高思奥数导引小学五年级含详解答案第12讲：余数

第12讲余数

内容概述：

掌握余数的概念与基本性质，掌握除以某些特殊数的余数的计算方法。学会利用余数的

可加性、可减性和可乘性计算余数；学会运用周期性处理各类余数计算问题：学会求解“物

不知数问题。

典型问题

兴趣篇

1.72除以一个数，余数是7。商可能是多少？

2.100和84除以同一个数，得到的余数相同，但余数不为0。这个除数可能是多少？

3.20080808除以9的余数是多少？除以8和25的余数分别是多少？除以11的余数是多

少？

4.4个运动员进行乒乓球比赛，他们的号码分别为101、126、173、193。规定每两人之

间比赛的盘数是他们号码的和除以3所得的余数。请问：比赛盘数最多的运动员打了

多少盘？

5.某工厂有128名工人生产零件，他们每个月工作23天，在工作期间每人每天可以生产

300个零件。月底将这些零件按17个一包的规格打包，发现最后一包不够17个。请问：

最后一包有多少个零件？

6.(1)22°除以7的余数是多少？

(2)14"除以U的余数是多少？

(3)280除以13的余数是多少？

7.8+8x8++8x8xx8除以5的余数是多少？

10个8

8.一个三位数除以21余17,除以20也余17。这个数最小是多少？

9.有一个数，除以3的余数是2,除以4的余数是1。请问：这个数除以12余数是几?

10.100多名小朋友站成一列。从第一人开始依次按1,2,3,…，11的顺序循环报数，最后

一名同学报的数是9；如果按1,2,3.........13的顺序循环报数，那么最后一名同学报的数

是11。请问：一共有多少名小朋友？

拓展篇

I.H11除以一个两位数，余数是66。求这个两位数。

(1)421421421除以4和125的余数分别为多少？

21个421

(2)808808808除以9和11的余数分别是多少？

21个808

2.一年有365天，轮船制造厂每天都可以生产零件1234个。年终将这些零件按19个一

包的规格打包，最后一包不够19个。请问：最后一包有多少个零件？

2x2x2xx2—1

3.自然数67个2的个位数字是多少？

4.算式产7+22期+32.++20062◎计算结果的个位数字是多少？

6.一个自然数除以49余23,除以48也余23。这个自然数被14除的余数是多少？

7.一个自然数除以19余9,除以23除7。这个自然数最小是多少？

8.刘叔叔养了400多只兔子。如果每3只兔子关在一个笼子里，那么最后一个笼子里有2只；

如果5只兔子关在一个笼子里，那么最后一个笼子里有4只；如果每7只兔子关一个笼子

里，那么最后一个笼子里有5只。请问：刘叔叔一共养了多少只兔子？

123123123

9.123个123除以99的余数是多少？

10.把63个苹果，90个橘子，130个梨平均分给一些同学，最后一共剩下25个水果没有分

出去。请问：剩下个数最多的水果剩下多少个？

11.有一个大于1的整数，用它除300、262、205得到相同的余数，求这个数。

12.用61和90分别除以某一个数，除完后发现两次除法都除不尽，而且前一次所得的余数

是后一次的2倍。如果这个数大于1,那么这个数是多少？

超越篇

1.从1依次写到99,可以组成一个多位数12345…979899。这个多位数除以11的余数是多

少？

2.算式7+7x7++7x7xx7计算结果的末两位数字是多少？

2008个7

3.算式Ix3x5x7xx2007计算结果的末两位数字是多少？

（北京市第11届迎春杯决赛试题）

4.有5000多根牙签，按以下6种规格分成小包：如果10根一包，最后还剩9根；如果9根

一包，最后还剩8根；如果依次以8、7、6、5根为一包，最后分别剩7、6、5、4根。原

来一共有牙签多少根？

5.有三个连续的自然数，它们从小到大依次是5、7、9的倍数。这三个连续自然数最小是多

少？

6.请找出所有的三位数，使它除以7、11、13的余数之和尽可能大。

7.已知21!=A80909421717094CD000,那么四位数46CO是多少？

8.有一些自然数〃，满足：2"-〃是3的倍数，3”-〃是5的倍数，5"-〃是2的倍数。请

问：这样的〃中最小的是多少？

第12讲余数

内容概述：

掌握余数的概念与基本性质，掌握除以某些特殊数的余数的计算方法。学会利用余数的

可加性、可减性和可乘性计算余数；学会运用周期性处理各类余数计算问题；学会求解“物

不知数”问题。

典型问题

兴趣篇

10.72除以一个数，余数是7。商可能是多少？

【分析】72+a=67,所以出?=65,由于。是除数，其必须大于7,则。可以取的值有

13与65。对应的商可取5或者1。

11.100和84除以同一个数，得到的余数相同，但余数不为0。这个除数可能是多少？

【分析】根据题意，有他们相同的余数应为16的一个因数。则可以取1、2、4、8、16。

由于不能是100或者84的因数，所以有8和16两种。

12.20080808除以9的余数是多少？除以8和25的余数分别是多少？除以11的余数是多

少？

【分析】一个数的数字之和除以9的余数是几，该数除以9的余数就为几。而20080808的

数字和为26,所以其除以9的余数为8;

该数的末三位能被8整除，所以其除以8的余数为0;

该数的末两位除以25的余数为25,所以其除以25的余数为8;

该数的奇数位的数字之和为：24;偶数位的数字之和为：2,所以奇数位的数字之和与偶数

位的数字和的差为22。为11的倍数。所以其除以11的余数为Oo

13.4个运动员进行乒乓球比赛，他们的号码分别为10k126、173、193.规定每两人之

间比赛的盘数是他们号码的和除以3所得的余数。请问：比赛盘数最多的运动员打了

多少盘？

【分析】根据题意，101+3=332,126+3=42,173+3=572；193+3=641。

而他们号码的和除以3所得的余数与他们除以3的余数的和相等。则101号选手分别比赛了

2场、1场、0场；

126号选手分别比赛了2场、2场、1场共计5场；

173号选手分别比赛了1场、2场共计3场；

193号选手分别比赛了0场、1场、0场共计1场。

所以比赛最多的选手为126号选手比赛了5场。

14.某工厂有128名工人生产零件，他们每个月工作23天，在工作期间每人每天可以生产

300个零件。月底将这些零件按17个一包的规格打包，发现最后一包不够17个。请问：

最后一包有多少个零件？

【分析】该工厂共生产了300x128*23个零件，300除以17的余数为11,128除以17的

余数为7,23除以17的余数为6,而11x9x6三16(modl7)

所以最后一包有16个零件。

15.(1)22°除以7的余数是多少？

(2)11"除以11的余数是多少？

(3)280除以13的余数是多少？

16.8+8x8++8x8xx8除以5的余数是多少？

10个8

【分析】

(1)根据题意，23=l(mod7),则有22°三2?三4(mod7)

(2)1414=3l4(modll),由于35三l(modll),所以三三3’三4(modl1)

(3)28⑵三2⑵三2°x2三2(modl3)

所以22°除以7的余数是4,1]4除以11的余数是4；28⑵除以13的余数是2。

17.一个三位数除以21余17,除以20也余17。这个数最小是多少？

【分析】根据题意，该数应为17+420=437。

18.有一个数，除以3的余数是2,除以4的余数是1。请问：这个数除以12余数是几？

【分析】满足条件的所有的自然数为：5+12”，这类自然数除以12的余数为5。

10.100多名小朋友站成一列。从第一人开始依次按1,2,3,…，11的顺序循环报数，最后

一名同学报的数是%如果按1,2,3,…，13的顺序循环报数，那么最后一名同学报的数

是请问：一共有多少名小朋友？

【分析】令小朋友的人数为。，则有9;11,则a+2能被11与13整除。

所以。=141o

拓展篇

5.1111除以一个两位数，余数是66。求这个两位数。

【分析】根据题意，\\\\^a=b66,所以-66=5x11x19,由于。要大于

66o所以。=95

6.

(1)421421421除以4和125的余数分别为多少？

21个421

(2)808808808除以9和11的余数分别是多少？

21个808

【分析】(1)对于较大数除以4的余数只需看末两位除以4的余数，对于较大数除以125

的余数只需看末三位除以125的余数。

21+4=51,421+125=346

(2)对于较大数除以9的余数只需要看数字和除以9的余数即可，数字和为：336。336除

以9的余数为3。(继续看数字和即可)，所以421421421除以9的余数为3。

21个421

对于较大数除以11的余数只需看奇数位数字之和与偶数位的数字之和除以11的余数的差是

否是11的倍数即可，如不是，则添上相应的倍数。

则有：奇数位数字之和：(8+8)xl0+8+8；

偶数位数字之和：(8+8)xl0

所以808808808除以11的余数为5。

21个808

7.一年有365天，轮船制造厂每天都可以生产零件1234个。年终将这些零件按19个一

包的规格打包，最后一包不够19个。请问：最后一包有多少个零件？

【分析】1234+19=6418,365+19=194,贝以234x365三18x4三15(modl9)

所以最后一包有15个零件。

8.自然数2x2x2xx2—l的个位数字是多少？

67个2

【分析】2‘7三23(mod10)

所以2x2x2xx2-l的个位数字为7。

67个2

9.算式12°07+22007+32007++20062007计算结果的个位数字是多少？

【分析】由于任意自然数除以10的余数均是4个一周期。

273

则12007+22007+32007++2006°°=P+2-++2006,(mod10)

32

方法一：-+23++2006=2。吃；20。二=10032*2Q07

其个位数字为1。

方法二：由于1’与的个位相同，2'与12’的个位相同，其他类似，

而F+23++1()3三5(modl())(可只计算个位)，这样

13+23++20063=l3+23+33+43+53+63+5x200=l+8+7+4+5+6=l(modl0)

6.一个自然数除以49余23,除以48也余23。这个自然数被14除的余数是多少？

【分析】根据题意，所以满足除以49余23,除以48也余23的自然数可以表示为

23+49x48m,由于49x48帆一定为14的倍数。所以该数除以14的余数为9

7.一个自然数除以19余9,除以23除7。这个自然数最小是多少？

【分析】满足除以23余7的所有自然数可以用7+23，”来表示。

所以有：(7+23m)4-199,则4机:192,对应的〃z最小取值为10。

所以这个自然数最小是237。

8.刘叔叔养了400多只兔子。如果每3只兔子关在一个笼子里，那么最后一个笼子里有2只；

如果5只兔子关在一个笼子里，那么最后一个笼子里有4只；如果每7只兔子关一个笼子

里，那么最后一个笼子里有5只。请问：刘叔叔一共养了多少只兔子？

【分析】令有满足后面三个条件的兔子数为a只兔子，则根据条件有：

a+32

<4

a+75

满足前两个的所有的自然数为：14+15〃。

所以有：(14+15〃)+75

由于14+15“三15〃三〃(mod7)所以〃最小取5。

所以满足条件的最小的为89。现在刘叔叔应该养了89+3x105=404(只兔子)。

9.123123123除以99的余数是多少？

123个123

【分析】根据题意，判断较大的数除以99的余数可以适用两位一段，所有段数之和除以99

的余数来判断。

123123123=(23+31+12)x61+23+l(mod99)

123个/23

而(23+31+12)x61+23=4050,其除以99的余数为4050

所以123123123除以99的余数为4050«

123个123

10.把63个苹果，90个橘子，130个梨平均分给一些同学，最后一共剩下25个水果没有分

出去。请问：剩下个数最多的水果剩下多少个？

【分析】由于和的余数等于余数的和。则有：

283+a=625,即有ab=258,即同学数应该为258的一个因数，由于最后的余数的

和要为25。则显然86与129以及小于8的因数都不可以。所以有唯一的因数43符合条件。

此时剩下的水果最多的为苹果，20个。

U.有一个大于1的整数，用它除300、262、205得到相同的余数，求这个数。

【分析】根据题意，该整应为300-262=38的一个因数，也为262-205=57的一个因数。

也就是该数只能取19或者1»所以该数只能为19。

12.用61和90分别除以某一个数，除完后发现两次除法都除不尽，而且前一次所得的余数

是后一次的2倍。如果这个数大于1,那么这个数是多少？

【分析】根据题意，如若有61+a2b,则有90+ab,将两余数化为相同，则有：

180+a2bo

所以有：a应为119的一个因数。则可取1、7、17或者119。

经实验可知只有17符合条件。所以这个数为17。

超越篇

1.从1依次写到99,可以组成一个多位数12345…979899。这个多位数除以11的余数是多

少？

【分析】根据题意，奇数位数字之和：

(1+2+3+4+5+6+7+8+9+0)x9+9+7+5+3+1=405+25=43()三l(modll)；

偶数位数字之和为：

(1+2+3+4+5+6+7+8+9)x10+8+6+4+2=450+20=470三8(modll)

则奇数位的数字之和除以11的余数与偶数位除以11的余数之差不够，则添上11,所以。

余数为：1+11-8=4。

2.算式7+7x7++7x7xx7计算结果的末两位数字是多少？

2008个7

【分析】

根据题意有：7的末两位为07

7的末两位为07;72的末两位为49;73的末两位为43:74的末两位为01；

7、的末两位为07；7,的末两位为49；7’的末两位为43；7^的末两位为01；

则四个一周期。

所以7+7x7++7x7xx7的所有末两位数字和为：(7+49+43+1)x502=50200

2008个7

所以末两位的数字为00。

3.算式Ix3x5x7xX2007计算结果的末两位数字是多少？

【分析】该数能被25整除且为奇数。所以该数的末两位数字只能为25或者75。

由于lx3x5x7x9三11x13x15x17x19三l(mod4)

所以末两位数字为25

(北京市第11届迎春杯决赛试题)

4.有5000多根牙签，按以下6种规格分成小包：如果10根一包，最后还剩9根；如果9根

一包，最后还剩8根；如果依次以8、7、6、5根为一包，最后分别剩7、6、5、4根。原

来一共有牙签多少根？

【分析】如果添加1根牙签，那么按六种规格分成小包时都恰好每包装满且无剩余.即这时

牙签数是5、6、7、8、9、10的公倍数.5、6、7、8、9、10的最小公倍数是

[5,6,7,8,9,10]=23X32X5X7=2520,又已知原来牙签根数为5000多，所以原来共有牙

签2x2520—1=5039(根).

5.有三个连续的自然数，它们从小到大依次是5、7、9的倍数。这三个连续自然数最小是多

少？

【分析】根据题意，令这三个连续的自然数分别是：a、。+1、47+2,则它们从小到大依

次是5、7、9的倍数。所以我们有：

50

76

”97

满足前两个的所有的自然数为：20+35〃

所以有：（20+35〃）+97,所以35〃+95,有8〃+95,则n最小取4。

此时。最小取160»

所以这三个自然数为160、161、162。

6.请找出所有的三位数，使它除以7、11、13的余数之和尽可能大。

【分析】（1）余数之和最大为除以7余6,除以11余10,除以13余12。此时余数之和为

28,但是此时满足三个条件的最小的自然数为1000;

（2）无法实现余数和为28,则考虑余数和为27,此时会出现三种情况：

①除以7余6,除以11余10,除以13余10；

满足除以7余6,除以11余10的最小的自然数为76,满足该两条件的所有自然数为：76+77”，

现在只需要其满足除以13余10即可。

（76+77〃）+1310

则有76+13=511

则77〃+13=12,对应的〃最小取1O此时满足条件的最小的三位数为153o下一个为

153+1001=1154,不符合；

②以7余6,除以11余9,除以13余12；

满足除以7余6,除以13余12的最小的自然数为90,满足该两个条件的所有的自然数为

90+91〃，则有：（90+91〃）+119,则95+112即3"+112,对应的〃的最小值为8,

所以满足三个条件的最小的自然数为818,下一个为818+1001=1819

③以7余5,除以11余10,除以13余12；

满足除以11余10,除以13余12的最小的自然数为142,满足条件的所有自然数为：

142+143”，则有：（142+143/7）^75,则有143n+73°n最小取1

所以满足条件的最小的自然数为：285.

所以除以7、11、13的余数之和最大可以取27,共有三个这样的三位数，分别是:

153,818,285»

7.已知21!=AB0909421717094CZ9000,那么四位数A8CO是多少？

【分析】由于1〜21中有4个5的倍数，所以21!的末尾有4个0,所以0=0.

由于21!=2x5xIOxl5x8x2Ox〃=10000x8x3M（M为正整数），所以

AB0909421717094CZXXX)去掉末尾的4个0后得到的数是8的倍数，那么94c是8的倍

数，所以C=4.

由于该数既是9的倍数，又是II的倍数。则该数必然为99的倍数。则有：

0+44+9+17+17+42+9+9+诟=荏+147为99的倍数。

所以而=51。

则该四位数ABCD为5140.)

【拓展】(2005年第3届走美杯5年级决赛第7题，10分)

已知：23!=258。20c67388849766AB000,贝！］ABC