高中数学必修2全册单元练习题及解析

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习题课空间几何体

【课时目标】熟练掌握空间几何体的结构，以三视图为载体，进一步巩固几何体的体

积与表面积计算.

知识梳理•]

1.圆柱、圆锥、圆台的侧面展开图及侧面面积公式.

名称

表面积体积

几何体

柱体

S表面积=S侧+2s底_______

（棱柱和圆柱）

锥体

S表面枳=S侧+S底_______

（棱锥和圆锥）

台体S表面积=S恻+S上+S________

（棱台和圆台）下

4a

球5=________________V=^7t/?3

作业设计•]

一、选择题

1.圆柱的轴截面是正方形，面积是S,则它的侧面积是（）

A.AsB.KSC.2兀SD.4兀S

2.若某空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是（）

12

A.5B.]C.1D.2

3.如图，某几何体的正视图与侧视图都是边长为1的正方形，且体积为去则该几何体

的俯视图可以是（）

正视图侧视图

□077

ABCD

4.一个几何体的三视图如图，该几何体的表面积为（）

A.280B.292C.360D.372

5.棱长为。的正方体中，连接相邻面的中心，以这些线段为棱的八面体的体积为（）

33

.aD«cQc

A.丁B.7C.不D.五

6.已知一个球与一个正三棱柱的三个侧面和两个底面相切，若这个球的体积是苧，则

这个三棱柱的体积是（）

A.96v5B.16^3C.24小D.48小

二、填空题

7.一个几何体的三视图如图所示，则这个几何体的体积为.

HHI-

正视图侧视图

I-2T

俯视图

8.若某几何体的三视图（单位：cm）如图所示，则此几何体的体积是<

、卡三

正视图侧视图

^272

4

J~~k2

俯视图

9.圆柱形容器内盛有高度为8cm的水，若放入三个相同的球（球的半径与圆柱的底面

半径相同）后，水恰好淹没最上面的球（如图所示），则球的半径是cm.

X

>-<

三'解答题

io.如下的三个图中，上面的是一个长方体截去一个角所得多面体的直观图，它的正视

图和侧视图在下面画出(单位：cm).

(1)按照画三视图的要求画出该多面体的俯视图；

(2)按照给出的尺寸，求该多面体的体积：

11.如图所示，为了制作一个圆柱形灯笼，先要制作4个全等的矩形骨架，总计耗用9.6

米铁丝，再用S平方米塑料片制成圆柱的侧面和下底面(不安装上底面).

(1)当圆柱底面半径r取何值时，S取得最大值？并求出该最大值(结果精确到0.01平

方米)；

(2)若要制作一个如图放置的、底面半径为0.3米的灯笼，请作出用于制作灯笼的三视

图(作图时，不需考虑骨架等因素).

【能力提升】

12.设某几何体的三视图如下(尺寸的长度单位为m).则该几何体的体积为1

13.如图所示，在直三棱柱ABC—AB©中，底面为直角三角形，ZACB=90°,AC=

6,BC=CC尸巾,尸是3G上一动点，则CP+B41的最小值是.

⑥反思感悟

I.空间几何体是高考必考的知识点之一，重点考查空间几何体的三视图和体积、表面

积的计算，尤其是给定三视图求空间几何体的体积或表面积，更是近几年高考的热点.

其中组合体的体积和表面积有加强的趋势，但难度也不会太大，解决这类问题的关键是

充分发挥空间想象能力，由三视图得到正确立体图，进行准确计算.

2.“展”是化折为直，化曲为平，把立体几何问题转化为平面几何问题，多用于研究

线面关系，求多面体和旋转体表面的两点间的距离最值等等.

习题课空间几何体答案

知识梳理

1.271TlTTTI乃(r+r')1

2

2.Sh|sh|(Sh+SK+^/Si-Sh)h4TTR

作业设计

1.B［设圆柱底面半径为r,则S=4F,

S侧=27rr2r=4订2=7rs.］

2.C［由三视图可知，该空间几何体是底面为直角三角形的直三棱柱，三棱柱的底面

直角三角形的直角边长分别为1和小，三棱柱的高为表,所以该几何体的体积v=^xixM

X啦=1.］

3.C［当俯视图为A中正方形时，几何体为边长为1的正方体，体积为1；当俯视图

为B中圆时，几何体为底面半径为右高为1的圆柱，体积为会当俯视图为C中三角形时，

几何体为三棱柱，且底面为直角边长为1的等腰直角三角形，高为1,体积为斗当俯视图

为。中扇形时，几何体为圆柱的;，且体积为余］

4.C［由三视图可知该几何体是由下面一个长方体，上面一个长方体组合而成的几何

体.

•.•下面长方体的表面积为8X10X2+2X8X2+10X2X2=232,上面长方体的表面积

为8X6X2+2X8X2+2X6X2=152,又：长方体表面积重叠一部分，...几何体的表面积

为232+152-2X6X2=360.］

5.C［连接正方体各面中心构成的八面体由两个棱长为乎a的正四棱锥组成，正四棱

锥的高为宏则八面体的体积为VnZx/xpFaFA版.］

6.D［由^^3=苧，得R=2.

二正三棱柱的高h=4.

设其底面边长为a,

则/坐a=2,；.a=4小.

.•.丫=牛(4小产4=48小.］

7电

解析该几何体是上面是底面边长为2的正四棱锥，下面是底面边长为1、高为2的正

四棱柱的组合体，其体积为

V=1XIX2+|x22Xl=y.

8.144

此几何体为正四棱台与正四棱柱的组合体，而2222

解析VIBK&=|(8+4+^8X4)X3

=112,V正加槎=4X4X2=32,故V=112+32=144.

9.4

4

解析设球的半径为rem,则

MTn2XGr.解得r=4.

10.解(1)如图所示.

(2)所求多面体体积V=V长方体一V正三棱锥

=4X4X6-；X@X2X2)X2=^(cm3).

11.解由题意可知矩形的高即圆柱的母线长为,幺-=1.2—2r,.•.塑料片面积

O

S=HT2+2^T(1.2—2r)=^r2+2.4加-4^r2=­3HT2+2.47n*=—3乃(於—0.8r)=­3兀(r—0.4)2

+0.487r.

・••当r=0.4时，S有最大值0.48兀，约为1.51平方米.

(2)若灯笼底面半径为0.3米，则高为1.2-2X0.3=0.6(米).制作灯笼的三视图

如图.

俯视图

12.4

解析由三视图可知原几何体是一个三棱锥，且三棱锥的高为2,底面三角形的一边长

为4,且该边上的高为3,故所求三棱锥的体积为V=(X：X3X4X2=4相3.

13.5V2

解析

将aBCCi沿BC|线折到面AC1B上，如图.

连接AC即为CP+PAi的最小值，过点C作CD_LGD于D点，△BCG为等腰直角三

角形，

/.CD=1,CiD=l,A,D=AiCi+C|D=7.

AIC=NAID2+CD2=》49+1=5也.

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习题课直线、平面平行与垂直

【课时目标】1.能熟练应用直线、平面平行与垂直的判定及性质进行有关的证明.2.进

一步体会化归思想在证明中的应用.

知识梳理•

a、b、c表示直线，a、B、7表示平面.

位置关系判定定理（符号语言）性质定理（符号语言）

直线与平面平行a//b且________=>a//aa//a,________________=>a//b

a//a,h//a,且________________

平面与平面平行a//p,________________=>a//b

=a//B

l±a,l±b,且________________

直线与平面垂直aX.a,b工a=________

=>/1a

a.La,________a邛,aC°=a,____________

平面与平面垂直

=b*

作业设计•]

一、选择题

1.不同直线M、〃和不同平面a、p.给出下列命题

a//p]m//n\

①〃.；

mC.a\m//p\

mC.a\aA-P

③，J=M,〃异面;④〃1nMM

m//a

其中假命题的个数为()

A.0B.1C.2D.3

2.下列命题中：（1）平行于同一直线的两个平面平行；（2）平行于同一平面的两个平面平

行；（3）垂直于同一直线的两直线平行；（4）垂直于同一平面的两直线平行.其中正确命题的

个数有（）

A.4B.1C.2D.3

3.若人。表示直线，a表示平面，下列命题中正确的个数为（）

①“JLa,bH②a_La,a\b=b〃a；

③。〃a,a_L8=bJ_a.

A.1B.2C.3D.0

4.过平面外一点P：①存在无数条直线与平面a平行：②存在无数条直线与平面a垂

直；③有且只有一条直线与平面a平行；④有且只有一条直线与平面a垂直，其中真命题的

个数是（）

A.1B.2C.3D.4

5.如图所示，正方体ABC。一A/iGOi中，点P在侧面BCG©及其边界上运动，并

且总是保持APLBOi，则动点P的轨迹是（）

A.线段81c

B.线段BG

C.B8i的中点与CG的中点连成的线段

D.BC的中点与BiG的中点连成的线段

6.已知三条相交于一点的线段外、PB、PC两两垂直，点尸在平面ABC外，面

ABC于H,则垂足H是aABC的（）

A.外心B.内心C.垂心D.重心

二、填空题

7.三棱锥£>一ABC的三个侧面分别与底面全等，且A8=AC=小，BC=2,则二面角

A-BC-D的大小为.

8.如果一条直线与一个平面垂直，那么，称此直线与平面构成一个“正交线面对”，

在一个正方体中，由两个顶点确定的直线与含有四个顶点的平面构成的“正交线面对”的个

数是.

9.如图所示，在正方体ABCD-AiBiG。中，P为的中点，则△B4C在该正方体

各个面上的射影可能是.（填序号）

三、解答题

10.如图所示，ZVIBC为正三角形，EC_L平面ABC,BD//CE,且CE=CA=2B£>,M

是E4的中点，求证:

(1)DE=DA；

⑵平面3Z)M_L平面ECA；

(3)平面OE41.平面ECA.

11.如图，棱柱ABC—AiBiG的侧面BCGBi是菱形,B\CLA\B.

(1)证明：平面ABC，平面A山G;

(2)设。是4G上的点且48〃平面助CD,求舞的值.

【能力提升】

12.四棱锥P—ABC。的顶点尸在底面ABCD中的投影恰好是A,其三视图如图：

(1)根据图中的信息，在四棱锥P—ABC。的侧面、底面和棱中，请把符合要求的结论填

写在空格处(每空只要求填一种)：

①一对互相垂直的异面直线;

②一对互相垂直的平面________;

③一对互相垂直的直线和平面;

(2)四棱锥P—A8CD的表面积为.

13.如图，在多面体4BCDE/中，四边形48CO是正方形，AB=2EF=2,EF//AB,

EF±FB,NBFC=90。，BF=FC,”为BC的中点.

(1)求证：FH〃平面EDB；

(2)求证：AC_L平面ED8；

(3)求四面体B-DEF的体积.

⑥反思感悟

转化思想是证明线面平行与垂直的主要思路，其关系为

n

।面，面।

即利用线线平行（垂直），证明线面平行（垂直）或证明面面平行（垂直）；反过来，又利用

面面平行（垂直），证明线面平行（垂直）或证明线线平行（垂直），甚至平行与垂直之间的转

化.这样，来来往往，就如同运用“四渡赤水”的战略战术，达到了出奇制胜的目的.

习题课直线、平面平行与垂直答案

知识梳理

aQa,bCaaCp,anp=bacp,bcp,aCb=PaCy=a,pny=baUa,bUa,

aAb—Pa〃baCpb_La,bUa

作业设计

1.D[命题①正确，面面平行的性质；命题②不正确，也可能nup；命题③不正确，

如果m、n有一条是a、。的交线，则m、n共面；命题④不正确，m与[3的关系不确定.]

2.C[（2）和（4）对.]

3.A[①正确.]

4.B[①④正确.]

5.A[

连接AC,ABi,BiC,

VBD1AC,AClDDi,

BDCDDi=D,

.•从（2_1_面BDDi,，AC_LBD|,

同理可证BDi_LB|C,

，BDi_L面ABiC.

，PGB|C时，始终AP_LBDi,选儿]

6.C[

如图所示，由已知可得PA_L面PBC,PA1BC,又PH_LBC,

.♦.BCJ^APH,BC1AH.

同理证得CHJ_AB,；.H为垂心.]

7.90°

解析

由题意画出图形，数据如图，取BC的中点E,

连接AE、DE,易知NAED为二面角A—BC—D的平面角.

可求得AE=DE=小，由此得AE2+DE2=AD2.

故NAED=90。.

8.36

解析正方体的一条棱长对应着2个“正交线面对”，12条棱长共对应着24个“正交

线面对”；正方体的一条面对角线对应着1个“正交线面对”，12条面对角线对应着12个

“正交线面对”，共有36个.

9.@@

10.证明（1）如图所示，

取EC的中点F,连接DF,：EC_L平面ABC,

在/?rAEFD和/?zADBA中，

VEF=|EC=BD,

FD=BC=AB,

.,./?/AEFD^/?zADBA,

故ED=DA.

(2)取CA的中点N,连接MN、BN,则MN盥EC,

，MN〃BD,；.N在平面BDM内，

：EC_L平面ABC,AEC±BN.又CA_LBN,

，BN_L平面ECA,BNU平面MNBD,

平面MNBD_L平面ECA.

即平面BDMJ_平面ECA.

(3)；BD触EC,MN犯EC,

，BD触MN,

AMNBD为平行四边形，

，DM〃BN,：BN_L平面ECA,

，DM_L平面ECA,又DMU平面DEA,

二平面DEA_L平面ECA.

11.(1)证明因为侧面BCGBi是菱形，所以BCJ_BC|.

又BiC_LA|B,且AiBCBC尸B,

所以B|C_L平面A1BC1.又BiCU平面ABC,所以平面AB|C_L平面A|BC|.

(2)解设BCi交BiC于点E,连接DE,则DE是平面AiBCi与平面BiCD的交线.

因为AiB〃平面BiCD,所以AiB〃DE.

又E是BG的中点，所以D为AiG的中点，

12.(1)①PA_LBC(或PA±CD或AB1PD)②平面PAB_L平面ABCD(或平面PAD±T

面ABCD或平面PABJ_平面PAD或平面PCD_L平面PAD或平面PBC_L平面PAB)③PAJ_

平面ABCD(或AB_L平面PAD或CDJ_平面PAD或AD_L平面PAB或BC_L平面PAB)

(2)2a2+V2a2

解析(2)依题意：正方形的面积是a2,

S&PAB=SAPAD=2a•

5

又PB=PD=-^2a,SAPBC=SAPCD=2a"-

所以四棱锥P—ABCD的表面积是S=2a2+V2a2.

13.

EF

AB

(1)证明如图，设AC与BD交于点G,则G为AC的中点.连接EG,GH,由于H

为BC的中点，

故GH犯AB.

又EF料@AB,；.EF触GH....四边形EFHG为平行四边形.，EG〃FH.而EGU平面

EDB,FHC平面EDB,

；.FH〃平面EDB.

(2)证明由四边形ABCD为正方形，得ABLBC.

又EF〃AB,AEF1BC.

而EF1FB,...EFl.平面BFC.

AEFIFH.AAB1FH.

又BF=FC,H为BC的中点，.\FH1BC.

.♦.FH_L平面ABCD..,.FH1AC.

又FH〃EG,.'.ACIEG.又ACJLBD,EGABD=G,

，AC_L平面EDB.

(3)解VEF±FB,NBFC=90。.^.BFJ_平面CDEF.

；.BF为四面体B-DEF的高.

又BC=AB=2,.\BF=FC=A/2.

VBDEF=|X|X1X也X啦=；.

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习题课直线的位置关系与距离公式

【课时目标】熟练掌握直线的位置关系(平行、垂直)及距离公式，能灵活应用它们解

决有关的综合问题.

知识梳理•

"(1)两点Pl(乃，》),P2(X2,")的距离

IPlBI=.

三个距I(2)点P(双,州)到直线/：Ax+By+C=O

离公式］的距离"=.

(3)平行线小4v+By+Ci=0与自Ar+

、By+C2=0间的距离d=.

2.三种常见的对称问题

(1)点关于点的对称

点尸(沏，死)关于点M(a,力的对称点为P'.

(2)点关于直线的对称

若两点P(xi，yi)与AS，竺)关于直线/：At+8y+C=0对称，则由方程组

「空+B』+C=O,

可得点Pl关于/对称的点P2的坐标。2,")(其中4#0,

X|WX2).

(3)线关于点、线的对称

线是点构成的集合，直线的方程是直线上任一点尸(x,y)的坐标x,y满足的表达式，故

求直线关于点、线的对称，可转化为求该直线上任一点关于点、线的对称.

作业设计•

一、选择题

1.点(3,9)关于直线工+35-10=0的对称点为()

A.(—13,1)B.(—2,—6)

C.(-1,-3)D.(17,-9)

2.和直线3x—4)，+5=0关于x轴对称的直线方程为()

A.3x+4y-5=0B.3x+4y+5=0

C.—3x+4y—5=0D.—3x+4y+5=0

3.在直线3x—4厂27=0上到点尸(2,1)距离最近的点的坐标是()

A.(5,一3)B.(9,0)

C.(-3,5)D.(-5,3)

4.过点(1,3)且与原点的距离为1的直线共有()

A.3条B.2条C.1条D.0条

5.若点(5,b)在两条平行直线6x-Sy+1=0与3x—4)，+5=0之间,则整数b的值为()

A.5B.-5C.4D.-4

6.已知实数x,y满足5x+12y=60,则一己+以一2x—4y+5的最小值是()

,3182

A-13BR-13C.13D.不存在

二、填空题

7.点A(4,5)关于直线/的对称点为8(—2,7),则/的方程为.

8.如图所示，已知△ABC的顶点是A(-l,-1),B(3,l),C(l,6),直线/平行于AB,

且分别交AC、BC于E、F,尸的面积是△C48面积的;，则直线/的方程为

9.设点A(—3,5)和8(2,15),在直线/：3尤一4)，+4=0上找一点P,使|刑+|尸8］为最小,

则这个最小值为.

三、解答题

10.一条直线被直线小4x+y+6=0和/2：3x—5y—6=0截得的线段的中点恰好是坐

标原点，求这条直线的方程.

11.已知直线/的方程为3x+4y—12=0,求满足下列条件的直线/'的方程.

⑴/'与/平行且过点(一1,3)；

(2)1'与/垂直且/'与两坐标轴围成的三角形面积为4；

(3)/'是/绕原点旋转180。而得到的直线.

【能力提升】

12.直线2%一＞一4=0上有一点P,求它与两定点4(4,-1),8(3,4)的距离之差的最大

值.

13.已知M（1,O）、M-1,0），点P为直线2x-y—l=0上的动点，求『“^+俨林的最小

值及取最小值时点P的坐标.

®反思感悟

1.在平面解析几何中，用代数知识解决几何问题时应首先挖掘出几何图形的几何条件,

把它们进一步转化为代数方程之间的关系求解.

2.关于对称问题，要充分利用“垂直平分”这个基本条件，“垂直”是指两个对称点

的连线与已知直线垂直，“平分”是指：两对称点连成线段的中点在已知直线上，可通过这

两个条件列方程组求解.

3.涉及直线斜率问题时，应从斜率存在与不存在两方面考虑，防止漏掉情况.

习题课直线的位置关系与距离公式答案

知识梳理

1-dh/(^2-xi)2+34(y2-yi)2(2)^^^=^-

©一G|

(3)-

2.(l)(2a—xo,2Z>—yo)(2"：='

作业设计

1.C［设对称点为(项，y0),

fW=3,

Ixo—3

|配+3yo+9_

【2十'210=0,

2.B［直线3x-4y+5=0与x轴交点为（一±0）,由对称直线的特征知，所求直线斜

3

率为k=

；.y=-Xx+D，即3x+4y+5=0.］

3.A［当PQ与已知直线垂直时，垂足。即为所求.］

4.B［当直线斜率不存在时，直线方程为x=l,原点到直线距离为1,满足题意.当

直线斜率存在时，设直线方程为y—3=%(工一1)即入一y+3—2=0.由已知-^彳==1,解得

pH

4

左=小满足题意.故共存在2条直线.]

31

5.C[把x=5代入6R—8丁+1=0得＞=/

31

把x=5代入3x—4y+5=0得y=5,・••号＜。＜5.

又•・“为整数，・・・b=4.]______________

6.A2x-4y+5=yj(x—l)2+(y-2)2,

它表示点a，y)与(1,2)之间的距离，

两点距离的最小值即为点(1,2)到直线5x+12y=60的距离,

|1X5+2*12—60|31

1313,]

7.3x—y+3=0

8.工-2y+5=0

解析由已知，直线AB的斜率

,SEF//AB,二直线EF的斜率为公4.

,/△CEF的面积是△C4B面积的

是C4的中点，

二点E的坐标(0,|5、),直线EF的方程是y-|=g,即x-2y+5=0.

9.5713

解析设点A关于直线/的对称点A'的坐标为(〃")，则由AV_1/且41'被/平分,

r8-53

X-=-T

4+34

得

4-345

3X4X-4

22-

<

解之得。=3,匕=-3..♦.点A'的坐标为(3,-3),

/.(解I+|P8|)min=H'B\=^/(3-2)2+(-3-15)2=5＜13.

10.解设所求直线与直线/1交于4a0,州)，它关于原点的对称点为8(一加，一州),

且8在直线b上，

[4x()+yo+6=O,

由彳

-3xo+5yo-6=0,

f36

冲=—药

解得j6

[yo=23，

6

231

・••所求直线方程为y=-36X~~6X,

~23

即x+6y=0.

3

11.解⑴直线/：3x+4y-12=0,心=一不

3

又-

//Z4

二直线/'：)，=一3*+1)+3,即3x+4y—9=0.

4

(2);/'±/,：.kr=y

设/'与x轴截距为b,则/'与y轴截距为一上,

由题意可知，S=；|A|J一和

=4,

.\h=±\［6.

4r-4r-

.二直线［：y=］（x+优）或y=］（%一,）.

（3）・.・厂是/绕原点旋转180。而得到的直线，

・•./'与/关于原点对称.

任取点3）,%）在/上，则在/'上对称点为。，y）.

x="xo,y=_yo，则_3x_4y-12=0.

：.r为3x+4y+12=0.

12.解找A关于/的对称点4',A'8与直线/的交点即为所求的尸点.设A'3,

Cb+\

-7X2=-1

。一4

b),则

4+ab-1

2X^-5—4=0

解得，所以|A'B\=^/(4-1)2+(3-0)2=3yf2.

b=1

13.解：尸为直线2r-y—1=0上的点，

二可设P的坐标为(北2〃?-1),由两点的距离公式得

|PA/]2+|P/V|2=(m-l)2+(2w-l)2+(w+l)2+(2n2-l)2=10>n2-8m+4.(机CR)

(2、1212

令"m)=10病—8加+4=10(加一,

...当刀=|时,IPMp+lPNp取最小值，此时砥,一£).

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习题课圆与方程

【课时目标】1.巩固圆的方程的两种形式，并熟练应用圆的方程解决有关问题.2.熟

练掌握直线与圆、圆与圆的位置关系的判定及应用.

知识梳理•]

，①圆的标准方程：.

、其中________为圆心，/•为半径.

1.圆的方程<②圆的一般方程：

、其中(>0).

2.直线与圆的位置关系的判定3表示圆心到直线的距离，r表示圆半

'相交

径)，相离Q;

、相切o.

3.圆与圆的位置关系(4表不两圆圆心距，R、r表Z5两圆半径且

〃外离o公R+r；

外切=d=R+r；

内切

、内含

作业设计•]

一、选择题

1.圆f+V+Zt—4y=0的圆心坐标和半径分别是()

A.(1,-2),5B.(1,-2),小

C.(-1,2),5D.(-1,2),邓

2.以线段Abx+y—2=0(0WxW2)为直径的圆的方程为()

A.(x+l)2+b+1)2=2

B.。一1尸+(厂1>=2

C.(x+l)2+(y+1>=8

D.(x-l)2+(>-1)2=8

3.直线x—总，=0绕原点按逆时针方向旋转30。所得直线与圆/+y2一叙+1=0的位

置关系是()

A.相交且过圆心B.相交但不过圆心

C.相切D.相离

4.若圆W+V—2以+3外=0的圆心位于第三象限，则直线x+ay+b^0一定不经过

()

A.第一象限B.第二象限

C.第三象限D.第四象限

5.直线/与直线力+4)，-15=0垂直，与圆/+9一18犬+45=0相切，则直线/的方程

是()

A.4冗一3厂6=0

B.4x—3y—66=0

C.4x—3y—6=0或4x—3y—66=0

D.4x-3y-15=0

6.方程衣，=A(x-2)+3有两个不等实根，则A:的取值范围为()

A.假3B.[I，+8)

C(一8,司D.焉,

二、填空题

7.过点M(0,4),且被圆(工-1)2+)2=4截得的线段长为2小的直线方程为.

8.一束光线从点4-1,1)出发经x轴反射到圆。-2)2+。-3)2=1上的最短路程为

9.集合A={(x,训』+产=4},B={(x,训(工-3)2+。-4)2=，},其中/>0,若AAB

中有且仅有一个元素，则，•的值是.

三、解答题

10.有一圆C与直线/：4x-3y+6=0相切于点43,6),且经过点8(5,2),求此圆的标

准方程.

11.已知圆C：4y—20=0及直线/：(2m+l)x+0M+l)y=7m+4(%WR).

(1)证明：不论，〃取什么实数，直线/与圆C总相交；

(2)求直线/被圆C截得的弦长的最小值及此时的直线方程.

【能力提升】

12.已知曲线C：。-1)2+丫2=1,点A(—1,0)及点8(2,a),从点A观察点8,要使视

线不被曲线C拦住，则。的取值范围是()

A.(一8,-1)U(1,+8)

B.(一8,一5)U(小，+8)

C.(小，+°°)

D.(一8,一3小)U(3小，+8)

13.已知P是直线3x+4y+8=0上的动点，PA,尸8是圆『+产一以一2丫+1=0的两条

切线，A、8是切点，C是圆心，求四边形以CB面积的最小值.

®反思感悟

初中我们从平面几何的角度研究过圆的问题，本章则主要是利用圆的方程从代数角度研

究了圆的性质，如果我们能够将两者有机地结合起来解决圆的问题，将在处理圆有关问题时

收到意想不到的效果.

圆是非常特殊的几何图形，它既是中心对称图形又是轴对称图形，它的许多几何性质在

解决圆的问题时往往起到事半功倍的作用，所以在实际解题中常用几何法，充分结合圆的平

面几何性质.那么，我们来看经常使用圆的哪些几何性质：

(1)圆的切线的性质：圆心到切线的距离等于半径；切点与圆心的连线垂直于切线；切

线在切点处的垂线一定经过圆心；圆心、圆外一点及该点所引切线的切点构成直角三角形的

三个顶点等等.

(2)直线与圆相交的弦的有关性质：相交弦的中点与圆心的连线垂直于弦所在直线；弦

的垂直平分线(中垂线)一定经过圆心；弦心距、半径、弦长的一半构成直角三角形的三边，

满足勾股定理.

(3)与直径有关的几何性质：直径是圆的最长的弦；圆的对称轴一定经过圆心；直径所

对的圆周角是直角.

习题课圆与方程答案

知识梳理

I.(\)(x-a)2+(y-b)2=i2(«,b)(2)^+/+Dx+Ey+F=0D1+E2-4F

2.d>rd=r

作业设计

1.D

2.B[线段A8两端点为(0,2)、(2,0),...圆心为(1,1),半径「=也，...选B.]

3.C[直线旋转后为了=小心圆心(2,0)到该直线距离d=r....选C.]

4.D[圆的标准方程为(》一“)2+()，+a>)2=/+?>2.

圆心为(a,—.'.a<0,6>0..»=—%—§不过第四象限.]

5.C[设直线方程为4x—3y+m=0,由直线与圆相切得加=-6或-66.]

6.A[

在同一平面直角坐标系中分别画出>=代二？(就是x2+y2=4,y20)和y=-r—2)+3

的图象.如图所示，问题就转化为两条曲线有两个交点的问题，需kpA<k《PB.

,3—03I—2Z+3I

对于k(x—2)—y+3=0,因为直线与圆相切，所以d=r,即

”2_(_2)=不机+1

=2,解得kpA=~^2.

所以k的取值范围为e，I].]

7.x=0或15x+8y—32=0

解析设直线方程为x=0或"一y+4=0.当直线方程为x=0时，弦长为25符合题

意；当直线方程为近一y+4=0时，d=故/,，：4=#22-(小)2=1,解得％=一号，因此直

7%+16

线方程为15x+8y-32=0.

8.4

解析点4