2023-2024学年福建省龙岩市一级校联盟高二（上）期中数学试卷（含解析）

第=page11页，共=sectionpages11页2023-2024学年福建省龙岩市一级校联盟高二（上）期中数学试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.直线l：x−3yA.30° B.60° C.120°2.若椭圆C：mx2+y2=1的焦点在y轴上，长轴长是短轴长的A.12 B.14 C.2 3.已知等差数列{an}的前n项和为Sn，满足a1=1，A.10 B.11 C.12 D.134.已知数列{an}满足a1=1，且A.145 B.146 C.1555.古希腊著名数学家阿波罗尼斯发现：平面内到两个定点A，B的距离之比为定值λ(λ≠1)的点的轨迹是圆，此圆被称为“阿波罗尼斯圆”.在平面直角坐标系xOy中，A(−1,0)，A.1 B.2 C.2 D.6.已知过抛物线C：y2=2px(p>0)的焦点F(12,0)的直线与抛物线C交于A，B两点(A在第一象限)A.43 B.83 C.1137.已知O是坐标原点，F1，F2是椭圆C：x24+y22=1的左、右焦点，P是椭圆在第一象限上的点，且cosA.6 B.7 C.28.已知数列{an}满足an=(−1)n4A.0 B.1 C.1012 D.2024二、多选题：本题共4小题，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。9.直线l1：ax+2y−2=A.若l1//l2，则a=1或a=−2

B.若l1⊥l210.已知圆O1：x2+y2−4xA.直线AB的方程为x+3y−4=0

B.|AB|=2211.在数学课堂上，教师引导学生构造新数列，在数列的每相邻两项之间插入此两项的和后，与原数列构成新的数列，再把所得的数列按照同样的方法不断的构造出新的数列.如：将数列1，2进行构造，第1次得到数列1，3，2；第2次得到数列1，4，3，5，2；…；第n(n∈N+)次得到数列1，x1，x2，x3，…，2现将数列1，1用上述方法进行构造，记第A.a4=84

B.an+1=3an−2

C.若f12.已知椭圆E：x216+y28=1的左焦点为F，B为E的上顶点，A，C是E上两点.若|FA|，|FA.当d=2时，AF⊥x轴

B.d的取值范围是(0,2]

C.当A，C在x轴的同侧时，△AFC面积的最大值为三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13.已知抛物线C：y2=2px(p>0)的顶点为O，焦点为F，且经过点14.已知曲线y=−x2−2x与直线15.潮涌杭州，亚运来了！2023年9月23日，第19届亚运会在杭州盛大开幕，这是杭州历史上的一件大事，也是中国继北京奥运会、广州亚运会后再次举办的大型国际体育赛事.某网站全程转播了该次赛事，为庆祝本次赛事，该网站举办了一场针对本网站会员的奖品派发活动，派发规则如下：①对于会员编号能被3整除余1且被5整除余1的可以获得精品吉祥物一套；②对于不符合①中条件的可以获得普通吉祥物一套.已知该网站的会员共有2023人(编号为1号到2023号，中间没有空缺)，则获得精品吉祥物的人数为______．16.已知双曲线E：x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)，斜率为−23的直线与E的左、右两支分别交于A，B两点，点P的坐标为(−

四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。17.(本小题10分)

已知△ABC的顶点为A(1,−1)，B(5,3)，C(−1,1)．

(1)求△AB18.(本小题12分)

已知数列{an}为非零数列，且满足(1+a1)(1+a2)…(1+an)=219.(本小题12分)

已知双曲线Γ：x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)，四点A(4,3)，B(3,42)，C(2,220.(本小题12分)

在平面直角坐标系中，圆C经过点(3,0)和(0,1)，且圆心C在直线l1：2x+y−1=0上．

(1)求圆C的方程；

(2)已知直线l2：2x−21.(本小题12分)

已知递减等差数列{an}满足a1=8，且2a1，a2+2，a3成等比数列.数列{bn}的首项为2，其前n项和Sn满足Sn+1=qSn+2(其中q>0，22.(本小题12分)

已知椭圆E：x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左、右顶点分别为A，B，且焦距为4，上顶点为M，且直线MA，MB的斜率之积为−59．

(1)求椭圆E的方程．

(2)设斜率存在的直线l交椭圆E于P，Q两点(P,Q位于x轴的两侧)，记直线AP，BP，B答案和解析1.【答案】A

【解析】解：直线x−3y+1=0的斜率为33，

设倾斜角为α，则tanα=332.【答案】D

【解析】解：由椭圆C：mx2+y2=1，得x21m+y2=1，

∵椭圆C：mx2+y2=1的焦点在y轴上，

3.【答案】D

【解析】解：设等差数列{an}的公差为d，

由3S4=4S3+12，得3(4+6d)=44.【答案】B

【解析】解：∵an+1=annan+1，则1an+1=nan+1an=5.【答案】A

【解析】解：设P(x,y)是所求轨迹上的任意一点，且A(−1,0)，B(2,0)，点P满足|PA||PB|=12，

可得(x+1)2+y2(x−2)2+6.【答案】B

【解析】解：如图所示，

由抛物线的焦点为F(12,0)，可知p=1，

所以抛物线方程为y2=2x，

又D是以AB为直径的圆E与抛物线C的准线的公共点，

所以AD⊥BD，

又|AD|=3|BD|,|DE|=|BE|=|AE|=17.【答案】A

【解析】解：由椭圆定义得|PF1|+|PF2|=4，F1(−2,0)，F2(2,0)，

由余弦定理可cos∠F1PF2=|PF1|2+|PF2|2−|F1F2|22|PF1||PF2|=8.【答案】C

【解析】解：∵an=(−1)n4n4n2−1=(−1)n(12n−1+12n+1)，

∴S9.【答案】BD【解析】解：对于A，因为l1//l2，所以a1=2a+1≠−2−2，解得a=−2，所以A错误；

对于B，因为l1⊥l2，所以a⋅1+2⋅(a+1)=0，解得a=−23，所以B正确；

对于C，当l1//l2时，由选项A知a=−2，直线l1：x−y+1=0，直线10.【答案】AC【解析】解：圆O1：x2+y2−4x=0，即(x−2)2+y2=4，圆心O1(2,0)，半径r1=2，

圆O2：x2+y2−3x+3y−4=0，即(x−32)2+(y+32)2=7，圆心O2(32,−32)，半径r2=7，

则|O1O2|=(2−311.【答案】BD【解析】解：由题意可知，第1次得到数列1，2，1，

第2次得到数列1，3，2，3，1，

第3次得到数列1，4，3，5，2，5，3，4，1，

第4次得到数列1，5，4，7，3，8，5，7，2，7，5，8，3，7，4，5，1，

由题意得：a1=4，a2=10=3×4−2，a3=28=3×10−2，a4=82=3×28−2，

所以有an+1=3an−2，因此选项A不正确，B正确；

an+1=3an−2⇒an+1−1=3(an−1)，

所以数列{an−1}是以a1−1=3为首项，3为公比的等比数列，

因此有an−1=3⋅3n−1=3n⇒an=3n12.【答案】AC【解析】解：设右焦点为F′，连接AF′，由|FA|，|FB|，|FC|构成以d(d>0)为公差的等差数列，

得|FA|+|FC|=2|FB|=2a，而|FA|+|F′A|=2a，|FC|+|F′C|=2a，

∴|FA|=|F′C|，|F′A|=|FC|，a=4，b=22，c=22，

对于A：通径长为2b2a=4，d=2，则|FA|=2，AF⊥x轴；

对于B：|FA|≥13.【答案】2

【解析】解：已知抛物线C：y2=2px(p>0)的顶点为O，焦点为F，且经过点A(x0,2)，

则|AF|=2+p14.【答案】(−【解析】解：曲线y=−x2−2x，整理得(x+1)2+y2=1(y≥0)，

则该曲线表示圆心为(−1,0)，半径为1的圆的上半部分，

直线kx=y−2k−1=0，即k(x−15.【答案】135

【解析】解：因为能被3除余1且被5整除余1的数即为能被15整除余1的数，

所以该组数组成数列{an}，且an=15n−14(n∈N*)，

又因为a16.【答案】2【解析】解：设A(x1,y1)，B(x2,y2)，线段AB的中点M(xM,yM)，

则x12a2−y12b2=1x22a2−y22b2=1，

两式相减得y1−y2x1−x2=b2a2⋅x1+x2y1+y2=b2a2⋅xMyM=−23，

所以17.【答案】解：(1)直线BC的斜率kBC=1−3−1−5=13，

BC边上的高AD与BC垂直，

所以kAD=−3，

故直线AD的方程为y−(−1)=−3(x−1)，即3x+y−2=0．

(2)线段AB的中点M的坐标为(3,【解析】(1)求出斜率，利用点斜式即可求解；

(218.【答案】(1)解：因为(1+a1)(1+a2)⋯⋯(1+an)=2n(n+1)2⋯①，

所以当n=1时，有1+【解析】(1)取n=1，可得a1的值，通过构造，利用相除得到1+an=2n，进而得数列{an}19.【答案】解：(1)因为：C，D关于原点对称，且双曲线Γ关于原点对称，所以：C，D在双曲线Γ上，

对于点A(4,3),42a2>22a2,32b2<(23)2b2，所以42a2−32b2>22a2−(23)2b2=1，

所以点A(4,3)不在双曲线Γ上，所以B，C，D都在双曲线Γ上，则4a2−12b【解析】(1)根据题意C，D两点关于原点对称得都在双曲线上，然后再分情况讨论A，B两点，从而求解；

(2)将直线l与双曲线方程联立，利用根与系数关系及相关条件从而可求出20.【答案】解：(1)设圆心C的坐标为(a,b)，圆C的半径为r(r>0)，

则圆C的标准方程为(x−a)2+(y−b)2=r2，

又圆C经过点(3,0)和(0,1)，

所以(3−a)2+(0−b)2=r2,(0−a)2+(1−b)2=r22a+b=1【解析】(1)设出圆的标准方程，利用待定系数法建立方程组，求解即可；

(2)通过分析只需满足|PA|最小，求出最小值，求出以P21.【答案】解：(1)设数列{an}的公差为d(d<0)，

因为a1=8，且2a1，a2+2，a3成等比数列，

所以(a2+2)2=2a1a3，即(8+d+2)2=2×8×(8+2d)，解得d=−2或d=14(舍去)，

所以{an}的通项公式为an=a1+(n−1)d=10−2n；

因为Sn+1=qSn+2，b1=2，

所以当n=1时，有b1+b2=qb1+2，即b2=qb1；

当n≥2时，有Sn=【解析】(1)结合等差数列的通项公式与等比中项的性质求出数列{an}的公差d，即可得数列{an}的通项公式；利用bn=Sn−S22.【答案】解：(1)因为椭圆E的左、右顶点分别为A，B，上顶点为M，

不妨设A(−a,0)，B(a,0)，M(0,b)，

因为椭圆E的焦距为4，

所以c=2，

易知kMA=ba，kMB=b−a，

因为直线MA，MB的斜率之积为−59，

所以kMA⋅kMB=−b2a2=−59，

整理得5a2=9