高考真题全国卷(2017-2021)解析几何部分

直线与圆的位置关系、点到直线距离

1.

（2020全国卷IL8）若过点（2,1）的圆与两坐标轴都相切,则圆心到直线2x—y—

3=0的距离为（）

V52也3A/54小

A.5B.5C.5D.5

2.（2018全国卷卷IH.8）直线x+y+2=0分别与轴，y轴交于A,8两点，点

P在圆（x-2）2+V=2上，则八钻尸面积的取值范围是（）

A.[2,6]B.[4,8]C.[x/2,3V2]D.[2后,3夜]

二、直线过定点、两点之间距离公式

3.（2020全国卷卷III.8）点（0,1）到直线y=k（x+l）距离的最大值为（）

A.lB.&C.6D.2

三.圆相关的弦长问题

4.（2020全国卷I.6）

已知圆x2+y2—6x=0,过点（1,2）的直线被该圆所截得的弦的长度的最小值为（

）

A.lB.2C.3D.4

5.（2018全国卷[.15）直线丫=工+1与圆丁+丁+2丫_3=0交于A,B两点，贝,A8|二

四.轨迹方程的求解

6.（2020全国卷卷HI.6）在平面内，A,B是两个定点，C是动点，若A.配

=1,则C的轨迹为（）

A.圆B.椭圆C.抛物线D.直线

五.双曲线焦点到直线距离

22

7.（2021乙卷.14）双曲线亍-?=1的右焦点到直线x+2y-8=0的距离为

六.双曲线渐近线相关问题

8.(2018全国卷卷HI.10)已知双曲线/2的离心率为血，

C：j—4=l(a>0,Z?>0)

ab

则点（4,0）到C的渐近线的距离为（）

c述D.2

AV2B.JF夜

22

9.（2021甲卷.5）点（3目0）到双曲线器-白目1的一条渐近线的距离为（）

A.-B.-C.-D.-

5555

10.（2018全国卷n.6）双曲线/2的离心率为出，则其渐近线

ab'

方程为（）

A.y=±V2xB.y=±>/3xC.y-±^-xD.y=±^-x

七.双曲线基本量求解

*2y2o_3

11.（2017全国卷卷HI.14）双曲线才9（a>0）的一条渐近线方程为,5,

贝Ua=.

八.双曲线离心率相关问题

22

~~~T=1（。>Qb>0）

12.（2020全国卷卷HI.14）设双曲线C：矿少的一条渐近线为

y=近x,则C的离心率为

22

r-=1（。>0,&>0）

13.（2019全国卷1.10）双曲线C：U力的一条渐近线的倾斜

角为130。，则为的离心率为（）

A.2sin40°B.2cos40°

sin50°cos50°

v-2

14.（2017全国卷11.5）若。>1,则双曲线与-V=］的离心率的取值范围是（）

a

A.（女,+8）B.（④⑵c.（1，夜）D,（L2）

15.（2019全国卷11.12）设尸为双曲线C：//

（a>0,/?>0）的右焦点，。为坐标原点,以OF为直径的圆与圆N+y：/交于p、

。两点.若|PQ=|OF|,则C的离心率为（）

A.V2B.V3C.2D.V5

九.椭圆离心率相关问题

22

16.（2018全国卷I.4）.已知椭圆C：二+匕=1的一个焦点为（2,0）,则。的

a24

离心率为（）

11也¥

--

A.3B.22

17.（2018全国卷n.ll）已知耳，乃是椭圆C的两个焦点，尸是C上的一点，若

PF、'PF],旦/尸鸟耳=60。，则C的离心率为（）

A.1--B.2-6C.^―!-D.V3-1

22

十.抛物线基本量的求解

22

18.（2019全国卷IL9）若抛物线p=2px（p>0）的焦点是椭圆工+乙=1的一个

3PP

焦点，则p=（）

A.2B.3C.4D.8

十一.直线与抛物线位置关系

19.（2020全国卷卷III.7）设O为坐标原点，直线x=2与抛物线C：y2=2px（p>0）

交于D,E两点，若ODLOE,则C的焦点坐标为（）

A.（4,0）B.（5,0）C.（l,0）D.（2,0）

十二.双曲线有关的面积问题

尤2V

20.（2020全国卷I.11）设Fi,F2是双曲线C：3

的两个焦点，O为坐标原点，点P在C上且|OP|=2,则△PF1F2的面积为（）

7

A.2B.3C.2D.2

21.（2020全国卷H.9）9.设0为坐标原点，直线x=a与双曲线C：

22

—2---p-=1（。>>0）

的两条渐近线分别交于D,E两点。若40DE的面积为8,则C的焦距的最小值为

()

A.4B.8C.16D.32

十三.椭圆相关的面积问题

22

22.(2021甲卷.16)已知尸便尸2为椭圆二@匕=1两个焦点，P，。为C上关于

164

坐标原点对称的两点，且伊。|国尸1尸2|，则四边形PF1QF2的面积为.

十四.椭圆的标准方程的求解

23.(2019全国卷I.12)已知椭圆。的焦点为耳(-1,0),工。,0),过尸2的直线与C

交于A,3两点.若|A6|=2|Q研，IABHB用，则C的方程为()

9222222

A厂21XV.XVXy1

A.---1-y=1B.----1---=1C.---1---=1tD.---1---=1

2324354

十五.椭圆上的动点问题

24.(2021乙卷.11)设B是椭圆C：£+y2=1的上顶点，点p在c上，则|PB|

的最大值为()

A.|B，V6C.V5D.2

v-22

25.(2017全国卷I.12)设4、8是椭圆C：—+^v-=1

3m

长轴的两个端点，若。上存在点M满足NAMB=120。，则根的取值范围是

()

A.(0,l]Uf9,+=o)B.(0,G]U[9,+OO)C.(0,l]Ur4,+a>)D.(0,G]U[4,+oo)

十六.椭圆定义及应用

22

工+21=1

26.(2019全国卷卷III.16)设耳居为椭圆C:3620的两个焦点，M为C上

一点且在第一象限.若△加及鸟为等腰三角形，则M的坐标为.

十七.直线和抛物线位置关系问题

27.（2017全国卷n.12）过抛物线。：丁=4%的焦点口，且斜率为8的直线交C

于点M（M在x的轴上方），/为。的准线，点N在/上且则M到直线

NF的距离为（）

A.石B.272C.2GD.30

十八.椭圆离心率相关问题、求解椭圆及抛物线方程问题

Y2y2

r+jv=1（。＞人＞0）

28.（2020全国卷n.19）已知椭圆Ci：£b'的右焦点F与抛物线

C2的焦点重合。Ci的中心与C2的顶点重合，过F且与x轴垂直的直线交Ci于A,

4

B两点，交C2于C,D两点，且|CD|=§|AB|。

⑴求Ci的离心率；

⑵若Ci的四个顶点到C2的准线距离之和为12,求Ci与C2的标准方程。

十九.圆锥曲线相关的面积问题

x2y2_V15

---7=1v（n。＜加＜5）——

29.（2020全国卷III.21）已知椭圆C：25m'的离心率为4,A,

B分别为C的左、右顶点。

（1）求C的方程；

⑵若点P在C上，点Q在直线x=6上，且|BP|=|BQ|,BP±BQ,求4APQ的

面积。

30.（2019全国卷n.20）已知月,月是椭圆。:=+3=1（"匕＞。）的两个焦点，P

ab

为C上一点，o为坐标原点.

（I）若△PO名为等边三角形，求C的离心率；

（2）如果存在点P,使得2片_LPK，且△耳P鸟的面积等于16,求b的值和。的

取值范围.

二十.直线与圆锥曲线位置关系问题

92

31.（2018全国卷卷III.20）已知斜率为k的直线与椭圆C：土+乙=1交于A,B

43

两点.线段AB的中点为中（1,加）（机>0）.

（1）证明：k<--；

2

（2）设尸为。的右焦点，P为。上一点，且可+而+而=0.证明：

2\FP\=\FA\+\FB\.

32.（2021甲卷.21）抛物线。的顶点为坐标原点O,焦点在x轴上，直线/：x=

1交。于P,Q两点，且OP_LOQ.已知点M（2,0）,且。M与2相切.

⑴求C,的方程；

（2）设劣，A2,公是C上的三个点，直线442,&&均与。M相切.判段直线&&

与的位置关系，并说明理由.

二十一.直线与圆锥曲线位置关系，直线过定点及求解圆方程问题

x2J

33.（2019全国卷卷III.21）已知曲线C：y=—,。为直线产-不上的动点，过。

作C的两条切线，切点分别为A,B.

（1）证明：直线AB过定点：

（2）若以E（0,g）为圆心的圆与直线A3相切，且切点为线段AB的中点，求该

圆的方程.

二十二.直线与圆位置关系，求直线方程问题。

34.（2018全国卷I.20）设抛物线G3=2X，点A（2,0）,B（-2,0）,过点A的直

线/与C交于"，N两点.

（1）当/与x轴垂直时，求直线的方程；

（2）证明：ZABM=ZABN.

尤2

35.（2017全国卷I.20）设48为曲线C：片一上两点，A与8的横坐标之和

4

为4.

（1）求直线A8的斜率；

（2）设M为曲线C上一点，C在例处的切线与直线48平行，且4W1B/W,求

直线八8的方程.

二十三.求轨迹方程，直线过定点

36.（2017全国卷H.20）设。为坐标原点，动点〃在椭圆C±+y2=1上，过〃

作X轴的垂线，垂足为M点、P满足丽=6而•

（1）求点尸的轨迹方程；

（2）设点。在直线％=-3上，且丽•用=1.证明：过点尸且垂直于。。的直线/

过。的左焦点£

二十四.直线与抛物线及圆相关问题

37.（2018全国卷0.20）设抛物线C：y2=4x的焦点为尸，过F且斜率为％（&>0）的

直线/与。交于A,5两点，|A3|=8.

（1）求/的方程；

（2）求过点A,8且与C的准线相切的圆的方程.

二十五.直线与圆位置关系，定值问题

3&（2019全国卷I.21）已知点A,8关于坐标原点。对称，|AB|=4,OM过

点A,8且与直线x+2=0相切.

（1）若A在直线x+y=0上，求。M的半径；

（2）是否存在定点P,使得当A运动时，|MA|一|MP|为定值？并说明理由.

二十六.圆相关的弦长定值问题

39.（2017全国卷卷III.20）在直角坐标系xOy中，曲线y=x2+mx-2与x轴交于4

8两点，点C的坐标为。1）.当m变化时，解答下列问题：

（1）能否出现8c的情况？说明理由；

（2）证明过4B,C三点的圆在y轴上截得的弦长为定值.

答案

1.B2.A3.B4.B5.206.A7.亚8.D9.A10.A11.5

12.613.D14.C15.A16.C17.D18.D19.B20.B21.B22.823.B

24.A25.A26.（3屈）27.C

28.（1）因为椭圆C1的右焦点坐标为：尸9,0）,所以抛物线。2的方程为旷2=45,其中

c=\/a2—b2■

无2y2

不妨设AC在第一象限，因为椭圆G的方程为：1.

a~

22b2b2b~

所以当X=c时，有__+-2_l=＞y=±—,因此A3的纵坐标分别为幺，

a2h2aaa

又因为抛物线G的方程为＞2=4cx,所以当％=c时，有y2=4c-c=y=±2c,

2b2

所以C,。的纵坐标分别为2c,-2c,故|4例=丝，|CD|=4c.

a

C_1

由|CD|=—|AB|得4c=竺，即3•一=2-2(-)2,解得£=一2(舍去),

33aaaa2

所以G的离心率为；.

22

（2）由（1）知a=2c,b=6c，故«:?+#=1，所以G的四个顶点坐标分

别为(2c,0),(-2c,0),(0,后c),(0,-Gc)，的准线为x=­c.

由已知得3c+c+c+c=12，即c=2.

r22

所以G的标准方程为常+巳=1，G的标准方程为＞2=".

2

Xy2

C:一+

29.(1)25m~

厂2y2

---------F1

・•.c的方程为：25国

4*;

（2）•.•点P在C上，点。在直线x=6上，且18Pl=|8。|,BP1BQ,

过点P作x轴垂线,交点为M，设元=6与％轴交点为N

根据题意画出图形,如图

-.■\BP\=\BQ\,BP±BQ,NPMB=NQNB=90°,

又/PBM+4QBN=90°,4BQN+NQBN=90°,

4PBM=NBQN,

根据三角形全等条件“A4S”，

可得：△PA〃?MZ\8NQ,

•-----1--------1，

2525

，5(5,0),

|。"|=幽=6-5=1,

设P点为(Xp,Np)>

可得P点纵坐标为％=1,将其代入三+3匚=1,

2525

2

可得：工x+2126=1,

2525

解得：》尸=3或》/,=一3,

P点为(3,1)或(一3,1),

①当P点为(3,1)时，

故阿卸=5-3=2,

•••4PMB三△BNQ,

\MBHNQ\=2,

可得：。点为(6,2),

可求得直线AQ的直线方程为：2x—Uy+10=0,

根据点到直线距离公式可得P到直线AQ的距离为：d=|2x3-Ux"必=鲁==旦

>/22+112V1255

根据两点间距离公式可得：\AQ\=J(6+5『+(2-0『=575，

AAPQ面积②当/>点为(一3,1)时，

故|MB|=5+3=8,

•.。APMB三△8NQ,

二"|=|NQ=8,

可得：。点为(6,8),

画出图象，如图

•••A(-5,0)2(6,8),

可求得直线A。的直线方程为：8x-lly+40=0,

根据点到直线距离公式可得尸到直线AQ的距离为:

18x(—3)-11x1+401|5|_5

“-7185"TtB'

根据两点间距离公式可得：|AQ|=J(6+5)2+(8—0)2=闹,

—xJ185x，—=

面积为:

AAPQ2V1852

综上所述，AAPQ面积为：

2

为：—x5V5x^-=—；

252

30.(1)连结由APO6为等边三角形可知在△耳P鸟中，NRPFy=90。，|叫=c,

|P4|=6c,于是2a=|P6|+|PE|=(g+l)c,故。的离心率是e=£=6-i.

a

[g|y|-2c=16,

(2)由题意可知，满足条件的点P(x,y)存在当且仅兰

22

——^-=-1,=+二=1,即力|=16,①

x+cx-cab-

x2+y2=c2,(2)

22

7+%j③

%4]£2

由②③及片=。2+。2得)2=f,又由①知:/二丁，故》=4.

C'C

由②③得》2=g（c2—〃），所以C2N〃，从而/=/+c2N2〃=32,故五.

当b=4,a24a时，存在满足条件的点P.

所以人=4,a的取值范围为［4&,+8）.

2222

31.（1）设y,）,8（X2,%），则＞《=1，^-+^-=1.

两式相减，并由立&印得土也+2L土匹.々=0.

%43

由题设知上也=1,丝也=相，于是&

224/n

由题设得0＜相＜3,故Z＜—-.

22

（2）由题意得F（l,0）.设尸（七，为），则

（七一1，%）+（XT，X）+（出一1，％）=（°，°）・

由（1）及题设得*3=3-（内+入2）=1，%=一（乂+%）=-2〃2＜0.

qRUlTR

又点p在c上，所以加=三，从而尸（1,—当，旧

422

于是向|=J（x「iy+y；=J（西一1）2+3（1_.）=2-5.

mr丫

同理尸3|=2-5.

uiruur1

所以必+阳=4-5（玉+々）=3.

uuuuiim

所以2尸?|二|必|+旧3|.

32.

【解析】

(1)设P(x,y),MOs%〉，则N(Xo,0),NP=(x-x0Jy),MN=(O,y(j)

由昨=0而得％=0,%=4y.

因为在C上，所以?+?=1一

因此点P的轨迹为炉+y2=2

(3)由题意知F(-1,0)，设Q(-3,t),P(m,n),则

OQ=(-3,t),PF=(—1—m,-n),OQ-PF=3+3m-tn,

OP=(m,n),PQ=(—3—m,t—n).

由加•PQ=1得Jm-M+tn-炉=1,又由(1)知加3+”2=2,故

34-3m-tn=O.

所以的-PF=O,gp,0Q1晅又过点P存在唯一直线垂直于OQ,所以过点P且垂直于OQ的直线1过

的左焦点F.

。［''一孑)'4(内，)'|)-2V

!：⑴设I?)，则不一”

1

y十一

2

,_-----=玉

由于y'=x,所以切线D4的斜率为』，故士一"

整理得2为一2%+1=0.

设3(%2，%)，同理可得2%-2y2+1=。.

故直线A5的方程为2优-2y+1=0

(°，；)

所以直线A3过定点2.

1

y—tx-\—

(2)由(1)得直线AB的方程为2.

J7

由I2，可得厂一2立一1=0

于是玉+W=2，,y+，2=(X|+/)+1=2r+1

设〃为线段的的中点，则/

由于两，而，而由=C,而与向量（Lf）平行，所以'+（>2）=0.

解得匚0或'=±1.

—.x2+\y--=4

当=0时，IE/1=2,所求圆的方程为（21.

（5V

一厂l+y—=2

当£=±1时，|EM|=，2,所求圆的方程为I2）.

34.解：（1）当/与x轴垂直时，/的方程为x=2,可得M的坐标为（2,2）或（2,-2）.

所以直线BM的方程为片;x+1或丫=-gx-l.

（2）当/与x轴垂直时，A8为M/V的垂直平分线，所以NA8M=N48N.

当/与x轴不垂直时,设/的方程为y=左（工一2）（女工0）,M（xi，yi）,N（x2»力），则Xi>0,

X2>0.

v=k(x-2),gc一人?

由，.2得ky2-2y-4/c=0,可知力+九二一，，1九二一4.

y=2xk

直线8M,8/V的斜率之和为

士)为)①

k4-k二3।%1+y2+2(3+%.

TABN

xx+2元2+2(%+2)(x,+2)

将%=&+2,x,=&+2及yl+y2，yly2的表达式代入①式分子，可得

kk

工”，、2,%+4%(乂+%)-8+8„

+占必+2(当+%)=—;~；--------"-=---=0•

kk

所以ABM+ABAFO，可知8M,8/V的倾斜角互补，所以N48M=/48M

综上，ZABM=ZABN.

35.

试题分析：（D设.4（XI,11）,B（«,g），由两点求斜率公式求.45的斜率；（2）联立直线与抛物线方程

消N，得期=应|玉-入：14衣而”，解出布.

试题解析：（1）设/（XI,VI）,B（X2,>1）,则x[#x：,弘=孑，）'：=羊，Xl-X2=4,

于是直线AB的斜率k=也云=。=1.

七一七4

<2）由）=：,得）'=：.

42

设M（X3,M，由题设如今=1,解得看=2,于是M（2,1）.

设直线AB的方程为kx+m,故线段AB的中点为.V（2,—*=^1；.

将J'=x+m代入>=一得x：-4x-4m=0.

4

当A=16（?M+1）>0>即m>—1B寸>=2士2j?w—1.

从而只5|=&|X]-x：[4y/2（m+l）.

由题设知|HB|=2|MV|,即4必可=2（相-1）,解得*=7.

所以直线.45的方程为y=x+7.

【考点】直线与圆锥曲线的位置关系

【名师点睛】本题主要考查直线与圆锥曲线位羞关系，所使用方法为韦达定理法：因直线的方程是一次的

圆锥曲线的方程是二次的，故直线与圆锥曲线的问题常转化为方程组关系问题，最终转化为一元二次方程

问题，故用韦达定理及判别式是解决圆锥曲线问题的重点方法之一，尤其是弦中点问题，弦长问题，可用

韦达定理直接解决，但应注意不要忽视判别式的作用.

36.

【解析】

(1)设P(x,y),M(〉,yo)厕N(XOJ0),NP=(x-x^y\MN=(0,%)

由前=媚而得q=0,比=骨.

因为M(%,比)在C上，所以?+?=L

因此点P的轨迹为炉+y2=2.

(3)由题意知F(-1,0),设Q(-3,t),P(m,n),则

OQ=(—3,t),PF=(—1—m,—n),OQ•PF=3+3m—tn,

OP=(m,n),PQ=(—3—m,t-n).

由加•PQ=1得-3m-加5+旭-712=1,又由(1)知裙+n2=2,故

3+3m-tn=O.

所以代•诺=0,即，而_L而.又过点P存在唯一直线垂直干OQ,所以过点P目垂直于OQ的直线1过C

的左焦点F.

37.(1)由题意得F(1,0),/的方程为片k(x-1)(k>0).

设八(xi,yi),B(X2，及).

由）k（x0得女2彳2_（2公+4）1+攵2=0.

y=4x

2炉+4

A=16k2+16=0,故土+占=———.