高中考试数学解答题-不含参数的极值点偏移问题（含答案）

专题03：极值点偏移第一招——不含参数的极值点偏移问题函数的极值点偏移问题，其实是导数应用问题，呈现的形式往往非常简洁，涉及函数的双零点，是一个多元数学问题，不管待证的是两个变量的不等式，还是导函数的值的不等式，解题的策略都是把双变量的等式或不等式转化为一元变量问题求解，途径都是构造一元函数.例.（2010天津理）已知函数，如果，且.证明：例.（2013湖南文）已知函数，证明：当时，招式演练：★已知函数，正实数满足.证明：.★已知函数．（Ⅰ）求函数的单调区间；（Ⅱ）若方程有两个相异实根，，且，证明：.新题试炼：【2019福建福州质检】已知函数.（1）求曲线在点处的切线方程；（2）函数与函数的图像总有两个交点，设这两个交点的横坐标分别为，.（ⅰ）求的取值范围；（ⅱ）求证：.【2019北京八中期中】已知函数f(x)=xe−x(xR)（Ⅰ）求函数f(x)的单调区间和极值；（Ⅱ）若x(0,1),求证：f(2−x)>f(x)；（Ⅲ）若x1(0,1),x2(1,+∞),且f(x1)=f(x2),求证：x1+x2>2.函数的极值点偏移问题，其实是导数应用问题，呈现的形式往往非常简洁，涉及函数的双零点，是一个多元数学问题，不管待证的是两个变量的不等式，还是导函数的值的不等式，解题的策略都是把双变量的等式或不等式转化为一元变量问题求解，途径都是构造一元函数.例.（2010天津理）已知函数，如果，且.证明：构造函数，则，所以在上单调递增，，也即对恒成立.由，则，所以，即，又因为，且在上单调递减，所以，即证学&科网法三：由，得，化简得…，不妨设，由法一知，.令，则，代入式，得，反解出，学科#网则，故要证，即证，又因为，等价于证明：…，构造函数，则，故在上单调递增，，从而也在上单调递增，，学&科网构造，则，又令，则，由于对恒成立，故，在上单调递增，所以，从而，故在上单调递增，由洛比塔法则知：，即证，即证式成立，也即原不等式成立.【点评】以上四种方法均是为了实现将双变元的不等式转化为单变元不等式，方法一、二利用构造新的函数来达到消元的目的，方法三、四则是利用构造新的变元，将两个旧的变元都换成新变元来表示，从而达到消元的目的.学科*网例.（2013湖南文）已知函数，证明：当时，【解析】易知，在上单调递增，在上单调递减.学&科网招式演练：★已知函数，正实数满足.证明：.【解析】由，得从而，令，构造函数，得，可知在上单调递减，在上单调递增，学&科网所以，也即，解得：.★已知函数．（Ⅰ）求函数的单调区间；（Ⅱ）若方程有两个相异实根，，且，证明：.【答案】（Ⅰ）在(0,1)递增，在(1,+递减；（Ⅱ）见解析学科@网（2）由(1)可设的两个相异实根分别为，满足且，由题意可知又有(1)可知在递减故所以，令新题试炼：【2019福建福州质检】已知函数.（1）求曲线在点处的切线方程；（2）函数与函数的图像总有两个交点，设这两个交点的横坐标分别为，.（ⅰ）求的取值范围；（ⅱ）求证：.【答案】（1）（2）（ⅰ），（ⅱ）见解析【解析】（1）解：由已知得，∴∴，又∵，曲线在点处的切线方程为：.（2）（ⅰ）令，∴，由得，；由得，易知，为极大值点，又时，当时，即函数在时有负值存在，在时也有负值存在.由题意，只需满足，学科*网∴的取值范围是：【2019北京八中期中】已知函数f(x)=xe−x(xR)（Ⅰ）求函数f(x)的单调区间和极值；（Ⅱ）若x(0,1),求证：f(2−x)>f(x)；（Ⅲ）若x1(0,1),x2(1,+∞),且f(x1)=f(x2),求证：x1+x2>2.【答案】（1）在()内是增函数,在()内是减函数.在处取得极大值且（2）见解析(3)见解析【解析】=（1﹣x）e﹣x令，则x=1当x变化时，，f（x）的变化情况如下表：x（﹣∞，1）1（1，