概率统计（解析版）2021年高考数学三轮冲刺过关（新高考专用）

预测12概率统计

高考预测

概率预测☆☆☆☆☆

题型预测选择题、填空题☆☆☆☆解答题☆☆☆☆☆

1、常见类型的概率(填空题常见正态分布的1线性回归方程、离散型随机变量的

概率)；概率及与直方图等知识点的结合

考向预测

2、概率与排列组合的结合；

3、统计案例；

应试必备

古典概率、离散型随机变量的分布列、均值与方差是高考的热点题型，去年竟有解答题作为压轴题,

常与排列、组合、概率等知识综合命题.以实际问题为背景考查离散型随机变量的均值与方差在实

际问题中的应用，注重与数列、不等式、函数、导数等知识的综合考查，是高考的主要命题方向.

，知识必备

1.事件的相互独立性

(1)定义：设A，B为两个事件，如果P(AB)=P(A)P(B)，那么称事件A与事件B相互独立.

(2)性质:

①若事件A与B相互独立，则P(AB)=P(A)P(B).

②如果事件A与B相互独立，那么A与B-，A-与B>A-与B-也相互独立.

(3)独立重复试验：在相同条件下重复做的n次试验称为n次独立重复试验，在n次独立重复试

验中，事件A恰好发生k次的概率为P(X=k)=CApk(l-p)n-k(k=o，1，2，…，n).

2.随机变量的有关概念

(1)随机变量：随着试验结果变化而变化的变量，常用字母x，Y，&，n，…表示.

(2)离散型随机变量：所有取值可以一一列出的随机变量.

3.离散型随机变量的概率分布及其性质

(1)一般地，若离散型随机变量X可能取的不同值为X|，X2，…，Xi，…，X”，X取每一个值Xi(i

=1，2，…，n)的概率P(X=xD=pi，则表

……

XXIX2XiXn

PPIP2・・・Pi・・・Pn

称为离散型随机变量X的概率分布列，简称为X的概率分布，有时为了表达简单，也用等式

P(X=Xi)=pi，i=1，2，…，n表示X的概率分布.

(2)离散型随机变量概率分布的性质

①pi2O(i=l，2，…，n)；②pi+p2H----Fpn=l.

4.常见离散型随机变量的概率分布

(1)两点分布：

若随机变量X服从两点分布，即其概率分布为

X01

P1-pP

其中p=P(X=l)称为成功概率.

(2)超儿何分布：

在含有M件次品的N件产品中，任取n件，其中恰有X件次品，则事件“X=r”发生的概率

为P(X=r)=°'R1r=0，1，2，m，其中m=min{W，n}，且n<N,M〈N，n，M，NG

N*，称分布列为超几何分布.

X01・・・m

C-C温MC"相

P.・・

C&aa

(3)二项分布X〜8(〃，p)，记为Ca*/r=B(&；n，p).

X01・・・k・・・n

…犷卜

pcw1cd.・・cw

5.求概率分布的步骤

(1)明确随机变量X取哪些值；

(2)求X取每一个值的概率；

(3)列成表格.

6.离散型随机变量的均值与方差

若离散型随机变量X的概率分布为

•••…

XXiX2XiXn

・・・

pPiP2Pi•••Pn

⑴均值

称E(X)=Xlpi+x2P2+…+XiPi+…+XnPn为随机变量X的均值或数学期望，它反映了离散型随

机变量取值的平均水平.

(2)方差

称D(X)=Xi-E(x)]2pi为随机变量X的方差，它刻画了随机变量X与其均值E(X)的平均偏离程

度，D(X)越小，稳定性越高，波动性越小，其算术平方根ND(X)为随机变量X的标准差.

2.均值与方差的性质

(l)E(aX+b)=aE(X)+b.

(2)D(aX+b)=a2D(X)(a，b为常数).

3.两点分布、二项分布、超几何分布的期望、方差

(1)若X服从两点分布，则E(X)=p，D(X)=p(l-p).

⑵若X服从二项分布，即X-B(n，p)，则E(X)=np>D(X)=np(l-p).

(3)若X服从超几何分布，即X〜H(n，M，N)时，E(X)=曙.

8正态曲线及性质

(1)正态曲线的定义

函数色“d)=志2一七■岑

xG(—00)+8)(其中实数g和4QO)为参数)的图像为正

态分布密度曲线，简称正态曲线.伽是正态分布的期望，。是正态分布的标准差).

(2)正态曲线的特点

①曲线位于x轴上方与x轴不相交；②曲线是单峰的，它关于直线X=H对称;

2

③曲线在x=n处达到峰值吐I；④曲线与x轴之间的面积为1;

⑤当o一定时，曲线随着n的变化而沿x轴平移；

⑥当H一定时，曲线的形状由◎确定."越小，曲线越“高瘦”，表示总体的分布越集中；，。

越大，曲线越“矮胖”，表示总体的分布越分散.

5.正态分布

(1)正态分布的定义及表示

如果对于任何实数a，b(a<b)，随机变量X满足P(a<XWb)“.(.(x)dx，则称随机变量X服从正态

分布，记作X〜N(第'd).

(2)正态分布的三个常用数据

①P(N-o<XWp+o)=0.6826；

@P(H-2G<X^H+2O)=0.9544；

③P(H-3BVXWN+3G)=0.9974.

9.变量间的相关关系

(1)常见的两变量之间的关系有两类：一类是函数关系，另一类是相关关系；与函数关系不同，

相关关系是一种非确定性关系.邦|体现的不一定是因果关系.

(2)从散点图上看，点散布在从左下角到右上角的区域内，两个变量的这种相关关系称为正相关;

点散布在左上角到右下角的区域内，两个变量的这种相关关系为负相关.

2.两个变量的线性相关

(1)从散点图上看，如果这些点从整体上看大致分布在通过散点图中心的一条直线附近，称两个

变量之间具有线性相关关系，这条直线叫做回归直线.

(2)回归方程为YA=bAx+aA-其中其中aA，M是待定参数，错误!(y「bxLa)2的最小值而得到

回归直线的方法，即使得样本数据的点到回归直线的距离的平方和最小，这一方法叫做最小二乘法.

(4)相关系数：

当r>0时，表明两个变量正相关;

当rVO时，表明两个变量负相关.

r的绝对值越接近于1，表明两个变量的线性相关性越强.r的绝对值越接近于0,表明两个变量

之间几乎不存在线性相关关系.通常|r|大于0.75时，认为两个变量有很强的线性相关性.

3.独立性检验

⑴2X2列联表

设X，Y为两个变量，它们的取值分别为｛xi，X2｝和｛“，y?｝，其样本频数列联表(2X2列联表)

如下：

yiY2总计

XIaba+b

X2cdc+d

总计a+cb+da+b+c+d

(2)独立性检验

利用随机变量K%也可表示为％方的观测值卜==+七(:;［一：：；：)oE(其中n=a+b

+

c+d为样本容量)来判断“两个变量有关系”的方法称为独立性检验.

常用结论

(1)求解回归方程的关键是确定回归系数屋山人，应充分利用回归直线过样本中心点(X-，y—).

(2)根据K?的值可以判断两个分类变量有关的可信程度，若K?越大，则两分类变量有关的把握

越大.

(3)根据回归方程计算的B值，仅是一个预报值，不是真实发生的值.

3

真题回顾

1、【2020年高考全国II卷理数】在新冠肺炎疫情防控期间，某超市开通网上销售业务，每天能完成

1200份订单的配货，由于订单量大幅增加，导致订单积压.为解决困难，许多志愿者踊跃报名

参加配货工作.己知该超市某日积压500份订单未配货，预计第二天的新订单超过1600份的概

率为0.05,志愿者每人每天能完成50份订单的配货，为使第二天完成积压订单及当日订单的配

货的概率不小于0.95,则至少需要志愿者

A.10名B.18名

C.24名D.32名

【答案】B

【解析】由题意，第二天新增订单数为500+1600—1200=900,设需要志愿者x名，

50x

-->0.95,X217.L故需要志愿者18名.

900

故选：B

2、【2020年高考全国I卷理数】某校一个课外学习小组为研究某作物种子的发芽率y和温度x(单

位：℃)的关系，在20个不同的温度条件下进行种子发芽实验，由实验数据(%,y)(，=1,2,…,20)

回归方程类型的是

A.y=a+bxB.y=a+bx2

C.y=a+be'D.y=a+b\nx

【答案】D

【解析】由散点图分布可知，散点图分布在一个对数函数的图象附近,

4

因此，最适合作为发芽率y和温度X的回归方程类型的是y=a+b\nx.

故选：D.

3、【2020年高考山东】某中学的学生积极参加体育锻炼，其中有96%的学生喜欢足球或游泳，60%

的学生喜欢足球，82%的学生喜欢游泳，则该中学既喜欢足球又喜欢游泳的学生数占该校学生总

数的比例是

A.62%B.56%

C.46%D.42%

【答案】C

【解析】记“该中学学生喜欢足球”为事件A，“该中学学生喜欢游泳”为事件5,则“该中学学生

喜欢足球或游泳”为事件A+8,“该中学学生既喜欢足球又喜欢游泳”为事件A8,

则P(A)=0.6,P(B)=0.82,P(A+8)=0.96,

所以尸(A•B)=P(A)+尸(8)一尸(A+B)=0.6+0.82-0.96=0.46

所以该中学既喜欢足球又喜欢游泳的学生数占该校学生总数的比例为46%.

故选：C.

4、【2020年高考全国III卷理数】在一组样本数据中，1,2,3,4出现的频率分别为P1,〃2，〃3，P4,

且£pi=l,则下面四种情形中，对应样本的标准差最大的一组是

/=|

=

A.〃2=，3=。.4B.Pi=PA=p2=P30.1

C.P\=P4=0.2,p2=p3=0.3D.P|=p4=0.3,p2=p3=0.2

【答案】B

【解析】对于A选项，该组数据的平均数为K=(1+4)X0.1+(2+3)X0.4=2.5,

方差为s；=(1—2.5)2x01+(2-2.5)2x().4+(3—2.5『*()4+(4-2.5『x0.1=0.65；

对于B选项，该组数据的平均数为,=(1+4)X0.4+(2+3)X0.1=2.5,

方差为$=(1—2.5『x().4+(2—2.5『x().l+(3—2.5『x().1+(4—2.5)2x0.4=1.85；

对于C选项，该组数据的平均数为鼻=(1+4)XO.2+(2+3)XQ3=2.5,

方差为s：=(l—2.5)2x0.2+(2—2.5『x().3+(3—2.5『x0.3+(4—2.5『x0.2=1.05；

5

对于D选项，该组数据的平均数为％=(1+4)X0.3+(2+3)X0.2=2.5,

方差为$=(1—2.5『x0.3+(2-2.5『xO.2+(3—2.5)2x().2+(4-2.5)10.3=1.45.

因此，B选项这一组标准差最大.

故选：B.

5、【2020年高考山东】信息蜡是信息论中的一个重要概念.设随机变量X所有可能的取值为1,2,…

且尸(X=i)=p,>0(i=1,2,…£p,=1,定义X的信息燃H(X)=Pilog,p；.

i=li=l

A.若〃=1,则H(X)=0

B.若〃=2,则H(X)随着A的增大而增大

C.若=则H(X)随着〃的增大而增大

n

D.若n=2nt,随机变量F所有可能的取值为1,2,…，机，且P(y=/)=p,+%“+”/=1,2,…,⑼，

则

【答案】AC

【解析】对丁A选项，若〃=1,则i=l,P1=l,所以H(x)=—(lxlog21)=0,所以A选项

正确.

对于B选项，若〃=2,贝!〃2=1—,

所以"(X)=-[/?|-log?Pl+。一P,)log2(l-pj],

1z(1i33、

当Pi时，10824+t'1O82i/

当Pi=:时，H(X)=-(；.l°g25+glog2£|，

两者相等，所以B选项错误.

对于C选项，若p,.='(i=l,2,…，则

n

>

H(X)=-f--log,-|xn=-log2-=log,n,

\nnJn

则”(X)随着〃的增大而增大，所以C选项正确.

对于D选项，若n=2m,随机变量y的所有可能的取值为1,2,…，加，且尸(y="=历+〃2,"+1./

6

2m2nti

"(X)=—2P,-log2P,=EAlo§2—

i=l/=1Pi

,1,1,1,1

=P\•I°g2—+•l°g2—+•♦・+P2m-\,1°§2-------+P2m^°S>2------.

PiPiPlm-\P2m

”⑺=

(Pl+P2m).10g2―7—+(Pl+。2“1).l°g2-7------+…+(P,”+P,”+l).10g2-7-

山

P\+P2,nP1+P2n,-lPm+P“

,1,1,1,1

由

=P|log2------------+p2log2---------------+•••+P2,"T•bg2---------------+P2,”•log2-------------

Pl+P2mPl+Plm-\P2+P2"TPl+Pin,

,、11,1,1

于月>0(i=l,2,…所以一>-----------,所以log2—>log?-----------

PiP,+P2,"+ITPiPi+

,1,1

所以Pi，bg2—>Pi-1O§2----------------，

PiPi+P2",+I

所以”(x)>“(y),所以D选项错误.

故选：AC

6>(2020年高考天津】从一批零件中抽取80个，测量其直径(单位：mm),将所得数据分为9组:

[5.31,5.33),[5.33,5.35),•••,

[5.45,5.47),[5.47,5.49],并整理得到如下频率分布直方图，则在被抽取的零件中，直径落在区

间[5.43,5.47)内的个数为

7

A.10B.18

C.20D.36

【答案】B

【解析】根据直方图，直径落在区间［5.43,5.47)之间的零件频率为：

(6.25+5.00)x0.02=0.225,

则区间［5.43,5.47)内零件的个数为：80x0.225=18.

故选：B.

7、【2019年高考全国HI卷理数】《西游记》《三国演义》《水浒传》和《红楼梦》是中国古典文学瑰

宝，并称为中国古典小说四大名著.某中学为了解本校学生阅读四大名著的情况，随机调查了100

位学生，其中阅读过《西游记》或《红楼梦》的学生共有90位，阅读过《红楼梦》的学生共有

80位，阅读过《西游记》且阅读过《红楼梦》的学生共有60位，则该校阅读过《西游记》的学

生人数与该校学生总数比值的估计值为

A.0.5B.0.6

C.0.7D.0.8

【答案】C

【解析】由题意得，阅读过《西游记》的学生人数为90-80+60=70,则其与该校学生人数之比为

8

70^100=0.7.故选C.

8、【2019年高考浙江卷]设则随机变量X的分布列是

X0a1

111

P———

333

则当“在(0,1)内增大时，

A.O(X)增大B.D(X)减小

c.O(x)先增大后减小D.O(x)先减小后增大

【答案】D

【解析】方法1：由分布列得七(X)=号，

_,_八、21/1+。、21＜、212171

则D(zX)=(—---0)~x-+(----a)~x-+(----1)-x-=-(a--)'+—,

33333392o

则当〃在(()/)内增大时，O(X)先减小后增大.故选D.

方法2：则D(X)=E(X2)_E(X)=0+5+；—("：)=2"-+2=|[(a-1)*2+1],

则当a在(0,1)内增大时，O(X)先减小后增大.故选D.

9、【2020年高考天津】已知甲、乙两球落入盒子的概率分别为!和工.假定两球是否落入盒子互不

影响，则甲、乙两球都落入盒子的概率为；甲、乙两球至少有一个落入盒子的概率为

【答案|

【解析】甲、乙两球落入盒子的概率分别为!」，

23

且两球是否落入盒子互不影响，

所以甲、乙都落入盒子概率为

236

甲、乙两球都不落入盒子的概率为(1一;)x(1-；)=g,

所以甲、乙两球至少有一个落入盒子的概率为：.

9

……12

故合案为：—；一.

63

【点睛】本题主要考查独立事件同时发生的概率，以及利用对立事件求概率，属于基础题.

10、【2020年高考浙江】盒中有4个球，其中1个红球，1个绿球，2个黄球.从盒中随机取球，每

次取1个，不放回，直到取出红球为止.设此过程中取到黄球的个数为4,则P(4=0)=,

E©=.

【答案】；，1

【解析】因为片=0对应事件为第一次拿红球或第一次拿绿球，第二次拿红球，

所以P(J=0)=；+；x；=g,

随机变量J=0,1,2,

“八212111211

Pd=l)=—X—+—X—X—+—X—X—=一,

434324323

P(^=2)=l----=-,

333

所以E(J)=0xg+lxg+2x；=l.

故答案为：—；1.

11、【2020年高考全国I卷理数】甲、乙、丙三位同学进行羽毛球比赛，约定赛制如下：

累计负两场者被淘汰；比赛前抽签决定首先比赛的两人，另一人轮空；每场比赛的胜者与轮空

者进行下一场比赛，负者下一场轮空，直至有一人被淘汰；当一人被淘汰后，剩余的两人继续

比赛，直至其中一人被淘汰，另一人最终获胜，比赛结束.

经抽签，甲、乙首先比赛，丙轮空.设每场比赛双方获胜的概率都为:，

(1)求甲连胜四场的概率；

(2)求需要进行第五场比赛的概率；

(3)求丙最终获胜的概率.

【解析】(1)甲连胜四场的概率为上.

16

(2)根据赛制，至少需要进行四场比赛，至多需要进行五场比赛.

比赛四场结束，共有三种情况：

甲连胜四场的概率为上：

10

乙连胜四场的概率为上；

16

内上场后连胜三场的概率为：.

O

所以需要进行第五场比赛的概率为1-白1-1白1弓3=3.

161684

（3）丙最终获胜，有两种情况：

比赛四场结束且丙最终获胜的概率为之.

O

比赛五场结束且丙最终获胜，则从第二场开始的四场比赛按照丙的胜、负、轮空结果有三种情

况：胜胜负胜，胜负空胜，负空胜胜，概率分别为乙，:

1688

因此丙最终获胜的概率为g+启+己+?=启.

12、【2020年高考全国1卷理数】某沙漠地区经过治理，生态系统得到很大改善，野生动物数量有

所增加.为调查该地区某种野生动物的数量，将其分成面积相近的200个地块，从这些地块中

用简单随机抽样的方法抽取20个作为样区，调查得到样本数据®,»）（i=l,2,…，20）,其中

为和弘•分别表示第i个样区的植物覆盖面积（单位：公顷）和这种野生动物的数量，并计算得

20202020

工七=60,2＞，=1200，A。,一无）2=80，Z（＞，一歹）2=9000,

；=1/=!/=li=\

20

2（七一君（＞，一/=800・

1=1

（1）求该地区这种野生动物数量的估计值（这种野生动物数量的估计值等于样区这种野生动物

数量的平均数乘以地块数）；

（2）求样本（屈，yt）（i=l,2,20）的相关系数（精确到0.01）；

（3）根据现有统计资料，各地块间植物覆盖面积差异很大.为提高样本的代表性以获得该地区

这种野生动物数量更准确的估计，请给出一种你认为更合理的抽样方法，并说明理由.

£（七一5）（%一刃

附：相关系数r=I「“，0=1.414.

住（七-君玄（》-刃2

V/=11=1

120

【解析】（1）由已知得样本平均数尸=（工矜=6°，从而该地区这种野生动物数量的估计值为

60x200=12000.

11

（2）样本（国,％）（i=l,2,…,20）的相关系数

20

工(七一初y.一刃

i=l一迈。0.94.

llo20780x90003

-刃2

/=l/=!

（3）分层抽样：根据植物覆盖面枳的大小对地块分层，再对200个地块进行分层抽样.

理由如下：由（2）知各样区的这种野生动物数量与植物覆盖面积有很强的正相关.由于各地块

间植物覆盖面积差异很大，从而各地块间这种野生动物数量差异也很大，采用分层抽样的方法

较好地保持了样本结构与总体结构的一致性，提高了样本的代表性，从而可以获得该地区这种

野生动物数量更准确的估计.

13、【2020年高考全国III卷理数】某学生兴趣小组随机调查了某市100天中每天的空气质量等级和

当天到某公园锻炼的人次，整理数据得到下表（单位：天）：

锻炼人次

人次

10,200J(200,400J(400,600]

空气质量等

1（优）21625

2（良）51012

3（轻度污染）678

4（中度污染）720

（1）分别估计该市一天的空气质量等级为1，2,3,4的概率;

（2）求一天中到该公园锻炼的平均人次的估计值（同一组中的数据用该组区间的中点值为代

表）；

（3）若某天的空气质量等级为1或2,则称这天“空气质量好”；若某天的空气质量等级为3或

4,则称这天“空气质量不好”.根据所给数据，完成下面的2x2列联表，并根据列联表，判断是

否有95%的把握认为一天中到该公园锻炼的人次与该市当天的空气质量有关？

人次“00人次＞400

空气质量好

空气质量不好

P(K2次)0.0500.0100.001

(a+b)c+d)(a+c)3+d)

12

k3.8416.63510.828.

【解析】(1)由所给数据，该市一天的空气质量等级为1,2,3,4的概率的估计值如下表:

空气质量等级1234

概率的估计值0.430.270.210.09

(2)一天中到该公园锻炼的平均人次的估计值为

^(100x20+300x35+500x45)=350.

(3)根据所给数据，可得2x2列联表：

人次*00人次>400

空气质量好3337

空气质量不好228

根据列联表得

100x(33x8-22x37)2

55x45x70x30

由于5.820>3.841,故有95%的把握认为一天中到该公园锻炼的人次与该市当天的空气质量有

关.

14、【2020年高考山东】为加强环境保护，治理空气污染，环境监测部门对某市空气质量进行调研,

随机抽查了100天空气中的PM2.5和SO?浓度(单位：ng/m3),得下表：

[0,50](50,150](150,475]

so2

PM2.5

[0,35]32184

(35,75]6812

(75,115]3710

(1)估计事件“该市一天空气中PM2.5浓度不超过75,且SO?浓度不超过150”的概率;

(2)根据所给数据，完成下面的2x2列联表：

[0,150](150,475]

so2

PM2.5

[0,75]

13

(75,115]

(3)根据(2)中的列联表，判断是否有99%的把握认为该市一天空气中PM2.5浓度与SO2浓

度有关？

附：——皿匕立——,

(a+i>)(c+d)(a+c)(b+d)

P(K2>k)0.0500.0100.001

k3.8416.63510.828

【解析】(1)根据抽查数据，该市100天的空气中PM2.5浓度不超过75,且SO?浓度不超过150

的天数为32+18+6+8=64,因此，该市一天空气中PM2.5浓度不超过75,且SO?浓度不超过150

的概率的估计值为W64=0.64.

1UU

(2)根据抽查数据，可得2x2列联表:

[0,150](150,475]

so2

PM2.5

[0,75]6416

(75,115]1010

⑶根据⑵的列联表得墨洸普7484.

Ill7.484>6.635,故有99%的把握认为该市一天空气中PM2.5浓度与SO2浓度有关.

15、【2020年高考北京】某校为举办甲、乙两项不同活动，分别设计了相应的活动方案：方案一、

方案二.为了解该校学生对活动方案是否支持，对学生进行简单随机抽样，获得数据如下表:

男生女生

支持不支持支持不支持

方案一200人400人300人100人

方案二350人250A150人250人

假设所有学生对活动方案是否支持相互独立.

(I)分别估计该校男生支持方案一的概率、该校女生支持方案一的概率;

14

（II）从该校全体男生中随机抽取2人，全体女生中随机抽取1人，估计这3人中恰有2人支

持方案一的概率；

（III）将该校学生支持方案的概率估计值记为P。，假设该校年级有500名男生和300名女生,

除一年级外其他年级学生支持方案二的概率估计值记为A-试比较Po与Pi的大小.（结论不要

求证明）

【解析】（I）该校男生支持方案一的概率为20°=_L,

200+4003

3003

该校女生支持方案一的概率为--------=4；

300+1004

（II）3人中恰有2人支持方案一分两种情况，（1）仅有两个男生支持方案一，（2）仅有一个

男生支持方案一，一个女生支持方案一,

所以3人中恰有2人支持方案一概率为:

(III)Pi<Po

16、【2019年高考全国HI卷理数】为了解甲、乙两种离子在小鼠体内的残留程度，进行如下试验：

将200只小鼠随机分成A,B两组，每组100只，其中A组小鼠给服甲离子溶液，B组小鼠给服

乙离子溶液，每只小鼠给服的溶液体积相同、摩尔浓度相同.经过一段时间后用某种科学方法测

算出残留在小鼠体内离子的百分比.根据试验数据分别得到如下直方图：

记C为事件：“乙离子残留在体内的百分比不低于5.5”，根据直方图得到P（C）的估计值为0.70.

（1）求乙离子残留百分比直方图中“，〃的值；

（2）分别估计甲、乙离子残留百分比的平均值（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）.

【答案】⑴a=0.35,6=0.10；（2）甲、乙离子残留百分比的平均值的估计值分别为4.05,6.00.

【解析】（1）由已知得0.7050.20+0.15,故“=0.35.

b=1-0.05-0.15-0.70=0.10.

（2）甲离了残留百分比的平均值的估计值为

15

2x0.15+3x0.20+4x0.30+5x0.20+6x0.10+7x0.05=4.05.

乙离子残留百分比的平均值的估计值为

3x0.05+4x0.10+5x0.15+6x0.35+7x0.20+8x0.15=6.00.

17、【2019年高考全国H卷理数】11分制乒乓球比赛，每赢一球得1分，当某局打成10:10平后，

每球交换发球权，先多得2分的一方获胜，该局比赛结束.甲、乙两位同学进行单打比赛，假设

甲发球时甲得分的概率为0.5,乙发球时甲得分的概率为04,各球的结果相互独立.在某局双方

10:10平后，甲先发球，两人又打了X个球该局比赛结束.

⑴求P(X=2)；

(2)求事件“X=4且甲获胜”的概率.

【答案】(1)0.5；(2)0.1.

【解析】(1)X=2就是10：10平后，两人又打了2个球该局比赛结束，

则这2个球均由甲得分，或者均由乙得分.

因此P(X=2)=0.5x0.4+(1-0.5)x(1-0.4)=0.5.

(2)X=4且甲获胜，就是10：10平后，两人又打了4个球该局比赛结束，

且这4个球的得分情况为：前两球是甲、乙各得1分，后两球均为甲得分.

因此所求概率为[0.5x(1-0.4)+(1-0.5)x0.4]x0.5x0.4=0.1.

2

18、【2019年高考天津卷理数】设甲、乙两位同学上学期间，每天7：30之前到校的概率均为一.假

3

定甲、乙两位同学到校情况互不影响，且任一同学每天到校情况相互独立.

(1)用X表示甲同学上学期间的三天中7：30之前到校的天数，求随机变量X的分布列和数学

期望；

(2)设M为事件“上学期间的三天中，甲同学在7：30之前到校的天数比乙同学在7：30之前

到校的天数恰好多2”，求事件M发生的概率.

20

【答案】(1)分布列见解析，仇X)=2；⑵——.

243

【分析】本小题主要考查离散型随机变量的分布列与数学期望，互斥事件和相互独立事件的概率

计算公式等基础知识.考查运用概率知识解决简单实际问题的能力.满分13分.

【解析】(1)因为甲同学上学期间的三天中到校情况相互独立，且每天7：30之前到校的概率均

222I

为I,故乂~8(3,§),从而尸(X=&)=C；(§)“p3-*M=o,i,2,3.

所以，随机变量X的分布列为

16

X0123

1248

P

279927

2

随机变量X的数学期望E（X）=3X§=2.

（2）设乙同学上学期间的三天中7：30之前到校的天数为丫，

2

则丫~3（3,三），且〃=｛x=3,y=i｝U｛x=2,y=0｝.

由题意知事件｛X=3,y=1｝与｛X=2,F=0｝互斥，

且事件｛X=3｝与｛丫=1｝,事件｛X=2｝与｛丫=0｝均相互独立,

从而由（1）知尸（M）=p（｛x=3,y=i｝U｛x=2,y=0｝）

=p(x=3,y=i)+p(x=2,y=o)

=p（x=3）p（y=i）+p（x=2）p（r=o）

824120

=——X—H--x——=-------.

279927243

19、【2019年高考北京卷理数】改革开放以来，人们的支付方式发生了巨大转变.近年来，移动支

付已成为主要支付方式之一.为了解某校学生上个月A,B两种移动支付方式的使用情况，从全

校学生中随机抽取了100人，发现样本中A,