远期和期货的定价

第八章金融远期和期货的定价金融市场学教学指引：教学要求：本章要求学生理解金融远期和金融期货定价的理论基础，掌握远期和期货的定价方法教学要点：一、无套利定价法的基本原理二、无收益资产远期价格的定价三、收益资产远期价格的定价四、收益率资产远期价格的定价§1无套利定价法的基本原理某股票现货市场价格20元，3个月期的远期合约价格22元,假设该股票在未来3个月内不派发红利,若市场利率为10%,问套利者如何套利?借贷市场、股票现货市场远期市场现在以10%的利率借款20元，买入股票。以22元价格做空3个月远期合约。3个月后偿还借款本息20.5元以买入的股票交割远期合约取得22元。结果获利1.5元在上述操作中,套利者无需承担任何风险（远期合约违约风险除外），无需进行任何资本投资，便获得1.5元/股的盈利。

若3个月期股票远期价格为20元，套利者能否套利借贷市场、股票现货市场远期市场现在以20元卖空股票取得资金进行投资。以20元价格做多3个月远期合约3个月后卖空股票的资金通过投资获得20.5元交割远期合约支付20元。结果获利0.5元细心的你有没有发现，若其他条件不变，当股票3个月期的远期价格为多少时，不存在套利机会？20.5元这20.5元是什么？

股票现货价格在3个月后的终值。§1无套利定价法的基本原理不同复利次数下资金的终值与现值假设数额S以利率r投资了n年。如果利息按每一年计一次复利，则上述投资的终值为：

如果每年计m次复利，则终值为：当m趋于无穷大时，就称为连续复利,此时的终值为如果终值为F,其它条件不变，则现值为连续复利举例设某债券面值A=1000元、期限n=5年、利率i=8%则：按普通复利计息的终值S=A（1+i）n=1000（1+8%）5=1469.3元。按连续复利计息的终值S=Aein

=1000e0.08·5=1491.8元。20元，连续复利利率为10%，3个月期限终值为：F=20e0.1·0.25=20.5（元）。无收益资产是指在到期日前不产生现金流的资产。比如：不支付股息的股票或贴现债券。§2无收益资产远期合约的定价1、无收益资产远期价格的确定

从上述分析得知：由于不存在套利机会，对于无收益资产而言，远期价格F就等于其标的资产现货价格S的终值。F=Ser（T－t）这里按连续复利计算得出公式：F=20e0.1·0.25=20.5（元）。F-远期价格S-标的资产即期价格T-t-折算为年的远期期限r-无风险年利率§2无收益资产远期合约的定价S=100tT10%F=110K=110f=S-Ke-r（T－t）2、无收益资产远期合约多头价值的确定原理:无收益资产远期合约多头的价值等于标的资产现货价格与交割价格现值的差额例题：1、假设一种无红利支付的股票目前的市价为20元，无风险连续复利年利率为10%，求该股票3个月期远期价格。F=20e0.1

0.25=20.51元。2、设一份标的证券为1年期贴现债券，剩余期限为6个月的远期合约多头，其交割价格为960元，假设6个月期的无风险利率为6%,该债券的现价为940元，则该远期合约多头的价值为多少？f=940-960e-0.06×0.5=8.48元§3支付已知收益资产远期合约的定价支付已知收益资产远期合约是该合约在到期前为远期合约持有者提供完全可预测的现金流,如:债券利息和支付已知现金红利的股票等。假设已知现金收益在远期合约有效期间的现值为I,则支付已知收益资产的远期价格为:F=(S-I)er（T－t）

支付已知现金收益资产的远期合约多头价值等于标的证券现货价格扣除现金收益现值后的余额与交割价格现值之差。f=S-I-Ke-r（T－t）§3支付已知收益资产远期合约的定价标的资产现货价格S利息利息标的资产的远期价格FIFe-r(T-t)此时：S=I+Fe-r(T-t)那么：F=(S-I)er(T-t)例题：某股票预计在2个月和5个月后每股分别派发1元股息，该股票目前市价等于30元，假设所有期限的无风险连续复利年利率均为6%，某投资者刚取得该股票6个月期的远期合约空头，请问：该股票远期价格等于多少？

解：

2个月和5个月后派发的1元股息的现值

=e-0.062/12+e-0.06

5/12=1.96元。

远期价格=(30-1.96)e0.060.5=28.89元。问：该股票远期市场上6个月期股票价格如果为28.89元，那么该股票远期合约价值为多少？例题：假设目前白银价格为每盎司80元，储存成本为每盎司每年2元，每3个月初预付一次，所有期限的无风险连续复利率均为5%,求9个月后交割的白银期货的价格。储存成本的现值=0.5+0.5e-0.05

3/12+0.5e-0.05

6/12=1.48元。白银远期价格=(80+1.48)e0.059/12=84.59元。§4支付已知收益率资产远期合约的定价支付已知收益率资产是指在到期前将产生与该资产现货价格成一定比率收益的证券，意味着证券价格百分比的收益是已知的。我们假设年红利收益率为q=3%，它的具体含义是指红利收益率为标的证券每年价格的3%。也就是说，当证券价格为150元时，红利按照每年4.5元支付。§4支付已知收益率资产远期合约的定价支付已知收益率资产的远期价格：

支付已知收益率资产远期合约多头的价值例题：

假设s﹠p500指数现在的点数为1000点,该指数所含股票的红利连续收益率为5%,连续复利的无风险利率为10%,3个月期s﹠p500指数期货的价格为1080点,求该期货的远期价格和合约多头的价值。

F=1000e(0.1-0.5)×0.25=1012.58点

f=1000e-0.05×0.25-1080e-0.1×0.25=-65.75例题：假设恒生指数目前为10000点，香港无风险连续复利年利率为10%，恒生指数股息连续复利收益率为3%，求该指数期货4个月期的价格。指数期货价格=10000e(0.1-0.03)

4/12=10236.08点。练习：某股票预计在2个月和5个月后每股分别派发1元股息该股票目前市价等于30，所有期限的无风险连续复利年利率均为6%，某投资者刚取得该股票6个月期的远期合约空头，请问：该股票远期价格等于多少？若交割价格等于远期价格，则远期合约的初始价值等于多少？3个月后，该股票价格涨到35元，无风险连续复利年利率仍为6%，此时远期价格和该合约空头价值等于多少？答案：（1）2个月和5个月后派发的1元股息的现值=e-0.06*2/12+e-0.06*5/12=1.96元。远期价格=(30-1.96)e0.06*0.5=28.89元。若交割价格等于远期价格，则远期合约的初始价值为0。（2）3个月后的2个月派发的1元股息的现值=e-0.06*2/12=0.99元。

远期价格=（35-0.99）e0.06*3/12=34.52元。此时空头远期合约价值=（28.89-34.52）e-0.06*3/12=-5.55元。或=28.89e-0.06*3/12-35+0.99=-5.55元练习：甲卖出1份A股票的欧式看涨期权,9月份到期协议价格为20元。现在是5月份,A股票现在价格为18元，期权价格为2元。如果期权到期时A股票价格为25元，请问甲在整个过程中的现金流状况如何？他在5月份收入2元，9月份付出5元（=25-20）目前黄金价格为500美元/盎司，1年远期价格为700美元/盎司。市场借贷年利率为10%，假设黄金的储藏成本为0，请问有无套利机会？如果有，应怎样操作？套利者可以借钱买入100盎司黄金，并卖空1年期的100盎司黄金期货，并等到1年后交割，再将得到的钱用于还本付息，这样就可获得无风险利润。练习：假设一种无红利支付的股票目前的市价为20元，无风险连续复利年利率为10%，求该股票3个月期远期价格。期货价格=20e0.1*0.25=20.51元练习：3、期货价格与远期价格的关系理论上说，若无风险利率一定，且远期合约与期货合约到期日也一定，则期货价格与远期价格相等或接近。然而，无风险利率并不一定，而期货交易实行逐日盯市制度，利率变动会引起金融资产价格的变动，因此，期货价格与远期价格可能存在一定差异。标的资产价格与利率关系资产价格与利率变化期货价格与远期价格标的资产价格与利率正相关资产价格↑，再投资利率↑期货价格>远期价格资产价格↓，融资利率↓标的资产价格与利率负相关资产价格↑，再投资利率↓期货价格<远期价格资产价格↓，融资利率↑§5期货价格与现货价格的关系期货价格和现在现货价格的关系期货价格和预期未来现货价格的关系期货价格和现在现货价格的关系可以用基