2024届湖北省襄阳四中高一数学第二学期期末学业质量监测试题含解析

2024届湖北省襄阳四中高一数学第二学期期末学业质量监测试题请考生注意：1．请用2B铅笔将选择题答案涂填在答题纸相应位置上，请用0．5毫米及以上黑色字迹的钢笔或签字笔将主观题的答案写在答题纸相应的答题区内。写在试题卷、草稿纸上均无效。2．答题前，认真阅读答题纸上的《注意事项》，按规定答题。一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的1．在中，角的对边分别是，若，则角的大小为（）A．或 B．或 C． D．2．某市电视台为调查节目收视率，想从全市3个县按人口数用分层抽样的方法抽取一个容量为的样本，已知3个县人口数之比为，如果人口最多的一个县抽出60人，那么这个样本的容量等于（）A．96 B．120 C．180 D．2403．已知全集则()A． B． C． D．4．若偶函数在上是增函数，则（）A． B．C． D．不能确定5．下列说法正确的是（）A．小于的角是锐角 B．钝角是第二象限的角C．第二象限的角大于第一象限的角 D．若角与角的终边相同，则6．在0°到360°范围内，与角－130°终边相同的角是（）A．50° B．130° C．170° D．230°7．中，已知，则角（）A．90° B．105° C．120° D．135°8．已知圆，由直线上一点向圆引切线，则切线长的最小值为()A．1 B．2 C． D．9．已知集合，，，则（）A． B． C． D．10．如图，是圆的直径，点是半圆弧的两个三等分点，，，则（）A． B． C． D．二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。11．在边长为2的正△ABC所在平面内，以A为圆心，为半径画弧，分别交AB，AC于D，E.若在△ABC内任丢一粒豆子，则豆子落在扇形ADE内的概率是________．12．已知直线平面，，那么在平面内过点P与直线m平行的直线有________条.13．已知，，两圆和只有一条公切线，则的最小值为________14．已知直线：与圆交于，两点，过，分别作的垂线与轴交于，两点，若，则__________．15．设数列的前n项和为，关于数列，有下列三个命题：（1）若既是等差数列又是等比数列，则；（2）若，则是等差数列：（3）若，则是等比数列这些命题中，真命题的序号是__________________________.16．已知数列是首项为，公差为的等差数列，若数列是等比数列，则___________.三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．已知函数的最小正周期为，且其图象的一个对称轴为，将函数图象上所有点的橫坐标缩小到原来的倍，再将图象向左平移个单位长度，得到函数的图象.（1）求的解析式，并写出其单调递增区间；（2）求函数在区间上的零点；（3）对于任意的实数，记函数在区间上的最大值为，最小值为，求函数在区间上的最大值.18．在中，角的对边分别为，且.（1）求角的大小；（2）若，求的最大值.19．已知函数（1）求的定义域；（2）设是第三象限角，且，求的值.20．如图，已知等腰梯形中，是的中点，，将沿着翻折成，使平面平面．（Ⅰ）求证：；（Ⅱ）求二面角的余弦值；（Ⅲ）在线段上是否存在点P，使得平面，若存在，求出的值；若不存在，说明理由．21．等差数列中，，．（1）求数列的通项公式；（2）设，求的值．

参考答案一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的1、B【解题分析】

通过给定条件直接利用正弦定理分析，注意讨论多解的情况.【题目详解】由正弦定理可得：，，∵，∴为锐角或钝角，∴或．故选B．【题目点拨】本题考查解三角形中正弦定理的应用，难度较易.出现多解时常借助“大边对大角，小边对小角”来进行取舍.2、B【解题分析】

根据分层抽样的性质,直接列式求解即可.【题目详解】因为3个县人口数之比为,而人口最多的一个县抽出60人,则根据分层抽样的性质,有,故选:B.【题目点拨】本题考查分层抽样,解题关键是明确分层抽样是按比例进行抽样.3、B【解题分析】

先求M的补集，再与N求交集．【题目详解】∵全集U＝{0，1，2，3，4}，M＝{0，1，2}，∴∁UM＝{3，4}．∵N＝{2，3}，∴（∁UM）∩N＝{3}．故选：B．【题目点拨】本题考查了交、并、补集的混合运算，是基础题．4、B【解题分析】

根据偶函数性质与幂函数性质可得．【题目详解】偶函数在上是增函数，则它在上是减函数，所以．故选：B．【题目点拨】本题考查幂函数的性质，考查偶函数性质，属于基础题．5、B【解题分析】

可通过举例的方式验证选项的对错.【题目详解】A：负角不是锐角，比如“”的角，故错误；B：钝角范围是“”，是第二象限的角，故正确；C：第二象限角取“”，第一象限角取“”，故错误；D：当角与角的终边相同，则.故选B.【题目点拨】本题考查任意角的概念，难度较易.6、D【解题分析】

先表示与角－130°终边相同的角，再在0°到360°范围内确定具体角，最后作选择.【题目详解】因为与角－130°终边相同的角为，所以，因此选D.【题目点拨】本题考查终边相同的角，考查基本分析判断能力，属基本题.7、C【解题分析】

由诱导公式和两角差的正弦公式化简已知不等式可求得关系，求出后即可求得．【题目详解】，∴，是三角形内角，，，则由得，∴，从而．故选：C.【题目点拨】本题考查两角差的正弦公式和诱导公式，考查正弦函数性质．已知三角函数值只要确定了角的范围就可求角．8、A【解题分析】

将圆的方程化为标准方程，找出圆心坐标与半径，求出圆心到直线的距离，利用切线的性质及勾股定理求处切线长的最小值，即可得到答案．【题目详解】将圆化为标准方程，得，所以圆心坐标为，半径为，则圆心到直线的距离为，所以切线长的最小值为，故选A．【题目点拨】本题主要考查了直线与圆的位置关系的应用，其中解答中涉及到圆的标准方程，点到直线的距离公式，以及数形结合思想的应用，属于基础题．9、C【解题分析】由题意得，因为，所以，所以，故，故选C.10、A【解题分析】

连接，证得，结合向量减法运算，求得.【题目详解】连接，由于是半圆弧的两个三等分点，所以，所以是等边三角形，所以，所以四边形是菱形，所以，所以.故选：A【题目点拨】本小题主要考查圆的几何性质，考查向量相等的概念，考查向量减法的运算，属于基础题.二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。11、【解题分析】

由三角形ABC的边长为2不难求出三角形ABC的面积，又由扇形的半径为，也可以求出扇形的面积，代入几何概型的计算公式即可求出答案．【题目详解】由题意知，在△ABC中，BC边上的高AO正好为，∴圆与边CB相切，如图．S扇形＝×××＝，S△ABC＝×2×2×＝，∴P＝＝.【题目点拨】本题考查面积型几何概型概率的求法，属基础题.12、1【解题分析】

利用线面平行的性质定理来进行解答.【题目详解】过直线与点可确定一个平面，由于为公共点，所以两平面相交，不妨设交线为，因为直线平面，所以，其它过点的直线都与相交，所以与也不会平行，所以过点且平行于的直线只有一条，在平面内，故答案为：1.【题目点拨】本题考查线面平行的性质定理，是基础题.13、9【解题分析】

两圆只有一条公切线，可以判断两圆是内切关系，可以得到一个等式，结合这个等式，可以求出的最小值.【题目详解】，圆心为，半径为2；，圆心为，半径为1.因为两圆只有一条公切线，所以两圆是内切关系，即，于是有（当且仅当取等号），因此的最小值为9.【题目点拨】本题考查了圆与圆的位置关系，考查了基本不等式的应用，考查了数学运算能力.14、4【解题分析】

由题，根据垂径定理求得圆心到直线的距离，可得m的值，既而求得CD的长可得答案.【题目详解】因为，且圆的半径为，所以圆心到直线的距离为，则由，解得，代入直线的方程，得，所以直线的倾斜角为，由平面几何知识知在梯形中，．故答案为4【题目点拨】解决直线与圆的综合问题时，一方面，要注意运用解析几何的基本思想方法（即几何问题代数化），把它转化为代数问题；另一方面，由于直线与圆和平面几何联系得非常紧密，因此，准确地作出图形，并充分挖掘几何图形中所隐含的条件，利用几何知识使问题较为简捷地得到解决．15、（1）、（2）、（3）【解题分析】

利用等差数列和等比数列的定义，以及等差数列和等比数列的前项和形式，逐一判断即可.【题目详解】既是等差数列又是等比数列的数列是非零常数列，故（1）正确.等差数列的前项和是二次函数形式，且不含常数，故（2）正确.等比数列的前项和是常数加上常数乘以的形式，故（3）正确.故答案为：（1），（2），（3）【题目点拨】本题主要考查等差数列和等比数列的定义，同时考查了等差数列和等比数列的前项和，属于简单题.16、或【解题分析】

由等比数列的定义得出，可得出，利用两角和与差的余弦公式化简可求得的值.【题目详解】由于数列是首项为，公差为的等差数列，则，，又数列是等比数列，则，即，即，即，整理得，即，可得，，因此，或.故答案为：或.【题目点拨】本题考查利用等差数列和等比数列的定义求参数，同时也涉及了两角和与差的余弦公式的化简计算，考查计算能力，属于中等题.三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1），单调递增区间为；（2）、、；（3）.【解题分析】

（1）由函数的最小正周期求出的值，由图象的对称轴方程得出的值，从而可求出函数的解析式；（2）先利用图象变换的规律得出函数的解析式，然后在区间上解方程可得出函数的零点；（3）对分三种情况、、分类讨论，分析函数在区间上的单调性，得出和，可得出关于的表达式，再利用函数的单调性得出函数的最大值.【题目详解】（1）由题意可知，，.令，即，即函数的图象的对称轴方程为.由于函数图象的一条对称轴方程为，，，，，则，因此，.函数的单调递增区间为；（2）将函数的图象上所有点的橫坐标缩小到原来的倍，得到函数.再将所得函数的图象向左平移个单位长度，得到函数.令，即，化简得，得或.由于，当时，；当时，或.因此，函数在上的零点为、、；（3）当时，函数在上单调递增，在上单调递减，所以，，由于，，此时，；当时，函数在上单调递增，在上单调递减，所以，，由于，，此时，；当时，函数在区间上单调递减，所以，，，此时，.所以，.当时，函数单调递减，；当时，函数单调递增，此时；当时，，当时，.综上所述：.【题目点拨】本题考查利用三角函数性质求解析式、考查三角函数图象变换、三角函数的零点以及三角函数的最值，考查三角函数在动区间上的最值，要充分考查函数的单调性，结合三角函数的单调性求解，考查分类讨论数学思想，属于中等题.18、(1)．(2)【解题分析】

（1）先利用正弦定理角化边，然后根据余弦定理求角；（2）利用余弦定理以及基本不等式求解最值，注意取等号的条件.【题目详解】解：（1）由正弦定理得，由余弦定理得，∴．又∵，∴．（2）由余弦定理得，即，化简得，，即，当且仅当时，取等号．∴．【题目点拨】在三角形中，已知一角及其对边，求解周长或者面积的最值的方法：未给定三角形形状时，直接利用余弦定理和基本不等式求解最值；给定三角形形状时，先求解角的范围，然后根据正弦定理进行转化求解.19、（1）（2）【解题分析】

（1）由分母不为0可求得排烟阀；（2）由同角间的三角函数关系求得，由两角差的余弦公式展开，再由二倍角公式化为单角的函数，最后代入的值可得．【题目详解】（1）由得，，所以，，故的定义域为（答案写成“”也正确）（2）因为，且是第三象限角，所以由可解得，.故.【题目点拨】本题考查三角函数的性质，考查同角间的三角函数关系，考查应用两角差的余弦公式和二倍角公式求值．三角函数求值时一般要先化简再求值，这样计算可以更加简便，保证正确．20、（Ⅰ）详见解析；（Ⅱ）二面角的余弦值为；（Ⅲ）存在点P，使得平面，且．【解题分析】

试题分析：（I）根据直线与平面垂直的判定定理，需证明垂直平面内的两条相交直线．由题意易得四边形是菱形，所以，从而，即，进而证得平面．（Ⅱ）由（I）可知，、、两两互相垂直，故可以为轴，为轴，为轴建立空间直角坐标系，利用空间向量即可求得二面角的余弦值．（Ⅲ）根据直线与平面平行的判定定理，只要能找到一点P使得PM平行平面内的一条直线即可．由于，故可取线段中点P，中点Q，连结．则，且．由此即可得四边形是平行四边形，从而问题得证．试题解析：（I）由题意可知四边形是平行四边形，所以，故．又因为，M为AE的中点所以，即又因为，所以四边形是平行四边形．所以故．因为平面平面，平面平面，平面所以平面．因为平面，所以．因为，、平面，所以平面．（Ⅱ）以为轴，为轴，为轴建立空间直角坐标系，则，，，．平面的法向量为．设平面的法向量为，因为，，，令得，．所以，因为二面角为锐角，