第六章 平面向量及其应用2023年高考数学必背知识手册

第六章平面向量及其应用（公式、定理、结论图表）

［、思维导图

平面向盘的实际背景与概念

平面向量的概念平面向量的几何表示

相等向量与共线向量

平面向量的加、减运算

平面向量的运算平面向量的数乘运算

平面向量的数量积

平面向量

及其应用

平面向量基本定理

平面向量基本定理

平面向量的坐标表示

及坐标表示

平面向量运算的坐标表示

用向量方法解决平而几何问题

平面向量的应用用向量方法解决物理问题

余弦定理、正弦定理

「、知识梳理

1.向量的有关概念

(1)向量：既有大小又有方向的量叫做向量,向量的大小叫做向量的摸.

(2)零向量：长度为。的向量，其方向是任意的.

(3)单位向量：长度等于1个单位的向量.

(4)平行向量：方向相同或相反的非零向量，又叫共线向量，规定：0与任一向量共线.

(5)相等向量：长度相等且方向相同的向量.

(6)相反向量：长度相等且方向根反的向量.

2.向量的线性运算

向量运

定义法则(或几何意义)运算律

算

交换律：a+h=h+a；

a

加法求两个向量和的运算三角形法则结合律：(a+b)+c=4

)

a+e+c

平行四边形法则

求。与b的相反向量

减法Q—b=a+(—b)

一〃的和的运算a

三角形法则

|Aa\=W\a\,当%>0时，

与。的方向相同;

求实数2与向量。的积

数乘当力<0时，，”与“(2+=痴+〃q；

的运算

的方向相反:入(a+b)—Xa-\-/,b

当2=0时，/a=0

3.两个向量共线定理

向量b与非零向量a共线的充要条件是有且只有一个实数人使得b=Xa.

4.平面向量基本定理

如果4，e2是同一平面内的两个丕去线向量，那么对于这一平面内的任意向量。，有R只有一对实数的,

42，使a=2向+%202.

其中，不共线的向量e”e2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底.

5.平面向量的坐标运算

(1)向量加法、减法、数乘向量及向量的模

设a=(xi,yy),b=(X2,yi),则

“+/>=(xi+x2,z+以)，a-b—(xi-X2,vi-v?)>

^a=(AX\,/lyi),l«l—A/XT+W-

(2)向量坐标的求法

①若向量的起点是坐标原点，则终点坐标即为向量的坐标;

②设Z（xi，yi）,8（x2,玖），则48=（也一X］，"一”），

\AB\=、l（X2—X1）2+（竺一0）］.

6.平面向量共线的坐标表示

设0=（x1，yi）,b=（xi，竺），其中b#0,a//b^x\y2—X2V\=0-

7.向量的夹角

（1）定义：已知两个非零向量a和"作①=dOB=b,则N/08就是向量a与b的夹角.

⑵范围：设，是向量。与〃的夹角，则0°W"W180°.

（3）共线与垂直：若6=0°,则"与/＞同向;若。=180°,则“与力反向;若6=90°,则a与6垂直.

8.平面向量的数量积

设两个非零向量。，方的夹角为。，则㈤向•cos

定义

。叫做a与b的数量积,记作a*b

⑷cos。叫做向量a在b方向上的投影，

投影

㈤cos.〃叫做向量。在“方向上的投影

数量积a-b等于a的长度同与〃在〃的方向上

几何意义

的投影㈤cos「，的乘积

9.向量数量积的运算律

（lM・b=b・a.

（2）（询协=力（〃力）=a（Ab）.

（3）（a+b）・c=a・c+b・c.

10.平面向量数量积的有关结论

已知非零向量0=（X1,H）,3=（X2,次），。与〃的夹角为火

结论几何表示坐标表示

模\a\=\[(ra同=、%?+)%

cos9=又幺cXlX2+y/2

夹角COS8——1-----/-----

\a\\b\\居+评\/君+遇

aJ•〃的充

X1X2+,""2=0

要条件

〈常用结论》

1.五个特殊向量

（1）要注意0与0的区别，0是一个实数，0是一个向量，且|0|=0.

（2）单位向量有无数个，它们大小相等，但方向不一定相同.

(3)任一组平行向量都可以平移到同一直线上，因此平行向量也叫做共线向量.

(4)与向量“平行的单位向量有两个，即向量❷和一色.

1«1\»\

2.五个常用结论

(1)一般地，首尾顺次相接的多个向量的和等于从第一个向量的起点指向最后一个向量的终点的向量,

即/1/2+4M3+/M4+…+4-.特别地，一个封闭图形首尾连接而成的向量和为零向量.

(2)若尸为线段48的中点，0为平面内任意一点，则+为).

(3)若4B,C是平面内不共线的三点，则荡+而+m=0-P为ZX/BC的重心.

(4)在△力8c中，AD,BE,b分别为三角形三边上的中线，它们交于点G(如图所示)，易知G为△/8C

的重心，则有如下结论：

①a+为+放7=0；

②前三(懑+而；

③砺=；(晶+就)，db=3次+宿.

(5)若花=%为+〃沆口，”为常数)，则/,B,C三点共线的充要条件是2+〃=1.

3.基底需要的关注三点

(1)基底C1，02必须是同一平面内的两个不共线向量，零向量不能作为基底.

(2)基底给定，同一向量的分解形式唯一.

(3)如果对于一组基底,。2，有〃=九6|+22。2="1白+〃2生，则可以得到，'

42="2.

4.共线向量定理应关注的两点

(1)若4=(X1，")，b=(X2＞歹2),则的充要条件不能表示成因为X2，拄有可能等于0，应表

X2yi

示为x\yi-X2y\=0.

(2)判断三点是否共线，先求每两点对应的向量，然后按两向量共线进行判定.

5.两个结论

xi+42y\+^7|

(.22J.

%|+”2+工3.+”+川

([_3'3_J.

6.两个向量a,I的夹角为锐角Oq・b>0且〃，〃不共线；

两个向量a,b的夹角为钝角o〃6V()且m〃不共线.

7.平面向量数量积运算的常用公式

(i)m+b)(。一1)=/一)2.

(2)(〃+〃)2=〃2+2〃.++62.

(3)(。一b)2=〃2—2ab+〃.

<解题方法与技巧》

一、辨析向量有关概念的五个关键点

(1)向量定义的关键是方向和长度.

(2)非零共线向量的关键是方向相同或相反，长度没有限制.

(3)相等向量的关键是方向相同且长度相等.

(4)单位向量的关键是方向没有限制，但长度都是一个单位长度.

(5)零向量的关键是方向没有限制，长度是0,规定零向量与任何向量共线.

典例1：设“0为单位向量，①若。为平面内的某个向量，则a=|a|ao;②若。与ao平行，则a=|a|ao；

③若。与ao平行且|a|=l,则。=即上述命题中，假命题的个数是()

A.0B.1

C.2D.3

解析：选D.向量是既有大小又有方向的量，a与同处的模相同，但方向不一定相同，故①是假命题；若

“与ao平行，则。与ao的方向有两种情况：一是同向，二是反向，反向时a=一同的，故②③也是假命题.综

上所述，假命题的个数是3.

典例2：设“，力都是非零向量，下列四个条件中，使e成立的充分条件是()

1«11*1

A.a——bB.a//b

C.a=2bD.a〃Z»且同=例

解析：选C.因为向量旦的方向与向量a相同，向量立的方向与向量b相同，且所以向量”与向

1«11*11«11*1

量。方向相同，故可排除选项A,B,D,

当a=26时，故”O=26”是“旦=^，，成立的充分条件.

l«l\2b\|A||«|161

典例3：给出下列命题：

①若两个向量相等，则它们的起点相同，终点相同；

②若同=创，则。=力或4=一方；

③若4,B,C,。是不共线的四点，且次=比，则力8c。为平行四边形；

@a=b的充要条件是同=|〃|且a//b\

⑤已知九。为实数，若2。=/必，则a与分共线.

其中真命题的序号是.

解析：①是错误的，两个向量起点相同，终点相同，则两个向量相等；但两个向量相等，不一定有相

同的起点和终点.

②是错误的，同=|旬，但a，6方向不确定，所以a,6的方向不一定相等或相反.

③是正确的，因为盛=虎，所以|崩|=|方石且益〃历；又/,B,C,。是不共线的四点，所以四边形

ABCD为平行四边形.

④是错误的，当a〃。且方向相反时，即使同=步|,也不能得到a=b,所以同=|切且不是a=〃的

充要条件，而是必要不充分条件.

⑤是错误的，当2="=0时，”与力可以为任意向量，满足脑=u"但a与。不一定共线.

答案：③

二、平面向量线性运算问题的常见类型及解题策略

(1)向量加法或减法的几何意义：向量加法和减法均适合三角形法则.

(2)求已知向量的和：一般共起点的向量求和用平行四边形法则；求差用三角形法则；求首尾相连向量

的和用三角形法则.

典例4：(1)在△NBC中，为8C边上的中线，E为4)的中点，则应=()

3-*■1■->•]-►3-*,

A.-AB--ACB.-AB--AC

4444

3-*■1—*■1­►3-*■

C.-AB+-ACD.-AB+-AC

4444

⑵在四边形46CQ中，BC=AD,AC与BD交于点O,E是线段的中点，4E的延长线与交于

点F,则()

■―1•­►2-*―►2■-1-►

\.AF=~AC+-BDB.AF=-AC+-BD

3333

-*-I—2~*--►2-*-I—►

C.AF^-AC+-BDD.AF^-AC+LBD

4334

【解析】(1)

法一：如图所示，无=应)+加(崩+否+；(施一族?)=沙一/，故选A.

⑵

DC

AB

在四边形Z3CQ中，如图所示，因为正=疝，所以四边形48C。为平行四边形.由已知得方方=L丽,

3

由题意知ADEFSABEA,则用、=/k所以次=|的=|(而一20=|x所以万=元

■―►-►RD-"AC,7-1-►

+CF=AC+=-AC+-BD,故选B.

333

【答案】(1)A(2)B

典例5：如图，在直角梯形MCQ中，DC=-AB,BE=2EC,且病=,屈+$疝，则2r+3s=()

4

A.1B.2

C.3D.4

D____C

A-------------------B

―►—►―►—►0—►—►0―►-*,—>1—2-»—►1

【解析】法一：由题图可得^-AD+DQ=^AB+^(AD+DC)=\

+^2(A—D+\14-B)=^1A—B+-?A―D.

因为ZE=M3+s/。，所以尸=匕s=4,则力・+3s=1+2=3.

23

—►—►—►,►',►>>1-

法二：因为BE=2EC,所以ZE-Z5=2(4C-ZE),整理，得/£=*IB+|左=+；(疝+DC)=^iB

,£>,以下同法一.

AP

/1

二p/\C

AB

-►1-A

法三：如图，延长8c交于点尸，则由0。=为8得。C〃/18,且AB=4DC.

4

-►—►―►4―►

义BE=2EC,所以E为PB的中点、,SLAP=~AD.

3

于是，/市=；(益+弱)=&4，+740)=料+料.以下同法一.

法四：如图，建立平面直角坐标系X*,依题意可设点8(4加，0),0(3〃?，3/7),E(4m,2A),其中加>0,

h>0.

由ZEuMB+sZ。，得(4〃?，2〃)=尸(4加，O)+S(3"7,3h),

，1

4m=4mr+3ms,2

解得2

2h=3hss=一,

、3

所以2厂+3s=1+2=3.

【答案】C

三、共线向量定理的3个应用

(1)证明向量共线：对于向量a,b,若存在实数九使。=劝(6关0),则“与b共线.

(2)证明三点共线：若存在实数九使崩=沆，则4B,C三点共线.

(3)求参数的值：利用共线向量定理及向量相等的条件列方程(组)求参数的值.

［注意］证明三点共线时，需说明共线的两向量有公共点.

典例6：设两个非零向量a与6不共线.

(1)若叁=a+6,BC=2a+Sb,&>=3(a-b),求证：A,B,。三点共线；

(2)试确定实数立，使版+6和a+姑共线.

【解】(1)证明：因为亚=a+"BC=2a+Sb,CD=3(a-b),所以丽=诙+而=2。+汕+3(。一b)

=5(a+b)=5AB,

所以施，丽共线，又它们有公共点5,

所以N,B,。三点共线.

(2)因为ka+b与a+kb共线，

所以存在实数A使ka+8=1(a+祐)，

即伏一7)"=(独-1)4

又“，6是两个不共线的非零向量，

所以k—A.=).k—1=0.所以k2—1=0.

所以k=±\.

四、平面向量基本定理应用的实质和一般思路

(1)应用平面向量基本定理表示向量的实质是利用平行四边形法则或三角形法则进行向量的加、减或数

乘运算.

(2)用向量基本定理解决问题的一般思路是先选择一组基底，并运用该基底将条件和结论表示成向量的

形式，再通过向量的运算来解决.

［提醒］在基底未给出的情况下，合理地选取基底会给解题带来方便.另外，要熟练运用平面几何的一

些性质定理.

典例7:如图，在直角梯形/8CO中，AB=2AD=2DC,E为8c边上一点，BC=3EC,产为/E的中点,

1-*,2-■*,

B.-AB--AD

33

2-1―1f2-*

C.--AB+-ADD.--AB+-AD

3333

(2)在梯形力BCD中，AB//CD,AB=2CD,M,N分别为CD,8C的中点.若荔=4•+“病，则

【解析】(1)

D.________C

，工

AGB

法一：如图，取48的中点G,连接CG,CG,则易知四边形。C8G为平行四边形，所以肚=而)=在

-AG=AD--AB,所以企二益+废=益+2/=益+平£)-5'%=2益+为，于是泳=酢~一油=1凝:

233332

一施=4^'+3河-君=--AB+-AD,故选C.

233

法二：BF=BA+AF=BA+LAE

2

F,SAD+-AB+CE\

=-48+42J

2

一,ipb+-^5+-c^|

=一/8+423J

2

=一崩+场+初+：(而+扇+丽

?->1->

=~AB+~AD.

33

—►—►―►—A—►―►—A-►—A-A-A—►1-►-A—►Q-►

(2)因为AB=AN+NB=AN+CN=AN+(CA+AN)=2AN+CM+MA=2AN—所以4B=?N-

4-*4X4

-AM,所以2=--,〃=一，所以入+"=一.

5555

【答案】(1)C(2匕

五、平面向量的坐标运算

(1)向量坐标运算的策略

①向量的坐标运算主要是利用加、减、数乘运算法则进行；

②若已知有向线段两端点的坐标，则应先求出向量的坐标；

③解题过程中要注意方程思想的运用及正确使用运算法则.

(2)向量问题坐标化

当题目条件中所给的几何图形方便建立平面直角坐标系(如矩形、等腰三角形等)时，可建立平面直角坐

标系，将向量坐标化，将向量问题转化为代数问题，更便于计算求解.

典例8：(1)已知向量。=(5,2),6=(—4,-3),c=(x,y),若3“-26+c=0,则c=()

A.(-23,-12)B.(23,12)

C.(7,0)D.(-7,0)

(2)平面直角坐标系xQy中，已知4(1,0),8(0,1),C(-l,c)(c>0),且|次|=2,若次7=254+〃为，

则实数%+〃的值为.

【解析】(l)3a-2〃+c=(23+x,12+y)=0,故x=-23,y=-12,故选4

(2)因为|氏|=2,所以|氏F=I+C2=4,因为C>0,所以c=3.因为氏=入6^+^(市，所以(一1,也)

=X(1,0)+n(0,1),所以入=—1,U=3，

所以入+口=3—1.

【答案】(1M(2)3-1

典例9：(1)向量

a,b,c在正方形网格中的位置如图所示，若,二觞+"仇九〃GR),贝也=.

(2)在矩形N8C。中，/8=1,4。=2,动点尸在以点C为圆心且与8。相切的圆上.若方>=•+//》

则2+〃的最大值为.

【解析】(1)以向量“和〃的交点为原点建立如图所示的平面直角坐标系(设每个小正方形边长为1),

则4(1,-1),8(6,2),C(5,-1),所以“=历=(一1,1),b=OB=(6,2),c=5C=(-l,-3).因

-2十6〃=一1,“1;

为c=〃+W，所以(-1,-3)=A(-l,1)+"(6,2),即解得7=—2,〃=—，所以&=

A+2〃=—3,2/1

4.

⑵

以/为坐标原点，AB,所在直线分别为x,y轴建立如图所示的平面直角坐标系，则40,0),8(1,

22

0),C(l,2),£)(0,2),可得直线8。的方程为2x+y-2=0,点C到直线80的距离为炉还2飞,圆C:

4因为尸在圆C上，所以尸(1+警cos6,2+•sin0),AB=(\,0),AD=(0,2),

(X—l)2+(y-2)2=--

L,2A/5

1H----cos8=九

5A+4=2+^^cos6+±sin6=2+sin(0+9)W3,

AP=AAB+iAb=(；,,2/7),所以

f22m-

2H—sin0=2〃,

5

tan夕=2.

【答案】(1)4(2)3

六、平面向量共线的坐标表示

(1)两平面向量共线的充要条件有两种形式：①若a=(xi,yt),h=(X2,及)，则《〃、的充要条件是x42

一X2g=0;②已知则“〃5的充要条件是。=〃>(，£/?).

(2)利用向量共线的坐标表示既可以判定两向量平行，也可以由平行求参数.当两向量的坐标均为非零

实数时，也可以利用坐标对应成比例来求解.

典例10：⑴已知平面向量a,b,c,。=(一1,1),b=Q,3),c=(—2,k),若("+6)〃c,则实数A=

(2)已知梯形ABC。，其中/8〃CZ),S.DC=2AB,三个顶点/(I,2),8(2,1),C(4,2),则点。的坐

标为.

【解析】⑴由题意，得a+力=(1,4),由(a+〃)〃c,得lX%=4X(-2),解得％=—8.

(2)因为在梯形/8CO中，AB//CD,DC=2AB,所以庆1=2箱.设点。的坐标为(x,y),则庆'=(4,2)

~(x,y)=(4~x,2-y),AB=(2,1)-(1,2)=(1,-1),所以(4-x,2—y)=2(l,-1),即(4一'，2~y)=

14—x=2,fv=2,

(2,-2),所以］解得。故点。的坐标为(2,4).

I2-y=-2flv=4,

【答案】(1)-8(2)(2,4)

典例11：已知向量a=(4,12),0B=(4,5),OC=(­k,10),且4B,C三点共线，则/的值是

()

A.--2B.4-C.11D.1-

3323

【解析】AB=0B-O4=(4-k,-7),AC=OC-OA={-2k,-2).因为/,B,C三点共线，所以

AB,公共线，所以一2X(4—幻=-7X(一26，解得左=一|.

【答案】A

七、平面向量数量积的三种运算方法

(1)当已知向量的模和夹角时，可利用定义法求解，即〃力=|a||6|cos〈“，6〉.

(2)当已知向量的坐标时，可利用坐标法求解，即若4=(xi，y\),6=(x2，及)，则。仍=丁幽+夕W2.

(3)利用数量积的几何意义求解.

［提醒］解决涉及几何图形的向量的数量积运算问题时，可先利用向量的加、减运算或数量积的运算律

化简后再运算.但一定要注意向量的夹角与已知平面几何图形中的角的关系是相等还是互补.

典例12：如图,在梯形ABCD中，AB〃CD,CD=2,ZBAD=~,若而衣=2赢⑦,则疝•元=

4

【解析】法一：因为亚•左=2施所以施•/一施•花=疝•病，所以嘉•由=嘉•而.

jr-►—»-►7r-►r~—►―►—►-►

因为48〃C。，CD=2,ZBAD=~f所以2M8|=|/8|•|40|cost化简得|/O|=2d2.故4。/。=力。«。

44

+DQ=\AD^+ADDC=(2折+2/X2cos-=12.

4

法二：如图，建立平面直角坐标系X*.

依题意，可设点0(”，m),C(m+2,m),B(n,0),其中加>0,n>0,则由/・太=2施•/7),得(",

0)-(/n+2,m)=2(n,0)(w,m),所以〃(机+2)=2〃加，化简得■加=2.故/Z>4C=(w,m)-(m+2,m)=2m2+

2m=12.

【答案】12

八、求向量的模的方法

⑴公式法：利用|.|=而及("士8)2=向2±2“力+网2,把向量模的运算转化为数量积的运算.

(2)几何法：利用向量的几何意义，即利用向量加、减法的平行四边形法则或三角形法则作出向量，再

利用余弦定理等方法求解.

典例13：⑴已知平面向量a,6的夹角为匹，且同=3，|切=2,在中，诵=2a+2b,病=2.一

6

6b,。为8C的中点，则|疝|等于()

A.2B.4

C.6D.8

(2)已知在直角梯形N8CD中，AD//BC,ZADC=90°,AD=2,BC=\,尸是腰。C上的动点，则|届

+3PB|的最小值为.

【解析】(1)因为Z->D=；1(~/►8+/­1►0=1：(2a+26+2a—6分)=2"—2〃,

Xcos-4-41

所以3。2=4(“一6)2=4(/—26。+')=4><6J=4,则皿=2.

⑵

建立平面直角坐标系如图所示，则4(2,0),设P(0,y),C(0,b),则8(1,h),则屈+3为=(2,~y)

+3(1,b~y)=(5,3b~4y).

所以I西+3/I

=、25+(3b-4y)2(0WyWb).

当y=3%时，|汤+3西|min=5.

4

【答案】(1)A(2)5

九、平面向量的夹角

(1)研究向量的夹角应注意“共起点”；两个非零共线向量的夹角可能是0°或180。；求角时，注意向

x\xz+y\y2

量夹角的取值范围是［0°,180°］；若题目给出向量的坐标表示，可直接利用公式cos

彳+八•“d+免

求解.

(2)数量积大于0说明不共线的两向量的夹角为锐角，数量积等于0说明不共线的两向量的夹角为直角，

数量积小于。说明不共线的两向量的夹角为钝角.

典例14：(1)已知a,Z>为单位向量，且a力=0,若c=2a-/b,则cos<«,c〉=.

(2)若向量a=(k,3),6=(1,4),c=(2,1),已知2a-3b与c的夹角为钝角，则k的取值范围是.

【解析】(1)设4=(1,0),6=(0,1),则c=(2,一4)，所以COS〈〃，C)=----7^==-

1X^/4+53

(2)因为2a—3b与c的夹角为钝角，

所以(2a—3Z>)c<0>

即(24—3,-6)(2,1)<0,

所以4〃-6—6<0,所以后<3.

【答案】(1)|(2)(-°0,3)

十、两向量垂直问题

(1)当向量。与。是坐标形式时，若证明则只需证明“力=0妗X戊2+九月=0.

(2)当向量”，分是非坐标形式时，要把“，分用已知的不共线向量作为基底来表示，且不共线的向量要

知道其模与夹角，进行运算证明。力=0.

(3)数量积的运算“力=0台。_1_6是对非零向量而言的，若a=0,虽然有“力=0,但不能说a_Lb.

典例15：(1)已知a=(l,1),b=(2,ni),a±(a-b),则网=()

A.0B.1

CmD.2

(2)已知向量病与病的夹角为120°,且|成|=3,|注尸2.若乃=1易+病，且成，病，则实数力的值

为.

【解析】(1)由题意知。-6=(-1,1~m).因为aJ_("—6),所以b)=-1+1—“7=0,所以加

=0,所以。=(2,0),所以网=2.故选D.

(2)因为崩_1_尻',所以成•诙=0.

又苏=益+在BC=AC-AB,

所以(凌+石•(病—血)=0,

即(2-1)就■•筋一)加+石=0,

所以(，一l)|k||益|cos120°-92+4=0.

17

所以("1)X3X2X(一夕—92+4=0.解得

【答案】(1)D(2埼

十一、平面向量与三角函数的综合问题

(1)题目条件给出的向量坐标中含有三角函数的形式，运用向量共线或垂直或等式成立等，得到三角函

数的关系式，然后求解.

(2)给出用三角函数表示的向量坐标，要求的是向量的模或者其他向量的表达形式，解题思路是经过向

量的运算，利用三角函数在定义域内的有界性，求得值域等.

典例16：已知两个不共线的向量”，分满足。=(1,3),(cos0,sin夕)，。GR.

(1)若2a—2与0—76垂直,求|a+b|的值;

(2)当0e|0'］时，若存在两个不同的仇使得|0+30=|〃M成立，求正数加的取值范围.

【解】(1)由条件知同=2,|*|=1,又2。一/)与“一7。垂直，所以(2a—-78)=8—15"4+7=0,

所以ab=l.

所以|。+臼2=同2+2〃力+创2=4+2+1=7,故m+0=S.

(2)由|〃+3臼=|加.|，得|。+3砰=|加砰.

即同2+245〃力+3网2=/同2,

即4+23〃力+3=4〃落7+2^/3(cos0+^/3sin0)=4m2.

所以4\/5sinl6j=4m2—7.

nnn2TC

由夕£2J，得0+匹£_63」

6

因为存在两个不同的9满足题意，所以数形结合知43sinl仿+矶6jw［6,43),即6<4〃?2—7〈43,即

4

7+4毡的6电v-2+3

<------,又加>0,所以---WmV-----.

422

PV132+隹］

即实数机的取值范围为］2'2J.

十二、向量与平面几何综合问题的解法

(1)坐标法

把几何图形放在适当的坐标系中，则有关点与向量就可以用坐标表示，这样就能进行相应的代数运算

和向量运算，从而使问题得到解决.

(2)基向量法

适当选取一组基底，沟通向量之间的联系，利用向量间的关系构造关于未知量的方程进行求解.

典例17：(1)已知。是平面上的一定点，A,B,C是平面上不共线的三个动点，若动点尸满足

+2(施+心，4G(0,+oo),则点尸的轨迹一定通过△/8。的()

A.内心B.外心

C.重心D.垂心

(2)在平行四边形ZBC。中，AD=\,NB4D=60°,E为CO的中点.若左•读=1,则48=.

【解析】⑴由原等式，得舁一①="法+而，即成=4(荔+元)，根据平行四边脑法则，知族+

病=2病(。为8C的中点)，所以点P的轨迹必过△/8C的重心.故选C.

»AAa1AA1AAAaAA

(2)在平行四边形4BC£>中，BE=BC+CE=BC+-CD=AD--AB,又因为所以4CBE=

22

(^b+AS)-(ib-|iB)=jb2-1^bj5+/4b-JB-^Js2=|Jb|2+1|Ab||A8|cos600-1|AS|2=1+^X1x||A8|

一，丽2=[,所以卜函=o,又瀛廿0,所以的

【答案】(l)c(2.

十三、平面向量与函数、不等式的综合应用

通过向量的数量积运算把向量运算转化为实数运算，再结合函数、不等式的知识解决，同时也要注意

平面向量的坐标运算在这方面的应用.

典例18：(1)设。是两个非零向量”，b的夹角，若对任意实数f,|“+制的最小值为1,则下列判断正确

的是()

A.若同确定，则6唯一确定

B.若向确定，则6唯一确定

C.若6确定，则创唯一确定

D.若J确定，则向唯一确定

(2)已知向量”，8为单位向量，且“力=一/向量c•与a+6共线，则|a+c|的最小值为.

【解析】(1)设g(/)=(a+/0)2=6乎+2a6+标，当且仅当f=—"=一.cos。时,双。取得最小值1,

2bz网

所以於X1砰cos?一e-1Mb乂回+/=],化简得“2sin28=i,所以当。确定时，阂唯一确定.

网2冏

(2)法一：因为向量c与0十。共线，所以可设c=f(o+b)«£R),所以〃+c=(f+1)〃+/"所以(〃+c)2

22222

=(/+l)4r+2/(/+1thf因为向量〃，分为单位向量，且ab=—所以(a+c)2=(z+一/(/+1)+/

=»+/+12；,所以所以|“