湖南省衡阳市实验中学2023-2024学年九年级上学期期中数学试题（含解析）

衡阳市实验中学2023年下学期期中考试试卷九年级数学一、选择题（共12小题，每小题3分，满分36分．）1．下列方程是一元二次方程的是（

）A． B． C． D．2．方程x2﹣2x＝0的根是（）A．x＝﹣2 B．x1＝0，x2＝2 C．x＝2 D．x1＝0，x2＝﹣23．如图，四边形∽四边形，则下列角的度数正确的是（

）A． B． C． D．4．如图在△ABC中，点D、E分别在AB、AC上，DE∥BC，点F在CD的延长线上，AF∥BC，AF＝1，BC＝3，则DE的值是（）A． B． C． D．5．将一元二次方程化成的形式，则的值为（

）A． B．2 C．3 D．46．某服装公司今年月的营业额为万元，按计划第四季度的总营业额要达到万元，求该公司、两个月营业额的月均增长率，设该公司、两个月营业额的月均增长率为，则根据题意可列的方程为（

）A． B．C． D．7．下列二次根式中与是同类二次根式的是（

）A． B． C． D．8．已知关于x的一元二次方程x2-（2k+1）x+k+1=0，

若x1+x2=3，则k的值是（

）A．0 B．1 C．﹣1 D．29．若，则＝（）A． B． C． D．10．如图，D为的边AB上一点，，则AC长为（

）A．12cm B．cm C．cm D．2cm11．如图，已知，那么添加下列一个条件后，仍无法判定的是（）

A． B． C． D．12．如图，D，E分别是的边上的点，，若，则的值为（）A． B． C． D．二、填空题（共6小题，每小题3分，满分18分．）13．计算：=．14．比较大小：（填“”或“”）15．代数式的值等于．16．若关于的方程是一元二次方程，则17．如图，已知E是平行四边形ABCD的一边AD延长线上的一点，AD＝3DE，则DF＝AB．18．在20世纪70年代，我国著名数学家华罗庚教授将黄金分割法作为一种“优选法”，在全国大规模推广，取得了很大成果．如图，利用黄金分割法，所做将矩形窗框分为上下两部分，其中E为边的黄金分割点，即．已知为2米，则线段的长为米．三、解答题（共8小题，19－20题每题6分，21－24题每题8分，25题10分，26题12分．）19．计算：．20．求值：，其中，．21．解方程：(1)；(2)．22．如图，在锐角三角形ABC中，点D，E分别在边AC，AB上，AG⊥BC于点G，AF⊥DE于点F，∠EAF=∠GAC．（1）求证：△ADE∽△ABC；（2）若AD=3，AB=5，求的值．23．已知关于的一元二次方程．(1)证明：无论取何值，此方程必有实数根；(2)等腰三角形中，，、的长是此方程的两个根，求的值．24．某商店经销的某种商品，每件成本为30元，经市场调查，当售价为每件70元时，可销售20件，假设在一定范围内，售价每降低1元，销售量平均增加2件．如果用x表示商品售价．(1)当售价为每件50元，销量为________件：(2)用含x的代数式表示商品的销量为________件；(3)如果降价后商店销售这批商品获利1200元，问这种商品每件售价是多少元？25．如图，在中，是边上的高，且(1)求的度数；(2)若，，求的长．26．如图所示，在平面直角坐标系中，直线与x轴，y轴分别交于B点、A点，点P从点B开始沿边向终点A以1厘米/秒的速度移动；点Q从点A开始沿边向终点O以1厘米/秒的速度移动．若点P，Q同时出发，运动时间为t秒．(1)当时，①P点的坐标________（用b来表示）②当为直角三角形时，求b的值；(2)当的面积为8平方厘米时，求b与t的数量关系，并求出b的最小值．答案与解析1．A【分析】根据一元二次方程的定义，逐项判断即可求解．【详解】解：A、是一元二次方程，故本选项符合题意；B、不是一元二次方程，故本选项不符合题意；C、不是一元二次方程，故本选项不符合题意；D、不是一元二次方程，故本选项不符合题意；故选：A【点睛】本题主要考查了一元二次方程的定义，熟练掌握含有一个未知数，且未知数的最高次数是2的整式方程是一元二次方程是解题的关键．2．B【分析】用因式分解法求解即可．【详解】解：∵x2﹣2x＝0，∴x(x﹣2)＝0，则x＝0或x﹣2＝0，解得x1＝0，x2＝2，故选：B．【点睛】本题考查了一元二次方程的解法，常用的方法有直接开平方法、配方法、因式分解法、求根公式法，熟练掌握各种方法是解答本题的关键．3．A【分析】本题考查了相似多边形的性质，多边形的内角和；根据相似多边形的对应角相等，四边形的内角和是逐项判断即可．【详解】解：∵四边形∽四边形，∴，，，，故选：A．4．C【分析】通过证明△ADF∽△BDC，可求CD＝3DF，可得CF＝4DF，通过证明△CDE∽△CFA，可得，即可求解．【详解】解：∵DE∥BC，∴△ADF∽△BDC，∴，∵AF＝1，BC＝3，∴，∴CD＝3DF，∴CF＝4DF，∵DE∥BC，∴△CDE∽△CFA，∴，∴＝，∴DE＝，故选：C．【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质，证明三角形相似是解题的关键．5．D【分析】移项后配方，即可得出答案．【详解】解：，，配方，得，，即，故选：D．【点睛】本题考查了解一元二次方程，能够正确配方是解此题的关键．6．B【分析】根据增长后的量=增长前的量（1+增长率），即可表示出月与12月的营业额，根据第四季的总营业额要达到万元，即可列方程．【详解】解：该服装公司今年10月的营业额为万元，该公司，两个月营业额的月均增长率为，该服装公司今年月的营业额为万元，月的营业额为万元．根据题意得：，即，故选：B．【点睛】本题考查了一元二次方程的实际应用——增长率问题，根据题意正确列出方程是解题关键．7．D【分析】先把每一个二次根式化为最简二次根式，然后找出与2被开方数相同的二次根式．【详解】解：=2；A、=3，被开方数是2；故本选项不符合题意；B、是最简二次根式，被开方数是30；故本选项不符合题意；C、=4被开方数是3；故本选项不符合题意；D、=3，被开方数是6；故本选项符合题意．故选：D．【点睛】本题考查了同类二次根式的概念，同类二次根式是化为最简二次根式后，被开方数相同的二次根式称为同类二次根式．8．B【分析】利用根与系数的关系得出x1+x2=2k+1，进而得出关于k的方程求出即可．【详解】解：设方程的两个根分别为x1，x2，由x1+x2=2k+1=3，解得：k=1，故选B．【点睛】本题考查了一元二次方程的根与系数的关系，能把求k的值的问题转化为解方程得问题是关键．9．A【分析】由已知可设，，代入原式，计算化简即可．【详解】解：∵，∴设，，将，代入中，得，，故选：A．【点睛】本题考查了分式的基本性质，运用分式基本性质进行正确运算是解题的关键．10．B【分析】由且∠A=∠A可证△ACD≌△ABC，则通过其比例关系可得：AC2=AD×AB.【详解】∵∠A=∠A，∴△ACD≌△ABC，∴,∴AC2=AD×AB=3×4=12∴AC=cm故选择B.【点睛】本题考查了“有两角对应相等的三角形相似”的判定方法及相似三角形的性质.11．C【分析】本题考查相似三角形的判定定理，熟悉掌握判定定理是解决本题的关键．【详解】解：∵，∴，A.添加，可得到相似，不符合题意；B.添加，可得到相似，不符合题意；C.添加，不能得到相似，符合题意；D.添加，可得到相似，不符合题意；故选C．12．C【分析】本题主要考查了相似三角形的判定及其性质；解题的关键是证明，得出；证明，得到，由相似三角形的性质即可解决问题．【详解】∵，∴，∴，∵，∴，∴，∵，∴，∵，∴，∴∴，，故选C．13．3【分析】原式利用平方计算即可得到结果．【详解】解：=3，故答案为3．【点睛】本题考查了二次根式的平方，熟练掌握二次根式的计算方法是解本题的关键．14．【分析】本题考查了实数的大小比较，根据实数的性质，运用比差法计算是解题的关键．【详解】解：∵，∴，故答案为：．15．10【分析】根据被开方数为非负数可求出，再代入计算即可．【详解】解：∵，，∴，∴原式．故答案为：10．【点睛】本题考查二次根式有意义的条件，代数式求值．根据被开方数为非负数求出是解题关键．16．【分析】根据一元二次方程的定义可求得的m值．【详解】解：依题意得：1-m≠0且3-m=2,解得：m=【点睛】此题考查了一元二次方程的定义，熟悉掌握相关知识是解题关键.17．.【分析】由AD＝3DE，可得DE∶AE=1∶4,而后证明△DEF∽△AEB，列出比例式即可解决问题．【详解】解：∵AD＝3DE，∴DE∶AE=1∶4∵四边形ABCD是平行四边形，∴DF∥AB，∴△DEF∽△AEB，∴DF∶AB=DE∶AE=1∶4即．故答案为:.【点睛】该命题以平行四边形为载体，以考查平行四边形的性质、相似三角形的判定及其性质的应用为核心构造而成；解题的关键是灵活运用有关定理来分析、判断、解答．18．##【分析】根据点E是AB的黄金分割点，可得，代入数值得出答案．【详解】∵点E是AB的黄金分割点，∴．∵AB=2米，∴米．故答案为：（）．【点睛】本题主要考查了黄金分割的应用，掌握黄金比是解题的关键．19．2．【分析】根据平方差公式计算，再根据立方根、平方根化简即可．【详解】【点睛】本题考查平方差公式、立方根、平方根的含义，二次根式的混合运算，会识别公式是关键，正确计算是重点．20．2032【分析】本题主要查了因式分解的应用．根据完全平方公式原式变形为，再把，代入，即可求解．【详解】解：∵，∴原式21．(1)(2)【分析】本题主要查了解一元二次方程：（1）利用因式分解法解答，即可求解；（2）先把原式化为一般式，得，再利用因式分解法解答，即可求解．【详解】（1）解：∴，∴，解得：；（2）解：，整理得：，∴，∴，解得：．22．（1）证明见解析；（2）．【分析】（1）由于AG⊥BC，AF⊥DE，所以∠AFE=∠AGC=90°，从而可证明∠AED=∠ACB，进而可证明△ADE∽△ABC；（2）△ADE∽△ABC，，又易证△EAF∽△CAG，所以，从而可求解．【详解】（1）证明：∵AG⊥BC，AF⊥DE，∴∠AFE=∠AGC=90°，∵∠EAF=∠GAC，∴∠AED=∠ACB，∵∠EAD=∠BAC，∴△ADE∽△ABC，（2）由（1）可知：△ADE∽△ABC，∴由（1）可知：∠AFE=∠AGC=90°，∴∠EAF=∠GAC，∴△EAF∽△CAG，∴，∴=23．(1)见解析(2)【分析】（1）证明即可；（2）根据是等腰三角形分类讨论即可．【详解】（1）证明：，无论取何值，此方程必有实数根；（2）解：当为腰时，则或有一条边为腰，的解为，，解得：，时原方程两根为和，此时三角形三边为，，，这样的三角形不存在，不合题意，应舍去，当为底时，则，为腰，方程有两个相等的实数根，，解得，综上所述，的值．【点睛】本题考查了根的判别式，解一元二次方程，等腰三角形的性质，熟练掌握一元二次方程根的判别式的求法是解题的关键．24．(1)60(2)(3)60元或50元【分析】本题考查的知识点是生活中常见的商品打折销售问题：（1）根据销量等于原来的销量降低的价格，即可求解；（2）根据销量等于原来的销量降低的价格，即可求解；（3）根据题意得出，(售价成本)(原来的销量降低的价格)，据此列方程求解即可．【详解】（1）解：根据题意得：当售价为每件50元，销量为件；故答案为：60（2）解：根据题意得：商品的销量为件；故答案为：（3）解：设每件商品应降价y元时，根据题意，得整理得：，解这个方程得：，答：每件商品售价60元或50元时，该商店销售利润达到1200元．25．(1)(2)【分析】本题考查了相似三角形的判定和性质，证明三角形相似是关键．（1）是边上的高，且，就可以得出，可得，由直角三角形的性质可求解；（2）证明，可得，再把，代入可得答案．【详解】（1）解：∵是边上的高，∴，∵，∴，∴，∴，又∵，∴，∴；（2）∵，，∴，∴，又∵，，∴，∴．26．(1)①

②或或(2)关系式为或，的最小值为【分析】（1）①当时，根据点和点的与运动可分别求出和的长，过点作垂直轴于点，则根据比例可求出和的长，进而可得到的长，即可得出点的坐标；②根据点和点的运动可表示出，然后分和是直角两种情况，利用相似三角形对应边成比例列式求解即可；（2）过点作于，利用的正弦求出，然后根据三角形的面积公式列出方程求解即可.【详解】（1）①∵直线与轴，轴分别交于点、点，∴，，∴，当时，由点和点的运动可知，，如图，过点作轴于点D，则，，即，，，