六章平面向量及其应用数乘运算

数学第六章平面向量及其应用6．2.3向量的数乘运算01预习案自主学习02探究案讲练互动03自测案当堂达标04应用案巩固提升学习指导核心素养1.通过实例，掌握向量数乘的运算，理解其几何意义及两个向量共线的含义．2.了解向量的线性运算性质及其几何意义．1.数学抽象：由教材实例抽象出向量数乘的概念．2.数学运算：向量数乘的运算律及其向量的线性运算．3.逻辑推理：利用向量共线定理解决具体问题．1．向量数乘的定义文字表述规定实数λ与向量a的积是一个____，这种运算叫做向量的数乘，记作____规定长度|λa|＝_________方向当λ>0时，λa的方向与a的方向____当λ<0时，λa的方向与a的方向____当λ＝0时，λa＝__向量λa|λ||a|相同相反02.向量数乘的运算律设λ，μ为实数，那么：(1)λ(μa)＝__________．(2)(λ＋μ)a＝__________．(3)λ(a＋b)＝__________．特别地，(－λ)a＝－(λa)＝λ(－a)，λ(a－b)＝λa－λb.(λμ)aλa＋μaλa＋λb3．向量的线性运算(1)定义：向量的加、减、数乘运算统称为向量的线性运算．(2)运算结果：向量线性运算的结果仍是____．(3)运算律：对于任意向量a，b，以及任意实数λ，μ1，μ2，恒有λ(μ1a±μ2b)＝______________．4．两个向量共线的充要条件向量a(a≠0)与b共线的充要条件是：存在唯一一个实数λ，使________．向量λμ1a±λμ2bb＝λa

1．实数与向量可以相乘，那么能否相加或相减呢？提示：不能进行加减，像a＋λ，a－λ(λ为实数)都是没有意义的．2．两个向量共线的充要条件中的“a≠0”是否可以去掉？提示：不能，定理中之所以限定a≠0是由于若a＝b＝0，λ存在，但不唯一，若a＝0，b≠0，则λ不存在．

1．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)实数λ与向量a的积还是向量．(

)(2)3a与a的方向相同，－3a与a的方向相反．(

)(3)若ma＝mb，则a＝b.(

)(4)若向量b与a共线，则存在唯一的实数λ使b＝λa.(

)√√××2．(多选)下列各式计算正确的有(

)A．(－7)×6a＝－42a

B．7(a＋b)－8b＝7a＋15bC．a－2b＋a＋2b＝2a

D．4(2a＋b)＝8a＋4b√√√√

向量线性运算的基本方法(1)类比法：向量的数乘运算可类似于代数多项式的运算．例如，实数运算中的去括号、移项、合并同类项、提取公因式等变形在向量的数乘中同样适用，但是在这里的“同类项”“公因式”指向量，实数看作是向量的系数．(2)方程法：向量也可以通过列方程来解，把所求向量当作未知数，利用解方程的方法求解，同时在运算过程中要多注意观察，恰当地使用运算律，可以简化运算．√2．设a＝e1－e2，b＝e1＋2e2，c＝5e1＋4e2，c＝xa＋yb，则x＋y＝____________．解析：因为c＝xa＋yb＝x(e1－e2)＋y(e1＋2e2)＝(x＋y)e1＋(－x＋2y)e2，又c＝5e1＋4e2，所以x＋y＝5.答案：5

用已知向量表示未知向量的求解思路(1)先结合图形的特征，把待求向量放在三角形或平行四边形中．(2)然后结合向量的三角形法则或平行四边形法则及向量共线定理用已知向量表示未知向量．(3)当直接表示比较困难时，可以利用三角形法则或平行四边形法则建立关于所求向量和已知向量的等量关系，然后解关于所求向量的方程．√

1．已知向量a＝e1－2e2，b＝2e1＋e2，c＝－6e1＋2e2，其中e1，e2不共线，则a＋b与c的关系为(

)A．不共线 B．共线C．相等 D．无法确定解析：因为a＋b＝3e1－e2，所以c＝－2(a＋b)，所以a＋b与c共线．故选B.√√1．已知λ∈R，则下列结论正确的是(

)A．|λa|＝λ|a|

B．|λa|＝|λ|aC．|λa|＝|λ||a| D．|λa|>0解析：当λ<0时，|λa|＝λ|a|不成立，A错误；|λa|是一个非负实数，而|λ|a是一个向量，所以B错误；当λ＝0或a＝0时，|λa|＝0，D错误．故选C.√√3．已知a＝2e1＋e2，b＝e1－2e2，则a＋b＝________，a－b＝____________，2a－3b＝____________．解析：因为a＝2e1＋e2，b＝e1－2e2，所以a＋b＝3e1－e2，a－b＝e1＋3e2，2a－3b＝4e1＋2e2－3e1＋6e2＝e1＋8e2.答案：3e1－e2

e1＋3e2

e1＋8e24．设a，b是两个不共线的向量．若向量ka＋2b与8a＋kb的方向相反，则k＝________．解析：因为向量ka＋2b与8a＋kb的方向相反，所以