【函数实际应用】类型二-阶梯费用类问题（解析版）

类型二阶梯费用类问题【典例1】一大型商场经营某种品牌商品，该商品的进价为每件3元，根据市场调查发现，该商品每周的销售量y（件）与售价x（元件）（x为正整数）之间满足一次函数关系，下表记录的是某三周的有关数据：x（元/件）456y（件）1000095009000（1）求y与x的函数关系式（不求自变量的取值范围）；（2）在销售过程中要求销售单价不低于成本价，且不高于15元/件．若某一周该商品的销售量不少于6000件，求这一周该商场销售这种商品获得的最大利润和售价分别为多少元？（3）抗疫期间，该商场这种商品售价不大于15元/件时，每销售一件商品便向某慈善机构捐赠m元（），捐赠后发现，该商场每周销售这种商品的利润仍随售价的增大而增大．请直接写出m的取值范围．【答案】（1）；这一周该商场销售这种商品获得的最大利润为54000元，售价为12元；（3）．【解析】【分析】（1）设y与x的函数关系式为y=kx+b，代入表中的数据求解即可；（2）设这一周该商场销售这种商品获得的利润为w，根据总利润=单件利润×销售量列出函数关系式求最大值，注意x的取值范围；（3）写出w关于x的函数关系式，根据当x≤15时，利润仍随售价的增大而增大，可得，求解即可．【详解】解：（1）设y与x的函数关系式为y=kx+b，代入（4，10000），（5，9500）可得：，解得：，即y与x的函数关系式为；（2）设这一周该商场销售这种商品获得的利润为w，根据题意可得：，解得：，∵，∴当x=12时，w有最大值，w=54000，答：这一周该商场销售这种商品获得的最大利润为54000元，售价为12元．（3）设这一周该商场销售这种商品获得的利润为w，当每销售一件商品便向某慈善机构捐赠m元时，由题意，当x≤15时，利润仍随售价的增大而增大，可得：，解得：m≥3，∵∴故m的取值范围为：．【点睛】本题考查二次函数的实际应用——最大利润问题，解题的关键是根据题意列出函数关系式，通过配方法找到最大值．【典例2】(2020宁波10分)A,B两地相距200千米.早上8:00货车甲从A地出发将一批物资运往B地,行驶一段路程后出现故障，即刻停车与B地联系.B地收到消息后立即派货车乙从B地出发去接运甲车上的物资.货车乙遇到甲后,用了18分钟将物资从货车甲搬运到货车乙上,随后开往B地两辆货车离开各自出发地的路程y(千米)与时间x(小时)的函数关系如图所示，(通话等其他时间忽略不计)(1)求货车乙在遇到货车甲前,它离开出发地的路程)关于x的函数表达式;(2)因实际需要，要求货车乙到达B地的时间比货车甲按原来的速度正常到达B地的时间最多晚1个小时,间货车乙返回B地的速度至少为每小时多少千米?【答案】（1）y=80x-128(1.6≤x≤3.1)（2）至少需要75千米/小时【解析】（1）设函数表达式为y=kx+b(k≠0)把(1.6,0)，(2.6,80)代入y=kx+b,得解得∴y关于x的函数表达式为y=80x-128;由图可知200-80=120(千米)，120➗80=1.5(小时)，1.6+1.5=3.1(小时),∴x的取值范围是1.6≤x≤3.1.∴货车乙在遇到货车甲前，它离开出发地的路程y关于x的函数表达式为y=80x-128(1.6≤x≤3.1);(2)当y=200-80=120时,120=80x-128,解得x=3.1,由图可知，甲的速度为(千米/小时),货车甲正常到达B地的时间为：200➗50=4(小时),18➗60=0.3(小时)，4+1=5(小时)，5-3.1-0.3=1.6(小时),设货车乙返回B地的车速为v千米/小时,∴1.6v≥120,解得v≥75.答:货车乙返回B地的车速至少为75千米/小时.【总结】(1)由待定系数法可求出函数解析式;(2)根据图中的信息求出乙返回B地所需的时间，由题意可列出不等式1.6v≥120，解不等式即可得出答案.【点评】本题考查了一次函数的应用;待定系数法求函数的解析式，根据数形结合得到甲乙相应的速度以及相应的时间是解决本题的关键.【典例3】某超市销售一种商品，成本每千克40元，规定每千克售价不低于成本，且不高于80元．经市场调查，每天的销售量y(kg)与每千克售价x(元)满足一次函数关系，部分数据如下表：售价x(元/kg)506070销售量y(kg)1008060(1)求y与x之间的函数表达式；(2)设商品每天的总利润为W(元)，求W与x之间的函数表达式(利润＝收入—成本)；(3)试说明(2)中总利润W随售价x的变化而变化的情况，并指出售价为多少元时获得最大利润，最大利润是多少？【答案】（1）y＝－2x＋200(40≤x≤80)；（2）w=－2x2＋280x－8000(40≤x≤80)；（3）当x＝70时，利润W取得最大值，最大值为1800元．【解析】(1)根据题意，设y＝kx＋b，其中k，b为待定的常数，由表中的数据得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(50k＋b＝100，,60k＋b＝80，))解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(k＝－2，,b＝200，))∴y＝－2x＋200(40≤x≤80)；(2)根据题意得W＝y·(x－40)＝(－2x＋200)(x－40)＝－2x2＋280x－8000(40≤x≤80)；(3)由(2)可知：W＝－2(x－70)2＋1800，∴当售价x在满足40≤x≤70的范围内，利润W随着x的增大而增大；当售价在满足70＜x≤80的范围内，利润W随着x的增大而减小．∴当x＝70时，利润W取得最大值，最大值为1800元．【典例4】襄阳市某企业积极响应政府“创新发展”的号召，研发了一种新产品．已知研发、生产这种产品的成本为30元/件，且年销售量y(万件)关于售价x(元/件)的函数表达式为：y＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(－2x＋140（40≤x<60），,－x＋80（60≤x≤70）.))(1)若企业销售该产品获得的年利润为W(万元)，请直接写出年利润关于售价x(元/件)的函数表达式；(2)当该产品的售价x(元/件)为多少时，企业销售该产品获得的年利润最大？最大年利润是多少？(3)若企业销售该产品的年利润不少于750万元，试确定该产品的售价x(元/件)的取值范围．【答案】（1）W＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(－2x2＋200x－4200（40≤x<60），,－x2＋110x－2400（60≤x≤70）；))（2）800万（3）45≤x≤55.【解析】(1)W＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(－2x2＋200x－4200（40≤x<60），,－x2＋110x－2400（60≤x≤70）；))(2)由(1)知，当40≤x<60时，W＝－2(x－50)2＋800.∵－2<0，∴当x＝50时，W有最大值800.当60≤x≤70时，W＝－(x－55)2＋625.∵－1＜0，∴当60≤x≤70时，W随x的增大而减小，∴当x＝60时，W有最大值为600.∵800>600，∴W最大值为800万元．答：当该产品的售价定为50元/件时，销售该产品的年利润最大，最大利润为800万元；(3)当40≤x＜60时，令W＝750，得－2(x－50)2＋800＝750，解得x1＝45，x2＝55.由函数W＝－2(x－50)2＋800的性质可知，当45≤x≤55时，W≥750，当60≤x≤70时，W最大值为600＜750.答：要使企业销售该产品的年利润不少于750万元，该产品的销售价x(元/件)的取值范围为45≤x≤55.【典例5】荆州市某水产养殖户进行小龙虾养殖．已知每千克小龙虾养殖成本为6元，在整个销售旺季的80天里，销售单价p(元/kg)与时间第t天之间的函数关系为p＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(\f(1,4)t＋16（1≤t≤40，t为整数），,－\f(1,2)t＋46（41≤t≤80，t为整数），))日销售量y(kg)与时间第t天之间的函数关系如图3－3－1所示．(1)求日销售量y与时间t的函数关系式？(2)哪一天的日销售利润最大？最大利润是多少？(3)该养殖户有多少天日销售利润不低于2400元？(4)在实际销售的前40天中，该养殖户决定每销售1kg小龙虾，就捐赠m(m＜7)元给村里的特困户．在这前40天中，每天扣除捐赠后的日销售利润随时间t的增大而增大，求m的取值范围．【答案】（1）y＝－2t＋200(1≤t≤80，t为整数)；（2）W＝(p－6)y（3）21天（4）5≤m＜7.图3－3－1【解析】(1)根据函数图象，利用待定系数法求解可得；图3－3－1(2)设日销售利润为W，分1≤t≤40和41≤t≤80两种情况，根据“总利润＝每千克利润×销售”列出函数表达式，由二次函数的性质分别求得最值即可判断；(3)求出W＝2400时x的值，结合函数图象即可得出答案；(4)依据(2)中相等关系列出函数表达式，确定其对称轴，由1≤t≤40且销售利润随时间t的增大而增大，结合二次函数的性质可得答案．解：(1)设函数表达式为y＝kt＋b，将(1，198)，(80，40)代入，得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(198＝k＋b，,40＝80k＋b，))解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(k＝－2，,b＝200，))∴y＝－2t＋200(1≤t≤80，t为整数)；(2)设日销售利润为W，则W＝(p－6)y，①当1≤t≤40时，W＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,4)t＋16－6))(－2t＋200)＝－eq\f(1,2)(t－30)2＋2450，∴当t＝30时，W最大＝2450；②当41≤t≤80时，w＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)t＋46－6))(－2t＋200)＝(t－90)2－100，∴当t＝41时，W最大＝2301，∵2450＞2301，∴第30天的日销售利润最大，最大利润为2450元；(3)由(2)得当1≤t≤40时，W＝－eq\f(1,2)(t－30)2＋2450，令W＝2400，即－eq\f(1,2)(t－30)2＋2450＝2400，解得t1＝20，t2＝40，由函数W＝－eq\f(1,2)(t－30)2＋2450的图象(如答图)可知，当20≤t≤40时，日销售利润不低于2400元，第3题答图而当41≤t≤80时，W最大＝2301＜2400，∴t的取值范围是20≤t≤40，∴共有21天符合条件；(4)设日销售利润为W，根据题意，得W＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,4)t＋16－6－m))(－2t＋200)＝－eq\f(1,2)t2＋(30＋2m)t＋2000－200m，其函数图象的对称轴为t＝2m＋30，∵W随t的增大而增大，且1≤t≤40，∴由二次函数的图象及其性质可知2m＋30≥40，解得m≥5，又∵m＜7，∴5≤m＜7.【典例6】小慧和小聪沿图3－3－2①中景区公路游览．小慧乘坐车速为30km/h的电动汽车，早上7：00从宾馆出发，游玩后中午12：00回到宾馆．小聪骑车从飞瀑出发前往宾馆，速度为20km/h，途中遇见小慧时，小慧恰好游完一景点后乘车前往下一景点，上午10：00小聪到达宾馆．图②中的图象分别表示两人离宾馆的路程s(km)与时间t(h)的函数关系．试结合图中信息回答：图3－3－2(1)小聪上午几点钟从飞瀑出发？(2)试求线段AB，GH的交点B的坐标，并说明它的实际意义；(3)如果小聪到达宾馆后，立即以30km/h的速度按原路返回，那么返回途中他几点钟遇见小慧？【答案】（1）7:30（2）如下（3）11:00【解析】(1)小聪从飞瀑到宾馆所用的时间为50÷20＝2.5(h)，∵小聪上午10：00到达宾馆，∴小聪从飞瀑出发的时刻为10－2.5＝7.5，即7：30.答：小聪早上7：30从飞瀑出发；(2)设直线GH的函数表达式为s＝kt＋b，由于点G的坐标为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，50))，点H的坐标为(3，0)，则有eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(50＝\f(1,2)k＋b，,0＝3k＋b，))解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(k＝－20，,b＝60，))∴直线GH的函数表达式为s＝－20t＋60，又∵点B的纵坐标为30，∴当s＝30时，得－20t＋60＝30，解得t＝eq\f(3,2)，∴点B的坐标为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)，30)).答：点B的实际意义是上午8：30小慧与小聪在离宾馆30km(即景点草甸)处第一次相遇；(3)方法一：设直线DF的函数表达式为s＝k1t＋b1，该直线过点D和F(5，0)，由于小慧从飞瀑回到宾馆所用时间为50÷30＝eq\f(5,3)(h)，∴小慧从飞瀑准备返回时t＝5－eq\f(5,3)＝eq\f(10,3)(h)，即点D的坐标为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(10,3)，50)).则有eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(\f(10,3)k1＋b1＝50，,5k1＋b1＝0，,))解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(k1＝－30，,b1＝150.))∴直线DF的函数表达式为s＝－30t＋150，∵小聪上午10：00到达宾馆后立即以30km/h的速度返回飞瀑，所需时间为50÷30＝eq\f(5,3)(h)．第4题答图如答图，HM为小聪返回时s关于t的函数图象，第4题答图∴点M的横坐标为3＋eq\f(5,3)＝eq\f(14,3)，∴Meq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(14,3)，50))，设直线HM的函数表达式为s＝k2t＋b2，该直线过点H(3，0)和Meq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(14,3)，50))，则有eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(50＝\f(14,3)k2＋b2，,0＝3k2＋b2，))eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(解得k2＝30，,b2＝－90.))∴直线HM的函数表达式为s＝30t－90，由30t－90＝－30t＋150，解得t＝4，即11：00.答：小聪返回途中上午11：00遇见小慧；方法二：如答图，过点E作EQ⊥x轴于点Q，由题意，可得点E的纵坐标为两人相遇时距宾馆的路程，又∵两人速度均为30km/h，∴该路段两人所花时间相同，即HQ＝QF，∴点E的横坐标为4.答：小聪返回途中上午11：00遇见小慧．【典例7】月电科技有限公司用160万元，作为新产品的研发费用，成功研制出了一种市场急需的电子产品，已于当年投入生产并进行销售．已知生产这种电子产品的成本为4元/件，在销售过程中发现：每年的年销售量y(万件)与销售价格x(元/件)的关系如图3－3－3所示，其中AB为反比例函数图象的一部分，BC为一次函数图象的一部分．设公司销售这种电子产品的年利润为W(万元)．(注：若上一年盈利，则盈利不计入下一年的年利润；若上一年亏损，则亏损记做下一年的成本)图3－3－3(1)请求出y(万件)与x(元/件)之间的函数关系式．(2)求出第一年这种电子产品的年利润W(万元)与x(元/件)之间的函数关系式，并求出第一年年利润的最大值．(3)假设公司的这种电子产品第一年恰好按年利润W(万元)取得最大值时进行销售，现根据第一年的盈亏情况，决定第二年将这种电子产品每件的销售价格x(元)定在8元以上(x＞8)，当第二年的年利润不低于103万元时，请结合年利润W(万元)与销售价格x(元/件)的函数示意图，求销售价格x(元/件)的取值范围．【答案】（1）y＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(\f(160,x)（4≤x≤8），,－x＋28（8＜x≤28）；))（2）当每件的销售价格定为16元时，第一年的年利润的最大值为－16万元．（3）当11≤x≤21时，第二年的年利润W不低于103万元．【解析】(1)求y(万件)与x(元/件)之间的函数关系式，结合图象，是一个分段函数，已知点坐标，运用待定系数法可求；(2)根据“年利润＝年销售量×每件的利润－成本(160万元)”，可求出年利润W(万元)与x(元/件)之间的函数关系式，但要注意的是和第(1)问一样是分段函数，根据每段的函数特征分别求出最大值，再比较这两个数值的大小，从而确定第一年的年利润的最大值；(3)根据条件“第二年的年利润不低于103万元”，可得W≥103，这是一个一元二次不等式，观察年利润W(万元)与销售价格x(元/件)的函数示意图，从而得出结果．解：(1)当4≤x≤8时，设y＝eq\f(k,x)，将A(4，40)代入，得k＝4×40＝160.∴y与x之间的函数关系式为y＝eq\f(160,x).当8＜x≤28时，设y＝kx＋b，将B(8，20)，C(28，0)代入，得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(8k＋b＝20，,28k＋b＝0.))解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(k＝－1，,b＝28.))∴y与x之间的函数关系式为y＝－x＋28.∴综上所述，得y＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(\f(160,x)（4≤x≤8），,－x＋28（8＜x≤28）；))(2)当4≤x≤8时，W＝(x－4)×y－160＝(x－4)×eq\f(160,x)－160＝－eq\f(640,x).∵W随着x的增大而增大，∴当x＝8时，Wmax＝－eq\f(640,8)＝－80.当8＜x≤28时，W＝(x－4)×y－160＝(x－4)×(－x＋28)－160＝－x2＋32x－272＝－(x－16)2－16.∴当x＝16时，Wmax＝－16.∵－16＞－80，∴当每件的销售价格定为16元时，第一年的年利润的最大值为－16万元．(3)∵第一年的年利润为－16万元．∴16万元应作为第二年的成本．第5题答图又∵x＞8，第5题答图∴第二年的年利润W＝(x－4)(－x＋28)－16＝－x2＋32x－128，令W＝103，则－x2＋32x－128＝103，解得x1＝11，x2＝21.在平面直角坐标系中，画出W与x的函数示意图如答图，观察示意图可知：当W≥103时，11≤x≤21.∴当11≤x≤21时，第二年的年利润W不低于103万元．【典例8】某水果店在两周内，将标价为10元/斤的某种水果，经过两次降价后的价格为8.1元/斤，并且两次降价的百分率相同．(1)求该种水果每次降价的百分率；(2)从第一次降价的第1天算起，第x天(x为正数)的售价、销量及储存和损耗费用的相关信息如表所示．已知该种水果的进价为4.1元/斤，设销售该水果第x(天)的利润为y(元)，求y与x(1≤x＜15)之间的函数关系式，并求出第几天时销售利润最大？时间x(天)1≤x＜99≤x＜15x≥15售价(元/斤