人合作加工一批零件，8天可以完成。中途甲因事停工3天，因此，两人共用了10天才完成。如果由甲单独加工这批零件，需要多少天才能完成？解法一：先求出乙的工作效率，再求出甲的工作效率。最后求出甲单独做需要的天数。甲、乙同时做的工作量为EQ\F(1,8)×〔10-3〕＝EQ\F(7,8)乙单独做的工作量为1－EQ\F(7,8)＝EQ\F(1,8)乙的工作效率为EQ\F(1,8)÷3=EQ\F(1,24)甲的工作效率为EQ\F(1,8)－EQ\F(1,24)＝EQ\F(1,12)甲单独做需要的天数为1÷EQ\F(1,12)＝12〔天〕解法二：从题中得知，由于甲停工3天，致使甲、乙两人多做了〔10-8=〕2天。由此可知，甲3天的工作量相当于这批零件的2÷8=1/43÷[〔10-8〕÷8]=12〔天〕或3×[8÷〔10-8〕]=12〔天〕答：甲单独做需要12天完成。练习4：1、甲、乙两人合作某项工程需要12天。在合作中，甲因输请假5天，因此共用15天才完工。如果全部工程由甲单独去干，需要多少天才能完成？2、一段布，可以做30件上衣，也可做48条裤子。如果先做20件上衣后，还可以做多少条裤子？3、一项工程，甲、乙合作6小时可以完成，同时开工，中途甲通工了2.5小时，因此，经过7.5小时才完工。如果这项工程由甲单独做需要多少小时？4、一项工程，甲先单独做2天，然后与乙合作7天，这样才完成全工程的一半，甲、乙工作效率的比是3：2，如果这件工作由乙单独做，需要多少天才能完成？例5：放满一个水池的水，如果同时开放①②③号阀门，15小时放满；如果同时开放①③⑤号阀门，12小时可以放满；如果同时开放②④⑤号阀门，8小时可以放满。问：同时开放这五个阀门几小时可以放满这个水池？从整体入手，比拟条件中各个阀门出现的次数可知，①③号阀门各出现3次，②④⑤号阀门各出现2次。如果EQ\F(1,15)+EQ\F(1,10)+EQ\F(1,12)+EQ\F(1,8)再加一个EQ\F(1,8)，那么是五个阀门各放3小时的总水量。1÷[〔EQ\F(1,15)+EQ\F(1,10)+EQ\F(1,12)+EQ\F(1,8)+EQ\F(1,8)〕÷3]=1÷[EQ\F(1,2)÷3]=6〔小时〕练习5：完成一件工作，甲、乙合作需15小时，乙、丙两人合作需12小时，甲、丙合作需10小时。甲、乙丙三人合作需几小时才能完成？一项工程，甲干3天，乙干5天可以完成EQ\F(1,2)，甲干5天、乙干3天可完成EQ\F(1,3)。甲、乙合干需几天完成？完成一件工作，甲、乙两人合作需20小时，乙、丙两人合作需28小时，丙、丁两人合作需30小时。甲、丁两人合作需几小时？一项工程，由一、二、三小队合干需18天完成，由二、三、四小队合干需15天完成，由一、二、四小队合干需12天完成，由一、三、四小队合干需20天完成。由第一小队单独干需要多少天？答案：练11÷〔EQ\F(1,4×6)+EQ\F(1,8×5)〕÷1÷〔EQ\F(1,3×8)×2+EQ\F(1,4×7)×7〕＝3天〔1〕共同运两天后，还剩这堆黄沙的1－〔EQ\F(1,3×4)×2+EQ\F(1,4×5)×5+EQ\F(1,20×6)×7〕×2＝EQ\F(1,4)〔2〕后两天需要小板车：EQ\F(1,4)÷〔EQ\F(1,20×6)×2〕＝15辆练22÷〔EQ\F(1,10)+EQ\F(1,15)〕－10＝2小时2÷〔EQ\F(1,18)+EQ\F(1,12)+EQ\F(1,9)〕＝8小时甲帮乙：〔1－EQ\F(1,12)×8〕÷EQ\F(1,18)＝6小时甲帮丙：〔1－EQ\F(1,9)×8〕÷EQ\F(1,18)＝2小时解法一：12×〔EQ\F(5,8)÷EQ\F(1,12)〕÷〔1－EQ\F(5,8)〕＝240个解法二：12÷〔8－5〕×5×12＝240个练3〔EQ\F(1,4)×6－1〕÷〔EQ\F(1,4)－EQ\F(1,12)〕＝3天甲：〔1－EQ\F(1,40)×35〕÷〔EQ\F(1,30)－EQ\F(1,40)〕＝15天乙：35－15＝20天40－〔1－EQ\F(1,50)×40〕÷EQ\F(1,75)＝25天练45×【12÷〔15－12〕】＝20天48－48÷30×20＝16条×【6÷〔7.5－6〕】＝10小时练51÷【〔EQ\F(1,15)+EQ\F(1,12)+EQ\F(1,10)〕÷2】＝8小时1÷【〔EQ\F(1,2)+EQ\F(1,3)〕÷1÷〔EQ\F(1,20)+EQ\F(1,30)－EQ\F(1,28)〕＝21小时4、1÷【〔EQ\F(1,18)+EQ\F(1,15)+EQ\F(1,12)+EQ\F(1,20)〕÷3－EQ\F(1,15)】＝54天第二十三周周期工程问题专题简析：周期工程问题中，工作时工作人员〔或物体〕是按一定顺序轮流交替工作的。解答时，首先要弄清一个循环周期的工作量，利用周期性规律，使貌似复杂的问题迅速地化难为易。其次要注意最后不满一个周期的局部所需的工作时间，这样才能正确解答。例1：一项工程，甲单独做需要12小时，乙单独做需要18小时。假设甲做1小时后乙接替甲做1小时，再由甲接替乙做1小时……两人如此交替工作，问完成任务时需共用多少小时？把2小时的工作量看做一个循环，先求出循环的次数。需循环的次数为：1÷〔EQ\F(1,12)+EQ\F(1,18)〕=EQ\F(36,5)＞7〔次〕7个循环后剩下的工作量是：1-〔EQ\F(1,12)+EQ\F(1,18)〕×7=EQ\F(1,36)余下的工作两还需甲做的时间为：EQ\F(1,36)÷EQ\F(1,12)=EQ\F(1,3)〔小时〕完成任务共用的时间为：2×7+EQ\F(1,3)=14EQ\F(1,3)〔小时〕答：完成任务时需共用14EQ\F(1,3)小时。练习1：一项工程，甲单独做要6小时完成，乙单独做要10小时完成。如果按甲、乙；甲、乙……的顺序交替工作，每次1小时，需要多少小时才能完成？一部书稿，甲单独打字要14小时，乙单独打字要20小时。如果先由甲打1小时，然后由乙接替甲打1小时；再由甲接替乙打1小时……两人如此交替工作，打完这部书稿共需用多少小时？一项工作，甲单独完成要9小时，乙单独完成要12小时。如果按照甲、乙；甲、乙……的顺序轮流工作，每人每次工作1小时，完成这项工程的2/3共要多少时间？例2：一项工程，甲、乙合作26EQ\F(2,3)天完成。如果第一天甲做，第二天乙做，这样交替轮流做，恰好用整数天完成。如果第一天乙做，第二天甲做，这样交替轮流做，比上次轮流做要多半天才能完成。这项工程由甲单独做要多少天才能完成？由题意可以推出“甲先〞的轮流方式，完成时所用的天数为奇数，否那么不管“甲先〞还是“乙先〞，两种轮流方式完成的天数必定相同。根据“甲先〞的轮流方式为奇数，两种轮流方式的情况可表示如下：甲乙甲乙……甲乙甲乙甲乙甲……乙甲乙EQ\F(1,2)甲竖线左边做的天数为偶数，谁先做没关系。竖线右边可以看出，乙做一天等于甲做半天，即甲的工作效率是乙的2倍。甲每天能做这项工程的1÷26EQ\F(2,3)×EQ\F(2,1+2)=EQ\F(1,40)甲单独做完成的时间1÷EQ\F(1,40)=40〔天〕答：这项工程由甲单独做需要40天才能完成。练习2：一项工程，乙单独做20天可以完成。如果第一天甲做，第二天乙做，这样轮流交替做，也恰好用整数天完成。如果第一天乙做，第二天甲做，这样轮流交替做，比上次轮流做要多半天才能完成。这项工程由甲独做几天可以完成？一项工程，甲单独做6天可以完成。如果第一天甲做，第二天乙做，这样轮流交替做，恰好也用整数天完成。如果第一天乙做，第二天甲做，这样轮流交替做，比上次轮流做要多EQ\F(1,3)天才能完成。这项工程由甲、乙合作合作几天可以完成？一项工程，甲、乙合作12EQ\F(3,5)小时可以完成。如果第一小时甲做，第二小时乙做，这样轮流交替做，也恰好用整数小时完成。如果第一小时乙做，第二小时甲做，这样轮流交替做，比上次轮流做要多EQ\F(1,3)小时才能完成。这项工程由甲独做几小时可以完成？蓄水池有一跟进水管和一跟排水管。单开进水管5小时灌满一池水，单开排水管3小时排完一池水。现在池内有半池水，如果按进水、排水；进水、排水……的顺序轮流依次各开1小时，多少小时后水池的水刚好排完？例3：一批零件，如果第一天甲做，第二天乙做，这样交替轮流做，恰好用整数天数完成。如果第一天乙做，第二天甲做，这样交替轮流做，做到上次轮流完成时所用的天数后，还剩60个不能完成。甲、乙工作效率的比是5：3。甲、乙每天各做多少个？由题意可以推出“甲先〞的轮流方式，完成时所用的天数为奇数，否那么不管“甲先〞还是“乙先〞，两种轮流方式完成的天数必定相同。根据“甲先〞的轮流方式为奇数，两种轮流方式的情况可表示如下：甲乙甲乙……甲乙甲乙甲乙甲……乙甲乙剩60个竖线左边做的天数为偶数，谁先做没关系。竖线右边可以看出，剩下的60个零件就是甲、乙工作效率的差。甲每天做的个数为：60÷〔5-3〕×5=150〔个〕乙每天做的个数为：60÷〔5-3〕×3=90〔个〕答：甲每天做150个，乙每天做90个。练习3：一批零件如果第一天师傅做，第二天徒弟做，这样交替轮流做，恰好用整数天完成。如果第一天徒弟做，第二天师傅做，这样交替轮流做，做到上次轮流完成时所用的天数后，还剩84个不能完成。师、徒工作效率的比是7：4。师、徒二人每天各做多少个？一项工程，如果第一天甲做，第二天乙做，这样交替轮流恰好用整数天完成。如果死一天乙做，第二天甲做，这样交替轮流做要多EQ\F(2,5)天才能完成。如果让甲、乙二人合作，只需2EQ\F(5,8)天就可以完成。现在，由乙独做需要几天才能完成？红星机械厂有1080个零件需要加工。如果第一小时让师傅做，第二小时让徒弟做，这样交替轮流，恰好整数小时可以完成。如果第一小时让徒弟做，第二小时让师傅做，这样交替轮流，做到上次轮流完成时所用的天数后，还剩60个不能完成。如果让师、徒二人合作，只需3小时36分就能完成。师、徒每小时各能完成多少个？例4：打印一部稿件，甲单独打要12小时完成，乙单独打要15小时完成。现在，甲、乙两人轮流工作。甲工作1小时，乙工作2小时；甲工作2小时，乙工作1小时；甲工作1小时，乙工作2小时……如此这样交替下去，打印这部书稿共要多少小时？根据条件，我们可以把6小时的工作时间看做一个循环。在每一个循环中，甲、乙都工作了3小时。每循环一次，他们共完成全部工程的〔EQ\F(1,12)+EQ\F(1,15)〕×3＝EQ\F(9,20)总工作量里包含几个9/20：1÷EQ\F(9,20)=2EQ\F(2,9)甲、乙工作两个循环后，剩下全工程的1-EQ\F(9,20)×2＝EQ\F(1,10)由于EQ\F(1,10)＞EQ\F(1,12)，所以，求甲工作1小时后剩下的工作由乙完成还需的时间为〔EQ\F(1,10)-EQ\F(1,12)〕÷EQ\F(1,15)＝EQ\F(1,4)打印这部稿件共需的时间为：6×2+1+EQ\F(1,4)=13EQ\F(1,4)〔小时〕答：打印这部稿件共需13EQ\F(1,4)小时。练习4：一个水池安装了甲、乙两根进水管。单开甲管，24分钟能包空池灌满；单开乙管，18分钟能把空池灌满。现在，甲、乙两管轮流开放，按照甲1分钟，乙2分钟，甲2分钟，乙1分钟，甲1分钟，乙2分钟……如此交替下去，灌满一池水共需几分钟？一件工作，甲单独做，需12小时完成；乙单独做需15小时完成。现在，甲、乙两人轮流工作，甲工作2小时，乙工作1小时；甲工作1小时，乙工作2小时；甲工作2小时，乙工作1小时……如此交替下去，完成这件工作共需多少小时？一项工程，甲单独做要50天完工，乙单独做需60天完工。现在，自某年的3月2日两人一起开工，甲每工作3天那么休息1天，乙每工作5天那么休息一天，完成全部工程的EQ\F(52,75)为几月几日？一项工程，甲工程队单独做完要150天，乙工程队单独做完需180天。两队合作时，甲队做5天，休息2天，乙队做6天，休息1天。完成这项工程要多少天？例5：有一项工程，由甲、乙、丙三个工程队每天轮做。原方案按甲、乙、丙次序轮做，恰好整数天完成呢感。如果按乙、丙、甲次序轮做。比原方案多用0.5天；如果按丙、甲、乙次序做，比原方案多用EQ\F(1,3)天。甲单独做13天完成。且3个工程队的工效各不相同。这项工程由甲、乙、丙合作要多少天完工？由题意可以推出：按甲、乙、丙次序轮做，能够的天数必定是3的倍数余1或余2。如果是3的倍数，三种轮流方式完工的天数，必定相同。如果按甲、乙、丙的次序轮流做，用的天数是3的倍数余1。三种轮流方式做的情况可表示如下：甲乙丙，甲乙丙，……甲乙丙，甲乙丙甲，乙丙甲，……乙丙甲，乙EQ\F(1,2)丙丙甲乙，丙甲乙，……丙甲乙，丙EQ\F(1,3)甲从中可以退出：丙=EQ\F(2,3)甲；由于乙=甲－EQ\F(1,2)丙=甲－EQ\F(2,3)甲×EQ\F(1,2)，又推出乙=EQ\F(2,3)甲；与题中“三个工程队的工效各不相同〞矛盾。所以，按甲、乙、丙的次序轮做，用的天数必定是3的倍数余2。三种轮流方式用的天数必定如下所示：甲乙丙，甲乙丙，……甲乙丙，甲乙乙丙甲，乙丙甲，……乙丙甲，乙丙EQ\F(1,2)甲丙甲乙，丙甲乙，……丙甲乙，丙甲EQ\F(1,3)乙由此推出：丙=EQ\F(1,2)甲，丙=EQ\F(2,3)乙丙队每天做这项工程的EQ\F(1,13)×EQ\F(1,2)=EQ\F(1,26)乙队每天做这项工程的EQ\F(1,26)÷EQ\F(2,3)=EQ\F(3,52)甲、乙、丙合作完工需要的时间为1÷〔EQ\F(1,13)+EQ\F(1,26)+EQ\F(3,52)〕=5EQ\F(7,9)〔天〕答：甲、乙、丙合作要5EQ\F(7,9)天完工。练习5：有一项工程，由三个工程队每天轮做。原方案按甲、乙、丙次序轮做，恰好用整数天完成呢感。如果按乙、丙、甲次序轮做。比原方案多用EQ\F(1,3)天；如果按丙、甲、乙次序做，比原方案多用EQ\F(1,4)天。甲单独做7天完成。且3个工程队的工效各不相同。这项工程由甲、乙、丙合作要多少天完工？有一项工程，由三个工程队每天轮做。原方案按甲、乙、丙次序轮做，恰好整数天完成呢感。如果按乙、丙、甲次序轮做。比原方案多用EQ\F(1,2)天；如果按丙、甲、乙次序做，比原方案多用EQ\F(1,2)天。甲单独做10天完成。且3个工程队的工效各不相同。这项工程由甲、乙、丙合作要多少天完工？有一项工程，由甲、乙、丙三个工程队每天轮做。原方案按甲、乙、丙次序轮做，恰好整数天完成呢感。如果按乙、丙、甲次序轮做。比原方案多用EQ\F(1,2)天；如果按丙、甲、乙次序做，比原方案多用EQ\F(1,3)天。这项工程由甲、乙、丙三个工程队同时合作，需13EQ\F(7,9)天可以完成，且3个工程队的工效各不相同。这项工程由甲独做需要多少天才能完成？蓄水池装有甲、丙两根进水管和乙、丁两根排水管。要注满一池水，单开甲管需要3小时，单开丙管需要5小时。要排光一池水，单开乙管要4小时，单开丁管要6小时。现知池内有EQ\F(1,6)池水，如果按甲、乙、丙、丁，甲、乙、丙、丁……的顺序轮流各开1小时，多长时间后水开始溢出水池？答案：练1〔1〕需循环的次数1÷〔EQ\F(1,6)+EQ\F(1,10)〕＝EQ\F(15,4)＞3〔2〕3个循环后剩下的工作量1－〔EQ\F(1,6)+EQ\F(1,10)〕×3＝EQ\F(1,5)〔3〕最后由乙做的时间〔EQ\F(1,5)－EQ\F(1,6)〕÷EQ\F(1,10)＝EQ\F(1,3)小时〔4〕需要的总时间2×3+1+EQ\F(1,3)＝7EQ\F(1,3)小时〔1〕需循环的次数1÷〔EQ\F(1,14)+EQ\F(1,20)〕＝EQ\F(140,17)＞8〔2〕3个循环后剩下的工作量1－〔EQ\F(1,14)+EQ\F(1,20)〕×8＝EQ\F(4,140)〔3〕最后由乙做的时间EQ\F(4,140)÷EQ\F(1,14)＝EQ\F(2,5)小时〔4〕需要的总时间2×8+EQ\F(2,5)＝16EQ\F(2,5)小时〔1〕需循环的次数EQ\F(2,3)÷〔EQ\F(1,9)+EQ\F(1,12)〕＝EQ\F(24,7)＞3〔2〕3个循环后剩下的工作量EQ\F(2,3)－〔EQ\F(1,9)+EQ\F(1,12)〕×3＝EQ\F(1,12)〔3〕最后由乙做的时间EQ\F(1,12)÷EQ\F(1,9)＝EQ\F(3,4)小时〔4〕需要的总时间2×3+EQ\F(3,4)＝6EQ\F(3,4)小时练2提示：甲的效率是乙的2倍20÷2＝10天提示：乙的效率是甲的EQ\F(2,3)1÷【EQ\F(1,6)×〔1－EQ\F(1,3)〕+EQ\F(1,6)】＝3EQ\F(3,5)天提示：乙的效率是甲的EQ\F(2,3)1÷〔1÷12EQ\F(3,5)×EQ\F(3,3－1+3)〕＝21小时〔1〕需几个周期EQ\F(1,2)÷〔EQ\F(1,3)－EQ\F(1,5)〕×3＝EQ\F(15,4)＞3〔2〕3个周期后剩下的水EQ\F(1,2)－〔EQ\F(1,3)－EQ\F(1,5)〕×3＝EQ\F(1,10)〔3〕需要的时间2×3+1+〔EQ\F(1,10)+EQ\F(1,5)〕÷EQ\F(1,3)＝7EQ\F(9,10)小时练3师傅：84÷〔7－4〕×7＝196个徒弟：84÷〔7－4〕×4＝112个2、提示：乙的效率是甲的〔1－EQ\F(2,5)〕＝EQ\F(3,5)1÷〔1÷2EQ\F(5,8)×EQ\F(3,5－2+5)〕＝7天3、3小时36分＝3EQ\F(3,5)小时师、徒效率和：1080÷3EQ\F(3,5)＝300个师傅每小时的个数：〔300+60〕÷2＝180个徒弟每小时的个数：〔300－60〕÷2＝120个练4提示：把6分钟看作一个循环每循环一次的工作量〔EQ\F(1,24)+EQ\F(1,18)〕×〔1+2〕＝EQ\F(7,24)总工作量里面有几个EQ\F(7,24)1÷EQ\F(7,24)＝3EQ\F(3,7)3个循环后剩下的工作量1－EQ\F(7,24)×3＝EQ\F(1,8)一共需要的时间6×3+1+〔EQ\F(1,8)－EQ\F(1,24)〕÷EQ\F(1,18)＝20EQ\F(1,2)分钟提示：把6分钟看作一个循环1个循环的工作量〔EQ\F(1,12)+EQ\F(1,15)〕×〔1+2〕＝EQ\F(9,20)总工作量里面有几个EQ\F(9,20)1÷EQ\F(9,20)＝2EQ\F(2,9)3个循环后剩下的工作量1－EQ\F(9,20)×2＝EQ\F(1,10)一共需要的时间6×2+EQ\F(1,10)÷EQ\F(1,12)＝13EQ\F(1,5)小时说明：2个循环后，是由甲接着干2小时，所以直接用EQ\F(1,10)÷EQ\F(1,12)提示：把12天看作一个循环12天中甲的工作量EQ\F(1,50)×〔3+3+3〕＝EQ\F(9,50)12天中乙的工作量EQ\F(1,60)×〔5+5〕＝EQ\F(1,6)总共需要的天数EQ\F(52,75)÷〔EQ\F(9,50)+EQ\F(1,6)〕＝2〔12天减去最后休息的1天〕12×2－1＝23天完成全部任务的EQ\F(52,75)为3月24日。提示：把7天看作一个周期1÷〔EQ\F(2,3)×5+EQ\F(2,3)×6〕＝157×15－1＝104天练51、提示：按甲、乙、丙的顺序轮流做，所用的整数天数为3的倍数余2，否那么与题意不符。由此推出丙的效率是甲的EQ\F(2,3)，丙的效率也是乙的EQ\F(3,4)。丙的工作效率EQ\F(1,7)×EQ\F(2,3)＝EQ\F(2,21)乙的工作效率EQ\F(2,21)÷EQ\F(3,4)＝EQ\F(8,63)甲、乙、丙三队合做的天数1÷〔EQ\F(1,7)+EQ\F(2,21)+EQ\F(8,63)〕＝2EQ\F(17,23)天提示：按甲、乙、丙的顺序轮流做，所用的整数天数为3的倍数余1，否那么与题意矛盾。由此可以推出丙的效率是甲的EQ\F(1,2)，乙的效率是甲的EQ\F(3,4)。丙的效率EQ\F(1,10)×EQ\F(1,2)＝EQ\F(1,20)乙的效率EQ\F(1,10)×〔1－EQ\F(1,2)×EQ\F(1,2)〕＝EQ\F(3,40)甲、乙、丙三队合做的天数1÷〔EQ\F(1,10)+EQ\F(1,20)+EQ\F(3,40)〕＝4EQ\F(4,9)天由题意可以推出，丙的效率是甲的EQ\F(1,2)＝EQ\F(2,4)，丙的效率是乙的EQ\F(2,3)，进而推出甲、乙、丙工作效率的比是4：3：2。1÷〔1÷13EQ\F(7,9)×EQ\F(4,4+3+2)〕＝31天提示：每四个水管轮流翻开后，水池中的水不能超过EQ\F(2,3)，否那么开甲管的过程中水池里的水就会溢出。水池里的水超过EQ\F(2,3)时需要几个循环〔EQ\F(2,3)－EQ\F(1,6)〕÷〔EQ\F(1,3)－EQ\F(1,4)+EQ\F(1,5)－EQ\F(1,6)〕＝EQ\F(30,7)＞4循环5次以后，池中水占EQ\F(1,6)+〔EQ\F(1,3)－EQ\F(1,4)+EQ\F(1,5)－EQ\F(1,6)〕×5＝EQ\F(3,4)总共需要的时间4×5+〔1－EQ\F(3,4)〕÷EQ\F(1,3)＝20EQ\F(3,4)小时第27周外表积与体积〔一〕专题简析：小学阶段所学的立体图形主要有四种长方体、正方体、圆柱体和圆锥体。从平面图形到立体图形是认识上的一个飞跃，需要有更高水平的空间想象能力。因此，要牢固掌握这些几何图形的特征和有关的计算方法，能将公式作适当的变形，养成“数、形〞结合的好习惯，解题时要认真细致观察，合理大胆想象，正确灵活地计算。在解答立体图形的外表积问题时，要注意以下几点：〔1〕充分利用正方体六个面的面积都相等，每个面都是正方形的特点。〔2〕把一个立体图形切成两局部，新增加的外表积等于切面面积的两倍。反之，把两个立体图形粘合到一起，减少的外表积等于粘合面积的两倍。〔3〕假设把几个长方体拼成一个外表积最大的长方体，应把它们最小的面拼合起来。假设把几个长方体拼成一个外表积最小的长方体，应把它们最大的面拼合起来。例题1：从一个棱长10厘米的正方体木块上挖去一个长10厘米、宽2厘米、高2厘米的小长方体，剩下局部的外表积是多少？这是一道开放题，方法有多种：①按图27-1所示，沿着一条棱挖，剩下局部的外表积为592平方厘米。②按图27-2所示，在某个面挖，剩下局部的外表积为632平方厘米。③按图27-3所示，挖通某两个对面，剩下局部的外表积为672平方厘米。练习1：1、从一个长10厘米、宽6厘米、高5厘米的长方体木块上挖去一个棱长2厘米的小正方体，剩下局部的外表积是多少？2、把一个长为12分米，宽为6分米，高为9分米的长方体木块锯成两个想同的小厂房体木块，这两个小长方体的外表积之和，比原来长方体的外表积增加了多少平方分米？3、在一个棱长是4厘米的立方体上挖一个棱长是1厘米的小正方体后，外表积会发生怎样的变化？例题2：把19个棱长为3厘米的正方体重叠起来，如图27-4所示，拼成一个立体图形，求这个立体图形的外表积。要求这个复杂形体的外表积，必须从整体入手，从上、左、前三个方向观察，每个方向上的小正方体各面就组合成了如下列图形〔如图27-5所示〕。而从另外三个方向上看到的面积与以上三个方向的面积是相等的。整个立体图形的外表积可采用〔S上+S左+S前〕×2来计算。〔3×3×9+3×3×8+3×3×10〕×2=〔81+72+90〕×2=243×2=486〔平方厘米〕答：这个立体图形的外表积是486平方厘米。练习2：1、用棱长是1厘米的立方体拼成图27-6所示的立体图形。求这个立体图形的外表积。2、一堆积木〔如图27-7所示〕，是由16块棱长是2厘米的小正方体堆成的。它们的外表积是多少平方厘米？3、一个正方体的外表积是384平方厘米，把这个正方体平均分割成64个相等的小正方体。每个小正方体的外表积是多少平方厘米？例题3：把两个长、宽、高分别是9厘米、7厘米、4厘米的相同长方体，拼成一个大长方体，这个大长方体的外表积最少是多少平方厘米？把两个相同的大长方体拼成一个大厂房体，需要把两个相同面拼合，所得大厂房体的外表积就减少了两个拼合面的面积。要使大长方体的外表积最小，就必须使两个拼合面的面积最大，即减少两个9×7的面。〔9×9+9×4+7×4〕×2×2—9×7×2=〔63+36+28〕×4—126=508—126=382〔平方厘米〕答：这个大厂房体的外表积最少是382平方厘米。练习3：1、把底面积为20平方厘米的两个相等的正方体拼成一个长方体，长方体的外表积是多少？2、将一个外表积为30平方厘米的正方体等分成两个长方体，再将这两个长方体拼成一个大长方体。求大长方体的外表积是多少。3、用6块〔如图27-8所示〕长方体木块拼成一个大长方体，有许多种做法，其中外表积最小的是多少平方厘米？例题4：一个长方体，如果长增加2厘米，那么体积增加40立方厘米；如果宽增加3厘米，那么体积增加90立方厘米；如果高增加4厘米，那么体积增加96立方里，求原长方体的外表积。我们知道：体积=长×宽×高；由长增加2厘米，体积增加40立方厘米，可知宽×高=40÷2=20〔平方厘米〕；由宽增加3厘米，体积增加90立方厘米，可知长×高=90÷3=30〔平方厘米〕；由高增加4厘米，体积增加96立方厘米，可知长×宽=96÷4=24〔平方厘米〕。而长方体的外表积=〔长×宽+长×高+宽×高〕×2=〔20+30+24〕×2=148〔平方厘米〕。即40÷2=20〔平方厘米〕90÷3=30〔平方厘米〕96÷4=24〔平方厘米〕〔30+20+24〕×2=74×2=148〔平方厘米〕答：原长方体的外表积是148平方厘米。练习4：1、一个长方体，如果长减少2厘米，那么体积减少48立方厘米；如果宽增加5厘米，那么体积增加65立方厘米；如果高增加4厘米，那么体积增加96立方厘米。原来厂房体的外表积是多少平方厘米？2、一个厂房体木块，从下部和上局部别截去高为3厘米和2厘米的长方体后，便成为一个正方体，其外表积减少了120平方厘米。原来厂房体的体积是多少立方厘米？3、有一个厂房体如下列图所示，它的正面和上面的面积之和是209。如果它的长、宽、高都是质数，这个长方体的体积是多少？例题5：如图27-10所示，将高都是1米，底面半径分别为、1米和的三个圆柱组成一个物体。求这个物体的外表积。如果分别求出三个圆柱的外表积，再减去重叠局部的面积，这样计算比拟麻烦。实际上三个向上的面的面积和恰好是大圆柱的一个底面积。这样，这个物体的外表积就等于一个大圆柱的外表积加上中、小圆柱的侧面积。3.14×××2+2×××1+2××1×1+2×××1×〔4.5+3+2+1〕×=32.97〔平方米〕答：这个物体的外表积是。练习5：1、一个棱长为40厘米的正方体零件〔如图27-11所示〕的上、下两个面上，各有一个直径为4厘米的圆孔，孔深为10厘米。求这个零件的外表积。2、用铁皮做一个如图27-12所示的工件〔单位：厘米〕，需用铁皮多少平方厘米？3、如图27-13所示，在一个立方体的两对侧面的中心各打通一个长方体的洞，在上、下侧面的中心打通一个圆柱形的洞。立方体棱长为10厘米，侧面上的洞口是边长为4厘米的正方形，上、下侧面的洞口是直径为4厘米的圆，求该立方体的外表积和体积〔∏取3.14〕。答案：练1切下一块后，切口处的外表减少了前、后、上面3个1×1的正方形，新增加了左右下面三个1×1的正方形，所以外表积大小不变。4×4×6－2×2×2＝92平方厘米中心挖去的洞的体积是：12×3×3－13×2＝7立方厘米，挖洞后木块的体积：33－7＝20立方厘米，中心挖洞后每面增加的面积是12×4－12＝3平方厘米，挖洞后木块的外表积：〔32+3〕×6＝72平方厘米。练2从三个不同的方向看，得到图答27－1：从上往下看从前往后看从左往右看〔1×1×12+1×1×8+1×1×7〕×2＝54平方厘米〔2×2×9+2×2×9+2×2×7〕×2＝200平方厘米因为64＝4×4×4，所以大正方形的棱长等于小正方形棱长的4被，那么大正方体的外表积是小正方体的4×4＝16倍，小正方体的外表积是：384÷16＝24平方厘米练3将正方体分为两个长方体，外表积就增加了2个30÷6＝15平方厘米，拼成大正方体，外表积将减少两个拼合面的面积，正好是1个30÷6＝15平方厘米，所以大长方体的外表积是30+30+6＝35平方厘米。要是外表积最小，就要尽可能地把大的面拼合在一起。外表积最小的拼法有如图答27－2两种：外表积都是〔3×3+3×4×2〕×2＝66平方厘米。设大长方体的宽和高为x分米，长为2x分米，左面和右面的面积就是x2平方分米。其余的面积为2x2平方分米，根据题意，大长方体的外表积是：8x2+8×2x2＝600x＝5大长方体的体积是：5×5×2×5＝250立方分米练41、〔48÷2+65÷5+96÷4〕×2＝122平方厘米2、减少的外表积实质是高度分别为2厘米和3厘米的前、后、左、右四个面的面积之和。把两个合并起来，用120÷〔2+3〕＝24厘米，求到正方体底面的周长，正方体的棱长就是24÷4＝6厘米。圆长方体的体积是：6×6×〔6+3+2〕＝396立方厘米3、长方体正面及上面的面积之和恰好等于这个长方体的长×〔宽+高〕，209＝11×19，所以长＝11，宽+高＝19，或长＝19，宽+高＝11，根据题意，宽和高只能是17和2，长方体的体积就是11×17×2＝374练5402××4×10×用两个同样的工件可拼成图答27－3的圆柱体。×15×〔46+54〕÷2＝2355平方厘米3、立方体的外表积和是：6×102－42×4－2××〔EQ\F(4,2)〕2打洞后增加的面积是：×4×〔10－4〕+4×〔10－4〕×4×2+42××〔EQ\F(4,2)〕2×体积是：103－42×10×2+43×〔EQ\F(4,2)〕2×第22讲复杂工程问题内容概述本讲主要讲解需运用比和比例及分段解决的较复杂问题，还有一些需借助程来求解的问题．经典问题1.甲、乙两个工程队修路，最终按工作量分配8400元工资．按两队原方案的工作效率，乙队应获5040元．实际从第5天开始，甲队的工作效率提高了1倍，这样甲队最终可比原方案多获得960元．那么两队原方案完成修路任务要多少天?【分析与解】开始时甲队拿到8400—5040=3360元，甲乙的工资比等于甲乙的工效比，即为3360：5040＝2：3；甲提高工效后，甲乙的工资及工效比为(3360+960)：(5040—960)=18：17；设甲开始的工效为“2”，那么乙的工效为“3”，设甲在提高工效后还需天完成任务．有(2×4+4)：(3×4+3)=18：17，化简为216+54=136+68，解得于是共有工程量为所以原方案60÷(2+3)＝12天完成．2.规定两人轮流做一个工程，要求第一个人先做1个小时,第二个人接着做一个小时，然后再由第一个人做1个小时，然后又由第二个人做1个小时，如此反复，做完为止．如果甲、乙轮流做一个工程需要9．8小时，而乙、甲轮流做同样的程只需要9．6小时，那乙单独做这个工程需要多少小时?【分析与解】即甲工作2小时，相当与乙1小时．所以，乙单独工作需小时．3．甲、乙、丙三人完成一件工作，原方案按甲、乙、丙顺序每人轮流工作一天，正好整数天完成，假设按乙、丙、甲的顺序每人轮流工作一天，那么比原方案多用天；假设按丙、甲、乙的顺序每人轮流工作一天，那么比原方案多用天．甲单独完成这件工作需10．75天．问：甲、乙、丙一起做这件工作，完成工作要用多少天?【分析与解】我们以甲、乙、丙各工作一天为一个周期，即3天一个周期．通过上一题的类似分析，我们知道第一种情况下一定不是完整周期内完成；但是在这题中，就有两种可能，第一种可能是完整周期+1天，第二种可能是完整周期+2天．验证第一种可能不成立(详细过程略)再看第二种可能：即丙工作1天，甲只需要工作天．代入第3种情况知：即甲工作1天，乙需要工作天．因为甲单独做需10．75天，所以工作效率为于是乙工作效率为丙工作效率为于是，一个周期内他们完成的工程量为那么需个完整周期，剩下的工程量；正好甲、乙各一天完成．所以第二种可能是正确的．于是，采用第二种可能算出的数据：一个周期内他们完成的工程量：需要天．而甲、乙、丙合作一天完成的工程量正好是甲、乙、丙轮流做一天一个周期内的工程量．于是，甲、乙、丙合作这件工程需天．4．如图，有一个正方体水箱，在某一个侧面相同高度的地方有三个大小相同的出水孔．用一个进水管给空水箱灌水，假设三个出水孔全关闭，那么需要用1个小时将水箱灌满；假设翻开一个出水孔，那么需要用1小时5分钟将水箱灌满；假设翻开两个出水孔，那么需要用72分钟将水箱灌满．那么，假设三个出水孔全翻开，那么需要用多少分钟才能将水箱灌满?【分析与解】方法一：设翻开一个出水孔时，灌满出水孔以上的局部需要时间为，那么不翻开出水孔和翻开两个出水孔灌满水孔以上局部所需时间为有工作效率之间的关系：通分为化简为解得所以，不翻开出水孔需分钟灌满水孔以上的水，而灌满出水孔以下的水为分钟．视水孔以上的水箱水量为单位“l〞，有一个出水孔的工作效率为：那么翻开三个出水孔的工作效率为所以，翻开三个出水孔灌满整个水箱所需的时间为分钟方法二：在翻开一个出水孔时，从小孔流出的水量相当于进水管分钟的进水量；在翻开两个出水孔时，从小孔流出的水量相当于进水管分钟的进水量．而且注意到，后者出水孔出水的时间比前者多分钟.因此两个出水孔7分钟的排水量相当于进水管分钟的进水量因此进水管1分钟的进水量相当于一个出水孔7分钟的排水量．那么在翻开一个出水孔的时候，小孔排水分钟，也就是说，进水，进水分钟后，水面到达小孔高度．因此翻开三个出水孔的时候，灌满水箱需要分钟．第二十一周抓“不变量〞解题专题简析：一些分数的分子与分母被施行了加减变化，解答时关键要分析哪些量变了，哪些量没有变。抓住分子或分母，或分子、分母的差，或分子、分母的和等等不变量进行分析后，再转化并解答。例1．将EQ\F(43,61)的分子与分母同时加上某数后得EQ\F(7,9)，求所加的这个数。解法一：因为分数的分子与分母加上了一个数，所以分数的分子与分母的差不变，仍是18，所以，原题转化成了一各简单的分数问题：“一个分数的分子比分母少18，切分子是分母的EQ\F(7,9)，由此可求出新分数的分子和分母。〞分母：〔61-43〕÷〔1－EQ\F(7,9)〕＝81分子：81×EQ\F(7,9)＝6381-61＝20或63-43＝20解法二：EQ\F(43,61)的分母比分子多18，EQ\F(7,9)的分母比分子多2，因为分数的与分母的差不变，所以将EQ\F(7,9)的分子、分母同时扩大〔18÷2=〕9倍。EQ\F(7,9)的分子、分母应扩大：〔61-43〕÷〔9-7〕＝9〔倍〕约分后所得的EQ\F(7,9)在约分前是：EQ\F(7,9)＝EQ\F(7×9,9×9)＝EQ\F(63,81)所加的数是81-61＝20答：所加的数是20。练习1：1、分数EQ\F(97,181)的分子和分母都减去同一个数，新的分数约分后是EQ\F(2,5)，那么减去的数是多少？2、分数EQ\F(1,13)的分子、分母同加上一个数后得EQ\F(3,5)，那么同加的这个数是多少？3、EQ\F(3,19)的分子、分母加上同一个数并约分后得EQ\F(5,7)，那么加上的数是多少？4、将EQ\F(58,79)这个分数的分子、分母都减去同一个数，新的分数约分后是EQ\F(2,3)，那么减去的数是多少？例2：将一个分数的分母减去2得EQ\F(4,5)，如果将它的分母加上1，那么得EQ\F(2,3)，求这个分数。解法一：因为两次都是改变分数的分母，所以分数的分子没有变化，由“它的分母减去2得EQ\F(4,5)〞可知，分母比分子的EQ\F(5,4)倍还多2。由“分母加1得EQ\F(2,3)〞可知，分母比分子的EQ\F(3,2)倍少1，从而将原题转化成一个盈亏问题。分子：〔2+1〕÷〔EQ\F(3,2)－EQ\F(5,4)〕=12分母：12×EQ\F(3,2)-1＝17解法二：两个新分数在未约分时，分子相同。将两个分数化成分子相同的分数，且使分母相差3。EQ\F(2,3)＝EQ\F(4,6)＝EQ\F(12,18)，EQ\F(4,5)＝EQ\F(12,15)原分数的分母是：18-1＝17或15+2＝17答：这个分数为EQ\F(12,17)。练习2：将一个分数的分母加上2得EQ\F(7,9)，分母加上3得EQ\F(3,4)。原来的分数是多少？将一个分数的分母加上2得EQ\F(3,4)，分母加上2得EQ\F(4,5)。原来的分数是多少？将一个分数的分母加上5得EQ\F(3,7)，分母加上4得EQ\F(4,9)。原来的分数是多少？将一个分数的分母减去9得EQ\F(5,8)，分母减去6得EQ\F(7,4)。原来的分数是多少？例3：在一个最简分数的分子上加一个数，这个分数就等于EQ\F(5,7)。如果在它的分子上减去同一个数，这个分数就等于EQ\F(1,2)，求原来的最简分数是多少。解法一：两个新分数在未约分时，分母相同。将这两个分数化成分母相同的分数，即EQ\F(5,7)=EQ\F(10,14)，EQ\F(1,2)=EQ\F(7,14)。根据题意，两个新分数分子的差应为2的倍数，所以分别想EQ\F(10,14)和EQ\F(7,14)的分子和分母再乘以2。所以EQ\F(5,7)＝EQ\F(10,14)＝EQ\F(20,28)，EQ\F(1,2)＝EQ\F(7,14)＝EQ\F(14,28)故原来的最简分数是EQ\F(17,28)。解法二：根据题意，两个新分数的和等于原分数的2倍。所以〔EQ\F(5,7)+EQ\F(1,2)〕÷2＝EQ\F(17,28)答：原来的最简分数是EQ\F(17,28)。练习3：1、一个最简分数，在它的分子上加一个数，这个分数就等于EQ\F(5,8)。如果在它的分子上减去同一个数，这个分数就等于EQ\F(1,2)，求这个分数。2、一个最简分数，在它的分子上加一个数，这个分数就等于EQ\F(6,7)。如果在它的分子上减去同一个数，这个分数就等于EQ\F(1,3)，求这个分数。3、一个分数，在它的分子上加一个数，这个分数就等于EQ\F(7,9)。如果在它的分子上减去同一个数，这个分数就等于EQ\F(3,5)，求这个分数。例4：将一个分数的分母加3得EQ\F(7,9)，分母加5得EQ\F(3,4)。原分数是多少？解法一：两个新分数在未约分时，分子相同。将两个分数化成分子相同的分数，即EQ\F(7,9)＝EQ\F(21,27)，EQ\F(3,4)＝EQ\F(21,28)。根据题意，两个新分数的分母应相差2，而现在只相差1，所以分别将EQ\F(21,27)和EQ\F(21,28)的分子和分母再同乘以2。那么EQ\F(7,9)＝EQ\F(21,27)＝EQ\F(42,54)，EQ\F(3,4)＝EQ\F(21,28)＝EQ\F(42,56)。所以，原分数的分母是〔54－3＝〕51。原分数是EQ\F(42,51)。解法二：因为分子没有变，所以把分子看做单位“1〞。分母加3后是分子的EQ\F(9,7)，分母加5后是分子的EQ\F(4,3)，因此，原分数的分子是〔5－3〕÷〔EQ\F(4,3)－EQ\F(9,7)〕＝42。原分数的分母是42÷7×9-3=51，原分数是EQ\F(42,51)。练习4：1、一个分数，将它的分母加5得EQ\F(5,6)，加8得EQ\F(4,5)，原来的分数是多少？〔用两种方法〕2、将一个分数的分母减去3，约分后得EQ\F(6,7)；假设将它的分母减去5，那么得EQ\F(7,8)。原来的分数是多少？〔用两种方法做〕3、把一个分数的分母减去2，约分后等于EQ\F(3,4)。如果给原分数的分母加上9，约分后等于EQ\F(5,7)。求原分数。例5：有一个分数，如果分子加1，这个分数等于EQ\F(1,2)；如果分母加1，这个分数就等于EQ\F(1,3)，这个分数是多少？根据“分子加1，这个分数等于EQ\F(1,2)〞可知，分母比分子的2倍多2；根据“分母加1这个分数就等于EQ\F(1,3)〞可知，分母比分子的3倍少1。所以，这个分数的分子是〔1+2〕÷〔3-2〕=3，分母是3×2+2=8。所以，这个分数是EQ\F(3,8)。练习5：一个分数，如果分子加3，这个分数等于EQ\F(1,2)，如果分母加上1，这个分数等于EQ\F(1,3)，这个分数是多少？一个分数，如果分子加5，这个分数等于EQ\F(1,2)，如果分母减3，这个分数等于EQ\F(1,3)，这个分数是多少？3、一个分数，如果分子减1，这个分数等于EQ\F(1,2)；如果分母加11，这个分数等于EQ\F(1,3)，这个分数是多少？答案：练11、412、173、374、16练21、EQ\F(21,25)2、EQ\F(12,13)3、EQ\F(12,23)4、EQ\F(20,41)练31、EQ\F(9,16)2、EQ\F(25,42)3、EQ\F(31,45)练41、EQ\F(60,67)2、EQ\F(84,101)3、EQ\F(165,222)练51、EQ\F(7,20)2、EQ\F(7,24)3、EQ\F(9,16)第二十周面积计算〔三〕专题简析：对于一些比拟复杂的组合图形，有时直接分解有一定的困难，这时，可以通过把其中的局部图形进行平移、翻折或旋转，化难为易。有些图形可以根据“容斥问题“的原理来解答。在圆的半径r用小学知识无法求出时，可以把“r2〞整体地代入面积公式求面积。例题1。如图20－1所示，求图中阴影局部的面积。4545○104545○101020－220－120－220－1【思路导航】解法一：阴影局部的一半，可以看做是扇形中减去一个等腰直角三角形〔如图20－2〕，等腰直角三角形的斜边等于圆的半径，斜边上的高等于斜边的一半，圆的半径为20÷2＝10厘米×102×EQ\F(1,4)－10×〔10÷2〕】×2＝107〔平方厘米〕答：阴影局部的面积是107平方厘米。解法二：以等腰三角形底的中点为中心点。把图的右半局部向下旋转90度后，阴影局部的面积就变为从半径为10厘米的半圆面积中，减去两直角边为10厘米的等腰直角三角形的面积所得的差。4545○20－320－3〔20÷2〕2×EQ\F(1,2)－〔20÷2〕2×EQ\F(1,2)＝107〔平方厘米〕答：阴影局部的面积是107平方厘米。练习1如图20－4所示，求阴影局部的面积〔单位：厘米〕如图20－5所示，用一张斜边为29厘米的红色直角三角形纸片，一张斜边为49厘米的蓝色直角三角形纸片，一张黄色的正方形纸片，拼成一个直角三角形。求红蓝两张三角形纸片面积之和是多少？C45○C45○4929494929492949645○2949645○B45B45○20－5AD20－5AD20－420－4例题2。如图20－6所示，求图中阴影局部的面积〔单位：厘米〕。a4a4减去减去20－7620－7620－620－6【思路导航】解法一：先用长方形的面积减去小扇形的面积，得空白局部〔a〕的面积，再用大扇形的面积减去空白局部〔a〕的面积。如图20－7所示。×62×EQ\F(1,4)－〔6××42×EQ\F(1,4)〕＝16.82〔平方厘米〕解法二：把阴影局部看作〔1〕和〔2〕两局部如图20－8所示。把大、小两个扇形面积相加，刚好多计算了空白局部和阴影〔1〕的面积，即长方形的面积。减加〔2〕〔1〕减加〔2〕〔1〕20－820－8×42×EQ\F(1,4)×62×EQ\F(1,4)－4×6＝16.28〔平方厘米〕答：阴影局部的面积是16.82平方厘米。A练习2AAABCD226060○20－1120－10B20－9C20－1120－10B20－9C如图20－9所示，△ABC是等腰直角三角形，求阴影局部的面积〔单位：厘米〕。如图20－10所示，三角形ABC是直角三角形，AC长4厘米，BC长2厘米。以AC、BC为直径画半圆，两个半圆的交点在AB边上。求图中阴影局部的面积。如图20－11所示，图中平行四边形的一个角为600，两条边的长分别为6厘米和8厘米，高为。求图中阴影局部的面积。例题3。在图20－12中，正方形的边长是10厘米，求图中阴影局部的面积。20－1420－1320－1220－1420－1320－12【思路导航】解法一：先用正方形的面积减去一个整圆的面积，得空局部的一半〔如图20－13所示〕，再用正方形的面积减去全部空白局部。空白局部的一半：10×10－〔10÷2〕2×3.14＝21.5〔平方厘米〕阴影局部的面积：10××2＝57〔平方厘米〕解法二：把图中8个扇形的面积加在一起，正好多算了一个正方形〔如图20－14所示〕，而8个扇形的面积又正好等于两个整圆的面积。〔10÷2〕2××2－10×10＝57〔平方厘米〕答：阴影局部的面积是57平方厘米。练习3求下面各图形中阴影局部的面积〔单位：厘米〕。3410103410105520－1720－1620－1520－1720－1620－15例题4。在正方形ABCD中，AC＝6厘米。求阴影局部的面积。DCBDCBADCBA20－18BA20－18【思路导航】这道题的难点在于正方形的边长未知，这样扇形的半径也就不知道。但我们可以看出，AC是等腰直角三角形ACD的斜边。根据等腰直角三角形的对称性可知，斜边上的高等于斜边的一半〔如图20－18所示〕，我们可以求出等腰直角三角形ACD的面积，进而求出正方形ABCD的面积，即扇形半径的平方。这样虽然半径未求出，但可以求出半径的平方，也可以把半径的平方直接代入圆面积公式计算。既是正方形的面积，又是半径的平方为：6×〔6÷2〕×2＝18〔平方厘米〕阴影局部的面积为：18－18×÷4＝3.87〔平方厘米〕答：阴影局部的面积是3.87平方厘米。练习4如图20－19、20－20所示，图形中正方形的面积都是50平方厘米，分别求出每个图形中阴影局部的面积。如图20－21所示，正方形中对角线长10厘米，过正方形两个相对的顶点以其边长为半径分别做弧。求图形中阴影局部的面积〔试一试，你能想出几种方法〕。20－2120－2020－1920－2120－2020－19例题5。在图20－22的扇形中，正方形的面积是30平方厘米。求阴影局部的面积。ABABABAB20－2220－22【思路导